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PROBLEMAS DE ALGEBRA DE SAM LOYD
(II
(II)
Entre los miles de pasatiempos que ideó Sam Loyd,
nos estamos dedicando a los que tienen que ver con el
álgebra. Ya hemos presentado anteriormente los
ejemplos de "Balanzas" y de "Tirar la cuerda" y en una
entrada reciente dos acertijos que se resuelven con la
ayuda de tablas de traducción.
En esta entrada hemos seleccionado otros acertijos donde es necesario
traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje simbólico, utilizando unas
tablas para llegar a escribir unas ecuaciones que se deben después resolver.
No hemos querido cambiar nada a la redacción de los acertijos, a pesar de que
todos tienen aspecto antiguo y utilizan medidas no usuales como los galones
(El galón es una unidad de volumen que se emplea en los países anglófonos
que equivale a 4 cuartos), porque nos parecía que cambiar era hacer que
perdiesen parte de su atractivo
Objetivos
- Trabajar la resolución de problemas de enunciados.
- Resolución de sistemas de ecuaciones sencillos.
Estrategias implicadas:
- Organizar la información en tablas para su traducción al álgebra
Nivel: 3º, 4º de la E.S.O
Actividad:
Ejemplo 1: El peso de las cinco amigas
Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose,
podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que
de a pares pesaban 129 libras. 125. 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114.
Hay que descubrir ahora el peso de cada una, por separado.
AYUDA:
1. Llama a los pesos en libras de las cinco chicas por letras:
Ana pesa A libras y pesa más que Beatriz, B libras, que pesa más que Clara,
C libras, que pesa más que Diana, D libras, y la de menos peso es Elena que
pesa E libras.
A>B>C>D>E
Con estas desigualdades, ¿a quiénes corresponde la suma mayor? ¿Y la 2º
suma mayor?
De la misma forma ¿a quiénes corresponden la suma menor? ¿Y la 2ª suma
menor?
2. Traduce cada información en una ecuación y completa la tabla siguiente:
Ana y Beatriz
Ana y Clara
Ana y Diana
Ana y Elena
Beatriz y Clara
Beatriz y Diana
Beatriz y Elena
Clara y Diana
Clara y Elena
Diana y Elena
SUMA
A+
B
Ejemplo 2: Las mermeladas
La señora Hubbard ha inventado un
ingenioso sistema para que nadie toque
su
mermelada
de
moras.
Rellenó veinticinco tarros y los colocó
de forma que hubiera exactamente
veinte galones de mermelada por
estante.
Los frascos son de tres tamaños.
¿Puede usted
decirnos qué cantidad contiene cada
uno de los tamaños y la relación entre
ellos?
=
AYUDA:
1. Llama a los volúmenes en galones de los tres tamaños de frascos por letras:
Frascos grandes G galones, frascos medianos M galones, frascos pequeños P
galones.
2. Traduce cada información en una ecuación y completa la tabla siguiente:
Estantería superior
Estantería intermedia
Estantería inferior
1G +
…
…
3M +
…
…
3P
…
…
=…
=…
=…
Ejemplo 3. ¿Cuánto pesa el bebé?
La señora O'Toole, una persona decididamente económica, está tratando de
pesarse ella, a su bebé y a su perro, todo por un centavo. Si ella pesa 100
libras más que el peso combinado del perro y el bebé, y si el perro pesa el
sesenta por ciento menos que el bebé, ¿puede determinar usted el peso del
pequeño querubín?
AYUDA:
1. Observa cuidadosamente la aguja de la balanza.
2. Llama x, y , z respectivamente a los pesos en libras de la señora O´Toole,
del perro y del bebé.
3. Traduce la historia, al lenguaje algebraico, utilizando estas incógnitas.
Recuerda que si algo pesa el 60% menos de alguien es que pesa el 40%.
SOLUCIÓN
Ejemplo 1:
A>B>C>D>E
Luego A + B es la suma mayor, seguida de la suma A + C
D + E es la suma menor y la anterior es C + E.
Esto quiere decir que estamos seguros que A + B = 129, A + C = 125 mientras las
sumas más pequeñas, D + E = 114 y C + E = 116
Ec. (1) Ana y Beatriz
Ec. (2) Ana y Clara
Ec. (3) Ana y Diana
Ec. (4 )Ana y Elena
Ec. (5) Beatriz y Clara
Ec. (6) Beatriz y Diana
Ec. (7) Beatriz y Elena
Ec. (8) Clara y Diana
Ec. (9) Clara y Elena
Ec. (10)Diana y Elena
SUMA
Ecuación (11)
A+
A+
A+
A+
B
D
E
B+
B+
B+
C
D
E
C+
C+
4A +
A+
= 129
= 125
=?
=?
=?
=?
=?
=?
= 116
= 114
= 1212
= 303
C
4B +
B+
4C +
C+
D
E
E
4E
E
D+
4D +
D+
Si restamos la ecuación final (11) de las ecuaciones (1) y (10) obtenemos que
C= 60 libras.
Si restamos la ecuación final (11) de las ecuaciones (1) y (9) obtenemos que
D= 58 libras.
Sustituyendo los valores que se Han obteniendo en las ecuaciones:
A + C = 125 A = 65 libras
C + E = 116 E = 56 libras
Como la suma es 303, tendremos B = 64 libras
Ejemplo 2:
Estantería superior
Estantería intermedia
Estantería inferior
1G +
2G +
3M +
4M +
3P
6P
6P
= 20
= 20
= 20
Ec.
Ec.
Ec.
(1)
(2)
(3)
Inmediatamente vemos: Ec. (2) - Ec. (3) 2G - 4M = 0 G = 2M y
Ec. (2) - 2 veces Ec. (1) 6M= 20 M = 10/3 G= 20/3 3P = 10- 2M
P = 10/9
Un frasco grande contiene el doble que un frasco mediano que a su vez
contiene el triple que un frasco pequeño.
Ejemplo 3:
Hemos llamado x, y , z respectivamente a los pesos en libras de la señora
O´Toole, del perro y del bebé.
Frase
Ella pesa 100 libras más que el peso
x- 100 = y + z
combinado del perro y el bebé
El perro pesa el sesenta por ciento
menos que el bebé, es decir que
pesa el 40% del peso del bebé
En la balanza se ve que el peso de
los tres es 170 libras
y= 0,40 z
X + y + z = 170
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas, fácil de resolver:
 x + y + z = 170

 x − 100 = y + z ⇒ x = y + z + 100 = 1,40z + 100
 y = 0,40z

x + y + z = 170 ⇒ 1,40z + 100 + 0,40z + z = 170 ⇒ 2,80z = 70
z = 25 libras
El bebé pesa 25 libras, el perro 10 libras y la señora O'Toole pesa 135 libras.