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Preguntas Propuestas
Álgebra
Polinomios II
1. Si P(x) es un polinomio mónico de segundo
P(x)=5xa – 3+3xc+2 – 2xb – 5+4
es ordenado, calcule el valor de (a+b+c).
grado que verifica P(x) – P(x – 1)=2x+2
halle el coeficiente de su término lineal.
A)– 4
B)2 C)3
D)1E)– 2
2. Sea f(x)=n2+1 un polinomio constante tal que
6. Si el polinomio completo
3 f(2) + 2 f(1)
f(0) + 5
A)10
B)11C)12
D)13E)14
7. Sea P(x)=(x+1)2(x – 3)4 y
Q(x)=P(x – 4)
indique la alternativa correcta luego de determinar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de
= 1. Calcule f(2009).
las siguientes proposiciones.
I.
P(3)=0
A)1/2
B)5/4C)1
D)– 1E)1/4
II.
Q(3)=0
III.
Q(7)=0
A)FVV
3. Dados los polinomios
3
2
P(x)=(x –1) (x+3) y f(x)=P(x+2)
indique el número de proposiciones correctas.
I.º[P(x)]=5
II.º[f(x)]=5
III.º[P2(x)]=10
IV.º[P(x) · f(x)]=10
B)VFF
C)VVV
D)VFV
E)VVF
8. Dado el polinomio P(x)=x3+ax2+4+ax y sea
a un número real tal que P(– a)=0, indique un
A)0
B)1 C)2
D)3E)4
valor de que verifica la igualdad anterior.
A)3
4. Si el término independiente de
G(x+2)=x2+(x+1)n +1 es el doble de la suma de
sus coeficientes, calcule el menor valor de G(3).
A)6
B)14C)10
D)4E)7
...
5. Dados los polinomios
P(x – 1)=x3+ax2+bx+2 y Q(x+1)=x3+4x2 – 5x – c
si P(x) ≡ Q(x), calcule el valor de (a+b+c).
A)– 2
B)– 3 C)1
D)– 4E)5
B)2 C)4
D)5E)1
División algebraica
9. Si la división algebraica
( x + 1)10 + x15 − ax + 2
x2 + x
deja resto
R(x)=2x+b, calcule el valor de (a+b).
A)4
B)5 C)3
D)2E)1
2
Álgebra
10. Luego de efectuar la división
5
4
3
14. Dada la división algebraica
3 x − x + ax + 9 x + bx + c
se obtuvo
x3 − 3x + 2
un cociente cuya suma de coeficientes es 3 y
un resto igual a (2x – 1).
Calcule el producto abc.
3
(
2
)
2
son factores de P, además P(4)=48, indique la
alternativa correcta.
2
9 x + 6 ax + a + 3 b x + 9 a x − 3ab
; ab ≠ 0
3 x 2 + ax − b
a
es R(x)=6ab+b2, calcule el cociente .
b
A)P(0)=24
B)P(1)=– 30
C)P(0)+P(1)=– 6
D)P(1)=30
E)P(4)=– 48
A)9
B)4 C)1/4
D)1/9E)6
12. En la división exacta
16. Dado el polinomio
2
mx + 13 x + 9 x + 2
, indique el valor de (m+n).
nx 2 + 3 x + 1
A)4
B)6
C)8
D)10
E)12
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+120
tal que P(x) es divisible separadamente por los
polinomios (x+2), (x+3) y (x+5), indique el
valor numérico de a+b+c.
A)300
B)400C)279
D)239E)379
Cocientes notables
13. En la división algebraica
si la suma de coeficientes del cociente es igual
al residuo, calcule el residuo.
15. Sea P(x)=x3+ax2+bx+c, tal que (x+4) y (x – 3)
11. Si el residuo de la división
3
)
nx − 2
A)21
B)20
C)16
D)13
E)8
A)48
B)36
C)32
D)16
E)24
4
(
n 2 x 6 − nx 3 + n 2 − 4 x 4 − 4 nx − 2 x 2 + 3 n
2
x n−1 − ( n + 2) x + n + 1 el término
x −1
independiente del cociente es – 10.
¿Cuál es el grado del dividendo?
A)10
B)8 C)9
D)6E)12
3
17. Si el resto de la división
2 x 15 − 3 x 10 + ax 2 + x − b
es
x2 −1
R(x)=bx+1, calcule el valor de a+b.
A)9
B)10C)11
D)3E)– 5
Álgebra
18. Si f(x)=2x3+x2+mx+n es un polinomio tal que
A)32
f(x) ÷ (x+1) deja resto p. Además, f(x) ÷ (x2+1)
deja resto 2x+1. Calcule el valor de (m+n+p).
A)3
B)9 C)2
D)1E)0
23. Simplifique la fracción
19. Calcule el resto de la siguiente división.
B)x16 – 1
2
x − x +1
C)x4 – 1
D)x8+1
E)x4+1
B)R(x)=x+1
C)R(x)=x – 1
24. Reducir la siguiente
D)R(x)=x – 2
E)R(x)=2x+1
20. Si la división algebraica
xm
x 14 + x 12 + x 10 + ... + x 2 + 1
x6 + x4 + x2 +1
A)x10+1
( x − 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1)
A)R(x)=x2 – 1
B)16C)8
D)4E)2
2 + n2 +13
− y 4 m+ 6 n
,myn∈N
x−y
M=
n−1
n− 2
n− 3
2
4 (5) + 4 (5)
+ 4 (5)
+ ... + 4 (5) + 4 (5) + 5
n− 2
n− 3
n− 4
2
6 (5)
− 6 (5)
+ 6 (5)
− ... − 6 (5) + 6 (5) − 5
si se sabe que n es impar.
A)5
B)6 C)10
D)9E)25
genera un CN, calcule el producto mn.
Factorización sobre Z
A)8
B)12C)5
D)4E)6
25. Si f(x)=ax+2 es un factor algebraico del polinomio P(x)=(ax)2+(ab)x – 2b, evalúe f b  .
21. Calcule el término central del CN generado
 
a
x n+ 64 − y 34
.
por
x n − y2
A)1
B)3
A)x8y8
C)0
B)x4y16
D)1/2
C)x16y16
E)– 1/2
D)x32y16
E)x24y16
...
26. Si P(x)=3(x – 2)(x2+mx+1)(xn – 2)
22. Si el quinto término del CN generado por
 ( x + 2) n − x n 

 toma VN de 1024 cuando x=2,
2x + 2


3
2
calcule el valor de n .
está factorizado sobre Z, calcule el menor valor positivo de (m+n).
A)1
B)2 C)3
D)4E)5
4
Álgebra
27. Dado el polinomio
P(x; y)=x3+yx2+x+y+x2+1
A) 2
B) – 2
D)1/2
si f(x; y) es un factor primo lineal de P, evalúe
f(1;  – 1).
A)0
B)3 C)2
Factorización sobre Q
33. Si el polinomio P(x)=x3+2x2 – mx+1 admite
una raíz entera, calcule el menor valor de m.
D)– 1E)1
A)– 2
28. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el
7
3 4
4 3
B)2 C)1
D)4E)0
34. Factorice el polinomio sobre Q
P(x)=Ax2+Bx+A es factorizable sobre Z, en la
forma P(x)=(2x – m)(x – n).
Calcule el mayor valor de B.
A)3
B)6 C)4
D)5E)2
A)x+2
35. Si S(x) representa la suma de los factores
primos del polinomio sobre Z
Q(x)=(x2 – 50)2+26x2 – 1275
e indique la suma de sus factores primos.
B)2x – 1 C)4x+10
D)4x – 10 E)4x
P(x)=2x4+x3 – 4x2+1
e indique el factor primo cuadrático.
A)2x2+x – 1
B)x2+x – 1
C)x2 – x+1
si f(x) es un factor primo cuadrático y mónico,
calcule el valor de f(a).
B)1 C)– 1
D)x2– x – 1
E)x2+2x – 1
37. Calcule la suma de coeficientes de un factor
D)2E)– 2
primo del polinomio
32. Calcule el valor de
m ∈ Q+
0 que
3
2
hace que el
polinomio f(x)=x +mx +3x +mx+1 sea un
cuadrado perfecto.
4
B)12C)17/2
36. Factorice el polinomio sobre Q
R(x)=2x4 – ax3 – (a2 – 1)x2+2ax – 1; a > 0
A)0
 2 
D)8E)15/2
31. Dado el polinomio sobre Z
P(x)=3x5 – 5x4+8x3 – 7x2+5x – 2, evalúe S 3  .
A)3
B)x+3C)x+1
D)2x+1E)3x+1
30. Factorice el polinomio
A)0
f(x)=6x3+11x2+6x+1, e indique el factor primo
con mayor valor numérico.
29. El polinomio cuadrático
B)– 1 C)1
D)2E)4
7
polinomio S(x; y)=x – x y +x y – y ?
A)3
C) 0
E) 4
5
R(x)=2x4 – (x+1)2 definido sobre Q.
A)– 2
B)– 1/2 C)1/2
D)– 1E)0
Álgebra
38. Dado el polinomio homogéneo
A)– 1
B)0 C)3
D)1E)2
S(a; b)=2a3+3a2b – b3 sobre Z
¿cuántos factores primos tiene S ?
40. Respecto al polinomio sobre Q.
A)2
B)1
C)3
D)4
E)5
39. Si f(x) es el factor primo común de los polinomios P(x)=x5+x+1 y Q(x)=x4+x3 – x2 – 2x – 2,
evalúe f(1).
...
P(x)=x5+x4+1
indique lo correcto.
A)Tiene 3 factores primos.
B)Un factor primo es (x2 – x+1).
C)Tiene dos factores primos cuadráticos.
D)Un factor primo es (x3 – x+1).
E)La suma de coeficientes de un factor primo
es 2.
Claves
01 - C
06 - C
11 - D
16 - D
21 - D
26 - B
31 - B
36 - B
02 - B
07 - C
12 - C
17 - B
22 - D
27 - E
32 - A
37 - E
03 - E
08 - B
13 - B
18 - A
23 - D
28 - B
33 - A
38 - A
04 - D
09 - B
14 - D
19 - C
24 - A
29 - D
34 - E
39 - C
05 - E
10 - E
15 - B
20 - E
25 - C
30 - E
35 - E
40 - D
6