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Las operaciones con números
irracionales
Antes de empezar a sumar, restar, multiplicar, y realizar cualquier tipo de las operaciones con
números irracionales, debemos comprender como extraer, e introducir factores dentro de los
radicales que serán nuestro principal elemento dentro de estas operaciones.
Extracción de factores
Cuando tenemos radicales cuyos factores puedan ser reducidos o extraídos de la raíz
podemos hacerlo siempre y cuando el exponente de la potencia sea igual o mayor que la raíz.
En primer lugar ofrecemos un número cuyo exponente es mayor al de la raíz, por ejemplo:
3
√𝑥 7
Seguido de esto, debemos descomponer la potencia en varios factores, en este caso la
potencia es 7 y podemos descomponerla en tres partes no iguales, tomando en cuenta que la
multiplicación de un número potenciado se debe hacer sumando los potenciales existentes:
3
√𝑥 3 𝑥 3 𝑥
A continuación podemos apelar a la propiedad distributiva de los números irracionales (y en
general de los radicales):
3
√𝑥 3 . 3√3 . 3√𝑥
Luego simplificamos las potencias con las raíces iguales, lo que da como resultado:
3
3
𝑥. 𝑥 √𝑥 = 𝑥 2 . √𝑥
Cuando un número es lo suficientemente algo para poder descomponerlo por sus factores
primos, podemos resolverlo de la siguiente manera, con este ejemplo:
2
2
√72 = √32 23
Se simplifican el índice de la raíz y el potencial al cuadrado del primer factor.
2
3 √23
Y luego extraemos el factor de la raíz para simplificarla aún más.
2
3.2 √2 = 6 √2
Suma
Para poder sumar o restar los números irracionales, seguimos las reglas básicas de la
matemática para la suma y resta de radicales, es decir que solo podemos sumar o restar los
números que tienen radicales semejantes. Estos serían posibles números que podemos
sumar o restar:
7√3
4√3
0,5√3
Para poder sumar estos números es necesario sumar con las leyes de la algebra, en otras
palabras, necesitamos sacar el factor común, que en estos casos es el radical.
7√3+4√3−0,5√3=
(7+4-0,5)√3=
10,5√3
En el caso de que los números reales no tengan un radical semejante, el número quedará
como una suma, llamada binomio irracional, que se expresa con los radicales dispares
sumados:
8√3+4√2
Multiplicación de números
irracionales
En la multiplicación existen dos tipos de operación, la primera tiene que ver con los radicales
que tienen un índice semejante, y la otra con radicales con índices diferentes.
Para resolver raíces del mismo índice, simplemente utilizamos la propiedad asociativa,
reuniendo los distintos factores bajo el mismo radical, siendo así:
4
4
4
√𝑥 3 . 4√𝑥 = √𝑥 3 𝑥 = √𝑥 4
Para resolver multiplicaciones de índices diferentes, se debe hallar el índice común, utilizando
el mínimo común múltiplo para así conseguir cifras semejantes en cada índice. Es decir, que
se va multiplicando cada índice por un número determinado para obtener el mínimo común
índice, pero para no alterar el resultado, también se deberá multiplicar por el mismo número
los potenciales de cada factor dentro del radical correspondiente, es decir que si debo
multiplicar el índice de la raíz por cuatro para obtener un mínimo común índice también se
debe multiplicar por cuatro cada potencia de los números dentro de la raíz. Para finalmente
utilizar la propiedad asociativa de los números irracionales. Por ejemplo:
Racionalización de números
irracionales
La racionalización es una costumbre matemática, según la cual, en la respuesta final de una
operación, no debe quedar un radical en el denominador de una fracción. Es decir, que en un
número fraccionario, la mitad inferior debe ser un número entero. La idea es reducir los
radicales mediante la extracción o introducción de factores y la multiplicación igualitaria de otro
radical tanto en el denominador como en el numerador para anular los radicales del
denominador. Tenemos el siguiente caso:
Función Cuadrática
Completar el siguiente cuadro:
Función Cuadrática
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 + 8𝑥 − 3
b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 13
c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 6𝑥 2 + 2
d) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 12𝑥
e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 9
f) 𝑓(𝑥) = 4 − 7𝑥 2 + 6𝑥
a
b
c
Graficar las siguientes funciones cuadráticas utilizando tablas de valores. E indicar raíces, vértice y
ordenada al origen.
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3