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Continuidad en un punto.
E: Considere la función
p

40
 2x
f .x/ D
3x 2 C x

a
12x
14
si j x j 3; x ¤ 2; x ¤
7
I
3
si x D 2 :
¿Para qué valores de a la función es continua en x D 2?
D: H Para que la función sea continua en x D 2 se debe cumplir
lím f .x/ D f .2/ D a :
x!2
Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos:
p
4
40 24
“ 0 ”
“ 0 ”
D
, es decir, una indeterminación
:
3 22 C 2 14
0
0
Primero vamos a trabajar el denominador de f .x/. Puesto que es un polinomio de segundo
grado que tiene como cero o raíz a x D 2, sabemos que x 2 es un divisor del polinomio. Para
hallar la factorización correspondiente efectuamos la siguiente división:
x
3x C 7
2 j 3x 2 C x
14
3x 2 C 6x
7x
7x C 14
0:
Tenemos entonces que 3x 2 C x
Un poco de álgebra:
p
2x
40
2
3x C x
12x
2x
D
14
.x
2/.3x C 7/.
p
40 12x
2/.3x C 7/
4x 2
.40
2x C
2x C
p
p
40
12x
40
12x
!
D
12x/
p
D
.x 2/.3x C 7/.2x C 40 12x/
4x 2 C 12x 40
p
D
D
.x 2/.3x C 7/.2x C 40 12x/
x 2 C 3x 10
p
D4
D
.x 2/.3x C 7/.2x C 40 12x/
.x C 5/.x 2/
p
D4
D
.x 2/.3x C 7/.2x C 40 12x/
xC5
p
D4
si x 2 ¤ 0 , x ¤ 2 :
.3x C 7/.2x C 40 12x/
D
110. canek.azc.uam.mx: 28/ 5/ 2013
14 D .x
Ahora podemos calcular el límite
lím f .x/ D lím
x!2
Entonces, si a D
x!2
xC5
p
4
.3x C 7/.2x C 40
7
, la función f es continua en x D 2.
26
12x/
!
D
47
7
D :
13 8
26