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Matemáticas de 4º de ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Unidad 1: Trigonometría básica
Ejercicio 1
Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:
a ) 180º = 180º
c ) 45º = 45º
d
)
π rad
180º
π rad
180º
200º = 200º
= π rad
=
π
4
b ) 305º = 305º
π rad
180º
=
61π
rad = 5'32 rad
36
rad = 0'79 rad
! rad 10!
=
rad = 1'11 rad
180º
9
Ejercicio 2
Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:
a ) π rad = π rad
c ) 1 rad = 1 rad
180º
= 180º
π rad
180°
= 57 '3º
π rad
b)
c
)
1
1
180º
90º
rad = rad
=
≅ 28'65º
2
2
π rad
π
!
!
180º
180º
rad = rad
=
= 45º
4
4
! rad
4
Ejercicio 3
Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo
sen β =
cateto opuesto b
=
hipotenusa
c
tg β =
cos β =
β:
cateto contiguo a
=
hipotenusa
c
cateto opuesto b
=
cateto contiguo a
¿Extraes alguna conclusión?
Ambos ángulos son complementarios, ya que ambos suman 90º (se llaman suplementarios si suman 180º) y se cumple que:
sen β = cos α , cos β = sen α , tg β =
1
tg α
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 4
Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos
α y β ):
3
= 0 '6 = cos β ;
5
4
cos α = = 0 '8 = sen β
5
3
4
tg α = = 0 '75;
tg β = = 1'33
4
3
sen α =
Ejercicio 5
Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:
a ) sen α = 0 '5 → α = arcsen 0 '5 = 30º
3
3
→ β = arccos
= 30º
2
2
tg γ = 1 →
γ = arctg1 = 45º
b ) cos β =
c)
d ) sen ω =
2
2
→ ω = arcsen
2
= 45º
2
Ejercicio 6
Calcula los ángulos del triángulo del ejercicio 4:
! = arc tg
3
= 36'87º ;
4
4
! = arc sen = 53'13º ; Importante elegir las fracciones generen decimales exactos
5
Ejercicio 7
Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos
lo más exactos posibles.
α
19’95º
52º
74º
sen α
cos α
tg α
cosec α
sec α
cotg α
0’34
0’79
0’96
0’94
0’62
0’28
0’36
1’28
3’49
2’93
1’27
1’04
1’06
1’62
3’63
2’76
0’78
0’29
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 8
Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:
a ) sen x ⋅
1
=
tg x
sen x ⋅ cotg x = sen x ⋅
cos x
= cos x
sen x
sen x (sen 2 x + cos2 x ) = sen x ⋅1 = sen x
b ) sen3 x + sen x ⋅ cos2 x =
c)
sec x
=
cosec x ⋅ tg x
1
cos x
=1
1 sen x
⋅
sen x cos x
d)
cos 2 x
=
1 − sen x
1 − sen 2 x (1 + sen x )(1 − sen x )
=
= 1 + sen x
1 − sen x
1 − sen x
(Pista: intenta que el numerador
se “parezca” al denominador)
Ejercicio 9
Simplifica al máximo esta expresión:
a
) (
2
) (
sen ! + cos ! + sen ! ! cos !
)
2
=
2
2
= sen
! + 2sen
cos ! + cos 2$
! + sen
! " 2sen
cos ! + cos 2$
!=
!####
#!
"!#####
!####
#!
"!#####
2
2
2
2
= sen
!"
+ cos
! + sen
!"
+ cos
!=2
!##
##
$
!##
##
$
1
b
)
1
(
cos 2 ! 1+ tg 2!
cotg !
) = cos ! (1+ tg ! ) = cos ! (1+ tg ! )
2
2
1
tg !
2
2
sen !
cos !
c) Comprueba que es correcta la siguiente igualdad: tg ! + cotg ! = sec ! ! cosec ! ;
sen !
1
sen !
1
sen ! cos !
+
=
+
=
+
=
cos ! tg ! cos ! sen ! cos ! sen !
cos !
2
2
sen ! + cos !
1
1
1
=
=
=
!
= cosec ! ! sec !
sen ! ! cos !
sen ! ! cos ! sen ! cos !
Actuamos en el primer miembro:
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 10
Procedimiento para obtener las razones fundamentales de
30º y 60° (sin calculadora):
Para el ángulo de 30º se tiene:
l
3
l
1
3
2
2
sen 30º = = = cos 60º ;
cos 30º =
=
= sen 60º
l 2
l
2
l
l l 3
2l
1
3
tg 30º = 2 = :
=
=
=
2 2
3
3
2l 3
3
l
2
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 11
Procedimiento para obtener las razones fundamentales de
45∫ (sin calculadora):
Ejercicio 12
Completa tú las casillas vacías:
ángulo
coseno
tangente
0º
4
=1
2
0
=0
4
30º
3
2
1
3
=
3
3
45º
2
2
2
=1
2
60º
1 1
=
2 2
3
= 3
1
90º
0
=0
2
∃
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Ejercicio 13
Estudia los signos de la tangente:
¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas?
La secante, cosecante y cotangente se definen con operaciones
inversas al coseno, seno y tangente, respectivamente, por lo
que conservarán el miso signo que estas últimas.
Ejercicio 14
Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:
4
cos ! = , 270º ! ! ! 360º; Por la relación fundamental (I):
5
2
!4$
16
16
9
3
2
sen ! + # & = 1; sen 2 ! + = 1; sen 2 ! = 1! ; sen ! =
=±
25
25
25
5
"5%
a
)
Como el ángulo está en el IV cuadrante, el seno es negativo, por tanto:
sen ! = !
3
5
!3
5 = !3
tg
!
=
Para hallar la tangente utilizamos la relación fundamental (II):
4
4
5
3
b tg ! = , 180º ! ! ! 270º ; En la relación fundamental (III) despejamos el co4
1
1
1
1
2
2
2
cos 2 ! =
;
cos
!
=
;
cos
!
=
;
cos
!
=
;
2
seno:
9
25
1+ tg 2 !
! 3$
1+
1+ # &
16
16
"4%
)
16
16
4
; cos ! =
= ± ; Como el ángulo está en el III cuadrante, el co25
25
5
4
seno es negativo, por tanto: cos ! = ! ; Para hallar el seno utilizamos la relación
5
3! "4
3 sen !
!3
=
;
sen
!
=
; sen ! =
fundamental (II): 4
!4
4!5
5
5
cos 2 ! =
( )
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c
3
sen ! = ,
5
)
Apéndice: Lenguaje matemático
90º ! ! ! 180º Por la relación fundamental (I):
2
! 3$
9
9
16
4
2
+ cos 2 ! = 1; cos 2 ! = 1! ; cos ! =
=±
# & + cos ! = 1;
25
25
25
5
" 5%
Como el ángulo está en el II cuadrante, el coseno es negativo, por tanto:
cos ! = !
3
5 = !3
tg
!
=
Para hallar la tangente utilizamos la relación fundamental (II):
!4 4
5
Ejercicio 15
Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos:
El ángulo auxiliar α es
de 60º. Las razones de
trigonométricas de 120º
son las mismas que las
de α con los signos correspondientes.
3
sen120º = sen 60º =
2
−1
cos120º = − cos 60º =
2
El ángulo auxiliar α
es de 30º.
−1
sen 210º = − sen 30º =
2
− 3
cos 210º = − cos 30º =
2
120º , 210º y 300º
El ángulo auxiliar α es
de 60º:
− 3
sen 300º = − sen 60º =
2
1
cos 300º = cos 60º = .
2
4
5
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 16
a) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:
0
180
270
225
45
! rad
! rad
! rad
! rad
= 225º = 225º
= 45º = 45º
=
! rad 270º = 270º
=
180º = 180º
=
180º
180º
180º
180º
180º
= 0 rad
3!
5!
!
= ! rad
=
rad
=
rad
= rad
2
4
4
0º = 0º
b) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
3π
4
5π
3
3π
2
9π
10
4π
3
3! rad
5! rad
3! rad
9! rad
4! rad
=
=
=
=
=
4
3
2
10
3
3! rad 180º
5! rad 180º
3! rad 180º
9! rad 180º
4! rad 180º
=
= =
= =
= =
= =
=
4 ! rad
3 ! rad
2 ! rad
10 ! rad
3 ! rad
= 135º
= 300º
= 270º
= 162º
= 240º
Ejercicio 17
Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:
b = 20 (terna pitagórica por 4)
12 3
tg A = = ! A = 33'87º
16 4
! = 90º !A
!! C
! = 56'13º
C
Pitágoras:
Ejercicio 18
Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.
Sea x el cateto que falta:
27º
15 m
x = 15 m ⋅ tg 27º = 7 '64 m
15 m
= 16 '83 m
Sea h la hipotenusa: h =
cos 27º
Sea β el ángulo que falta: β = 90º −27º = 63º
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 19
Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la
hipotenusa:
Una primera dificultad está en averiguar qué distancia es la que se pide.
Se halla α considerando el triángulo exterior.
3
4
obtenido y el triángulo cuya hipotenusa es 4 m:
α = arc tg , y se calcula h considerando el ángulo
h
3 ⎞
⎛
sen α = ; h = 4 ⋅ sen ⎜ arc tg ⎟ = 2 '4 m
4
4 ⎠
⎝
Ejercicio 20
Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros
cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)
Como el ángulo es mayor de 45º, la altura de la torre es mayor
que su sombra.
tg 50º =
h
; h = 108 m ⋅ tg 50º = 128'71 m
108 m
Ejercicio 21
Comprueba las siguientes identidades notables:
a)
1 + tg α
= sen α + cos α ; Operamos en la parte de la izquierda sustituyendo la
sec α
tangente y la secante; luego, se opera en el numerador y se simplifica:
sen ! cos ! + sen ! cos ! + sen !
cos !
cos ! =
cos !
=
= cos ! + sen !
1
1
1
cos !
cos !
cos !
1+
b)
(cqd )
1
= sen 2 α ; De igual forma, operamos en la parte izquierda:
2
1 + cotg α
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Apéndice: Lenguaje matemático
1
sen 2 ! + cos 2 ! sen 2 ! + cos 2 !
1
=
=
=
= sen 2 !
2
2
2
2
2
I
I
1
cos ! ( ) sen ! + cos ! ( ) sen ! + cos !
1+
sen 2 !
sen 2 !
sen 2 !
sen 2 !
(cqd )
c) cotg 2 α − cos2 α = cotg 2 α ⋅ cos2 α (Hay alguna errata en este ejercicio)
1 − senα
cos α
=
; Optamos por multiplicar “en cruz” y comparar los resulta
cos α
1 + senα
dos:
(1! sen ! ) (1+ sen ! ) = cos2 !; 1! sen2 ! = cos2 ! que es una igualdad
d)
demostrada ya que se trata de la relación fundamental (I).
Ejercicio 22
Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:
3
cos ! = ! , 180º " ! ! 270º Por la relación fundamental (I):
5
2
" 3%
9
9
16
4
2
sen ! + $ ! ' = 1; sen 2 ! + = 1; sen 2 ! = 1! ; sen ! =
=±
25
25
25
5
# 5&
a
)
Como el ángulo está en el III cuadrante, el seno es negativo, por tanto:
sen ! = !
4
5
!4
5 =4
tg
!
=
Para hallar la tangente utilizamos la relación fundamental (II):
!3 3
5
b
)
cotg ! = !2, 90º " ! ! 180º , obtenemos la razón inversa a la dada para tener
una fundamental (las relaciones fundamentales vistas utilizan las razones directas)
cotg ! = !2;
el coseno:
cos ! =
1
1
= !2;
= tg ! ; En la relación fundamental (III) despejamos
tg !
!2
cos 2 ! =
1
=
1+ tg 2 !
1
" !1 %
1+ $ '
#2&
2
=
1
1+
1
4
=
1
4
= ;
4 +1 5 por tanto
4
4
2
= ± ; Como el ángulo está en el II cuadrante, el coseno es negativo,
5
5
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cos ! = !
por tanto:
2
!1 sen !
=
; sen ! =
!2
2
; Para hallar el seno utilizamos la relación fundamental (II):
5
!1 ! "2
( ) ( );
5
Apéndice: Lenguaje matemático
2! 5
sen ! =
1
5
=
5
5
c) cosec ! = !2, 180º " ! ! 270º , obtenemos la razón inversa a la dada para tener una fundamental:
cosec ! = !2;
1
!1
= !2;
= sen ! ; Por la relación fundamental (I):
sen !
2
2
" !1 %
1
1
3
3
2
+ cos 2 ! = 1; cos 2 ! = 1! ; cos ! =
=±
$ ' + cos ! = 1;
4
4
4
2
#2&
Como el ángulo es del II cuadrante, el coseno es negativo, por tanto:
Para hallar la tangente: utilizamos la relación fundamental (II):
!1
1
3
tg ! = 2 =
=
! 3
3 3
2
Ejercicio 23
Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y
ésta forma 60º con el suelo. ¿A qué altura vuela la cometa?
Ejercicio muy sencillo:
La altura a la que vuele la cometa, h, será menor de 9 m y
mayor de 9/2 m
sen 60º =
h
9 3
; h = 9 m ⋅ sen 60º ; h =
≅ 7 '79 m
9m
2
cos ! = !
3
2
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Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 24
A una distancia de 72m de la torre el ángulo de elevación de la veleta de la torre es de
45 . Si el observador se encuentra a 1’80m sobre el suelo, calcula la altura de la torre.
Se trata de un simple triángulo rectángulo, donde sabemos un
ángulo agudo, el cateto contiguo y me piden el cateto opuesto
(se relacionan mediante la tangente). Para hallar la altura de la
torre deberemos sumar al cateto opuesto la altura del observador (1’80m):
tg 45º =
Altura de la torre=
x
; x = 72m ! tg 45º; x = 72m
72m
72m +1'80m = 73'80m
Ejercicio 25
Calcula la longitud de la sombra de la Torre Eiffel (altura: 300 m) cuando la inclinación
de los rayos solares es de 14 .
Si el ángulo tan solo es de 14º, significa que el Sol se encuentra muy
bajo, y la sombra, por tanto, será
muy grande (si el ángulo fuera de
45º, torre y sombra medirían lo mismismo; si el Sol estuviera en justo
encima, la longitud de la sombra sería 0 m)
La longitud de la sombra (distancia en el suelo entre el observador y la torre), el ángulo
y la altura de la torre están relacionadas por la tangente:
tg14º =
300m
300 m
; sombra =
; sombra = 1203'23 m
sombra
tg14º
Ejercicio 26
Desde un faro colocado a 40m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de
55 . ¿A qué distancia del faro se halla el barco?
Suponemos que la distancia pedida es la que hay entre el pie del faro y el barco, y no la de arriba del faro
al barco.
distancia al barco
;
40m
distancia al barco = 40 m ! tg 55º; distancia al barco = 57'13 m;
tg 55º =
Matemáticas de 4º de ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 27
La hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 12m y un cateto mide 8m. Halla el otro
cateto (utilizando la Trigonometría, no el Teorema de Pitágoras) y el área del triángulo
La hipotenusa, y el cateto que nos dan están relacionados por un
coseno del ángulo los une y que desconocemos:
cos ! º =
8
2
2
= ; ! = arccos = 48'19º
12m 3
3
(Ponemos al ángulo para que podáis comprobar soluciones, pero, en realidad, el ángulo que usaremos es el almacenado en la calculadora, no 48’19º)
Con el ángulo ya conocido, y una tangente, averiguaremos el cateto x:
tg ! º =
x
; x = 8m ! tg ! = 8'94m . Con esa altura aún en la calculadora, multipli8m
caremos por la base (8m) y dividiremos entre 2 para conseguir el área del triángulo:
área =
x !8
= 35'78m2
2
Ejercicio 28
Halla el área del pentágono regular de lado 10m.
El área de un polígono regular se calcula como
Área =
perímetro ! apotema
:
2
(la apotema es la distancia de la mitad del lado al centro del polígono)
pero quizá resulte más intuitivo calcular el área de un triángulo y multiplicarla por el número de triángulos que tenga el polígono; en el caso
del pentágono, multiplicaremos el área de un triangulo por cinco.
Podríamos considerar que en el centro del polígono hay un ángulo central de 360º (una
vuelta entera), pero como deben distribuirse entre 5 triángulos,
!=
360º
= 72º
5
Pero necesitamos un triángulo rectángulo, así que dividimos ese triángulo en dos partes iguales, y el ángulo también es la mitad. Debemos averiguar la apotema (cateto
contiguo) de un triángulo cuyo ángulo es
mitad del lado).
72º
= 36º y cuyo lado opuesto es 5 m (la
2
5
5
10 ! ap
; ap =
; Área del triángulo (de ángulo alfa) =
ap
tg 36º
2
10 ! ap
5
Área del pentágono =
! 5 = 25! ap = 25!
= 172'05m2
2
tg 36º
tg 36º =
Matemáticas 4º ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 29
Halla el área del hexágono regular de lado 10m.
Mirar el ejercicio anterior. El ángulo central es:
360º
= 60º , pero nos
6
interesa la mitad de ese ángulo, ya que así conseguimos un triángulo
rectángulo.
5
5
5
; ap =
=
= 5 3 ; Área del triángulo (de ángulo 60º) = 10 ! ap
1
ap
tg 30º
2
3
10 ! ap
Área del hexágono =
! 6 = 30 ! 5 3 = 259'87m2
2
tg 30º =
Ejercicio 30
Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10m. Halla la altura sobre
la hipotenusa.
Nos fijamos en uno de los triángulos pequeños, como el
ángulo es recto, la mitad será 22’5º.
cos 22'5º =
h
; h = 10 ! cos 22'5º = 9'24m
10
Ejercicio 31
Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12m y 6m. Calcula también
el área del rombo y lo que mide el lado.
Nos fijamos en uno de los 4 triángulos de la figura:
Los catetos serán de 6 m y 3 m. La mitad del ángulo beta será:
tg
! 6
!
= = 2;
= arc tg 2; ! = 2 ! arc tg 2; ! = 126'87º
2 3
2
Procedemos igual para el ángulo alfa:
tg
! 3 1 !
1
1
= = ;
= arc tg ; ! = 2 ! arc tg ; ! = 53'13º
2 6 2 2
2
2
Matemáticas de 4º de ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Para calcular el área del rombo calculamos el área de una de esos triángulo pequeños
y la multiplicaremos por 4:
6m ! 3m
= 9m2 ;
Área rombo = 9m2 ! 4 = 36m2
2
! 3
3
= 6'71m
El lado es una hipotenusa: cos = ; l =
!
2 l
cos
2
Área triángulo pequeño =
Ejercicio 32
La base de un triángulo isósceles mide 20m y el ángulo opuesto 80 . Calcula los lados
y el área del triángulo.
Nos fijamos, de nuevo, en uno de los triángulos pequeños de la
figura: ángulo 40º, cateto opuesto: 10 m, el lado x es la hipotenusa:
sen 40º =
10
10
; x=
=15'56m
x
sen 40º
Para calcular el área necesitamos al altura del triángulo: (podría usarse un coseno,
pero usaríamos un dato nuestro, mejor hacerlo con la tangente, que usa un dato del
problema):
tg 40º =
10
10
; h=
=11'92m (no piden h, utilizaré su fórmula)
h
tg 40º
10m
100 2
tg 40º
=
m = 119'17m2
2
tg 40º
20m !
Área =
Ejercicio 33
Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de
las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: ! ! 35'26º )
Aparentemente no hay datos numéricos. Hallamos x por
el teorema de Pitágoras:
x = l 2 + l 2 = 2l 2 = l 2
Y ahora hallamos la tangente de alfa:
tg α =
l
l 2
=
1
2
=
2
2
Finalmente se obtiene el ángulo como la inversa de la tangente: ! ! 35'26º
Matemáticas 4º ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 34
Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un ángulo de 60º:
Hay dos incógnitas, x y h, necesitamos un
sistema con dos ecuaciones. Las hipotenusas no son necesarias, así que nos valemos de las tangentes:
h ⎫
10 + x ⎪⎪ h = (10 + x ) ⋅ tg 30º ⎫ h = 10 ⋅ tg 30º + x ⋅ tg 30º ⎫
⎬
⎬
⎬
h
=
x
⋅
tg
60º
1
h
(
)
h
=
x
⋅
tg
60º
⎭
⎭
⎪
tg 60º =
⎪⎭
x
tg 30º =
Se resuelve el sistema por igualación:
10 ⋅ tg 30º + x ⋅ tg 30º = x ⋅ tg 60º ; Es importante diferenciar que parte va asociada con
la incógnita “y” y qué parte son simples números; se agrupan las incógnitas en un
miembro (se elige la parte derecha para evitar cambios de signo) y se saca factor común:
10 ⋅ tg30º = x ⋅ tg 60º − x ⋅ tg30º = x ( tg 60º − tg30º ); x =
10 ⋅ tg 30º
tg 60º − tg 30º
1
3
=
; y tg 60º = 3 , resulta:
3
3
3
10 3
10 ⋅
10 3
3 =
3
x=
=
= 5 m ; volvemos a la ecuación (1) para obtener h:
3 3 3− 3 2 3
3−
3
3
Como:
tg 30º =
h = x ⋅ tg 60º = 5m ⋅ 3 ; h = 5 3 m
Matemáticas de 4º de ESO Opción B
Apéndice: Lenguaje matemático
Ejercicio 35
Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el
avión hay un ángulo recto)
Similar al ejercicio 19; de nuevo hay
dos ecuaciones y dos triángulos de
los que extraer dos ecuaciones. Sea
x el valor de un de los catetos; el
otro cateto será 2000 - x:
Por la figura ya podemos suponer
que h es menor de 1000 m.
" tg 45º=1
!
$
$h = x 1
#
h
$ h = 2000 ! x & tg 30º
tg 30º =
2000 ! x $%
h
tg 45º =
x
()
(
)
"
$$
# x = 2000 & tg 30º !x & tg 30º
$
$%
x + x ⋅ tg 30º = 2000 ⋅ tg 30º; Sacando factor común: x (1 + tg30º ) = 2000 ⋅ tg30º ;
3 2000 3
2000 ⋅ tg 30º
2000 3 2000 3 3 − 3
3 =
3
x=
=
=
=
=
(1 + tg 30º ) ⎛
3+ 3
3+ 3
3 ⎞
3+ 3 3− 3
⎜1 +
⎟
3
3
⎝
⎠
6000 3 − 6000 6000 3 − 1
x=
=
= 1000 3 − 1 m ; Por (1), h ≅ 732 m
9−3
6
2000
(
(
)
(
)
(
)(
)
)