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UNIDAD
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Proporcionalidad y
semejanza. Escalas
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. PROPORCIONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Magnitud, cantidad y medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Razón y proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Proporcionalidad directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. PROPORCIONALIDAD ENTRE SEGMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Teorema de Thales. Extensión de la proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Construcción de la cuarta y la tercera proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. División de un segmento en partes proporcionales a otros segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Construcción de dos segmentos conocida su suma o su diferencia y su razón . . . . . . . . . . . . . . .
3. SEMEJANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Figuras semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Criterios de semejanza de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Definición y determinación de una semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Construcción de una figura semejante a otra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. ESCALAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Representación de objetos y espacios. Planos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Utilización de escalas gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Construcción de escalas gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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En esta Unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos permitirán definir la semejanza y su principal aplicación en el
dibujo técnico: la construcción de planos a escala.
Se parte de los conceptos de magnitud y cantidad manejados cotidianamente. Se definen la proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes y basándose en el teorema de Thales, se exponen las construcciones gráficas de proporcionalidad entre segmentos, de construcción de figuras semejantes y la
escala.
Para facilitar la comprensión del concepto de proporcionalidad, además de
realizar las construcciones y actividades, se propone memorizar los conceptos
básicos y buscar personalmente ejemplos cotidianos de aplicación, que reforzarán lo aprendido.
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Así podemos resumir los contenidos de la Unidad:
T
Conceptos de magnitud, cantidad, razón, medida y proporción.
T
Proporcionalidad directa e inversa.
T
Proporcionalidad entre segmentos. Construcciones.
T
Semejanza. Construcción de figuras planas semejantes.
T
Escala. Construcción de escalas gráficas.
Razón
Proporción
Proporcionalidad
Proporcionalidad entre segmentos
Teorema de Thales
Construcciones basadas en
proporcionalidad de segmentos
Semejanza
Escala
Razón de semejanza
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
1. Proporcionalidad
1.1. Magnitud, cantidad y medida
Habitualmente se efectúan comparaciones entre objetos, personas,... que se
expresan mediante frases como: “Andrea es más alta que Daniel”, “En este coche el
conductor tiene mayor ángulo de visión que en aquel”, “Mi salón es más pequeño que
el tuyo”. En estas frases se comparan magnitudes: longitud, amplitud y superficie.
A menudo es necesario expresarse con mayor exactitud: “Pablo corre los 200
metros en 21 segundos”, “Cuando llegue al cruce, gire a la derecha en ángulo recto”,
“Es una parcela de 2500 metros cuadrados”. Se informa así sobre la medida del elemento geométrico, en este caso un segmento, un ángulo, un polígono.
Analícese con detalle una medida concreta, por ejemplo: 7250 m o su equivalente 7 Km 200 m 50 cm. La magnitud que se mide es la longitud, ya que el metro es su
unidad de medida y se expresa mediante un número real, el que le corresponde al
comparar dicha longitud con la unidad de medida.
1.2. Razón y proporción
Razón es el cociente de dos cantidades de la misma magnitud y es, por tanto,
un número sin unidades. La expresión “la altura del cuerpo humano es ocho veces
la de la cabeza” (canon de Leonardo da Vinci), compara dos cantidades de la misma
magnitud mediante su razón.
c
p
c’
p’
p/ c
es una razón
p’/ c’
es una razón
p/ c = p’/ c’
es una proporción
Ilustración 1
En la Ilust. 1 aparecen dos personas cuyas medidas responden al canon de
Leonardo. Entre las medidas de altura de sus cuerpos p, p′ y de sus cabezas c, c′
podemos establecer las razones
igualdad
p p′
,
que tienen el mismo valor 8. Pues bien, la
c c′
p p′
=
recibe el nombre de proporción.
c c′
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Proporción es la igualdad de dos razones y en ella p es el primer término, c el
segundo, p′ el tercero y c′ el cuarto. Se llaman extremos de la proporción al primer y
cuarto términos y medios al segundo y tercero.
1.3. Proporcionalidad directa e inversa
El aumento o disminución de una magnitud puede estar relacionado con el de
otra. En la Ilust. 2 aparece una urbanización y dentro de ella dos parcelas, cuyas
áreas son p, p’ en las que se han construido casas que ocupan en planta superficies
c, c’ que son las mayores que les permite la norma urbanística que fija en 2/5 la ocupación máxima en planta.
Se dice que el área de las parcelas es directamente proporcional a la ocupada
por la casa porque cuanto mayor es la primera mayor es la segunda y porque se
puede establecer la proporción
p c
= .
p' c'
En las parcelas p’’, p’’’ de una urbanización, que tienen igual tamaño y distinta
forma, están construidas casas cuyas plantas son rectángulos distintos pero de igual
área. Como sus áreas son a’’ × b’’ = a’’’ × b’’’, se observa que cuando la fachada principal a’’’ es mayor la profundidad b’’’ debe ser menor.
c’’’’
c’’’
c‘
c
p’’’’
c’’
a’’’
b’’
b’’’
a’’
p’’’
p’’
p’
p
Ilustración 2
Se dice que la longitud de la fachada principal es inversamente proporcional a la
profundidad de la casa porque cuanto menor es la primera mayor es la segunda y
por que se puede establecer la proporción
a′′ b′′′
= .
a′′′ b′′
En general, se dirá que dos magnitudes M y M′ son directamente proporcionales
cuando entre sus cantidades exista una correspondencia biunívoca tal que con dos
cualquiera de M (a, b) y otras dos de M′ (a′, b′) se pueda formar la proporción:
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a a′
=
b b′
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
Análogamente dos magnitudes M y M′ son inversamente proporcionales cuando
entre sus cantidades exista una correspondencia biunívoca tal que con dos cualquiera de M (a, b) y otras dos de M′ (a′, b′) se pueda formar la proporción:
a 1
=
.
b a'
b'
Aplicación
La proporcionalidad existente entre la amplitud del ángulo central y la longitud del arco por el abarcado, permite medir este último en función de aquel.
Efectivamente, sean α, α′ dos ángulos centrales y c, c′
los arcos correspondientes, dicha proporcionalidad permite
c
afirmar que α / α′=c / c′. Si se toman los valores del ángulo
completo α′ = 360° y la circunferencia c’ = 2πr, el valor de un
arco c que se desee medir se obtendrá midiendo el ángulo
α y sustituyéndolo en la proporción α / 360º = c / 2πr de la que
se obtiene el valor del arco: c = α × (360°/ 2πr)
c´
α
α´
r
Aplicación
Construir un rectángulo que
tenga igual área que el de lados
a, b dado, conocido uno de sus
lados b’.
b
a
A partir del lado b del rectángulo dado se transporta b’.
Se traza la diagonal ED que F
corta a la prolongación del lado
BA en F. Se completa el rectángulo BEGF mediante dos arcos
de centros E,F y radios BF, BE.
b’
b
b’
a’
D
Al prolongar los lados CD y
A
AD se obtiene el rectángulo buscado.
a
La semejanza de los triángulos sombreados permite esta- B
blecer la proporción
G
b
C
b’
E
a' 1
a' b
=
= , o bien
, que permite afirmar:
a b'
a b'
b
Las longitudes de los lados de los rectángulos que tienen igual área son
inversamente proporcionales.
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2. Proporcionalidad entre segmentos
2.1. Teorema de Thales. Extensión de la
proporcionalidad
El teorema de Thales dice: Al cortar dos rectas cualesquiera por un sistema de
paralelas, los segmentos determinados sobre una de ellas son proporcionales a los
determinados sobre la otra. Así en la Ilust. 3 podemos establecer proporciones del
a
tipo
b
=
a′ a + b a'+b′
,
.
=
b′
a
a'
r
t
b´
a´
r’
a
b
Ilustración 3
En la Ilust. 3 se puede trazar la
paralela s a la recta r’, según el
detalle de la figura adjunta.
Aplicando el teorema de Thales
en las rectas r y t cortadas por
t
b´
a´
r
r’
m
a+b n
las paralelas r’ y s,
.
=
a
m
n
a
s
b
Expresión que comparada con la anterior dará
n
m
=
a'+b'
a'
, es decir:
los segmentos de paralelas n , m interceptados entre r y r´ son proporcionales
a los determinados sobre r ( a + b , a ) y sobre r’ ( a'+b' , a' ).
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
2.2. Construcción de la cuarta y la tercera
proporcional
En toda proporción entre segmentos existen cuatro términosa,b,c,d que se
llaman primero, segundo, tercero y cuarto términos de la proporción:
a
b
=
c
d
Pues bien, conocidos los tres segmentos a,b,c (así ordenados), se llama
cuarto proporcional a ellos al segmentod que verifica dicha proporción. Su construcción es una aplicación del teorema de Thales.
a
b
c
B
b
A
a
a
b
O
c
C
d
O
D
d
A
B
D
C
c
Ilustración 4
Sean los segmentosa,b,c cuyo cuarto proporcional se desea construir. (Ilust.
4, izquierda)
Se trazan dos rectas concurrentes en el punto O. Sobre una de ellas, a partir de
O, se transportan los segmentos a yb consecutivamente y sobre la otra recta, también a partir de O, se transporta el segmentoc.
Se traza la recta AC y su paralela BD, obteniéndose el segmento CD = d , cuarto proporcional dea,b,c.
En la figura de la derecha se dibuja una construcción similar, en la que se transportan los segmentos con origen común.
Tercero proporcional a dos segmentosa yb dados (en este orden) es un segmentod que verifica la proporción
a
b
=
b
d
. Su construcción es la misma que la de la
cuarta proporcional haciendo c = b (Ilust. 5).
42
a
b
b
B
A
a
O
b
C
d
D
Ilustración 5
Aplicación
Tenemos una fotografía de 15 × 9
cm ×cm y deseamos ampliarla, al máximo tamaño posible, en un papel formato A4 (29,8 × 21 cm × cm).
29,8 cm
15 cm
x
21 cm
Debemos encontrar el rectángulo
cuyos lados, 29,8 cm y x, son directamente proporcionales a las medidas de
la fotografía.
9 cm
9
El lado x se obtiene construyendo
la cuarta proporcional de los segmentos 15 cm, 9 cm, 29,8 cm.
15
29,8
x
ESCALA 1:10
Aplicación
b´
b
a
a´
S
Los lados a, a’ y b, b’ de los rectángulos equivalentes (de igual área) son inver-
ESCALA 1:1000
a
a’
b
El rectángulo de lados a, b es un solar
que el ayuntamiento quiere expropiar,
indemnizando a su dueño con otro de la
misma forma y área, resultado de dividir
una parcela municipal lindera de fondo a’.
a' b
= .
a b'
Así, se obtendrá el lado b’ como cuarta
proporcional a los segmentos a’, a, b (en
este orden).
samente proporcionales, por tanto
b’
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
2.3. División de un segmento en partes
proporcionales a otros segmentos
m
n
C
p
p
n
m
A
A
B
m´
n´
p´
B
Ilustración 6
Sea el segmento AB que se desea dividir en partes proporcionales a los segmentos m , n , p (Ilust. 6).
Se traza una recta secante que pase por el punto A y se transportan sobre ella,
consecutivamente a partir de A, los segmentos m , n , p . Se traza la recta CB y
sus paralelas por los puntos de división entre m , n y p , las cuales dividen al segmento AB en tres partes m' , n' , p' proporcionales a los segmentos m , n , p .
2.4. Construcción de dos segmentos conocida su suma o su diferencia y su razón
s
a/ b = 3
d
a/ b = 3/ 2
3q
3q
q
q
2q
q
C´
B´
C´
B´
3q
3q
A
2q
C
a
b
B
A
s
d
B
b
a
Ilustración 7
44
D
Sea s = a + b la suma y n = a / b la razón de los segmentos a y b que se
desea obtener, siendo n un número real genérico. En la Ilust. 7 izquierda n = 3.
Se elige un segmento q cualquiera y se construye 3 × q .
Construido AB = s se transportan 3 × q
y q consecutivamente, sobre una
semirrecta con origen en el punto A. Se traza por C´ la paralela a B’B que corta a AB
en el punto C y determina los segmentos AC = a y CB = b buscados.
Sea d = a − b la diferencia y n = a / b la razón de los segmentos a y b
buscados. En la Ilust. 7 derecha se toma n = 3 / 2.
Se elige un segmento q cualquiera y se construyen 3 × q y 2 × q .
Construido AB = d se transportan 3 × q y 2 × q sobre dos semirrectas paralelas con origen en los puntos A y B. Se traza la recta C’B’ que corta a la recta AB en
el punto D y determina los segmentos AD = a y BD = b buscados.
3. Semejanza
3.1. Figuras semejantes
Figuras semejantes son aquellas que, teniendo la misma forma, pueden diferir
en tamaño. Las figuras semejantes de igual tamaño reciben el nombre de figuras
congruentes.
B
A
C´
C
E
D´
A´´
E´
B´´
B´
E´´
A´
D
C´´
D´´
Ilustración 8
Dos figuras son semejantes cuando los ángulos correspondientes son
iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales.
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
Los polígonos de la Ilust. 8 son semejantes, ya que los ángulos interiores de sus
vértices correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales. Los polígonos ABCDE y A’B’C’D’ que tienen sus vértices ordenados en el
mismo sentido son figuras semejantes directas. Al contrario, los polígonos ABCDE y
A’’B’’C’’D’’E’’ son figuras semejantes inversas, pues sus vértices están ordenados en
sentido contrario.
3.2. Criterios de semejanza de triángulos
Dos triángulos ABC y A’B’C’ serán semejantes si sus tres lados son proporcionales y si los ángulos correspondientes son iguales; sin embargo, no es necesario que
se cumplan todas las condiciones para poderlo afirmar, sino unas mínimas que reciben el nombre de criterios (Ilust. 9):
•
Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y
proporcionales los lados que lo forman.
•
Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen iguales dos ángulos.
•
Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.
A´
A
α
b
C
c
χ
α
nxc
β
B´
C´
nxa
β
a
α
nxb
A´
Primero
B´
C´
Segundo
B´
B
C´
nxb
nxc
A´
Tercero
Ilustración 9
Los criterios segundo y tercero permiten afirmar que, para que dos triángulos
sean semejantes, es suficiente que sus ángulos sean iguales o sus lados proporcionales. Lo mismo puede afirmarse de las figuras geométricas en general ya que cualquiera de ellas puede ser dividida en triángulos, operación que se llama triangulación, incluso en el caso de que aparezcan arcos de circunferencia, ya que éstos quedan determinados mediante tres puntos.
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nxb
B
α
a
A
B´
β
b
α
nxf
f
φ
e
β
χ
g
E
d
δ
ε
nxa
nxg
φ
C
χ
C´
δ
nxc
ε
E´ n x d D´
nxe
c
D
A´
Ilustración 10
Efectuada una triangulación (Ilust. 10) de los pentágonos ABCDE y A’B’C’D’E’, y
comprobada la igualdad de todos los ángulos correspondientes de cada triángulo, se
puede afirmar que son semejantes, pues lo son cada uno de los triángulos en que se
han dividido. Análogamente, se puede deducir su semejanza, comprobando únicamente la proporcionalidad entre los lados de dichos triángulos.
3.3. Definición y determinación de una
semejanza
Una semejanza es una correspondencia biunívoca entre puntos del plano (y por
tanto, entre puntos de dos figuras situadas en él) establecida de tal modo que: los
ángulos correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son
proporcionales.
D
D’ D’’
E
C’’
C
(2)
Semejanza
inversa
C’
(2)
(1)
E’
E’’
B’’
(1)
Semejanza
directa
B’
A’ A’’
A
B
Ilustración 11
La semejanza se llama directa si se conserva el sentido de los puntos de la figura (del plano) e inversa en el caso contrario.
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
La razón constante entre segmentos correspondientes (semejantes) se llama
razón de semejanza. La semejanza cuya razón es la unidad es una congruencia.
Una semejanza está determinada dando dos segmentos orientados y el tipo de
semejanza: directa o inversa.
En la Ilust. 11 se realiza la construcción de un pentágono A’B’C’D’E’ semejante
al ABCDE dado, con su diagonal en posición vertical. Se ha determinado una semejanza en el plano tomando como par de segmentos orientados la diagonal AD y su
homóloga A' D' colocada en la posición deseada. El pentágono semejante será
A’B’C’D’E’ si se trata de una semejanza directa y A’’B’’C’’D’’E’’ si es inversa.
3.4. Construcción de una figura semejante a
otra
Las dos condiciones que deben cumplir las figuras semejantes diferencian los
dos procedimientos de construcción de una figura semejante a otra dada que se van
a tratar: el método de coordenadas y el método de copia de ángulos.
E
S
D
S’
E’
D’
F’
F
C
O’
C’
A’
P’
B’
Q’
O
A
P
B
Q R
R’
r
Ilustración 12
Sea el hexágono ABCDEF cuya figura semejante directa se desea obtener por
el método de coordenadas, conocida la razón de semejanza 2 3 y situando su lado
A’B’ en la recta r (Ilust. 12).
Se traza un sistema de referencia en la figura original, formado por dos ejes perpendiculares y líneas de referencia (trazo discontinuo) que definan las coordenadas
de todos sus puntos.
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Se traza un sistema de referencia análogo, pero con su eje horizontal situado en
la recta r. Se determina una nueva coordenada O' B' = 2 3 × OB como cuarta proporcional de los segmentos 3 × u , OB , 2 × u , donde u es un segmento cualquiera.
Obtenidas las nuevas coordenadas, se levantan líneas de referencia, cuyas intersecciones determinan los puntos de la figura semejante.
D’
D
C’
E
C
E’
A
B’
B
A’B’
A’
Ilustración 13
Sea el pentágono ABCDE cuya figura semejante directa se desea obtener por el
método de copia de ángulos. El lado A’B’, homólogo de AB, está determinado por su
longitud, el ángulo de 30º que forma con la horizontal y la posición de A’ (Ilust. 13).
Construido el ángulo de 30º a partir de la semirrecta horizontal de origen A’, se
transporta AB , quedando determinado el lado A’B’.
Se triangula la figura original. Se construye el triángulo A’B’D’ copiando los ángulos BAD y DBA, obteniendo D’ en la intersección de los lados A’D’ y B’D’ de los ángulos copiados. Análogamente se construyen los triángulos D’B’C’ y A’D’E’, obteniendo
los vértices C’ y E’ que completan el pentágono semejante.
4. Escalas
4.1. Representación de objetos y espacios.
Planos a escala
La necesidad de representar en el papel edificios, puentes, montañas y valles,
joyas,... mediante un procedimiento que permita pasar del espacio al plano, ha dado
lugar a los sistemas de proyección. Estos permiten obtener imágenes, que son proyecciones sobre un plano horizontal de dichos objetos o espacios, a tamaño real.
Excepto en algún caso, éstas no tienen el tamaño adecuado, por lo cual debemos
realizar una figura semejante de mayor o menor tamaño que se llama plano.
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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
El plano es, pues, semejante a la proyección del objeto, pero carece de una posición definida respecto a ella. A la razón de semejanza entre el plano y la proyección
se le llama escala.
Regla graduada en cm
0
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 cm
Longitudes reales
u
1/3x
u
0
ESC
1
2
AL A
3
1:3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Long
cm
itude
s en
el pla
no
Ilustración 14
Sea, por ejemplo, un bolígrafo que se quiere representar (Ilust. 14).
Se coloca el bolígrafo con sus dimensiones mayores paralelas al plano de proyección, de modo que se vea la mayor cantidad de detalles y se realiza la proyección obteniendo un dibujo de tamaño real, es decir, a escala 1/ 1. Si se desea obtener una figura semejante (dibujar un plano) con razón de semejanza 1/ 3 (escala), se
obtendrán las nuevas medidas de la proyección del objeto como cuarta proporcional
de los segmentosu, cada medida real, y 1 3 × u , siendo u un segmento cualquiera. A continuación se dibujará la figura semejante con las medidas proporcionales
obtenidas y manteniendo los ángulos iguales.
Es más práctico obtener las medidas de la proyección (del objeto real) mediante una regla graduada en centímetros, construir una regla semejante a ella con la
misma razón (escala) del plano que se desea obtener y dibujarlo midiendo con dicha
regla. Esta regla se llama escala gráfica.
4.2. Utilización de escalas gráficas
La reducción a 1:3 de la regla graduada obtenida en el apartado anterior no es
una verdadera escala gráfica, si no la que figura en la Ilust. 15. En ella aparecen divisiones a ambos lados del origen 0.
50
12,7 cm
5
0
15
10
20 cm
Ilustración 15
Se llama escala a las divisiones a la derecha de 0, iluminadas con números enteros cuyas unidades figuran en la regla. Se llama contraescala a la división decimal
de una parte entera situada a la izquierda de 0.
Para medir una longitud hacemos coincidir un extremo de ésta con una división
entera de la escala, obteniendo la parte entera de la lectura con sus unidades y se
averigua con que división de la contraescala coincide el otro extremo, ésta será la
parte decimal de la lectura.
En la Ilust. 16 se compara la escala gráfica 1: 3 con una regla graduada:
•
Se observa que 1cm de la regla graduada se corresponde con 3 cm de la
escala gráfica, esta es la razón entre las medidas del dibujo y la realidad,
entre lo que realmente mide cada división y lo que representa.
•
Las escalas gráficas se construyen con divisiones decimales, así pues, se
puede ver que la división 10 cm de la escala se corresponde con 3,33 cm de
la regla graduada.
0
1
2
0
3
4
10 cm
3,3 cm
5
6
8
7
9
10
11
12
13 cm
ESCALA 1:3
Medida real
Ilustración 16
Por ello, si se desea construir la escala 1: 3, se llevará un segmento de 3,3 cm
cuyos extremos se iluminarán con un 0 y un 10, escribiendo al lado la unidad cm.
Esta es la razón dibujo/realidad de la escala gráfica, ahora se debe hacer operativa
la regla construyendo la escala y la contraescala, para ello se utiliza la construcción:
“división de un segmento en diez partes iguales”.
51
UNIDAD
2
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
4.3. Construcción de escalas gráficas
A continuación se detallan los pasos necesarios para construir una escala gráfica, tomando como ejemplo la escala 1: 40 (Ilust. 17).
1º. Trazado de la primera división entera de la escala. La razón dibujo/realidad (escala) se escribe como 1/e (1: 40). En cualquier caso, se elegirá el menor de los
números 1, 10, 100, 1000… que sea mayor o igual que e (100 ≥ 40), este núme1 cm
x cm  1 cm = x cm 
se
= K
2
e cm 10 cm  40 cm 10 cm 
obtiene la longitud real x cm (2,5 cm) de la primera división entera, cuyos
ro será 10 K (10 2). De la proporción
extremos se iluminarán con los números 0 y 10 K cm (0 y 100 cm).
2º. Elección de la unidad de longitud de la escala. Se debe elegir entre las unidades
más convenientes y por tanto entre los números 10 K cm, 10 K - 2 m, 10 K - 5 Km
(elegimos entre 102 cm, 1m, 10 - 3 Km).
Medida real
2,5 cm
0
1
2
3
m
Ilustración 17
3º. Construcción de la escala y la contraescala. La escala se construye transportando segmentos iguales a la primera división a continuación de ésta
(subdividiéndolos si es adecuado). Para la contraescala se transporta otro
segmento igual (de 2,5 cm), pero a la izquierda del origen 0 y se divide en
diez partes iguales. También puede dividirse la contraescala en dos o cinco
partes si así resultara más fácil de leer.
En la tabla adjunta se recogen los resultados de cada uno de los tres pasos para
la construcción de varias escalas gráficas y destacados en negrita los de la 1: 40.
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Escala 1:e
10:1
5:1
2:1
1:5
1:25
1:40
(1:0,1)
(1:0,2)
(1:0,5)
10 k ≥ e
1
1
1
10
100
100
x = 10 k /e cm
10 k cm, 10 k - 2 m, 10 k - 5 km
Longitud real de la primera
división entera de la escala
Número y unidad de la primera
división entera
10 cm
5 cm
2 cm
2 cm
4 cm
2,5 cm
1 cm
1 cm
1 cm
10 cm
100 cm ó 1 m
1m
1:100
1:200
1:5000
100
1000
10000
1 cm
5 cm
2 cm
1m
10 m
100 m
1:100000
100000
1 cm
1 km
1:750000
1000000
1,33 cm
10 km
Recuerda
U Razón es el cociente de dos cantidades de la misma magnitud y por tanto, un número
sin unidades.
U Razón de dos segmentos es el cociente de sus longitudes.
U Medida de una cantidad es la razón entre ésta y la unidad de medida de la magnitud
considerada.
U Medida de un segmento es la razón entre su longitud y la de otro segmento tomado
como unidad.
U Proporción es la igualdad de dos razones.
U Los segmentos interceptados sobre dos rectas secantes por una serie de rectas paralelas son proporcionales (Thales).
U Cuarto proporcional a tres segmentos a,b,c, es un segmentod que verifica la proporción: a / b =c /d.
U Tercero proporcional a dos segmentos a,b, es un segmentod que verifica la proporción: a / b =b /d.
U Una semejanza es una correspondencia biunívoca entre puntos del plano tal que los ángulos correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales.
U Razón de semejanza es la razón entre los segmentos correspondientes de dos figuras
semejantes.
U Escala es la razón de semejanza entre las proyecciones de objetos sobre el plano y sus
dibujos reducidos ó ampliados.
53
UNIDAD
2
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS
Actividades
a
1. Obtener el segmento cuarta proporcio-
b
nal de los segmentos a , b , c .
c
2. La figura de mayor tamaño es la proyección de un alfiler de cabeza redonda, la
otra figura es un dibujo reducido a escala
de dicha proyección.
Averiguar la escala empleada.
c´
3. Determinar gráficamente los lados a,
b, c, de un triángulo, conociendo su
perímetro p = a + b + c y sabiendo que
es semejante al triángulo de lados a´,
b´, c´.
b´
a´
p
4. Dibujar la escala gráfica 1:50.000.
5. Construir dos segmentos a y b cuya
suma sea el segmento a y cuya razón
a 3
= .
b 4
C
6. Definida
una
semejanza
B
directa
A´
mediante el segmento AB y su seme-
D
jante A ' B' , construir el cuadrilátero
A´B´C´D´ semejante al ABCD.
B´
54
A