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Ecuaciones de Primer Grado
Juan José Cervilla Sáez
1o ESO
Nombre:
Objetivos:
1. Conocer qué es una ecuación de primer grado.
2. Conocer y aplicar las distintas etapas para resolver una ecuación de primer grado.
3. Comprobar si hemos resuelto bien la ecuación.
4. Traducir enunciados a lenguaje algebraico para la resolución de problemas.
Lo primero que debemos conocer es qué es una ecuación de primer grado:
Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que es cierta para un
determinado valor de la incógnita.
En una ecuación podemos distinguir dos miembros separados por el signo igual =
P rimer mienbro −→ x + 5 = 6 ←− Segundo mienbro.
Los términos de la ecuación son los sumandos que forman los miembros. Así en la ecuación
anterior tenemos tres términos, x y 5 en el primer miembro y 6 en el segundo miembro.
La incógnita de la ecuación es la letra que aparece en la propia ecuación. En nuestro ejemplo
la incógnita es x.
Un número es solución de la ecuación si al sustituir la incógnita por este número la igualdad se verifica. En nuestro ejemplo el número 1 es solución:
1+5=6
Pasos para resolver una ecuación:
1. Quitar los paréntesis (utilizando la propiedad distributiva).
2. Quitar los denominadores (utilizando el mínimo común múltiplo).
1
3. Transposición de términos (llevar a un miembro todos los términos con x y al otro todos
los números, cambiando el signo a aquellos términos que se mueven).
4. Reducir términos semejantes.
5. Despejar la x (incógnita), aplicando la operación contraria.
Las ecuaciones se pueden resolver en línea o desarrollando hacia abajo. Veamos ejemplos con
ambas formas.
Resolución en línea. Al resolver en la misma línea escribimos ⇒ cada vez que volvemos
a escribir la igualdad. Por ejemplo resolvamos la ecuación 2(x + 3) = 4(x + 1):
2(x + 3) = 4(x + 1) ⇒ 2x + 6 = 4x + 4 ⇒ 6 − 4 = 4x − 2x ⇒
2
=1⇒x=1
2
Para resolver la ecuación, primero hemos quitado los paréntesis de ambos miembros utilizando la propiedad distributiva. En segundo lugar hemos realizado la transposición de términos,
llevando los términos con x a la derecha y los números a la izquierda. Luego hemos realizado
la reducción de términos semejantes, y por último hemos despejado la x pasando el 2, que la
acompaña multiplicando, al otro miembro dividiendo.
⇒ 2 = 2x ⇒ x =
Veamos ahora un ejemplo con denominadores,
x+2
5
= 3(2 + x):
x+2
x+2
5(6 + 3x)
x+2
= 3(2 + x) ⇒
= 6 + 3x ⇒
=
⇒
5
5
5
5
⇒ x + 2 = 5(6 + 3x) ⇒ x + 2 = 30 + 15x ⇒ x − 15x = 30 − 2 ⇒ −14x = 28 ⇒
28
⇒ x = −2
−14
Esta ecuación tiene más pasos que la anterior:
⇒x=
1. Quitamos el paréntesis del segundo miembro 3(2 + x) = 6 + 3x, aplicando la propiedad
distributiva.
2. Quitamos los denominadores usando que el m.c.m(1, 5) = 5.
3. Volvemos a quitar paréntesis como en el primer paso.
4. Hacemos la transposición de términos, llevando los términos que llevan x a primer miembro y el resto al segundo.
5. Reducimos los términos semejantes
6. Despejamos la x pasando el (−14), que está multiplicando, al otro miembro dividiendo.
Ahora vamos a resolver algunos ejemplos desarrollando hacia abajo la ecuación.
2
Resolución desarrollando hacia abajo. Vamos a resolver la siguiente ecuación x2 + x3 = x−1.
x x
+
2 3
x x
+
2 3
3x 2x
+
6
6
3x + 2x
3x + 2x
3x + 2x − 6x
−x
= x−1
=
=
=
=
=
=
x =
x =
x−1
1
6(x − 1)
6
6(x − 1)
6x − 6
−6
−6
−6
−1
6
m.c.m(1, 2, 3) = 6
Quitamos denominadores
Quitamos paréntesis
T ransposición de términos
Reducción de términos semejantes
Despejamos x
Como observamos, se resuelve la ecuación de la misma forma que las anteriores, lo único que
cambia es la forma de escribirla. Escribiéndola así no hace falta escribir el signo ⇒, solo hay
que escribir la ecuación en la siguiente línea de nuevo.
Resolvemos otro ejemplo:
x+6
5
x+6
5
x+6
5
x+6
x+6
x − 10x
−9x
= 2x − 1
=
=
=
=
=
=
x =
x =
2x − 1
1
5(2x − 1)
5
5(2x − 1)
10x − 5
−5 − 6
−11
−11
−9
11
9
m.c.m(1, 5) = 5
Quitamos denominadores
Quitamos paréntesis
T ransposición de términos
Reducción de términos semejantes
Despejamos x
Una vez que hemos visto cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado, vamos a ver cómo
se aplica a problemas de la vida real.
Esquema a seguir para resolver un problema de ecuaciones.
Leer y comprender el enunciado.
Designar la incógnita.
Plantear la ecuación (traducir el enunciado al lenguaje matemático).
Resolver la ecuación.
3
Interpretación y justificación de los resultados.
Problema de números.
Estos problemas consisten en encontrar un número que cumple unas determinadas condiciones.
Veamos algunos ejemplos:
1. Calcula el número, que sumado con su anterior y su siguiente da 114.
Sea a el número buscado.
Su anterior es a − 1.
Su siguiente es a + 1.
Por tanto la ecuación resultante es:
a + (a − 1) + (a + 1) = 114
a + a + a = 114 + 1 − 1
3a = 114
114
⇒ a = 38
a=
3
Entonces el número que buscamos es 38 ya que, 38 + 39 + 37 = 114
2. En una granja hay gallinas y conejos. Si contamos las cabezas resultan 59, y si contamos
las patas, 172. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay?
Solución:
Sea c el número de conejos.
Animales
Conejos
Gallinas
Total
Cabezas
c
59 − c
59
Patas
4c
2(59 − c)
172
Por tanto la ecuación queda:
4c + 2(59 − c) = 172
4c + 118 − 2c = 172
4c − 2c = 172 − 118
2c = 54
54
= 27 ⇒ c = 27
2
Por lo tanto tenemos 27 conejos y 32 gallinas, ya que 59 − 27 = 32 y 4 · 27 + 2 · 32 =
108 + 64 = 172.
c=
4
Problemas de edades.
En estos problemas aparecen al menos dos momentos temporales, las cuales nos proporcionan información sobre las incógnitas y las condiciones que cumplen.
1. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, y hace seis años solo era el doble.
Calcular la edad actual del padre y del hijo.
Solución:
Hace 6 años
Padre 3x − 6
Hijo
x−6
Actualidad
3x
x
La edad del padre es el triple que la de su hijo.
Hace seis años solo era el doble.
Por tanto la ecuación es :
3x − 6 = 2(x − 6)
3x − 6 = 2x − 12
3x − 2x = −12 + 6
x = −6
Por tanto el problema no tiene solución, ya que una persona no puede tener -6 años.
Con esto observamos que en los problemas de ecuaciones, la ecuación puede tener solución pero esta puede no adecuarse a nuestro problema.
Problemas geométricos.
Consisten en averiguar el lado, altura, etc. de algún polígono de los que hemos estudiado.
1. La base de un rectángulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el
perímetro mide 30 cm?
Sea h la altura del rectángulo.
2h es su base.
Como sabemos, el perímetro se define como la suma de las longitudes de todos los
lados.
Por tanto, la ecuación resultante es:
h + h + 2h + 2h = 30
6h = 30
30
h=
⇒ h = 5cm
6
En conclusión, la altura del rectángulo mide 5 cm y su base mide 10 cm ya que: 2 · 5 = 10
y 10 + 10 + 5 + 5 = 30
5
NOTA: En los problemas de ecuaciones es tan importante averiguar la solución de la ecuación
planteada como asegurarse que esta se adecua a las condiciones iniciales del problema.
Ejercicios:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 4x − 2 = 10
b) 2x − 5 + 3x − 8 = 7x − 6 − x
c) 4(x + 1) − 7x = −6x + 2(x + 10) − 4
d ) 5x + 2(4x − 6) = 6(x + 4) − 4
e) x − 2(x − 7) − (x + 3) = 2(3 − x)
f ) x − 5 = − 4x−12
4
g)
h)
i)
j)
x+1
− 1 = x+3
− x+4
2
4
5
5x+2
3x+19
1−3x
− 2 + 2 − 5 + x+1
3
6
5
1
(x + 3) = 4(x − 2) − 4
2
3 + 2 x3 − 34 = 61 (x + 5)
=x
2. Si a un número le sumamos su doble y le restamos su tercera parte obtenemos 8. ¿Qué
número cumple estas condiciones?
3. En una granja hay veinte animales entre vacas y ovejas. El granjero elabora quesos con la
leche que obtiene de los animales. Por cada vaca el granjero elabora dos quesos, mientras
que por cada oveja solo elabora uno. Si en total elabora treinta y cinco quesos, ¿cuántas
vacas y ovejas hay en la granja?
4. El doble de la suma de dos números impares consecutivos es 24. ¿Cuáles son estos números?
5. La base de un triángulo mide 6 cm. Calcula el valor de su altura, si el área del triángulo
es 42 cm2 .
6. Sabemos que en un trapecio su base menor mide 6 cm y su altura es de 3 cm. Si su área
es de 45 cm2 , ¿cuánto mide su base mayor?
7. Un padre tiene 29 años, y su hija, 3. Calcular cuántos años han de transcurrir para que
la edad del padre sea el triple de la edad de su hija.
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