Download r1 r2 TECNUN – Electricidad y Magnetismo – Problema 2.1 A

TECNUN – Electricidad y Magnetismo – Problema 2.1
r
E2
r
E1
α1
α2
x
r1
y
r2
α1
q
-q/4
a
A)
Aplicando el principio de superposición, el campo eléctrico en un punto será la suma vectorial del campo que
crea cada una de las cargas puntuales:
q


 q

r r
r
r
r
4 u 
E = E1 + E 2 = 
u
+
1
2 2
 4πε 0 r1 2

4πε 0 r2




r
r
Para que se anule, es necesario que u1 = − u2 . Es decir, que sean vectores opuestos. Por ello, el punto donde
se anule el campo ha de estar en el eje x. Además, no se encontrará en la zona del eje x comprendida entre las
dos cargas, porque en esa zona las dos cargas puntuales crean un campo en el mismo sentido.
1
1
2
2
→ r1 = 4r2 ⇒ r2 < r1 .
Igualando a cero la expresión obtenida del campo eléctrico, se obtiene que : 2 =
2
r1
4r2
El punto P está más cerca de la segunda carga. Por lo tanto, P ha de estar a la derecha de la carga negativa.
2
r1 = x ; r2 = x − a ⇒ x 2 = 4( x − a ) ⇒ x = 2a
B)
Aplicando superposición obtenemos el potencial en ese punto, cuyo valor es:
q
q
q  1
1 
q
V =
−
=
− =

4πε0r1 16πε0 r2 4πε0  2a 4a  16πε0a
La equipotencial que pasa por ese punto es: V = f ( r1 , r2 ) =
C)
q
q 1
1 
q
 −
 =
=>
4πε 0  r1 4r2  16πε 0 a
16πε 0 a
Equipotencial nula: es el lugar geométrico de los puntos con un valor nulo de potencial eléctrico.
Análogamente al apartado anterior:
q 1
1 
 −
=0
V = f (r1 , r2 ) = 0 =>
Operando esta expresión:
4πε0  r1 4r2 
1
1
=>
=
r1 4r2
1
x +y +z
2
2
2
=
1
4 ( x − a) + y + z
2
2
2
[
=> x 2 + y 2 + z 2 = 16 ( x − a )2 + y 2 + z 2
]
32
16
16 
16 ⋅ 16 2 16 ⋅ 15 2 16 2  4 

ax + a 2 = 0 =>  x − a  + y 2 + z 2 =
a −
a = 2 a =  a
15
15
15 
15 ⋅ 15
15 ⋅ 15
15

 15 
4
 16

Expresión que se corresponde con la ecuación de una esfera de centro en  a,0,0  y radio
a
15
 15

2
x 2 + y2 + z 2 −
2