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TALES DE MILETO -625 / -547
Qalh<V o2 Milh'sioV
.- BREVÍSIMA RESEÑA DE QUIÉN ES TALES DE MILETO:
Tales (Qalh<V, Mileto c. 625 a.C. - Mileto c.547 a. C) es un filósofo y científico griego y uno de los Siete
Sabios de Grecia. Aunque se le atribuyen varias obras, lo más probable es que no dejara nada escrito.
Se le considera el primer hombre de occidente que trató de conocer la verdad del mundo existente mediante
explicaciones naturales y no míticas. Realizó numerosas e importantes aportaciones en el conocimiento de la
filosofía, matemáticas, física, astronomía y también fue legislador de su ciudad.
I.- UNA MEDICIÓN DE ALTURA: ¡LA ALTURA DE LA PIRÁMIDE DE KEOPS!:
Gracias al llamado Teorema de Tales o Primer Teorema de Tales, Tales logró medir la pirámide de Keops
con sólo un bastón y su sombra. El teorema dice así: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a
cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.”
1.- La historia:
Tales de Mileto visitó las pirámides egipcias de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos) y admirado ante tan
portentosos monumentos, se propuso medir la altura en vertical de la pirámide de Keops. Son varias las
versiones que cuentan lo que hizo y cómo lo hizo (Anexo I) y tradicionalmente, en todos estos textos, Tales
dejaba comprobada solamente la igualdad de ángulos entre triángulos semejantes; pero veremos en nuestra
traducción e interpretación que también comprobó la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes:
2.- Los diferentes datos:
1º.- Según Diógenes Laercio, Tales se colocó delante de la pirámide y esperó a que su propia sombra
midiera lo mismo que él; en ese momento, midió la sombra de la pirámide y, por lógica, esa sería la medida de
la vertical de la pirámide.
2º.- Según la interpretación tradicional, Tales colocó un bastón delante de la sombra de la pirámide y obtuvo
las medidas de ese nuevo triángulo, semejante al triángulo formado por la vertical de la pirámide y su sombra.
En ambas versiones hay que aceptar que los rayos del sol son paralelos y realmente sólo se puede deducir
la igualdad de los ángulos, pero no estrictamente la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes.
3º.- Veamos la referencia más antigua, dada por el historiador griego Plutarco en su obra Banquete de los
siete sabios, 147A y nuestra traducción:
kaì th<V puramídoV th>n métrhsin u2p erÍuw<V h1g áphsen, o7t i páshV a5n eu pragmateíaV kaì mhdenòV
o1r gánou dehqeìV a1l là th>n bakthrían sth's aV e1p í tv< pérati th<V skiâV h8n h2 puramìV e1p oíei, genoménwn
tñ< e1p aÍñ< th<V a1k tînoV dueîn trigw'n wn, e5d eixaV o8n h2 skià pròV th>n skiàn lógon ei3c e th>n puramída
pròV th>n bakthrían e5c ousan.
“Y se quedó admiradamente complacido con la medición de la pirámide, porque no habiendo hecho uso de
ninguna acción ni de ningún instrumento, sino habiendo puesto el bastón sobre la parte final de la sombra que daba
la pirámide, formándose dos triángulos en el contacto del rayo, demostraste la razón que tenía la sombra con
respecto a la sombra, que tiene como razón a la pirámide con respecto al bastón.”
Según cuenta Plutarco, Tales colocó un palo o bastón (llamado gnomon gnw‘mwn) en vertical cuando la
sombra del bastón y de la pirámide eran perpendiculares a la pirámide. Entonces,
A.- midió el gnomon (h) y su sombra (s);
B.- midió la base de la pirámide y la sombra de ésta. Sumó la mitad de la base y la sombra (S);
C.- observó que el bastón era una línea paralela a la vertical de la pirámide (con lo que se superponían dos
triángulos rectángulos) y así este hecho demostraba:
1º.- Ángulos iguales: que necesariamente estos 2 triángulos tenían 3 ángulos iguales. (Anexo I)
2º.- Lados proporcionales: que la relación entre sus lados era la misma. (Véase Anexo II)
D.- estableció la relación entre la sombra de la pirámide y la del gnomon: S/s = l; (Anexo III)
E.- pues ya sólo multiplicó la longitud del gnomon (h) por la relación obtenida anteriormente (l) y ya
obtuvo la altura de la pirámide (H):
h*l = H.
F.- Por desgracia no tenemos los datos numéricos de sus cálculos ;.
ANEXO I - LAS DIFERENTES VERSIONES DE CÓMO TALES MIDIÓ LA PIRÁMIDE:
Caso 1º.- Según Diógenes Laercio:
Caso 2º.- La interpretación tradicional:
Cuando la altura del propio Tales era la misma que su Colocando el bastón fuera del triángulo de la sombra
sombra, entonces midió la sombra de la pirámide:
de la pirámide:
Caso 3º.- Nuestra traducción e interpretación:
*
*
*
*
*
Cuando la sombra de la pirámide era perpendicular a un
lado de sí misma, interpuso el bastón paralelamente a la
vertical de la pirámide, por lo que obtuvo los siguientes
datos:
h (la altura del gnomon o bastón).
s (la sombra del gnomon).
S (la mitad de la base + la sombra de la pirámide).
R (rayo de sol que forma la hipotenusa de la vertical de la pirámide y su sombra).
r (rayo de sol que forma la hipotenusa de la vertical del bastón y su sombra).
Además, en esta interpretación, es notorio que los tres ángulos de los dos triángulos son los mismos:
(Recordemos que la suma de los 3 ángulos de un triángulo suman siempre 180º)
* El ángulo a es común a los dos triángulos, por lo que es el mismo: los dos ángulos a son iguales.
* El ángulo recto de cada triángulo es de 90º.
* Los ángulos b y b .‘ .. pues tienen que ser iguales:
b = 180º - 90º - a
| b=b ‘
b ' = 180º - 90º - a A
ANEXO II - LA PROPORCIONALIDAD DE LOS LADOS
1º.Tras darse cuenta de que la sombra de la pirámide y la sombra del bastón forman dos triángulos
semejantes con sus tres ángulos iguales (Anexo I), le era fácil concluir que si utiliza un bastón más largo o más
corto, también se ha de alargar o acortar el otro cateto y la hipotenusa. Pero hay 2 posibilidades:
Caso 1º.-
Alargando o cortando en una cantidad fija. Téngase (como decían los griegos) un triángulo
rectángulo de 3, 4 y 5 unidades de lado. Si sumamos la misma cantidad a cada lado, por
ejemplo, 1.44, obtenemos un triángulo de 4.44, 5.44 y 6.44. Pero, ¿sería un triángulo semejante
y rectángulo? Comprobémoslo aplicando el Teorema de Pitágoras:
Caso 2º.-
Alargando o cortando en un porcentaje fijo. Téngase un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5
unidades de lado. Si sumamos a cada lado una misma proporción, por ejemplo, 0.48 veces más
largo, obtenemos un triángulo de:
3 + (3 * 0.48) = 3 + 1.44 = 4.44
4 + (4 * 0.48) = 4 + 1.92 = 5.92
5 + (5 * 0.48) = 5 + 2.4
= 7.4
Pero, ¿sería un triángulo semejante y rectángulo? Comprobémoslo aplicando el Teorema de
Pitágoras:
Caso 1º
Triángulo original Triángulo alargado con una cantidad fija:
+1.44
(3 - 4 - 5):
(4.44 - 5.44 - 6.44):
| 52 =
32 + 42
| 5
=
| 5
| 6.442
Caso 2º
Triángulo alargado con una razón
fija: + (lado*0.48)
(4.44 - 5.92 - 7.4):
=? 4.442 + 5.442
| 7.42
=? 4.442 + 5.922
o(32 + 42) | 6.44
=? o(4.442 + 5.442)
| 7.4
=? o(4.442 + 5.922)
=
o(9 + 16) | 6.44
=? o(19.7136 + 29.5936)
| 7.4
=? o(19.7136 + 35.0464)
| 5
=
o25
| 6.44
=? o49.3072
| 7.4
=? o54.76
| 5
=
5
| 6.44
=? 7.021908572
| 7.4
=? 7.4
| ¡ NO !
¡NO es un triángulo semejante ni rectángulo!
| ¡ SÍ !
¡SÍ es un triángulo semejante y
rectángulo!
Conclusión del caso 1º:
Como los tres lados NO son iguales, no pueden alargarse o acortarse en la
misma cantidad fija porque se desharía el triángulo rectángulo y dejarían de ser
triángulos semejantes.
Conclusión del caso 2º:
Los dos triángulos se mantienen rectángulos y proporcionales a lo que cada
lado mide, por lo que son triángulos semejantes.
Conclusión común y final:
Lo que es común a los tres lados no es la cantidad fija, sino el lógoV, la
proporción, el porcentaje, la razón o la relación (l).
ANEXO III.- LA MEDICIÓN DE LA PIRÁMIDE:
1º.- Como decíamos, si se alarga o acorta el bastón, también se alarga y se acorta proporcionalmente el resto
de los lados, por lo que los lados en común de los triángulos formados son proporcionados entre sí:
H
— =
h
S
— =
s
T
— = l1
t
h'
— =
h''
s'
— =
s''
t'
— = l2
t''
H
— =
h''
S
— =
s''
T
— = l3
t''
y así sucesivamente.
2º.- Así que:
* con los datos obtenidos en la medición de la pirámide, que eran S, s y h,
* y si
H
— =
h
S
— =
s
l
|
H
—=l
h
|
H =
l*h