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Taller 10 - Cálculo Diferencial - Clases 23-24
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del
taller, repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Realice
este taller individualmente o en grupos. Si tiene alguna pregunta,
asista a las asesorías con monitores o profesores.
Clasificación de problemas: N básico, medio, F reto.
Aproximaciones lineales y diferenciales.
N 1. Según el Banco Mundial, en el 2010, Colombia emitió 75,680
Kton de CO2 , y sus emisiones iban incrementando en 4230
Kton/año. Por su parte, las emisiones de Holanda fueron de
169650 Kton en 2010, pero iban disminuyendo a razón de
6532 Kton/año.
a) Use funciones, y derivadas para escribir la información de
este reporte.
b) Estime las emisiones de CO2 en el 2014 para ambos países.
c) Si las tendencias continúan, ¿cuándo va Colombia a superar en emisiones a Holanda?
N 2. Use una aproximación lineal para aproximar
√ el valor de
los siguientes números si usar calculadora: 99, log2 (5),
tan(1,1π), sen−1 (11/20), 1/1002. Use su calculadora para
calcular el error en la aproximación.
3. Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para echarle una capa de pintura de 2 mm de grueso a
una cúpula esférica de 50 metros de diámetro.
4. Para los Juegos Olímpicos del año 2000 se cambió el diámetro de la pelota de tenis de mesa de 38 mm a 40 mm para
que el deporte fuera más vistoso para los televidentes.
a) Estime el cambio relativo en el volumen de la pelota.
b) Estime el cambio relativo en el área superficial de la pelota.
c) La fuerza de resistencia que el aire ejerce sobre la pelota
es
1
F =
ρa (ρa − ρp )g 2 Cd r2 A2
40µ2
donde µ es la viscosidad el aire, ρa y ρp son las densidad
del aire y la celulosa respectivamente, Cd es el coeficiente
de arrastre igual a 0.4 para una esfera, g es la aceleración de la gravedad, r es el radio de la pelota, y A su
área superficial. Calcule el cambio relativo en la fuerza de
arrastre con el cambio del diámetro de la pelota.
3
5. La cantidad S de sangre en mm por segundo que puede
pasar por una arteria de radio r es modelada mediante la
ecuación S = kr4 , donde k es una constante positiva. Si
debido a la acumulación de grasa, el radio de una arteria
se disminuye en un 10 %, calcule el cambio porcentual en la
cantidad de sangre que puede circular por la arteria.
Febrero, 2014. Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
6. El diámetro interior de un tanque cilíndrico de altura 10
metros se mide con un error porcentual de 1 %.
a) ¿Cuál es el error porcentual máximo correspondiente al
cálculo del volumen del tanque?
b) ¿Con qué precisión se debe realizar la medición del radio
interno, si se desea un error relativo de menos del 0.1 %
en el volumen del tanque.
7. La frecuencia de vibraciones de una cuerda de violín, y por
tanto el tono del sonido producido, está dada por
s
T
1
f=
2L ρ
donde L es la longitud de la cuerda, T es la tensión, y ρ es la
densidad lineal de la cuerda. Calcule las derivadas de f con
respecto a T , ρ y L. Use los signos de las derivadas halladas
para responder:
a) Qué le pasa a f cuando se tensiona más la cuerda?
b) Qué le pasa a f cuando se pone un dedo sobre la cuerda
y por tanto se reduce L?
c) Qué le pasa a f si se usa una cuerda menos densa?
Utilice diferenciales para estimar el cambio relativo ∆f /f si:
a) se aumenta la tensión en un 10 %,
b) se reduce la longitud de la cuerda en un 20 %
8. La figura muestra un proyectil que se lanza con velocidad
inicial v a un ángulo a. La altura máxima que alcanza el
proyectil está dada por:
v
a
H
H=
L
v2
sin2 (a)
g
Suponga que se usa v = 20m/s y g = 9,8m/s2 , y a =
π/4. Si estas variables se miden con errores de ∆v, ∆g y
∆a respectivamente, ¿cuál de los errores produce un error
relativo ∆H/H mayor en la estimación de H?
Tasas de cambio relacionadas.
N 9. Si al inflar una bomba esférica, en un momento tiene 10 cm
de radio, y su radio crece a una tasa de 2 cm/seg, ¿a qué
tasa le está entrando aire?
10. El modelo Mosteller para el área superficial de la piel de una
persona está dado por
√
hw
S=
60
donde S área de la piel en m2 , h es la altura de la persona
en cm y w su peso en kilogramos. Suponga que en este
momento usted está perdiendo peso a razón de 4 kilogramos
por semana.
a) ¿Qué tan rápido decrece su área superficial?
b) Suponga que las estrías se forman cuando el área superficial de la piel aumenta más rápido que 0.1 m2 por día.
¿Cómo puede usted controlar su peso para evitar la formación de estrías?
el suelo satisface:
tan θ =
v2
,
gr
donde g es la aceleración de la gravedad.
N 11. Una niña vuela una cometa a una altura de 80 metros, y el
viento la aleja horizontalmente a una velocidad de 8 metros
por segundo. ¿A qué velocidad debe soltar cuerda cuando se
han desenrollado 100 metros de piola?
12. De un filtro cónico de café caen 2 gotas esféricas de café
cada segundo, cada gota mide 5 milímetros de diámetro. El
café cae a una taza cilíndrica de 6 centímetros de diámetro
y 5 de alto. A qué velocidad sube el nivel del café cuando la
tasa está medio llena.
13. Una escalera de 3 metros reposa sobre una pared vertical
formando un ángulo de 15◦ con la pared. Si el extremo inferior
se hala horizontalmente a una velocidad de medio metro por
segundo de manera que el extremo superior no se despegue
de la pared, calcule:
a) ¿A qué velocidad baja el extremo superior de la escalera?
b) ¿A qué velocidad disminuye el ángulo que la escalera forma con el piso?
c) ¿A qué altura estará el extremo superior de la escalera
cuando éste punto alcanza la velocidad del sonido?
N 14. El tiempo de circulación de la sangre en los mamíferos (es
decir el tiempo en que tarda la sangre en circular y volver al
corazón) es proporcional a la raíz cuarta del peso del mamífero. Usando unidades de Kg y segundos, para el peso y el
tiempo de circulación, respectivamente, se sabe que la constante de proporcionalidad es igual a 17.40. ¿Cuál es el tiempo
de circulación en su cuerpo? Si un niño en etapa de desarrollo
normal pesa 45 Kg y crece a una tasa de 0.1 Kg por mes, ¿a
qué velocidad cambia su tiempo de circulación?
N 15. La potencia P (en Watts) requerida para montar en bicicleta
en una carretera con pendiente s y a velocidad v en m/s es:
P = mgv(k1 + s) + k2 v 3 .
Donde g es la aceleración de la gravedad (= 10 m/s2 ), m es
la masa de la bicicleta más la masa de la persona (digamos =
85 Kg), k1 es una constante que incluye todos los efectos por
fricción (≈ 0,0053) y k2 incluye los efectos por la resistencia
al aire (≈ 0,185 Kg/m). Si voy a 3 m/s en terreno plano,
¿a qué velocidad debo incrementar la potencia para alcanzar
una aceleración de 1m/s2 ?. ¿Y si voy a la misma velocidad
en una pendiente del 10 %? ¿Y si voy en terreno plano pero
a 7 m/s?
N 16. Si un ciclista viaja a un a velocidad v y quiere voltear una
curva de radio r, el ángulo θ que debe formar la bicicleta con
Si el ciclista que se muestra en la foto está dando una curva
de 2 metros de radio a una velocidad de 25 Km/h y quiere desacelerar 1 Km/h cada segundo, entonces ¿cómo debe
cambiar su inclinación?
F 17. Dos carretas están unidas por un lazo de 8 metros de largo
que pasa por una polea a 2 metros sobre el nivel de las carretas. Si la carreta A se hala a una velocidad de 1 m/s, ¿a
qué velocidad se mueve la carreta B en el momento en que
la distancia entre la carreta A y la polea es 4 metros?
A
B
F 18. Si el minutero de un reloj mide 12 cms y el horario mide 6
cms. ¿A qué velocidad cambia la distancia entre sus puntas
cuando el reloj marca las 3:30 PM ?
19. Un avión vuela a una velocidad constante de 300 km/h,
pasa sobre una estación de radar a una altitud de 1 km e
inmediatamente asciende formando un ángulo de 30◦ con
la horizontal ¿Con qué razón aumenta la distancia entre el
avión y la estación de radar 1 min más tarde?
√
20. Una partícula se mueve a lo largo de la curva y = x.
Cuando la partícula pasa por el punto (4, 2), su coordenada
x aumenta a razón de 3 cm/s. ¿Qué tan rápido cambia la
distancia de la partícula al origen en ese instante?
21. Los extremos de la artesa mostrada son triángulos isósceles
de 2 pies de altura. Si la artesa se llena con agua a razón de
12 pies3 /min, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando
ésta tiene 6 pulgadas de profundidad?
F 22. El transbordador espacial Endeavor se desplaza a una velocidad de 27870 Km/h. Al momento del despegue, su masa
es de 2,28 × 106 Kg, sin embargo, su masa va disminuyendo
a medida que usa su combustible: el motor quema oxigeno líquido de densidad 1141 Kg/m3 , a una tasa de 1340 litros por
segundo. Calcule la tasa de cambio de la fuerza gravitacional
que la tierra ejerce sobre el trasbordador, en el momento en
que el cohete se encuentra a 20 Km de altura. Recuerde que
la fuerza gravitacional entre dos objetos de masas m y M
respectivamente, está dada por
F =
GmM
d2
3
m
donde G = 6,6738×10−11 Kgs
2 es la constate universal de la
gravitación, y d es la distancia entre sus centros de gravedad.
23. Un diamante de béisbol es
un cuadrado de 90 pies por
lado. Un bateador golpea la
pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de
24 pies/seg. ¿Con qué razón
disminuye su distancia a la
segunda base cuando está a
la mitad de la distancia de la
primera?
Respuestas al Taller 9.
1. a) V, b) V, c) V, d) V, e) F, f) F, g) V, h) F, i) F, j) F, k)
F, l) V
2.
3. P (t) = 45,5106 exp{50000/(45,5106 )t}
4. (ln 3, 7 − 3 ln 3)
5. a) H(0) = d, H 0 (0) = 0, b) positiva, decreciente, c) decrece,
d) H(d) > 0, H 0 (d) > 0.
6. Depende de la persona.
7. (y ◦ x)0 (2) = 6 m/h, [(y ◦ x)−1 ]0 (1200) = 1/6 h/m.
0
8. y 0 (t) = 150 − 10T , T (t) = 0,9t, y 0 (t) = 0,9y
p (T (t)).
π
9. a) tiempo cuando está mas lejos: (2k +1) 2 m/k, se mueve
p
p
más rápido en kπ m/k, aceleración máxima en 3π
m/k,
2
p
√
b)
2π m/k, c) dT /dmp
= π/ mk > 0, d) F (y) =
p periodo:−1
m/k sen √ (y/A), e) F 0 (y) = m/k(A2 − √
y 2 )−1/2 .
3π/4
10. k = e
/ 2 y son tangentes en x = (3π/4, 2/2).
11. dy/dx = (y 2 − 3x2 )/(3y 2 − 2xy), a) use la recta tangente,
b) y = 1,9945, c) es vertical en x = −0,88, x = 1,16, es
vertical en y = 0, y = 1,2.
12. df /dP = −4f (1 − f 2 )/(2P + 8f 2 P ) < 0
13. y = x + 1/2.
14. a) 106 , b) N 0 (t) es la velocidad de propagación de la epidemia, c) nunca se infectaron mas de un millón en un día,
pero hubo un día cuando la tasa de infección fue de 25000
personas por día.
15. dV /dP = (nb − V )/(−n2 aV −2 + 2n3 abV −3 + P )
16. drc /dL < 0, drc /dv > 0.