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12/03/2012
Veremos…
PROPORCIONALIDAD
NUMÉRICA
• La razón de dos números.
• La proporción.
• Que es una magnitud y estudiaremos:
TEMA 7. GRUPO: 3 A
Dependientes
Relación directa:
-Directamente proporcional
Relación inversa:
-Inversamente proporcional
• Magnitudes
Independientes.
• Repartos directamente e inversamente proporcionales
• Porcentajes
• Susana y Paula han hecho juntas un
trabajo. Susana ha dedicado 12 horas y
Paula 6.
¿Qué relación hay entre las horas
dedicadas al trabajo?
• Si calculamos la razón de sus horas
trabajadas podemos afirmar que Paula
ha dedicado la mitad de horas que
Susana al trabajo.
horas Paula
6 1
=
=
horas Susana 12 2
Razón de dos números
• Es el cociente entre dos números.
• Sirve para comparar: indica el número
de veces que una cantidad es mayor
que otra.
• La razón no tiene unidades.
• Una de las interpretaciones que dimos
a una fracción fue la de cociente entre
dos números enteros.
Una proporción
• Si a Susana le han pagado 150
euros ¿Cuánto le pagarán a Paula?
• Pero antes de responder al cuánto
¿qué considerarías justo?
Que le pagaran en
“proporción” o
proporcionalmente:
6
x
=
⇒ x = 75
12 150
• Es la igualdad entre dos razones.
6
75
=
12 150
• En este ejemplo, coincide con el
concepto de fracciones
equivalentes. Y ¿Cuándo no?
LIBRO: Pág.126: Ejercicio 43
1
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• La razón entre la altura de Pedro y la
de su hermana Ana es de 4/5.
¿Cuánto mide Pedro si Ana mide
180cm?
4
x
4
=
⇒ x = ⋅180 = 144
5 180
5
Magnitud
• Llamamos magnitud a todo aquello que
se puede medir y expresar con
números
• Pon ejemplos:
4 144
=
5 180
X
36
Relación entre magnitudes
Pon ejemplos de:
• No siempre es sencillo averiguar si existe
relación entre dos magnitudes.
• Magnitudes relacionadas entre
sí.
• Si hay relación, hablamos de magnitudes
dependientes, y puede ser una relación
directa o inversa.
• Magnitudes independientes
entre sí
• Magnitudes independientes son aquellas
entre las que no existe ninguna relación.
Tipos de relación:
• Directa: Cuando el aumento o
disminución de una magnitud se
traduce en un aumento o disminución
de la otra respectivamente.
• Inversa: Cuando el aumento de una
magnitud se traduce en una
disminución de la otra o viceversa.
1. Identifica las magnitudes.
2. ¿Están relacionadas?
3. ¿Con qué tipo de relación?
– La energía gastada por una bombilla y el tiempo que está
encendida.
– El número de hermanos/as y la altura de una persona.
– La velocidad de un tren y el tiempo empleado en recorrer una
determinada distancia.
– El número de estudiantes que van a una excursión y el dinero
que tiene que poner cada uno para pagar el autobús.
– El número de personas que van al cine y el precio de la entrada.
– Los litros de aceite que compro y el dinero que me cuestan.
– El número de obreros y el tiempo empleado en descargar un
camión.
– Si tengo 20€ para comprar cuadernos, el número de cuadernos
iguales que puedo comprar y su precio.
– El número de páginas de un libro y su precio.
– La distancia entre dos puntos de un plano y su distancia real.
2
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Magnitudes directamente
proporcionales
Proporcionalidad
• Es un tipo de relación entre dos
magnitudes.
• Cuando la relación es exacta, se
llama proporción.
• Hay de dos tipos:
• Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra
queda multiplicada o dividida
respectivamente por el mismo número.
– Proporcionalidad directa
– Proporcionalidad inversa.
A
1
3
5
7
9
B
20
60
100
140
180
Reducción a la unidad
Repartos proporcionales
Dicho de otra forma:
• Dos magnitudes serán directamente
proporcionales cuando el cociente de las
cantidades correspondientes a dichas
magnitudes es constante.
• A esta constante se la llama razón o
constante de proporcionalidad.
Ejemplo: Relación entre el peso de un enfermo con la
cantidad de medicamento que debe tomar.
Peso(KG)
10
20 35 40
x
Mg
medicamento
2
4
y
7
8
r=
2
4
7
8
y
=
=
=
=
10 20 35 40 x
• Queremos repartir un premio de 300 euros para
tres grupos compuestos por 3, 4 y 5 componentes.
¿Cuánto le corresponderá a cada grupo?
x y z x + y + z 300
= = =
=
= 25
3 4 5 3 + 4 + 5 12
x y z
r = 25 = = =
3 4 5
r=
Nº
componentes
3
4
5
12
euros
75
100
125
300
Magnitudes inversamente
proporcionales
Ejercicios del libro:
• Proporcionalidad directa:
Pág.119: Ej. 2,4,5.
• Repartos directamente proporcionales:
Pág.119: Ej.7,8.
Problemas: 9,10,11,12,13,14.
Pág.126: Ej. 46.
x = 25 ⋅ 3 = 75
y = 25 ⋅ 4 = 100
z = 25 ⋅ 5 = 125
• Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la
otra queda dividida o multiplicada
respectivamente por el mismo número.
A
1
3
5
7
B
105
35
21
15
Reducción a la unidad
3
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Dicho de otra manera:
• Dos magnitudes serán inversamente
proporcionales cuando los productos de
las cantidades correspondientes a
dichas magnitudes es constante.
• A esta constante se la llama constante
de proporcionalidad inversa.
Repartos inversamente
proporcionales
• Repartir 2100 euros de
beneficio entre tres
trabajadores con 3, 5 y 6
días de falta al trabajo en
2 años. ¿Cuánto le
corresponde a cada uno?
Relación entre el número de amigos y la aportación de cada uno para
hacer un regalo de 100€
Nº amigos 1
2
4
5
x
aportación
50
25
20
y
100
años
3
5
6
euros
1000
600
500
2100
x y z
= = =
1 1 1 1 1 1
+ +
3 5 6 3 5 6
2100
= 3x = 5 y = 6 z
k=
21
30
k = 3000 = 3x = 5 y = 6 z
k=
k = 1 ⋅100 = 2 ⋅ 50 = 4 ⋅ 25 = 5 ⋅ 20 = y ⋅ x
Ejercicios del libro:
FRACCIÓN
NÚMERO DECIMAL
PORCENTAJES
1
50
= 0,5 =
↔ 50%
2
100
• Proporcionalidad inversa:
Pág.123: Ej. 28,29,30.
• Repartos inversamente proporcionales:
Pág.123: Ej. 33,34.
Problemas:35,36,37,38,39,40.
Pág.126: Ej. 50,52,53,54,55,56.
Porcentaje
• Una fracción la interpretamos como partes de una
cantidad.
• Por ejemplo 3/5 podría representar que 3
de cada 5 familias tiene alguna mascota. Si
se mantuviera la relación, de cada 10
familias cuantas esperaríamos que tuvieran
mascota, y de cada 100.:
3 6
60
=
=
5 10 100
Podemos decir que 60 de cada 100 familias tiene
alguna mascota, es decir, el 60% de las familias tiene
alguna mascota.
1
= 0, 05 ↔ 5%
20
1
25
= 0, 25 =
↔ 25%
4
100
1
20
= 0, 20 =
↔ 20%
5
100
1
10
= 0,1 =
↔ 10%
10
100
1
= 0, 04 ↔ 4%
25
1
= 0, 02 ↔ 2%
50
1
= 0, 01 ↔ 1%
100
Porcentaje
• Llamamos porcentaje o tanto por
ciento a la cantidad de cada 100
unidades.
• Lo expresamos con el símbolo %
• En el año 2009, el 25% de la
población entre 18 y 24 años de
Aragón abandonó los estudios sin
terminar la ESO.
¿ Cómo lo interpretamos?
4
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Porcentaje usando el concepto
de proporción:
DIRECTAMENTE:
Nos preguntamos: ¿ Cuales serían los gastos si la entrada costara 100 €?
• La entrada de un
5
5
20
x
concierto cuesta
=
⇒
=
25 100
25€ de los cuales 25 100
5€ son gastos de O bien :
distribución ¿Qué
5
tanto por ciento
⋅100 = 20%
representan esos 25
gastos?
Los porcentajes nos sirven para
comparar:
¿ En qué curso han obtenido mejores resultados?
• Tercero A.
Han aprobado
todo 4 de 20
4
x
4
20
=
⇒
=
20 100
20 100
O bien :
4
⋅100 = 20%
20
• Tercero B:
Han aprobado
todo 6 de 24
6
x
1 6
25
=
⇒ =
=
24 100
4 24 100
O bien :
6
⋅ 100 = 25%
24
LIBRO: Pág.127: Ejercicio 62
1. PARA CALCULAR EL TANTO POR CIENTO
(%) DE UNA CANTIDAD (C).
• Podemos usar el concepto de proporción:
%
x
%
= ⇒ x =C⋅
100 C
100
Usamos el concepto de proporción:
x
16
16
=
⇒ x = 20 ⋅
= 3, 2€
100 20
100
• Para calcular qué tanto por ciento
representa:
– Un número P de un número N
– Una cantidad P respecto a un total N
• Aplicamos el resultado:
LIBRO: Pág.126: Ejercicio 44
Pág.127: Ejercicio 63
P
⋅100 =
N
%
Nos planteamos el siguiente ejemplo:
• El precio de una camiseta es de 20€ sin IVA. Si el
IVA en la ropa es del 16%. ¿Cuánto tendré que
pagar de IVA?
Usamos el concepto de proporción:
16
x
16
=
⇒ x = 20 ⋅
= 3, 2€
100 20
100
Vemos que para calcular el 16 % de 20 euros
tenemos dos alternativas.
2. PARA CALCULAR EL TANTO POR CIENTO(%)
DE UNA CANTIDAD (C).
• Podemos expresar el % en forma de
fracción o en forma decimal y multiplicar
a la cantidad (C) por él:
C⋅
%
=
100
Calculamos el 16% de 20 de la forma :
16
x = 20 ⋅
= 3, 2€
100
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Seguimos con el ejemplo pero nos
preguntamos por el precio final:
• El precio de una camiseta es de 20€ sin IVA. Si
el IVA en la ropa es del 16%. ¿Cuánto pagaré
por la camiseta?
20 + 3, 2 = 23, 2€
20 + 20 ⋅
16
16 
116

= 20 ⋅  1 +
= 20 ⋅1,16
 = 20 ⋅
100
100
100


Directamente:
¿ Y usando proporciones?
20 ⋅1,16 = 23, 2€
116 x
116
=
⇒ x = 20 ⋅
= 23, 2€
100 20
100
Unas acciones que valían a principios
de año 13,70€ han subido un 35%.
¿Cuánto valen ahora?
Indice de variación=1+
%
100
35
= 1, 35
100
Precio actual = 13, 70 ⋅ 1, 35 = 18, 495 ≃ 18, 50€
IV = 1 +
Usando proporciones
= 1+
INDICE DE VARIACIÓN
1. la disminución porcentual (%)
2. la cantidad inicial
= 1−
%
100
VALOR FINAL = VALOR INICIAL · INDICE DE VARIACIÓN
• Calcular el precio final 600 ⋅ 1 − 15  = 600 ⋅ (1 − 0,15) = 600 ⋅ 0,85 = 510
 100 
de un ordenador de
85
600€ donde me
= 600 ⋅
= 600 ⋅ 0,85 = 510€
100
rebajan un 15% .
85
x
85
=
⇒ x = 600 ⋅
=
100 600
100
600 ⋅ 0,85 = 510€
%
100
VALOR FINAL = VALOR INICIAL · INDICE DE VARIACIÓN
• Calcular el precio
final de un televisor
de 400€ al que
incrementamos el
precio un 20%.
precio final = 400 ⋅1, 20 = 480€
120
x
120
=
⇒ x = 400 ⋅
100 400
100
= 400 ⋅1, 20 = 480
Seguimos con el ejemplo pero nos
preguntamos por el precio final:
• El precio de una camiseta es de 20€. Si nos
rebajan un 16%. ¿Cuánto pagaré por la
camiseta?
20 − 3, 2 = 16,8€
20 − 20 ⋅
16
16 
84

= 20 ⋅  1 −
= 20 ⋅ 0,84
 = 20 ⋅
100
100
 100 
¿ Y usando proporciones?
20 ⋅ 0,84 = 16,8€
Calcular el valor final conociendo:
¿ Y usando proporciones?
1. el incremento porcentual (%)
2. la cantidad inicial
Directamente:
135
x
135
=
⇒ x = 13, 70 ⋅
100 13, 70
100
13, 70 ⋅ 1, 35 = 18, 495 ≃ 18, 50€
INDICE DE VARIACIÓN
Calcular el valor final conociendo:
84
84
x
=
⇒ x = 20 ⋅
= 16,8€
100 20
100
En una comunidad autónoma
había 69580 parados. Han
disminuido un 15%. ¿Cuántos
hay ahora?
Directamente calculando el índice de variación:
Índice de variación = 1 −
15 100 − 15 85
%
IV = 1 −
=
=
= 0,85
100
100
100
100
Número de parados actuales = 69580 ⋅ 0,85 = 59143
Usando proporciones:
85
x
85
=
⇒ x = 69580 ⋅
= 59143
100 69580
100
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Tras aumentar su precio un 35% un
ordenador cuesta 783€¿Cuánto valía
antes de la subida?
Calcular el valor inicial conociendo:
1. la variación porcentual
2. la cantidad final
× IV
÷ IV
× IV
VALOR
FINAL
VALOR
INICIAL
• CANTIDAD INICIAL= CANTIDAD FINAL: ÍNDICE DE VARIACIÓN
÷ IV
580 =
783
1, 35
Incrementos y disminuciones
porcentuales.
• Del Libro:
– Página 121. Ej.: 18,19,20,21.
– Página 126. Ej.: 45,48.
cantidad inicial=
cantidad final
índice de variación
Variación o Incremento
∆
• ¿Cómo se calcula una variación?
– Se calcula restando el valor final del valor
inicial de una cantidad.
• Si el resultado es positivo diremos que la
cantidad ha aumentado.
• Si el resultado es negativo diremos que la
cantidad ha disminuido.
Variación= Valor final – Valor inicial
EJEMPLOS DE
VARIACIONES
• El precio de un café ha pasado de 1€ a
1,20€. ¿Cuál ha sido su variación?
1,20 – 1 =0,20 €
Diremos que el precio ha aumentado en 0,20€
• El precio de una camiseta ha pasado de
12€ a 7€. ¿Cuál ha sido su variación?
7-12=-5€
Diremos que el precio ha disminuido en 5 €
Ejemplo de Variación porcentual
• He comprado a mi sobrino un cuento que
costaba 14,9 €. Si he tenido que pagar
13,41€.¿Qué porcentaje de descuento me han
hecho?
Con proporciones:
13, 41 − 14,9
x
=
14,9
100
−1, 49
x=
⋅100 =
14,9
1, 49
=
⋅100 = 10%
14,9
Directamente:
13,41−14,9
−1,49
⋅100 =
⋅100 =
14,9
14,9
1,49
=
⋅100 =10%
14,9
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VARIACIONES PORCENTUALES
• Nos preguntamos cual sería la variación de
una magnitud si su valor inicial fuera de 100
unidades.
• ¿Cómo se calcula?.
Encadenamiento de
variaciones porcentuales
• Se multiplican los índices de variación
de los sucesivos pasos.
• Interpretamos el resultado.
Dedúcelo desde el concepto de proporción
– Variación= Valor final – Valor inicial
– Dividiendo la variación del valor inicial y
multiplicando por 100:
• Ejercicios del libro:
– Página 121. Ejercicios 17,23 y 24.
– Página 126. Problemas 47.
Valor Final − Valor Inicial
⋅100 =
Valor Inicial
Ejemplo 1
• Un comerciante sube los precios de sus
productos un 30%, con la llegada de la crisis
se arrepiente y los rebaja un 30% pensando
que los dejaría igual. Si un artículo de su
tienda costaba 1000 € antes de la subida.
– a) ¿Cuánto costará después de la subida? ¿Y
después de la rebaja?. ¿Tenía razón el
comerciante al pensar que quedaría al
mismo precio?
– b)¿Cuál es la variación porcentual después
de la subida y la bajada de precio?¿Es
beneficiosa para el comerciante?
ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES
Ejemplo 2
• Un capital de 42000 € se invierte en
enero en un plazo fijo al 5% anual.
a) ¿ Cuánto tendremos a final de año?
¿Y en dos años?¿Y en tres años?
b) ¿Cuál ha sido la variación
porcentual en esos 3 años?
Incremento del 5% anual :
1,05
1,05
1,05
42000 
→ 44100 
→ 46305 
→ 48620, 25 €
año 1
año 2
año 3
1,05⋅1,05⋅1,05
42000 
→ 48620, 25 € Incremento total 16%
1, 053 =1,16
ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES
Respuesta al ejemplo 1.
In c re m e n to d e l 3 0 %
30 

a ) 1000 ⋅ 1 +
 = 1 0 0 0 ⋅ 1, 3 = 1 3 0 0 €
100 

D is m in u c ió n d e l 3 0 %
30 

1300 ⋅ 1 −
= 1 3 0 0 ⋅ 0, 7 = 9 1 0 €
1 0 0 

V a r ia c ió n p o r c e n tu a l to ta l : R e b a ja d e l 9 %
b ) 1 0 0 0 ⋅ (1, 3 0 ⋅ 0 , 7 0 ) = 1 0 0 0 ⋅ ( 0 , 9 1 ) = 9 1 0 €
Encadenar variaciones porcentuales para
calcular valores finales y valores iniciales
1. El precio del kilo de bisalto subió un
20% en enero y después bajó un 25%
en febrero. Si a principios de enero
costaba 3,80€ ¿Cuál es el precio a
primeros de marzo?
2. El número de parados en febrero
aumentó un 23% y en marzo disminuyó
un 18%. Si al terminar marzo el número
de parados era de 5202000. ¿Cuántos
había a finales de enero?
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12/03/2012
Encadenar variaciones porcentuales:
Soluciones a los ejemplos 1 y 2.
• Bisalto: calcular
valor final:
3, 80 ⋅ (1, 20 ⋅ 0, 75 ) = 3, 80 ⋅ ( 0, 90 ) = 3, 42 €
Resumen de variaciones
porcentuales
Aumento porcentual ⇒ IV=1+
%
100
%
100
Valor final=Valor inicial × índice de variación
Disminución porcentual ⇒ IV=1-
• Parados:
calcular valor
inicial:
5202000
5202000
=
≃ 5157644 parados
(1, 23 ⋅ 0,82 ) 1, 0086
Valor inicial=
Valor final
índice de variación
Encadenar variaciones ⇒ Multiplicar índices de variación
Variación porcentual=
Para repasar todos los
conceptos:
• Página 128. Autoevaluación
Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
Valor final-Valor inicial
Valor inicial
i100
FIN
• Buen Trabajo.
9