Download B - Ing. Yair Torregroza Mendoza

Colegio Distrital Marie Poussepin
“Piedad, Sencillez y Trabajo”
GEOMETRIA 8 º
CONCEPTOS BÁSICOS
La tolerancia es el respeto y la aceptación de los
demás, con sus virtudes y defectos; es la
aprobación de la diversidad de culturas, religiones y
de cualquiera de nuestras formas de expresión
como personas civilizadas.
La tolerancia posibilita ostentar una mente y una actitud abiertas, y la libre comunicación
de nuestros pensamientos y sentimientos.
Eres alguien muy importante. Quierete.
CONTENIDO
1. Punto, Recta Semirrecta Segmento y
Plano
2. Construcción de rectas paralelas y
perpendiculares
3. Posiciones relativas de dos rectas en el
plano
Desempeños
4. Ángulos y clasificación
1. Reconoce los conceptos básicos de la
5. Construcción y medición de ángulos.
geometría, emplear la simbolización y sus
Logros:
aplicaciones en situaciones cotidianas.
2. Demuestra habilidad y destreza al construir e
identificar rectas paralelas, perpendiculares y
ángulos
Indicadores
1.
2.
3.
4.
5.
6.
B
A
A
m
Identifica conceptos básicos de geometría.
Maneja con destreza los implementos geométricos al realizar construcciones.
Construye y diferencia rectas paralelas y perpendiculares
Clasifica de ángulos según su amplitud.
Identifica pares de ángulos.
Construye y mide ángulos con ayuda del transportador.
2016
B
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
CONCEPTOS BÁSICOS
Puntos: Los puntos no tienen dimensiones, Por tanto carecen de longitud, anchura y
altura, un punto indica una posición en el plano o en el espacio y se nombran con letras
mayúsculas.
Rectas: No hay una definición exacta, pero podemos decir que una recta es una sucesión
infinita de puntos, situados en una misma dirección (alineados). Una recta tiene
tamaño, posición y una sola dimensión: la longitud, las rectas se nombran mediante
dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
B
A
l
m
p
Semirrectas: Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por
uno cualquiera de sus puntos.
A
B
l
m
p
Planos: Es una representación esquemática bidimensional, es decir, un plano posee dos
dimensiones: longitud y anchura, se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β
(beta)...
 Los planos también se pueden nombrar por los puntos que los delimitan o nombrando
tres puntos que pertenecen a él.
 Dos planos que se cortan determinan una recta.
 Un plano viene determinado por:
2
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Tres puntos no alineados.
Dos rectas que se cortan.
Dos rectas paralelas.
Por un punto y una recta
Observaciones sobre el plano
1.
2.
3.
4.
Un plano contiene infinitos puntos.
Un plano contiene infinitas rectas.
Un plano es ilimitado.
Dos planos que se cortan determinan
una recta.
5. Una recta que tiene dos puntos en un
plano está contenida en él.
6. Por una recta pasan infinitos planos.
Segmentos: Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de segmentos
Segmento nulo: Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
3
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Segmentos consecutivos: Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en
común.
Segmentos alineados o adyacentes: Dos segmentos consecutivos están alineados cuando
pertenecen a la misma recta.
ACTIVIDAD
1. Selecciona la respuesta correcta:
a. ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un
punto?
Una.
Finitas.
Infinitas.
d. ¿Cuántos planos se pueden trazar por dos
puntos distintos?
Uno.
b. ¿Cuántos planos se pueden trazar por un
punto?
Ninguno.
Finitas.
Si.
No.
Infinitos.
e. ¿Cuántos puntos contiene una recta?
Infinitas.
c. ¿Se puede trazar más de una recta por
dos puntos distintos?
Finitos.
1. Uno.
f.
Finitos.
Infinitos.
¿Con tres puntos puedo construir un
plano?
Si.
No.
4
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Rectas paralelas: Son aquellas rectas que no tienen puntos en común porque no se
intersecan. En un sistema coordenada presentan la misma pendiente.
Se simbolizan así: AB
CD
A
B
C
D
PQ MN
P
Q
M
N
Dos rectas son Paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cumplen estas
condiciones:
 Están en un mismo plano
 No se intersecan.
Propiedades del paralelismo
Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a sí misma.
Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.
Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la
primera recta es paralela a la tercera.
Rectas perpendiculares
Son dos rectas que se intersecan en un punto formando ángulos rectos (es decir, de 90º).
Se simbolizan así: AB
CD
A
C
90º
D
B
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una
perpendicular a dicha recta
5
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Propiedades de la perpendicularidad
Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.
La recta AB no puede ser perpendicular con AB
Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la
primera.
Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.
Rectas oblicuas
Son dos rectas que se intersecan formando ángulos NO rectos (distintos a 90º). 2 de los
ángulos son agudos (menores de 90º) y estarán opuestos por el vértice, los otros 2 ángulos
A
son obtusos (mayores de 90º).
D
Se simbolizan así: AB y CD
C
B
6
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
ACTIVIDAD
1. Analiza el diseño, busca en cada una de las figuras las clases de rectas conocidas
(Paralelas, perpendiculares y oblicuas)
l
D
I
H
C
E
B
A
Figura 1
F
J
G
1
l
2
l
l
Figura 2
3
l
K
L
M
l
4
5
6
Figura 3
2. Llena los espacios en blanco Piensa que los segmentos del diagrama son partes de
una recta.
a. DE, AB y GC son _________________
b. DE y BE son _____________________
c. BC y CF son ____________________
d. BE y GC son ____________________
7
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
PERPENDICULARES: Recordemos que dos rectas son perpendiculares cuando forman entre
sí ángulos rectos (90º).
1. Se traza una recta r. cualquiera y se marcan dos puntos y los nombraremos, A y B.
r
B
A
2. Traza un arco con el compás apoyado en el punto A y abierto a una longitud menor que la
distancia del punto A al punto B.
A
B
r
3. Traza otro arco con el compás apoyado en el punto B y abierto a una longitud menor que la
distancia del punto A al punto B de tal manera que se cruce con el arco trazado
anteriormente.
A
r
B
8
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
4. Marca y nombra los puntos de corte de los dos arcos y traza una recta que los una, la
resultante será una recta perpendicular a la recta r.
C
r
A
B
D
PARALELAS: Recordemos que dos rectas son paralelas si no se cortan en el plano y siempre
están separadas a la misma distancia.
Desde un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a la recta y sólo una.
Si por un punto M trazamos una infinidad de rectas, solamente habrá una que sea paralela a
la recta.
Para trazar paralelas puede seguirse el siguiente procedimiento:
1. Se traza con regla una recta (asignándosele dos letras para identificar los puntos)
A
B
r
2. Apoyando el compás en el punto A, se abre una distancia cualquiera, se traza un arco que
corte la recta en un punto y se le asigna una letra para identificarlo M.
9
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
M
A
r
B
3. Sin modificar la abertura del compás, se apoya éste en el punto M y se traza un arco (el
arco debe pasar por P).
P
M
A
r
B
4. Apoyando el compás (con la misma abertura) en el punto B, se traza un arco que corte la
recta en el punto N.
P
M
A
N
B
r
5. Sin modificar la abertura del compás, se apoya éste en el punto N y se traza un arco.
P’
P
A
M
N
B
r
6. Por último se unen los puntos P y P’ con una línea. De esta forma la recta PP’ es la
paralela a la recta AB (PP’//AB).
10
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
P’
P
A
M
N
r
B
Actividad: Sigue las instrucciones dadas y construye en tu cuaderno rectas paralelas y
perpendiculares, simboliza
ÁNGULOS
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo
punto de origen o vértice.
También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados
(AB y AC), que tienen un origen común llamado vértice (A).
B
Interno
A
α
C
Externo
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
 Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
 Grado centesimal
 Grado sexagesimal
Un grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en
360 partes iguales.
1º = 60' = 3600''
1' = 60''
11
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
El radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya
longitud de arco coincide con la longitud de su radio.
1 rad= 57° 17' 44.8''
360º = 2 rad
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como:
El goniómetro
La ballestilla
El transportador
Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:
Con la letra mayúscula que representa su vértice o con las letras griegas α (alfa), β (Beta), γ
(Gamma), etc.
B
A
α
A ó
C
α
A ó α
12
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Con tres letras mayúsculas y el símbolo encima: las dos letras de los extremos representan a
los lados y la de en medio al vértice.
B
A
α
BAC ó
C
CAB
BAC ó CAB
Clasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90°
Recto = 90°
Obtuso>90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Cóncavo > 180°
Nulo = 0º
Completo = 360°
Negativo < 0º
Mayor de 360°
13
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos: Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y
un lado común.
Ángulos adyacentes: Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un
lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.
Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el vértice común, los
lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Los ángulos 1 y 3 son iguales.
Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
14
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Propiedades de los ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una secante.
Dos rectas cualesquiera
determinan ocho ángulos.
De




cortadas
por
una
tercera
acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:
Ángulos interiores y exteriores
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
Ángulos conjugados
Ángulos interiores: Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se
llaman ángulos interiores.
Ángulos exteriores: Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.
Ángulos correspondientes: Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno
es interior y el otro es exterior, se los llama ángulos correspondientes.
Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las
rectas son paralelas.
15
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Ángulos alternos internos: Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la
transversal y ambos son internos, se los llama ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internos iguales, las
rectas son paralelas.
Ángulos alternos externos: Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la
transversal y ambos son externos, se los llama ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externos iguales, las
rectas son paralelas
Ángulos conjugados internos
Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son
internos, se los llama ángulos conjugados internos.
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados internos
suplementarios, las rectas son paralelas.
16
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
Ángulos conjugados externos
Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son
externos, se los llama ángulos conjugados externos.
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios.
Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos conjugados internos
suplementarios, las rectas son paralelas.
Ángulos conjugados: se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º
Ángulos suplementarios: son aquellos cuya suma de medidas es 180°
Ángulos complementarios: son aquellos ángulos cuya separación tiene una suma de medidas es
90º
Ángulos congruentes se denominan aquellos ángulos que tienen la misma medida.
Ángulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los
lados del otro, los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que
se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.
Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que
sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez
consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún
punto interior en común.
17
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
ACTIVIDAD
1. Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a los ángulos y completa la
tabla
2. Con ayuda de la figura anterior. Si el ángulo C= 42°. Calcula la medida de los demás
ángulos. Justifica
18
COLEGIO DISTRITAL MARIE POUSSEPIN
”Piedad, Sencillez y Trabajo”
PERIODO I
DOCENTE: ING. YAIR TOREGROZA MENDOZA
3. Resuelve
19