Download e números decimales

e números decimales
Cuando la gente abandona la galería, el crítico de arte aprovecha
para examinar los cuadros tranquilamente ante la expectante
mirada de Ester, su autora, y el oído atento del traductor.
— Guarda che bello! — musita el crítico ante un lienzo.
— ¿Qué dice de guardar qué? — pregunta nerviosa la pintora.
— No te preocupes, le gusta mucho — le tranquiliza el traductor.
Diccionario
De pronto el crítico enmudece. Se detiene ante un lienzo y lo repa­
sa minuciosamente. La joven pintora traga saliva. Y luego se
queda boquiabierta. El crítico acaba de sacar un objeto de su carte­
ra y se dispone a medir. ¡Es un compás áureo!
0
expectante: que espera con
curiosidad.
minuciosamente: con mucho
detalle.
artilugio: mecanismo de cierta
complicación.
desconcertada: sorprendida.
— ¿Qué extraño artilugio utiliza? — pregunta esta vez el traductor.
— Comprueba si he utilizado el Número de Oro en las proporciones
de los objetos que aparecen en el cuadro — responde Ester — .
En lugar de medir el largo de cada rectángulo y dividirlo entre el
ancho para comprobar si obtiene el Número de Oro, solo tiene que
abrir el compás y ver si todo encaja.
— Leonardo da Vinci, Dalí, Durero, Michdangeb, Velázquez! — exclama el
crítico italiano mientras mide y mide, habla y habla.
— Dice que es una obra maestra. Bella y perfecta, como la de todos
esos grandes artistas. Que has sabido utilizar el Número de Oro
creando figuras de gran armonía — aclara el traductor— . Propone
comprar toda tu obra y pagarte tantos millones de euros como el
Número de Oro con sus tres primeras cifras decimales.
La pintora acepta desconcertada y estrecha la mano del crítico.
— No sé si he hecho un buen trato — confiesa Ester al traductor, que
no recuerda las cifras del número en cuestión. Pero su cara se ilumi­
na cuando mira el cheque que le acaban de entregar— . ¡Sí!
P O N T E EN M A R C H A
¿Cuántas personas hablan italiano en la historia?
• Investiga y averigua cuál es el Número de Oro y calcula la cantidad
del cheque.
• La mayoría de los rectángulos que nos rodean guardan una propor­
ción que se conoce como “proporción divina”. Compruébalo
midiendo un DNI o una tarjeta de crédito.
¿Crees que a
todos nos parecen
bonitas las mismas
cosas? Explica las ven­
tajas de que tengamos
diferentes gustos.
EMBÁRCATE
en la unidad
Dividirás con números
decimales.
¡visiones con cociente
■
Para repartir 5 € entre 4 personas, dividimos 5 : 4.
Q Dividimos 5 unidades entre 4.
Q Escribimos una coma en el cociente, y dividimos 10 décimas
entre 4.
U
Q Como sobran 20 centésimas,
dividimos 20 entre 4.
d
U
d
c
[ u
5
1 4
5
1
1
1
/
,
0
,
5
I 4
1 , 2
0
1
2
Sobran 2 décimas,
que son 20 centésimas.
0
1
,
2
5
0
Como el resto es 0,
la división ha terminado.
m
¿Podemos repartir 6 € entre 9 personas de
manera exacta?
Q Como no podemos repartir 6
entre 9, escribimos un 0 en el
cociente.
| 4
0
2
Sobra 1 unidad que
son 10 décimas.
0
C
Escribimos una coma en el
cociente, y dividimos 60
décimas entre 9.
U
d
P£
h
@ Como sobran 60 centésimas,
dividimos 60 entre 9.
U
d
[ u
6
l
,
6
1 9
0
| 9
6
0
6
, 6
Sobran 6 décimas que
son 60 centésimas.
No se pueden repartir 6 € entre 9 personas de manera exacta.
Actividades
Divide hasta que el resto sea cero.
Í38
•
»
• •
•
:
2
1
3
4
:
5
:
5
3
5
0
6
,
0 66
/
0
Sobran 6 unidades
que son 60 décimas.
1
,
4
:
1
4
:
2
0
3
3
9
:
4
:
4
3
8
:
1
6
Podemos continuar
dividiendo, pero el resto
siempre es 6.
3
Expresa estas fracciones como divisiones y calcula el número
decimal que representa cada una.
CALCULO MENTAL
^ = 2 4 : 5 = 4,8
5
_3_
8
15
Sumar dos números
próximos
8
5
_3_
15 + 16
20
/ \
15 + 15 + 1
Resuelve estas divisiones exactas, y realiza la prueba para com­
probar que están bien hechas.
3 :8
11 : 4
18 : 12
V
(2 x 15) + 1
V30 + 1
39 : 26
V
31
Observa la división. Si siguieras dividiendo, ¿cuál sería el resto final?
10
D
U
3
4
4
d
0
4
c
5
5, 6 6
+
11
36 + 35
52 + 53
73 + 74
46 + 45
65 + 66
0
Divide hasta obtener 4 cifras decimales en el cociente.
• Observa los restos que vas obteniendo en cada caso. ¿Podrá
alguna de las divisiones ser exacta? Explica por qué.
Problemas
Germán y 4 amigos tienen 7 kg de setas, y las reparten a partes
¡guales. ¿Cuántos kilos le tocan a cada uno?
7 . Belén forró 12 libros de una colección con 6 m de plástico. Si
todos los libros son del mismo tamaño, ¿cuántos metros utilizó
para cada
¡BIEN HECHO!
Antón reparte 4 I de leche en
8 jarras iguales. ¿Cuánta leche
hay en cada jarra?
4, 0 [8_
0
8. Un entrenador reparte 3 I de agua entre los
12 jugadores del equipo. ¿Qué cantidad
de agua bebe cada jugador?
0,5
>En cada jarra hay medio litro
de leche.
Dividir un número decimal entre un número natura
1
Para repartir 25,75 kg de patatas en 5 sacos, dividimos
25,75 entre 5.
Q Dividimos 25 unidades entre 5.
D
U
d
c
2
5, 7
0
5
Q
|5,
5,
Dividimos las 7 décimas que
tenemos entre 5.
D
U
d
c
2
5, 7
0 7
5
|5
5,1
Escribimos una coma
en el cociente.
Sobran 2 décimas,
que son 20 centésimas.
Q Añadimos las 20 centésimas a
las 5 que teníamos en el divi­
dendo. Dividimos 25 entre 5.
D
U
d
c
2
5, 7
0 7
2
5
5, 1 5
5
0
\
Como el resto es 0, la
división ha terminado.
Para dividir un número decimal entre un número natural, dividimos como si los dos números fueran
naturales, pero al bajar la cifra de las décimas, escribimos una coma en el cociente.
Para dividir un número decimal entre 10,100,1.000... desplazamos la coma hacia la izquierda tantas posi­
ciones como ceros hay en 10, 100, 1.000...
42,5 : 10 = 4,25
42,5 : 100 = 0,425
42,5 : 1.000 = 0,0425
Para dividir un número decimal entre 10,100 ó 1.000, se desplaza la coma
a la izquierda 1, 2 ó 3 posiciones, es decir, tantas como ceros acompañan a la unidad.
Actividades
Divide.
34,3 : 7
10,8 : 9
96,5 : 5
57,2 : 4
80,3 : 11
171,2 : 16
10 Calcula estos cocientes.
1.701,25:5
189,48:12
18,768:6
164,128:23
Realiza estas divisiones y comprueba que están bien hechas.
826,2 : 9
23,64 : 12
456,4 : 14
3
12. Observa el ejemplo. Halla los términos de estas divisiones y rea*
liza la prueba.
D
U
( 8 ) HUELLAS MATEMÁTICAS
7, 3
2 3
5
5,2
D = 47,3
c = 5,2
d=9
r = 5 décimas = 0,5
En muchos objetos rectangula­
res como el DNI, al dividir el
largo del rectángulo entre el
ancho se obtiene un número
muy próximo a 1,618. Esta
proporción hace que las obras
de arte sean bellas y armóni­
cas. Leonardo da Vinci bautizó
a este número como el Número
de Oro.
D = d x c + r = (9 x 5,2) + 0,5 = 46,8 + 0,5 = 47,3
r ,:
9£ 7 :j P |
^34,22 : 1 l]
13 Averigua el divisor.
FO
93,7 : ... = 9,37
5.632 : ... =0,5632
Investiga más en:
: - 651,3 : . . . = 6,513
12,69 : ... =0,01269
C? 4,6 : ... = 0,46
r
74,8 : ... =0,748
I
www.e-sm.net/3MAT6
14 Resuelve las divisiones aproximando el dividendo antes de dividir,
como en el ejemplo.
5,76 : 3 —► 6 : 3 = 2
18,21:6
25,08:5
14,15:2
15,89:4
44,87:9
Calcula los cocientes hasta que obtengas tres cifras decimales.
Aproxímalos a las décimas.
16,3 : 3 7 „ ________ [ 280,2 : 9 f
i ------------- ■
j 728,8 : 6 1
18
Problemas
16 Si 3 kg de sepia cuestan 20,85 € , ¿cuánto cuesta un kilo?
Fran fue con 20 alumnos a ver una obra de teatro. Todas las
entradas costaron 201,60 € . ¿Cuánto costó cada una?
Observa las tarifas de
esta fotocopiadora. ¿Cuál
es el precio de una copia
en cada caso? ¿Cuál es
más barato?
10 copias: y
7
0,50 €■ 1.000 copias:i
20
v x
,
100 copias: 4 €
, ¡BIEN HECHO!
I
Un billete de tren de 10 viajes
cuesta 24,30 € . ¿Cuánto cues­
ta cada viaje?
€
24,30: 10 = 2,430 = 2,43
► Cada viaje cuesta 2,43 € .
A ’ 41*
•• V •
iones equivalentes
Si repartimos 4 1de agua en 16 vasos iguales, en cada
vaso hay 0,25 I de agua.
U
4, 0
8
0
0
L IA
0,2 5
¿Qué ocurre si ahora queremos repartir el doble de agua? ¿Y la mitad?
^
Para el doble de agua necesitamos el doble de
vasos.
Para la mitad de agua necesitamos la mitad de
vasos.
4 x 2 = 8 I de agua
4 : 2 = 2 I de agua
16 x 2 = 32 vasos
1 6 :2 = 8 vasos
U
U
8, 0
1 6
0
0
3 2
0,2 5
2, 0
4
En cada vaso hay
0,25 I de agua.
0
0
8
0,2 5
En cada vaso hay
0,25 I de agua.
Observa que en las tres divisiones el cociente es el mismo. Decimos que son divisiones equivalentes.
Dos divisiones equivalentes tienen el mismo cociente.
Para obtener divisiones equivalentes, multiplicamos o dividimos el dividendo
y el divisor por el mismo número.
Actividades
Sin resolver las divisiones, agrupa las que tienen el mismo cociente.
36 :12
28 :7 0
3.600:1.200
14:35
12:4
140:350
20 Escribe una división equivalente en cada caso.
12:35
120:64
27:36
1
Halla los cocientes de estas divisiones. ¿Cómo son? Completa
este esquema en tu cuaderno.
1 5 :1 0
42
•
• •
•
X " » 75 : 50
X " » 7,5 : 5
3
Copia y completa para que todas las divisiones sean equivalentes.
(s _36:
12
_ /
PARA PENSAR
1
4
4
:
7
3
2
:
: 3
°
Escribe en tu cuaderno el término que falta, en cada caso, para
que todas las divisiones sean equivalentes.
13 6
° 2’5
Continúa la serie con dos tér­
minos más.
480 : 64
118
— « |7 2
0 2, 5
° 2’5
240 : 32
VTN
5|
0 2, 5
60 : 8
120 : 16
2
Calcula los cocientes de estas divisiones. ¿Son iguales? Indica
qué operaciones hay que hacer para transformar una en otra.
26: 10
i
1
Problemas
Observa el precio de estas dos piscinas. ¿Podrías decir, sin dividir,
si un baño cuesta lo mismo en ambas piscinas? Explica por qué.
Piscina Olimpia
Abono de 10 baños
25 €
Piscina Neptuno
Abono de 30 baños
75 €
Para pintar 72 m2 de fachada se emplean 18 botes de pintura.
¿Cuántos metros cuadrados se pintan con un bote? Transforma la
división en otra más sencilla antes de resolverla.
¿Se ahorra dinero si se compran los abalorios en grandes canti­
dades? Resuelve el problema sin realizar divisiones.
500 cuentas
115 €
, ¡BIEN HECHO!
Sonia reparte 1,5 I de zumo en
6 vasos y Chema 3 I en 12 va­
sos. ¿Tienen todos los vasos la
misma cantidad de zumo?
Sonia —► 1,5 : 6
Chema
En un centro cultural pagaron 150 € por entradas de cine y 300 €
por entradas de teatro. Cada entrada de cine costaba 6 € y cada
entrada de teatro 12 €. ¿Fue el mismo número de personas a las
dos actividades? Averigúalo sin realizar operaciones.
3 : 12
)
X 2
• Sí, porque las divisiones
son equivalentes.
-
• • •
ividir entre números decimales
Para una carrera de relevos, se van a cortar piezas
de cartón de 0,25 m, de una barra de 10,5 m.
¿Cuántas piezas se pueden hacer?
Para calcularlo, dividimos 10,5 : 0,25.
Q Escribimos una división equivalente sin decimales en el divisor.
0
Resolvemos la división equi­
valente.
i— 10,5:0,25 — i
(xlO O)
(xl OO)
1.050 : 25
10 5 0 125
50 42
0
Multiplicamos el dividendo y el
divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como cifras
decimales tiene el divisor.
1.050 : 25 = 42
e yEscribimos
la operación inicial
el resultado.
1.050 : 25 = 42
100
10,5 : 0,25 = 42
El resultado es el mismo por­
que las divisiones equivalen­
tes tienen el mismo cociente.
Se pueden hacer 42 piezas.
Para dividir números decimales, transformamos la división en otra equivalente sin decimales en el
divisor. Desplazamos la coma en el dividendo tanto lugares como decimales tiene el divisor.
Actividades
Escribe la división equivalente necesaria para resolver estas divi­
siones.
r
3 : 0,2
r
~'r ”
1
30 Divide.
144 : 2,4
72 : 0,18
18 : 0,03
3,1 : 0,05
12,07 : 1,7
0,025 : 1,25
Completa en tu cuaderno.
16,8:0,12 = ... : 12 = ...
4,302:0,9=... : 9= ...
j
37,5:2,5 = 375:... = ... Q
|j,0 0 1 : 0,011 =1.001 : 11 = .. j
3
Copia y completa la tabla.
división
división equivalente
cociente
PARA PENSAR
9 : 0,06
Transforma el número 5 en el
número 10 con una sola ope­
ración, de dos maneras dis­
tintas.
46 : 2,3
1,05 : 1,5
4,38 : 0,002
Observa el ejemplo y completa.
.
&
r 39,1 : 0,01 =3.910
5 10
= 3^910 1
6,9 : 0,1
7,426 : 0,01
12,004 : 0,001
4,23 : 0,1
3 : 0,01
6,28 : 0,001
34 . Escribe con tus palabras una regla sencilla para calcular las divi­
siones de la actividad anterior. Compárala con la que ha escrito
tu compañero.
Problemas
Un carpintero necesita listones de 0,75 m para las patas de una
mesa. ¿Cuántos listones puede cortar de una pieza de 4,5 m?
36 En un paseo de 1.300 m se planta un árbol cada 6,5 m.
¿Cuántos árboles habrá en todo el paseo?
Belinda visita un museo con sus alumnos. Si paga 158,60 € por
todas las entradas, ¿cuántos alumnos son en total?
Entrada
13 €
Entrada
estudiante
10,40 €
■¡BIEN HECHO!
Alfonso reparte castañas en
paquetes de 0,3 kg. ¿Cuántos
paquetes podrá formar con
1,5 kg de castañas?
1,5 : 0,3 —► 15 : 3 = 5
Una carretilla con latas de 3,2 kg de pintura pesa 67,15 kg.
¿Cuántos latas hay si la carretilla vacía pesa 12,75 kg?
Podrá formar 5 paquetes.
i« í
ACTIVIDADES
Resuelve problemas
C alcu lar el valo r d e la unidad
En el polideportivo se organiza una competición de tenis de
mesa. Antes de comprar las pelotas, comparan distintos pre­
cios. ¿Qué formato es el más económico?
60 pelotas
27,60 €
Com prende
el enunciado
Resuelve
Copia las frases que son verdaderas en tu cuaderno.
- En el envase mayor hay 10 pelotas más que en el menor.
- Siempre tiene mejor precio el envase más grande.
- Tiene mejor precio el envase en el que se paga menos por cada
pelota.
¿Qué hay que averiguar para resolver este problema?
Calculamos el precio de una pelota.
2,88 : 6 = 0,48 €
11,25 : 25 = 0,45 €
27,60 : 60 = 0,46 €
Comparamos los tres precios: 0,45 < 0,46 < 0,48.
La pelota más barata es la del envase de 25 unidades
Solución
Comprueba
la solución
El paquete de 25 pelotas es el más económico.
Podemos utilizar la calculadora para comprobar si hemos realizado
correctamente las operaciones.
✓
Practica
También se comprarán refrescos. Se pueden comprar por uni­
dades, o en paquetes de 4, 6 ó 12 latas. ¿Qué envase es más
económico? ¿Cuánto costarán 300 latas con la mejor oferta?
40 Una marca de leche vende los dos tipos de envases del dibujo.
¿Cuál es el envase más económico? ¿Cuánto se ahorrará
Ricardo si compra 12 I con la mejor oferta?
1,5 I - ► 0,90 €
6 I - ► 3,48 €
A prende a aprender
Organiza la información
Copia y completa en tu cuaderno.
c
I
cociente decimal
-
U
LA P/V/S/ÓN PE NÚMEROS PEC/MALES
dividir un húmero decimal
^ ehtre uh húmero hatural /
-
d
5
D
i -----------
14
D U
2
d
c
5 ,7
5
15
i
divisiones
^equivalentes J
dividir números
decimales
/*■ 2 :8 = ...
: < I -------i 4 : 16 =0,25
X o{
V 8 : 32 = ...
0,63 : 0,7
C
x
6,3 : 7
= 0,9
Repasa
Inventa una frase con estas palabras.
Calcula.
VOCABULARIO
aproximar: obtener un resultado cercano al
exacto.
647: 100
103:10
49:1.000
0,3 : 0,001
0,27:0,1
12,6:0,01
Resuelve.
estimar: valorar algo,
(7,3 + 2,51) : 9
transformar: cambiar de forma.
¡T
___ ___ _
*
4,6 : 0,05 - 75
Divide hasta que el resto sea cero.
*
34 : 16
3 :6
*
'
3,74 : (7 - 4,8)
59 : 5
'
Halla los cocientes y realiza la prueba para com­
probar los resultados.
5,04:7
28,6:13
2,809:46
Copia estas divisiones en tu cuaderno y rodea las
que son equivalentes.
Ramiro utiliza 2,25 kg de masa para hacer 3 biz­
cochos ¡guales. ¿Cuánta masa emplea para cada
uno? ¿Cuánta utilizaría si tuviera el doble de ma­
sa para hacer el doble de bizcochos?
50 ¿Cuánto cuesta cada yogur?
1,60
|
5 :8
H 30: 42 H 4 S : 7 2 I I 1 5 : 2 4 j
Divide.
I6 04|l
10,5 : 0,021
JL
2,002 : 0,13
...
.
€
.
Sofía y sus amigos fueron a patinar y pagaron
14,40 € en total. Si cada entrada costó 3,60 €,
¿cuántas personas fueron a patinar?
¿ fe ’
---------------------------------------------0 5 5 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Recuerda lo anterior
Calcula.
60 Realiza estas divisiones.
32.572 - (57.239 - 41.512)
15:25
2:16
3 : 12
80 : 25
21 : 6
18 : 8
(95.602 + 173.015) - 220.893
Ordena los cocientes de menor a mayor.
Resuelve estas multiplicaciones y nombra sus tér­
minos.
72.347
63
X
623.205
X
181,95:15
§-
301,76:23
667,59 : 51
§■•
86,03 : 7
ra
702
54 Copia y coloca paréntesis donde sea necesario
para que se cumplan estas igualdades.
6 + 32 : 2 = 19
13 + 18 : 2 - 7 = 15
2 4 - 3 x 8 - 4 = 12
En un centro de salud recibieron 1.432 cajas con
25 vacunas cada una, para prevenir la gripe.
¿Cuántas vacunas recibieron en total?
Para repoblar un monte se tienen 384 encinas y
221 alcornoques. Si se plantan 55 árboles al día,
¿cuántos días se tardará en plantarlos todos?
Calcúlalo con una sola expresión.
Descompon estos números decimales en sus
órdenes de unidades.
517,32
6,247
15,089
0,04
56 Copia y escribe una cifra, en cada caso, para que
se cumplan estas expresiones.
36, 154 < 36,245
9,273 > 9 , 2 1 3
37,28 < 37,2
0,12 > 0,1 2
¿Cuánto paga Rubén por 7 bolígrafos y 3 cua­
dernos? Si no tiene ninguna moneda, ¿cuántos
euros tiene que dar como mínimo?
3,20 €
Redondea a la décima y a la unidad.
27,09
6,33
0,99
92,75
50,49
0,72 €
3,82
Paola corta 3 m de cordón en trozos de 0,1 m.
¿Cuántos trozos obtiene?
Resuelve.
43,34 - 7,209 + 24,37
Si Julián pagó 7,80 € , ¿cuántas horas estuvo
estacionado el coche en el aparcamiento?
78,5 - (12,376 + 55,019)
Coloca y calcula.
48,16
X
7,3
1,51
X
0,37
primera hora —► 2,40 €
691,12
X
2,2
75,434
X
8,05
siguientes —► 1,80 €
Pon a prueba tus competencias
O
ARCILLA Y PLASTILINA
Jorge va a clases de manualidades. La próxima semana realizarán un trabajo con arcilla y
con plastilina. Esta vez, él es el encargado de comprar el material.
Cada alumno necesita 1,4 kg de arcilla y 0,7 kg de plastilina.
O
O
Comprende
Si son 6 alumnos en clase, ¿cuántos kilos de arcilla se necesitan en total? ¿Y de
plastilina?
o
Relaciona
Tanto la arcilla como la plastilina se compran al peso. Observa lo que cuesta un
kilo de arcilla y uno de plastilina, y calcula cuánto dinero costará todo el material.
O
¿Cuánto dinero debe pagar cada alumno? ¿Cuánto dinero tiene que recibir Jorge?
Razona
4 . Piensa en otra forma de calcular la cantidad de dinero que debe pagar cada persona.
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Autoevaluación de la unidad 3