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Unidad 2: Movimiento de una dimensión
Criterios para la integración de Física y Matemática
El contenido de la unidad “Cinemática, movimiento en una dimensión” requiere como
herramienta matemática para resolver problemas la función de primer grado y la función
de segundo grado aplicadas en los casos de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y
movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).
El Candidato debe resolver ejercicios y problemas de aplicación con el trazado de los
gráficos correspondientes a las funciones espacio, velocidad y aceleración en los casos
siguientes:
-Vehículos que se desplazan con MRU y MRUV por camino horizontal, por ejemplo
vehículos que circulan con velocidad constante, o parten desde el reposo y aumentan su
velocidad, o que teniendo velocidad la reducen por efecto de frenado.
-Objetos que caen en el vacío verticalmente desde una altura, acelerados por la
gravedad, o son lanzados verticalmente y hacia arriba hasta alcanzar la altura máxima.
Programa analítico
Movimiento Rectilíneo Uniforme. Definición de velocidad. Unidad de velocidad
(SIMELA). Función espacio y velocidad del MRU. Resolución de problemas de
cuerpos que se desplazan con velocidad constante. Problemas compuestos: Alcance y
encuentro. Movimiento variado. Definición de aceleración en el Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Variado. Unidad de aceleración (SIMELA): Funciones de M.R.U.V. :
espacio, velocidad, aceleración. Aceleración de la gravedad “g”. Caída libre y ascenso
de los cuerpos. Cálculo de: altura de caída, velocidad de caída, tiempo de caída, altura
máxima alcanzada en ascenso, tiempo de ascenso.
Conocimientos previos
Álgebra básica de números reales. Álgebra de vectores: sumas gráfica y analítica.
Función lineal y cuadrática. Representación gráfica de recta y parábola. Sistemas de
ecuaciones.
Bibliografía
Máximo y Alvarenga. Física General con experimentos sencillos. (Unidad II:
Capítulo 3). Editorial OXFORD. 4ª Edición. (1998).
Tricárico y Bazo. Física 4. (Capítulo 3). Editorial A – Z. (1999).
Calderón, Codner, Lemarchand (y otros). Física Activa. Polimodal. (Capítulo 1).
Editorial PUERTO DE PALOS. (2001).
Carlos R. Miguel. Curso de Física IV. Mecánica, Calor, Acústica. (Capítulo 6).
Editorial EL ATENEO. (1995).
www.fisicanet.com.ar
www.monografias.com
Ejercitación
La aceleración de la gravedad se tomará igual a 9,8 m/s2 a menos que en la consigna
se indique otro valor.
Nota importante: los problemas de mayor nivel de complejidad están precedidos
por uno (*) o dos (**) asteriscos.
El candidato debe asegurarse de poder elaborar correctamente los problemas más
sencillos y poder plantear al menos los problemas identificados con (*) para estar
en buenas condiciones a la hora de presentarse a rendir el ingreso de Física.
1. Una pelota es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial vo = 14
m/seg. Calcule la altura máxima que alcanza y el tiempo que demora en alcanzar dicha
altura máxima.
R: 10 m ; 1,4 s
2. Una piedra se deja caer (en el vacío) desde una altura de 20 m desde el nivel del
suelo. Calcule el tiempo que demora en caer hasta el suelo y la velocidad en ese
instante.
R: 2,02 s ; 19,8 m/s
3. Una pelota es lanzada (en el vacío) verticalmente y hacia arriba, y alcanza la altura de
20 m (altura máxima). Calcule la velocidad de lanzamiento y el tiempo que demora en
alcanzar la altura máxima.
R: 19,8 m/s ; 2,02 s
4. Un automóvil color blanco parte desde Mendoza hacia Córdoba (distante 700 km)
con una velocidad constante de 80 km/h y simultáneamente otro automóvil color rojo
lo hace desde Córdoba hacia Mendoza a 100 km/h. Calcule el tiempo que transcurre
hasta el encuentro y la distancia del punto de encuentro a la ciudad de Mendoza.
R: distancia de encuentro 312 km
(*) 5. Un camión pasa por un semáforo a una velocidad de 36 km/h en el mismo
instante que un automóvil arranca desde el reposo y comienza a aumentar su velocidad
con aceleración a = 2 m/s2 . Calcule el tiempo que demora el automóvil en alcanzar al
camión y la distancia desde el punto de alcance hasta el semáforo. Grafique las
funciones posición de ambos móviles en un diagrama x / t.
R: 10 s ; 100 m
6. Un móvil posee una velocidad de 15 m/seg. Si en ese instante aplica los frenos y se
detiene después de 20 seg, ¿cuál es su aceleración y la distancia recorrida desde que
empezó a frenar?
R: -0,75 m/s2 ; 150 m
7. Desde un helicóptero suspendido en el aire se dispara un proyectil verticalmente
hacia abajo con velocidad inicial de 50 m/seg. Si tarda en llegar a tierra 12 seg, ¿con
qué velocidad llega al suelo y desde qué altura se lanzó?
R: 167,6 m/s ; 1305,6 m
8. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 200 m/seg. Se
desea saber:
a) ¿Qué velocidad posee a los 4 seg?;
b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar su altura máxima?
R: a) 160,8 m/s b) 20,4 s
9. Un cuerpo es lanzado hacia arriba y alcanza una altura máxima de 7840 m. ¿Con qué
velocidad inicial fue lanzado y qué tiempo demora en alcanzar la altura máxima?
R: 392 m/s ; 40 s
(*) 10. Un automóvil viaja a 56 km/h y está a 24 m de una barrera de control cuando el
conductor presiona los frenos. El automóvil golpea la barrera 2 segundos más tarde.
a) ¿Cuál fue la desaceleración constante del automóvil antes del impacto? b) ¿cuál era
su velocidad en el momento del impacto?
a) – 3,5 m/s2 b) 8,5 m/s
(*) 11. Un automóvil moviéndose con una aceleración constante cubre la distancia entre
dos puntos A y B separados entre sí por 60 metros, en un tiempo de 6 segundos. Su
velocidad al pasar por el punto B es de 15 m/seg.
a)¿cuál era la velocidad en el punto A?
b) ¿cuál es la aceleración?
c) suponiendo que el automóvil partiera del reposo, ¿a qué distancia del punto A partió
el vehículo?
d) Grafique el espacio y la velocidad como funciones del tiempo. Elabore la gráfica
desde el reposo.
a) 5 m/s b) 5/3 m/s2 c) 7,5 m
12.Un barco sube por un río a 20 km/hr y baja a 48 km/hr. Encuentre la velocidad de la
corriente del río.
R: 14 km/h
13.Un barco tiene una velocidad de 18 km/hr . Si la corriente del río es de 3 m/seg ¿Qué
tiempo tarda en recorrer 70 m río arriba y río abajo?
R: 8,75 s
14.Suponga que un objeto sufre un cambio de velocidad de – 4 m/s a 1 m/s . ¿Su
velocidad se está haciendo más o menos positiva? ¿En qué sentido/sentidos se está
moviendo el objeto? ¿Es la aceleración positiva o negativa? Van la velocidad y la
aceleración en el mismo sentido durante el lapso en que la velocidad cambia? Explique.
R: la velocidad se va haciendo más positiva. Inicialmente el objeto se mueve en el sentido negativo con
velocidad – 4 m/s. Comienza a desacelerarse hasta que su velocidad se hace cero y a partir de allí viaja en
sentido positivo. La aceleración es positiva. Desde el momento inicial hasta que el vehículo tiene una
velocidad nula, aceleración y velocidad van en sentidos contrarios. Desde v = 0 hasta v = 1 m/s el sentido
de la velocidad y de la aceleración coinciden.
15.¿Qué tan alto puede un humano tirar una pelota verticalmente hacia arriba si la
velocidad inicial que puede imprimirle es de 40,23 m/s?
R: 82,57 m
16.Un avión tiene una velocidad de despegue de 120 km/h.
a)¿Qué mínima aceleración constante necesita la aeronave si puede carretear a lo largo
de 240 m?
b)¿En cuánto tiempo alcanza el avión la velocidad de despegue?
R: a) a = 2,31 m/s2 b) t = 14,4 s
17.Una rampa móvil de las que hay en los aeropuertos se mueve a una velocidad de 1
m/s y tiene 200 m de largo. Un pasajero sube a ella en un extremo y camina en la misma
dirección en que se mueve la rampa, con una velocidad de 2 m/s.¿Cuánto tiempo
demora el pasajero para llegar al extremo de la rampa móvil?
R: 66,7 s
(*)18.Un conductor maneja a una velocidad de 18 m/s cuando ve un obstáculo 90 m
adelante. El conductor frena y desacelera a 3,05 m/s2
a)¿En cuánto tiempo detiene el vehículo?
b)¿A qué distancia del obstáculo se encontrará cuando el automóvil se haya detenido?
R: a)5,86 s ; b)se detiene a 38 m del obstáculo
19.Un avión acelera por una pista a razón de 3,20 m/s2 durante 32,8 s hasta que
finalmente despega. Determine la distancia recorrida hasta el decolaje.
R: 1721,3 m
20.Un ingeniero está diseñando una nueva pista para un aeropuerto. De todas las
aeronaves que usarán la pista, la mínima aceleración será del orden de 3 m/s2. La
velocidad de despegue de un avión con esta aceleración es de 65 m/s. ¿Cuál deberá ser
la longitud mínima de la pista de carreteo?
R: 704,4 m
Ejercicios resueltos
1.Una pelota es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial vo = 14
m/seg. Calcule la altura máxima que alcanza y el tiempo que demora en alcanzar dicha
altura máxima.
h(m)
Se recomienda que se realice una
interpretación gráfica previa a la solución
hmax
final. De esta manera se pueden identificar
los datos, las incógnitas y las funciones
matemáticas de aplicación.
-Se trata de un MRUV, con variación
negativa de la velocidad (la velocidad final
es cero cuando alcanza la altura máxima.
La función espacio es una parábola
que pasa por el origen, porque el
movimiento empieza en el suelo (ho = 0) y el
tiempo inicial también es cero (to = 0). La
parábola es de rama descendente porque el
término cuadrático es negativo (la
aceleración de la gravedad g = -9,8 m/s2 ).
v(m/s)
1,4
t(s)
14
t(s)
Entonces: h = vo(m/s) t(s) – ½ 9,8(m/s2) t2(s2)
La función velocidad es una recta, que corta el eje de ordenadas en el valor 14
m/s, y corta el eje de abscisas en el tiempo que alcanza la altura máxima, cuando la
velocidad es cero, note que la pendiente de la recta es negativa, coincide con el signo de
la aceleración.
Entonces: v = 14 (m/s) – 9,8 (m/s2) t(s)
Ahora consideramos oportuno comenzar el cálculo. Hemos entendido el problema,
identificado las ecuaciones del movimiento y podemos determinar los datos y las
incógnitas, que se leen claramente en los gráficos. Observamos la coincidencia de la
vertical del tiempo de altura máxima con el valor cero de la velocidad, datos muy
importantes al momento de resolver. Así:
Para el cálculo del tiempo lo hacemos con la función velocidad, conociendo que en ese
instante la velocidad v = 0;
14 (m/s) – 9,8 (m/s2) t(s) = 0
→
t = 1,4 (s)
Para el cálculo de la altura máxima, reemplazamos el tiempo en la ecuación del espacio;
h = vo(m/s) t(s) – ½ 9,8(m/s2) t2(s2);
hmax = 14(m/s) 1,4(s) – ½ 9,8(m/s2) 1,4(s2)
→
hmax = 10 (m)
6. Un móvil posee una velocidad de 15 m/seg. Si en ese instante aplica los frenos y se
detiene después de 20 seg, ¿cuál es su aceleración y la distancia recorrida desde que
empezó a frenar?
-Se trata de un MRUV, con variación negativa
de la velocidad (la velocidad final es cero
cuando termina de frenar).
h(m)
hmax
La función espacio es una parábola que
pasa por el origen, porque el movimiento se
considera cuando empieza a frenar, (eo = 0) y el
tiempo inicial también es cero (to = 0). La
parábola es de rama descendente porque el
término cuadrático es negativo (la aceleración de
frenado es negativa).
Entonces: e = vo(m/s) t(s) + ½ a(m/s2) t2(s2)
v(m/s)
Nota: El signo negativo de “a” se considerará al
momento de reemplazar el valor numérico.
20
15
La función velocidad es una recta, que
corta el eje de ordenadas en el valor 15 m/s, y
corta el eje de abscisas en el tiempo que alcanza
la detención, cuando la velocidad es cero, note
que la pendiente de la recta es negativa, coincide con el signo de la aceleración.
Entonces: v = 15 (m/s) + a (m/s2) t(s)
Nota: El signo negativo de “a” se considerará al momento de reemplazar el valor
numérico.
Para el cálculo de la aceleración lo hacemos con la función velocidad, conociendo que
en el instante t = 20 (s) la velocidad v = 0;
15 (m/s) + a (m/s2) 20(s) = 0
→
t(s)
a = 0,75 (m/s2)
Para el cálculo de la distancia de frenado, reemplazamos el valor de aceleración y
tiempo en la ecuación del espacio;
t(s)
h = vo(m/s) t(s) – ½ 9,8(m/s2) t2(s2);
hmax = 15(m/s) 20(s) – ½ 0,75(m/s2) 20(s2)
→
efrenado = 150 (m)
16. Un avión tiene una velocidad de despegue de 120 km/h.
a) ¿Qué mínima aceleración constante necesita la aeronave si puede carretear a lo
largo de 240 m?
b) ¿En cuánto tiempo alcanza el avión la
e(m)
velocidad de despegue?
240 m
-Se trata de un MRUV, con variación positiva
de la velocidad (la velocidad final es mayor que
la velocidad inicial).
La función espacio es una parábola que
pasa por el origen, porque el movimiento
empieza en la referencia cero (eo = 0, el
coeficiente del término independiente es cero) y
el tiempo inicial también es cero (to = 0). La
parábola es de rama ascendente porque el
término cuadrático es positivo (la aceleración es
de signo positivo). Como la velocidad inicial
vo=0, el coeficiente del término lineal es cero.
v(m/s)
t
t(s)
vdespegue
Entonces: e = ½ a(m/s2) t2(s2)
La función velocidad es una recta que
pasa por el origen de coordenadas, y tiene
pendiente de signo positivo, coincide con el signo de la aceleración.
Entonces: v = a (m/s2) t(s)
Convertimos las unidades de velocidad de (km/h) a (m/s):
120 km x 1000 m/ km = 120000 m
1 h x 3600 s/h = 3600 s
vdespegue = 120000 / 3600 (m/s); vdespegue = 33,3 (m/s)
Para el cálculo de la aceleración debemos resolver un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, la aceleración y el tiempo.
240 m = ½ a(m/s2) t2(s2)
33,3 m/s = a (m/s2) t(s)
t(s)
Por el método de sustitución, despejamos el tiempo de la segunda ecuación y lo
reemplazamos en la primera;
t = 33,3 / a
240 m = ½ (33,3)2/2a ;
despejando aceleración; a = (33,3)2 m2/s2/2x240 m; a = 2,3 (m/s2)
Para el cálculo del tiempo de despegue utilizamos la función velocidad
v = a (m/s2) t(s)
Despejamos el tiempo: t = v / a; t = 33,3(m/s) / 2,3(m/s2); t = 14,8 (s)
4. Un automóvil color blanco parte desde Mendoza hacia Córdoba (distante 700 km)
con una velocidad constante de 80 km/h y simultáneamente otro automóvil color rojo
lo hace desde Córdoba hacia Mendoza a 100 km/h. Calcule el tiempo que transcurre
hasta el encuentro y la distancia del punto de encuentro a la ciudad de Mendoza.
-Se trata de dos movimientos MRU (velocidad constante). El auto blanco se mueve en
sentido negativo al eje de referencia, por lo tanto la velocidad será con signo negativo
(coincide con el signo negativo de la pendiente de la recta). También esta recta corta el
eje de ordenadas en 700, que es la distancia inicial de partida del auto blanco. La
función espacio será entonces:
eblanco = 700 km – 80 (km/h). t (h)
e(km)
Mendoza
700
Función espacio
auto blanco
eencuentro
Función espacio auto
rojo
Córdoba
tencuentro
t(h)
El auto rojo parte desde Córdoba, que en el gráfico es la referencia cero, y la velocidad
posee signo positivo porque coincide con el sentido positivo del movimiento, resultando
así una recta con pendiente positiva y que pasa por el origen de coordenadas. La función
espacio para el auto rojo es:
erojo = 100 (km/h) . t (h)
El gráfico de las dos funciones corresponde con un sistema de dos rectas que se cortan.
La solución se obtiene resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El
punto de partida para la solución es entender que las coordenadas del punto de
encuentro son iguales para ambos vehículos. Esto se explica observando que la distancia
desde Córdoba hasta el punto de encuentro (eencuentro) en el gráfico es la misma para el
auto blanco que para el auto rojo. Lo mismo ocurre con el tiempo, para ambos vehículos
el tiempo transcurrido hasta el encuentro es igual (tencuentro).
Solución: Igualando los espacios
eblanco = erojo
700 km – 80 (km/h). t (h) = 100 (km/h) . t (h)
Para despejar el tiempo, debemos agrupar los términos con la incógnita en el primer
miembro
– 80 (km/h). t (h) - 100 (km/h) . t (h) = -700 (km)
t = 700 (km) / 180 (km/h)
t = 3.89 h
La distancia desde Córdoba hasta el punto de encuentro se obtiene reemplazando el
tiempo calculado en alguna de las funciones espacio. Para una mejor ilustración lo
haremos en ambas expresiones:
eblanco = 700 km – 80 km/h x 3,8 h = 388,8 km
erojo = 100 km/h x 3,89 h = 389 km