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9.4
Inecuaciones Fraccionarias
e Irracionales
La razón de activo, RA, de un negocio se define como el cociente de sus activos circulantes
(efectivo, inventario de mercaderías y cuentas
por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (préstamos a corto plazo e impuestos). En cierto momento del año 2007 la compañía Ace Sports
Equipment, solicitó un préstamo de x millones
de dólares, para lo cual la entidad financiera
planteó que la razón de activo fuera:
RA = AC → 40 + x ≥ 2, 5 ;
PC
8+x
expresión llamada desigualdad fraccionaria.
4to Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue
igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en la RN para cada punto
encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta (<, >) o doble
(≥, ≤) respectivamente.
5to Paso.- Se anotan los signos (+) y (–) de los intervalos definidos por los puntos de corte del
numerador y de derecha a izquierda.
6to Paso.- La solución estará dada por las zonas (+) o (–) según la relación de desigualdad sea
(>, ≥) o (<, ≤).
Ejemplo.- Resolver:
2
x
≥1
2
x −x −2
Trasladando al primer miembro:
Reduciendo términos:
Factorizando cada término: 2
2
x+2 ≥0
x −x −2
2
x+2
≥0
( x + 1)( x − 2)
Los puntos de corte son: x + 2 = 0
9.4.1. Inecuación fraccionaria
2
x
− 1 ≥ 0 → x −2 x + x + 2 ≥ 0
x −x −2
x −x −2
2
; x+1=0 ; x–2=0
x = -2 ; x = -1 ;
x =2

extremos abiertos
En la recta real tenemos:
9.4.1A. Definición
Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente,
tal que Q(x) ≠ 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna
de las siguientes formas.
P( x ) < 0 ; P( x ) ≤ 0 ; P( x ) > 0 ; P( x ) ≥ 0
Q( x )
Q( x )
Q( x )
Q( x )
9.4.1B. Resolución de la Inecuación
Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el
ítem 9.3.3B, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación. Veamos:
1er Paso.- Al trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener
una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente principal positivo.
2do Paso.- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del
numerador y denominador.
3ero Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue
igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada
punto encontrado.
434
Álgebra
Elegimos las zonas positivas porque la relación es ≥, luego: CS = [-2; 1〉 ∪ 〈2; ∞〉
9.4.1C. Método de los puntos de referencia
C1. Fundamentos del método
El método de los puntos de referencia permite determinar las raíces de una inecuación de grado mayor o igual a 2 y se fundamenta en un algoritmo constituido por un conjunto de pasos
lógicamente estructurados y cuya secuencia garantiza la identificación de todas las raíces de
una inecuación de 2do grado e incluso de grado superior.
C2. Aplicaciones
Este algoritmo se emplea para resolver inecuaciones fraccionarias, es decir, de la forma
P( x ) > 0 (< 0), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como
Q( x )
por ejemplo:
2
2
4x − 1 > 0 ; ( x − 3) ( x + 1) < 0 ; x3 − 4x + 3 > 0
2
7
3
x + 3x
x ( x + 2)
Und. 9 Inecuaciones
435
C3. Descripción del método
El método está constituido de los siguientes pasos:
1er Paso.- Expresar la desigualdad racional P( x ) > 0 (< 0), con los polinomios P(x) y Q(x) facQ( x )
torizados.
2do Paso.- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con pequeños redondeles en la recta numérica real. Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada
uno de los factores de P(x) y Q(x).
3er Paso.- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará
por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad*
impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se
queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta.
4to Paso.- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad:
i) P( x ) > 0 , se consideran los intervalos ubicados sobre la recta.
Q( x )
ii) P( x ) < 0 , se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta.
Q( x )
La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada.
* La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto
solución. Este número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz.
2
Ejemplo 1.- Resolver: (x −7 3) (x +31) < 0
x (x + 2)
Observa que 3 es una raíz de multiplicidad par: (x – 3)2, por tal razón, aquí la curva queda del
mismo lado («rebota»), en cambio en las demás, la curva cruza la recta.
4to. Paso.- Dado que el sentido de la desigualdad de nuestro ejemplo es <, el conjunto solución vendrá dado por la unión de todos los intervalos ubicados debajo de la recta, los cuales
hemos señalado como regiones sombreadas:
〈-∞; -2〉 y 〈-1; 0〉
Luego tenemos que: C.S = 〈-∞; -2〉 ∪ 〈-1; 0〉
Aclaremos, también, que en caso de desigualdades racionales no estrictas P( x ) ≥ 0 ó bien
Q( x )
P( x )
≤ 0, las raíces reales del numerador se marcan con redondeles sombreados y se incluyen
Q( x )
en la solución.
2
Con el propósito de esquematizar el procedimiento, te presentamos la resolución así:
1er Paso.- En la inecuación dada ya se cumple con la primera condición pues se observa que
el numerador y denominador están factorizados.
( x − 3)( x + 2)( x − 5)( x − 1) ≥ 0
( x − 3)( x − 1)
2do Paso.- Determinamos las raíces:
a) Las raíces reales del numerador son:
a1. (x – 3)2 = 0 → x = 3 (multiplicidad par)
a2. (x + 1) = 0 → x = -1 (multiplicidad impar)
Factorizamos
los términos
b) Las raíces reales del denominador son:
b2. (x + 2)3 = 0 → x = -2 (multiplicidad impar)
3er Paso.- Trazamos la curva por todos los redondeles:
436
Álgebra
Reducimos la expresión reconociendo que:
a) x – 3 ≠ 0 → x ≠ 3
b) x – 1 ≠ 0 → x ≠ 1
Elaboramos la
gráfica
( x - 3)( x + 2)( x - 5)( x - 1)
≥0
( x - 3) ( x - 1)
b1. x7 = 0 → x = 0 (multiplicidad impar)
c) Ubicación de las raíces encontradas sobre la recta numérica:
2
Ejemplo 2.- Resolver: ( x − x − 6)( x − 6 x + 5) ³ 0
2
x − 4x + 3
Identificamos
las
raíces
→ (x + 2)(x – 5) ≥ 0
x + 2 = 0 → x = -2
x – 5 = 0 → x = 5
Und. 9 Inecuaciones
Sombreamos por arriba ya que el
sentido de la desigualdad ≥, es
hacia la derecha.
Reconocemos
los intervalos
437
De este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de
modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada. Por tanto:
C.S = 〈-∞; 2] ∪ [5; +∞〉 – {1}
Prob. 01.- Resolver: 2 x − 1 > 1
9.4.2. Inecuaciones con radicales
x +1
Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m ∈ N | m ≥ 2,
A) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈1; ∞〉 B) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈3; ∞〉 C) 〈-∞; -1/2〉 ∪ 〈1; ∞〉
Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna
de las siguientes formas:
D) 〈-∞; 1〉 ∪ 〈2; ∞〉 E) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈2; ∞〉
m F(x ) >
H(x ) ;
m F(x ) <
H(x ) ;
m F(x )
≥ H(x )
∨
m F(x )
≤ H(x )
9.4.3. Resolución de una inecuación con radicales
Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo
radical y al signo de relación.
9.4.3A. Si:
2n F(x )
> H( x )
La resolución considera dos casos, veamos:
Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos:
2x − 1 − 1 > 0 → x − 2 > 0
x+1
x+1
Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el 2º paso, se procede a
determinar los puntos de corte. Veamos:
x–2=0; x+1=0 →
ptos: 2 y -1
En la recta numérica:
Caso (A): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) ≥ 0 ∧ F(x) > [H (x)]2n
De donde se consigue: x ∈ 〈–∞; -1〉 ∪ 〈2; ∞〉 Rpta. E
Caso (B): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) < 0
Nota. Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador. Asimismo,
2 es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>).
Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos.
Prob. 02.- Resolver:
9.4.3B. Si : 2n F(x ) < H( x )
La resolución plantea: F(x) ≥ 0 ∧ H(x) > 0 ∧ F(x) < [H(x)]2n
9.4.3C. Si :
2n + 1
F(x ) > H( x )
La resolución plantea: F(x) > [H(x)]
9.4.3D. Si :
2n + 1
A) 〈-2; 0〉 ∪ 〈1/3; ∞〉 B) 〈-2; -1〉 ∪ 〈3; ∞〉 C) 〈-3; -2〉 ∪ 〈1/2; 2〉
D) 〈-2; -1〉 ∪ 〈-1/3; 1〉 E) 〈-1; 1〉 ∪ 〈2; 3〉
2n + 1
F( x ) < ( x )
Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene:
La resolución plantea: F(x) < [H(x)]2n + 1
Álgebra
2 + 3 − 5 <0
x−1 x+1 x+2
2( x + 1)( x + 2 ) + 3( x − 1)( x + 2 ) − 5( x − 1)( x + 1)
<0
( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
Observación.- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna restricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo
radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta
los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí.
438
2 + 3 < 5
x −1 x +1 x + 2
2
2
2
2( x + 3x + 2 ) + 3( x + x − 2 ) − 5( x − 1)
<0
( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
Und. 9 Inecuaciones
439
Efectuando obtenemos:
3( 3x + 1)
<0
( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
Prob. 04.- Resolver: x + 3 ≤ x + 2
x +1
x+4
3x + 1
Observar que: 3 > 0, luego: ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) < 0
A) 〈-∞; -1〉 ∪ [4; ∞〉 B) 〈-∞; -4〉 ∪ [-5/2; 1〉 C) 〈-∞; -4〉 ∪ 〈5/2; ∞〉
Los puntos de corte son: -1/3 ; 1 ; -1 ∧ -2
D) 〈-∞; -10〉 ∪ [-2; ∞〉 E) 〈-∞; -1〉 ∪ [3; ∞〉
En la recta numérica los intervalos solución están dados por las zonas (–) porque el signo
de relación es estricto (<):
Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: x + 3 − x + 2 ≤ 0
x +1
Efectuando tenemos:
2( 2 x + 5)
≤0
( x + 1)( x + 4 )
Dado que: 2 > 0, podemos simplificarlo:
2x + 5
≤0
( x + 1)( x + 4 )
De donde obtenemos: x ∈ 〈-2; -1〉 ∪ 〈-1/3; 1〉 Rpta. D
2
Prob. 03.- Resolver: x 2 + 3x − 4 ≥ 1
x − 2x − 8
para luego indicar la suma del mayor entero negativo «x» con el menor entero positivo «x».
x+4
Los puntos de corte son: -5/2 ; -1 y -4
Ya que -5/2 es un cero del numerador y la desigualdad es doble, le corresponde un redondel negro, es decir es un extremo cerrado. Luego, elaborando la gráfica, se tiene:
A) 4 B) -1 C) 35 D) 6 E) 2
La inecuación dada es:
2
x + 3x − 4 − 1 ≥ 0
2
x − 2x − 8
5x + 4 ≥ 0
Efectuando operaciones tenemos: 2
x − 2x − 8
Factorizando los términos queda:
5x + 4
≥0
( x − 4 )( x + 2 )
De donde conseguimos: x ∈ 〈-∞; -4〉 ∪ [-5/2; 1〉 Rpta. B
Prob. 05.- Resolver:
2
x −x−2 < 2
A) 〈-3; -2〉 ∪ 〈1; 5〉 B) 〈-3; -1〉 ∪ 〈2; 5〉 C) 〈-2; -1〉 ∪ [2; 3〉
D) 〈-3; 1〉 ∪ 〈2; ∞〉 E) 〈-3; -1〉 ∪ 〈3; 5〉
Los puntos de corte son: -4/5 ; 4 y -2
Observar que en la recta los puntos 4 y -2 son los extremos para intervalos abiertos, mientras que el punto -4/5 es extremo cerrado.
Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo
2n
F( x ) > H( x ) , se tiene:
{x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 2 < 22}
Es decir: {x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 6 < 0}
Notamos que el mayor entero negativo «x» es: xmáx = -1
Asimismo el menor entero positivo «x» es:
\
440
Álgebra
xmín = 5
xmáx + xmín= 4 Rpta. A
De donde tenemos: {(x – 2)(x + 1) ≥ 0 ∧ 2 > 0 } ∧ {(x – 3)(x + 2) < 0}
Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y 2
Para la 2da condición se determinan los puntos de corte: -2 y 3
Und. 9 Inecuaciones
441
Elaborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene
al intersectar los intervalos solución de cada condición. Veamos:
La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolución se planteará lo siguiente:
Finalmente la intersección viene dada por:
Caso (A): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0 ∧ 2x – 1 > 9
x ≥ 1/2 ∧ R ∧ x > 5
De donde intersectando conseguimos: x > 5 ↔ x ∈ 〈5; ∞〉
\ x ∈ 〈-2; -1] ∪ [2; 3〉 Rpta. C
Prob. 06.- Resolver:
3
3
x − 1 > x −1
A) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈2; ∞〉 B) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉 C) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈3; ∞〉
Caso (B): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 < 0
x ≥ 1 ∧ ∅ (Absurdo)
De donde intersectando conseguimos: x ∈ ∅
D) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉 E) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈3; ∞〉
Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos (A) y (B),
veamos:
x ∈ 〈5; ∞〉 ∪ ∅ \ x ∈ 〈5; ∞〉 Rpta. A
Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo
2n + 1
F( x ) > H( x ) , se tiene:
Prob. 08.- Resolver: 2 x + 3 > x + 1
La inecuación dada es:
3
3
x −1 > x−1
Elevando al cubo tenemos: x3 – 1 > x3 – 3x2 + 3x – 1
Reduciendo conseguimos:
3x2 – 3x > 0
Factorizando obtenemos:
3x(x – 1) > 0
Observar que: 3 > 0
Luego: x(x – 1) > 0
Los puntos de corte son: 0 y 1
En la recta numérica:
De donde se consigue: x ∈ 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉 Rpta. B
Prob. 07.- Resolver:
2x −1 > 3
A) [-2; 5〉 ∪ 〈6; ∞〉 B) 〈-∞; -3/2〉 C) 〈-∞; -2〉 ∪ [4; ∞〉
D) 〈-∞; 3〉 ∪ 〈5; ∞〉 E) [-3/2;
2〉
De acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 9.4.3A. para resolver la inecuación
dada se procede de la siguiente manera:
Caso (A): {2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {2x + 3 > x2 + 2x + 1}
{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {x2 – 2 < 0}
{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {(x +
2 )(x –
2 ) < 0}
En la recta numérica: La intersección viene dada por:
A) 〈5; ∞〉 B) 〈-∞; 5〉 ∪ 〈8; ∞〉 C) 〈-∞; -5〉 ∪ 〈5; ∞〉
D) 〈-∞; 3〉 ∪ 〈5; ∞〉 E) 〈3; ∞〉
442
Álgebra
Und. 9 Inecuaciones
443
De donde se obtiene que: x ∈ [ -1; 2
Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que:
Caso (B): 2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 < 0
(x – 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R x2 – 2x + 1 ≥ 0
Intersectando en la recta numérica se tiene:
Sumando 1: x2 – 2x + 2 ≥ 1
2
Extrayendo raíz cuadrada: 2
− 2
x 
+ 2 +2 ≥ 1 + 2
Sumando 2 conseguimos: x
x ∈ [-3/2; -1〉
Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas
en los casos (A) y (B), es decir:
x ∈ [ -1; 2 ∪ [ -3/2; - 1 \ x ∈  -3/2; 2 Rpta. E
Prob. 09.- Resolver:
f(x) ≥ 3
\ f(x) mínimo = 3 Rpta. C
Prob. 11.- Resolver: 2 − x ≤ x +1
A) 〈1; 5] B) 〈-∞; -3〉 ∪ 〈4; ∞〉 C) [-1/2; 6〉 ∪ 〈7; ∞〉
2
−2 − x + x < 0
2
x −9
A) 〈1; 3〉 ∪ 〈3; 4〉 B) 〈2; 3〉 C) 〈-3; -1〉
D) 〈-3; -1〉 ∪ 〈2; 3〉 E) 〈-2; -1〉 ∪ 〈2; 4〉
D) [-1; 1/2] E) 〈-1; 2] ∪ 〈3; ∞〉
Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la
condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación
al cuadrado, veamos:
x − 2x + 2 ≥ 1
La inecuación dada se puede reescribir así:
2
En forma equivalente: –2 – x + x2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0
2 − x ≥ x + 1 → 2 – x ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ x + 1
2
-2 − x + x > 0 ∧ x − 9 < 0
x2 – x – 2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0
Factorizando cada polinomio del primer miembro:
x – 2 ≤ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2x – 1 ≤ 0
(x – 2)(x + 1) > 0 ∧ (x + 3)(x – 3) < 0
De donde tenemos: x ≤ 2 ∧ x ≥ -1 ∧ x ≤ 1/2
En la recta real:
∩
de la intersección: -3 < x < -1 ∨ 2 < x < 3 \ CS = 〈-3; -1〉 ∪ 〈2; 3〉 Rpta. D
\ x ∈ [–1; 1/2] Rpta. D
Prob. 12.- Resolver
2
Prob. 10.- Determinar el mínimo valor de f ( x) = x − 2 x + 2 + 2 ; x ∈ R
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)
444
Álgebra
3
15
7
x − 4 > 0 , dar como respuesta el complemento de su conjunto solución.
x +1
A) 〈-1; 4〉 B) 〈-4; 1〉 C) [-4; 1] D) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈4; ∞〉 E) [-1; 4]
Und. 9 Inecuaciones
445
La inecuación dada es: 15
7
x−4 >0
x+1
Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de
asimismo que el signo de
7
La inecuación dada es: 15 x − 4
es el mismo que el de x – 4,
x + 1 es el mismo que el de x + 1.
Según la teoría se cumple: 2 − 9 − x ≥ 0 ∧ 2 − 9 − x ≥ 1
9−x ≤ 2 ∧ 9−x ≤1

En forma equivalente:
Ahora la inecuación se puede reescribir así: x − 4 > 0
x+1
En la recta real: 2− 9−x ≥1
9−x ≤1
→ CS = 〈-∞; -1〉 ∪ 〈4; ∞〉
\ (CS)' = [-1; 4] Rpta. E
Prob. 13- Determinar el conjunto solución de la inecuación:
x < 16 − x
x −1
Ahora se cumple que: 9 – x ≥ 0 ∧ 9 – x ≤ 1
x≤9 ∧ x≥8

8≤x≤9
Fácilmente reconoceremos que los valores enteros que asume «x» son 8 y 9.
A) 〈1; 4〉 B) 〈1; 4〉 C) 〈0; 5〉 D) 〈2; 4〉 E) 〈3; 4]
\ Nº de valores = 2 Rpta. A
De acuerdo con la teoría, se cumple que: x ≥ 0 ∧ 16 − x ≥ 0 ∧ x < 16 − x
x
−
1 
x−1

Prob. 15.- Resolver:
por -1
3
2
x−2 ⋅ x −9 ≥ 0
A) [3; ∞〉 B) [2; ∞〉 C) [9; ∞〉 D) [3; 9] E) [3; ∞〉 ∪ {2}
x ≥ 0 ∧ x − 16 ≤ 0 ∧ x − 16 − x < 0
x−1
x−1
2
x ≥ 0 ∧ x − 16 ≤ 0 ∧ x − x − 16 + x < 0
x−1
x−1
La inecuación dada es: 3
2
x−2 ⋅ x −9 ≥ 0
x ≥ 0 ∧ x − 16 ≤ 0 ∧ x − 16 < 0
x−1
x−1
De acuerdo con el conjunto de valores admisibles (CVA) en R para el radical de índice par
debemos plantear:
x – 2 ≥ 0 ↔ x ≥ 2
( x + 4 )( x − 4 )
x ≥ 0 ∧ x − 16 ≤ 0 ∧
<0
x−1
x−1
Ahora la inecuación:
2
(x ≥ 0) ∧ (1 < x ≤ 16) ∧ (x < -4 ∨ 1 < x < 4)
De la intersección: 1 < x < 4 \ CS = 〈1; 4〉 Rpta. A
Prob. 14.- Determinar la cantidad de valores enteros que asume x en la siguiente inecuación:
2 − 9 − x ≥1
3
2
x−2 ⋅ x −9 ≥ 0
Se puede reescribir así: 3
2
x − 9 ≥ 0 ; ∀x ≥ 2
Elevando al cubo: x2 – 9 ≥ 0 → (x + 3)(x – 3) ≥ 0
En forma equivalente: x ≤ -3 ∨ x ≥ 3
Pero x ≥ 2, luego: x ≥ 3 ∨ x = 2 \ CS = [3; ∞〉 ∪ {2} Rpta. E
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
446
Álgebra
Und. 9 Inecuaciones
447
Práctica
10.- Resolver:
9.4. Inecuaciones
Fraccionarias e Irracionales
01.- Resolver: 4 x > 1
x +1
3 >4
05.- Resolver:
x−2
A) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈1/3; ∞〉
A) 〈2; 11/4〉
B) [2; 11/4〉
B) 〈-1; 1/3〉
D) ∅
E) R
C) 〈-∞; 1〉 ∪ 〈4/3; ∞〉
D) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈2/3; ∞〉
06.- Resolver: x 4 + 3 x 2 + x ≤ 1
x + 3x + 1
E) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈1/2; ∞〉
A) 〈3; 6〉
B) 〈-∞; 1] D) 〈0; 1〉
E) 〈0; 3]
5
02.- Resolver: 2 ≥ 4
x +1 x −1
A) 〈-3; 1〉 ∪ 〈1; ∞〉 B) 〈-∞; -3] ∪ 〈-1; 1〉
C) 〈-3; 1〉 D) 〈-3; -1] ∪ 〈1; 2〉
E) 〈-∞; -3] ∪ 〈-1; 1〉
3
A) [-4; -2〉 B) 〈-4; -2〉
B) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1/2; 1〉
C) 〈-∞; 1〉
A) 〈1/2; 0〉
B) ∅
C) 〈0; ∞〉
D) R
E) 〈-∞; -1/2〉 ∪ 〈0; ∞〉
x − 2 − 8
x − 1 x + 1 x2 − 1
es no negativa, ¿cuál es el intervalo al cual
pertenece «x»?
D) 〈1/2; 1〉 ∪ 〈1; ∞〉
E) 〈0; 1/4〉 ∪ 〈1/2; ∞〉
2
04.- Resolver: x 2 − x − 2 ≤ 0
x + x−2
luego indicar la cantidad de números enteros
«x» que verifiquen la inecuación.
A) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈-1; 1〉 ∪ 〈3; ∞〉
A) 1
B) 2
D) 4
E) Infinitos
Álgebra
C) [-3; -2〉
E) 〈-3; -5〉
09.- Si la expresión:
C) 3
A) x ≥ 1/2 B) x > 1
D) x > 3
E) x > 0
C) x ≥ 2
2
11.- Resolver:
x − 1 > -4
la siguiente inecuación:
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
3
3
x − 7 < x −1 ?
C) 3
A) 〈-1; 1〉 B) 〈-∞; 0〉
18.- Resolver:
C) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈1; ∞〉 D) 〈1; ∞〉
A) [4; 11]
B) [15/2; 11] C) [4; 15/2]
E) 〈-∞; -1] ∪ [1; ∞〉
D) [2; 15/2]
E) ∅
2
12.- Resolver:
x − x − 12 > x
A) R
B) ∅
D) 〈-∞; -3]
E) 〈-∞; -3〉
13.- Resolver:
08.- Resolver: 4 − 3 x > 2 − 7
x
x
A) 〈0; 1/2〉 ∪ 〈1; ∞〉
448
C) 〈-1; 2〉
07.- Indicar un intervalo solución de:
x + 3 > x +1
x+4 x+2
D) 〈-∞; -4〉
03.- Resolver: 2 + 3 > 1
x −1 x x
C) 〈2; 11/4]
17.- ¿Cuántos números enteros «x» verifican
2x −1 > 1
C) 〈-∞; 0]
C) 〈-2/3; 2/3〉 D) 〈-2/3; 2/3]
E) 〈-∞; 2/3〉
2
14.- Resolver x − 5 x + 4 < 2 , para luego
indicar la cantidad de números enteros positivos «x» que verifican la inecuación.
D) 4
E) 5
C) 3
2
15.- Resolver:
x − x − 2 < -5
A) 〈-1; 2〉 B) 〈-2; 1〉
C) 〈-∞; -1] ∪ [2; ∞〉 D) ∅
E) 〈-∞; -2] ∪ [1; ∞〉
3
A) R – [-2; 3] B) R – [2; 3]
E) R – [2; 9]
A) [-2/3; 2/3] B) [-2/3; 2/3〉
B) 2
19.- Resolver: x − 3 > 0
x+2
C) R – [-3; 2] D) R – [1; 5]
3x + 2 < 2
A) 1
x − 4 ≤ 11 − x
3
2
20.- Al resolver: x 2 − 2 x + 3 > -3 , se obtiene:
x − 4x + 3
–
A) R
B) R– ∪ 〈2; 3〉
C) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈3/2; 2〉
D) R – 〈1; 3〉
E) 〈-∞; 1〉 ∪ 〈3/2; 2〉 ∪ 〈3; ∞〉
(
)(
)( )
21.- Resolver: x + 7 x + 111 x + 2 ≤ 0
( x − 1)
4
A) ∅
B) R
D) [-3; 1〉
E) [-2; 1〉
16.- Resolver:
C) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈1; ∞〉
A) [-2; 0] B) [-2; 0〉
D) 〈∞; -2] ∪ 〈-1; 3〉 – {1}
C) 〈-∞; -2] ∪ [0; ∞〉 D) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈0; ∞〉
A) 〈-n; n〉
B) 〈n; 3n〉
E) [-2; -1〉 ∪ 〈1; 3〉
E) 〈-∞; -1] ∪ [1; ∞〉
D) 〈n; 3n]
E) [3n; ∞〉
Und. 9 Inecuaciones
7
C) [-3; -1〉
22.- Un intervalo solución de:
B) 〈-∞; -2] ∪ 〈-1; 1〉 ∪ [3; ∞〉
x +8 ≤ x+ 2
6
2
x ≤ 8 x + 2n ; n > 0 es:
x − n x2 − n2 x + n
C) [3n; ∞〉
449
A) x ∈ [-3; 0〉 ∪ 〈2; 3〉
23.- Resolver: x − 2 ≤ x + 1
x + 2 x −1
B) x ∈ [-2; 0〉 ∪ [2; 3]
A) x ∈ 〈-2; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉
C) x ∈ [-2; 1〉 ∪ 〈2; 3]
B) x ∈ 〈-2; 1〉
D) x ∈ [-3; 0〉 ∪ [1; 2]
C) x ∈ 〈-1; 1〉 ∪ 〈2; ∞〉
E) ∅
D) x ∈ 〈-1; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉
2
29.- Resolver: 2 x − 1 > x − 3 x + 3 ≥ 0
E) x ∈ ∅
24.- Si: 0 > b > a, resolver: ax + b ≥ -1
bx + a
A) x ∈ 〈-∞; -a/b〉 ∪ [-1; ∞〉
D) x > -5/3 ∪ x < 1
C) x ∈ 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; a/b〉
E) x > 1
D) x ∈ 〈-∞; -a/b〉 ∪ 〈1; ∞〉
{
2
}
25.- Dado: M = x ∈  | x − 9 ≤ 4 , indique
el cardinal de «M».
A) 4
B) 2
D) 6
E) 8
B) 1
C) 3
E) -3
27.- Resolver:
B) 〈-2; 3〉
D) 〈18/5; 4]
E) [2; 18/5〉
C) 〈2; 3〉
28.- Resolver:
( x − 6 ) ( x3 − 8 ) ( x + 3)15 3 x − 1
≥0
( x − 4 )9 ( x + 4 )10 ( x3 − 64 ) x ( 5 − x )
Álgebra
D) 〈2; 4〉
F A
.
.
B) 〈2; ∞〉
.
C) 〈-2; 4〉
E) 〈0; ∞〉
B
.
.
.
Claves:
x−2 < 2
4− x
A) 〈-∞; 4]
450
2x x − 2 − 4 x − 2 > 1
x − 2 ( x − 4)
A) 〈4; ∞〉
26.- Al resolver: 2 − x − x > -5 indicar el
producto del menor con el mayor entero «x».
D) 0
30.- Determinar el intervalo formado por los
valores de «x» que satisfacen la siguiente
inecuación:
C) 3
2
A) -2
B) x > 1/5 ∪ x < 3/4
C) x > -2/3 ∪ x < 1
B) x ∈ 〈1; a/b〉
E) R
A) x < -1/4 ∪ x > 1/3
01
A
02
B
03
A
04
B
05
A
06
B
07
D
08
E
09
B
10
B
11
E
12
D
13
B
14
B
15
D
16
C
17
B
18
C
19
A
20
E
21
E
22
D
23
A
24
A
25
D
26
A
27
E
28
D
29
E
30
A
( x
n
+y )