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7. Radiación Bremsstrahlung
La radiación debida a la aceleración de una carga en el campo Coulomb de
otra carga se conoce como bremsstrahlung o radiación libre-libre. Para
entender este proceso completamente requiere un tratamiento cuántico ya
que se pueden producir fotones con energías comparables con la de la
partícula emisora. Aun así, si se justifica un tratamiento clásico, en algunos
regímenes y las formulas que se obtienen tienen la dependencia funcional
correcta para la mayoría de los parámetros físicos. Así que, podemos
discutir el tratamiento clásico y luego presentar los resultados cuánticos
como correcciones (factores Gaunt) a las formulas clásicas.
Primeramente trataremos el bremsstrahlung no-relativico.
El
bremsstrahlung debido a colisiones de partículas iguales (electrón-electrón,
protón-protón) es cero en la aproximación dipolo por que el momento dipolo
Σeiri es simplemente proporcional al centro de masa Σmiri, una constante de
movimiento. Por lo tanto tenemos que considerar dos partículas diferentes.
En el caso de bremsstrahlung de electrón-ión, los electrones son los
radiadores principales, ya que las aceleraciones relativas son inversamente
proporcionales a las masas, y las cargas son básicamente iguales. Como el
ión es comparativamente masivo, hasta se puede tratar al electrón como una
carga moviéndose en el campo Coulomb fijo del ión.
7.1 Emisión de electrones con velocidades singulares
Asumamos que los electrones se mueven lo suficientemente rápido para que
el desvío en su trayectoria de una línea recta sea despreciable. Esto se
conoce como el régimen de la dispersión de ángulo pequeño. Aunque la
aproximación no es necesaria si simplifica el análisis y nos lleva a la forma
correcta de las ecuaciones. Consideremos un electrón con carga emoviéndose cerca de un ión con carga Ze con un parámetro de impacto b
(fig 5.1). El momento dipolo es d = -eR, y su segunda derivada es d = −ev ,
donde v es la velocidad del electrón. Si tomamos la transformada de Fourier
de esta expresión, y notando que la transformada de Fourier de d es
− ω 2 d (ω ) obtenemos que
− ω 2 d (ω ) = −
e
2π
∫
∞
ve iωt dt .
−∞
1
Es sencillo derivar una expresión para d (ω ) en sus limites asintóticos para
frecuencias grandes y pequeñas. Primero, notamos que el electrón esta en
una interacción muy cercana con el ión por un intervalo de tiempo, llamado
tiempo de colisión, del orden de τ = b/v. Para ωτ >> 1 el exponencial en el
integral oscila rápidamente y el integral se hace pequeño. Para ωτ << 1 es
exponencial es esencialmente unidad por lo que podemos escribir
 e
∆v, ωτ

d (ω ) ~  2πω 2
 0,
ωτ
1
,
1
donde ∆v es el cambio de velocidad durante las colisiones. Para obtener la
2
energía total por rango de frecuencia consideramos que d (ω ) ∝ dW dω por
lo que obtenemos que
 2e 2
2
∆v , ωτ
dW 
3
=  3πc
dω 
ωτ
 0,
1
.
1
Para estimar ∆v, como el paso es casi lineal, el cambio en velocidad es
predominantemente normal al paso.
Así que solo integramos ese
componente de aceleración normal al paso:
∆v =
Ze 2
m
bdt
∞
∫ (b
−∞
2
+ v 2t 2 )
32
=
2 Ze 2
,
mbv
el integral es sencillo. Entonces, para dispersión de ángulos pequeños, la
emisión de una sola colisión es
2
 8Z 2 e 6
, b
dW (b) 
=  3πc 3m 2 v 2 b 2
dω
 0,
b
v /ω
.
v /ω
Ahora queremos determinar el espectro total para un medio con densidad de
iones ni, densidad de electrones ne y para la velocidad de electrones fija v.
Noten que el flujo de electrones incidente en un ión es simplemente nev. El
elemento de área es 2πbdb para un ión solo. La emisión por unidad de
tiempo por unidad de volumen por rango de frecuencia es
∞ dW ( b)
dW
= ne ni 2πv ∫
bdb ,
bmin
dωdVdt
dω
donde bmin es un valor mínimo para el parámetro de impacto.
Si parece que el limite asintótico no es suficiente para evaluar el integral,
que requiere valores de dW(b)/dω para un rango de parámetros de impacto.
Pero sucede que podemos obtener una muy buena aproximación usando solo
el limite asintótico pequeño. Para ver esto, sustituimos el valor de b<<v/ω
en el integral y obtenemos
bmax db
b 
16e 6
16e 6
dW
= 3 2 n e ni Z 2 ∫
= 3 2 ne ni Z 2 ln max  ,
bmin b
3c m v
dωdVdt 3c m v
 bmin 
donde bmax es algún valor de b más allá de donde el resultado asintótico de
b<<v/ω es inaplicable y la contribución al integral es descartable. El valor
de bmax es incierto pero del orden de v/ω . Como bmax ocurre dentro del
logaritmo su valor preciso no es muy importante así que definimos bmax ≡
v/ω. Podemos ver como el uso de la forma asintótica esta justificado por
que intervalos iguales del logaritmo contribuyen igualmente a la emisión, y
sobre la mayoría de estos intervalos la emisión esta determinada por su
limite asintótico a baja frecuencia.
El valor de bmin se puede estimar de 2 formas. Primero, podemos tomar el
valor en la cual la aproximación de línea recta deja de ser valida. Como esto
ocurre cuando ∆v~v, tenemos que
3
(1)
=
bmin
4 Ze 2
.
πmv 2
Un segundo valor para bmin es de naturaleza cuántica y concierne la
posibilidad de tratar el proceso de colisión en términos de orbitas clásicas,
como hemos hecho. Por el principio de incertidumbre ∆x∆p≥ћ, y tomando
∆x~b y ∆p~mv resulta en
(2)
bmin
=
h
.
mv
(1)
(2)
Cuando bmin
>> bmin
la descripción clásica del proceso de dispersión es valido,
1 2
4
2
mv << Z 2 Ry , donde Ry=me /(2ћ )
2
(1)
( 2)
<< bmin
,
es la energía de Rydberg para el átomo de Hidrogeno. Cuando bmin
1 2
o equivalente,
mv >> Z 2 Ry , el principio de incertidumbre juega un rol
2
(2)
y usamos bmin = bmin
. Esto ocurre cuando
muy importante y el calculo clásico no puede ser utilizado. Aun así, se
pueden obtener resultados del orden correcto de magnitud si simplemente
(2)
usamos bmin = bmin
.
Ahora para cualquier régimen los resultados exactos son convenientemente
presentados en términos de un factor de corrección o factor Gaunt gff(v,ω)
para que
dW
16πe 6
=
ne ni Z 2 g ff (v, ω ) .
dωdVdt 3 3c 3 m 2 v
Cuando comparamos la expresión para la aproximación de b<<v/ω y esta
última expresión con gff podemos obtener el factor de Gaunt en términos de
un logaritmo
g ff (v, ω ) =
b 
ln max  .
π  bmin 
3
El factor de Gaunt es una función precisa de la energía del electrón y de la
frecuencia de la emisión. Existen tablas y graficas muy extensas con valores
de gff en la literatura.
4
7.2 Emisión Bremsstrahlung termal.
El uso más interesante de estas ecuaciones es su aplicación para
bremsstrahlung termal, o sea, promediamos la expresión para una velocidad
sobre la distribución termal de velocidades. La probabilidad dP de que una
partícula tenga una velocidad en el rango de velocidad d3v es
 mv 2  3
d v .
dP ∝ e − E / kT d 3v = exp −
 2kT 
Como d3v = 4πv2dv para una distribución isotrópica de velocidades, la
probabilidad que una partícula tenga una velocidad en el rango de velocidad
dv es
 mv 2 
dv .
dP ∝ v 2 exp −
 2kT 
Ahora queremos integrar la expresión para los resultados exactos de
dW/dωdVdt sobre la función anterior. Uno pensaría que los limites de
integración serían 0 ≤ v < ∞ pero a la frecuencia ν, la velocidad incidente
tiene que ser al menos hν ≤ mv2/2 por que sino un fotón de energía hν no
podría ser creado. Este corte en el limite inferior de la integración sobre las
velocidades de los electrones se le llama el efecto de fotones discretos.
Llevando acabo el integral
dW (T , ω )
=
dVdtdω
∫
∞
vmin
dW (v, ω ) 2
v exp(− mv 2 / 2kT )dv
dωdVdt
,
∞
2
2
∫ v exp(− mv / 2kT )dv
0
donde vmin ≡ (2hν / m )1 2 y si dω = 2πdν obtenemos
12
dW
2 5 πe 6  2π 
−1 2 2
− hν
=
 T Z n e ni e
3 
dVdtdv 3mc  3km 
kT
g ff .
Evaluando esta ecuación en unidades cgs obtenemos para la emisión (ergs
s-1 cm-3 Hz-1)
5
ενff ≡
dW
= 6.8 × 10 −38 Z 2 ne ni T −1 2 e −hν
dVdtdν
kT
g ff .
Aquí g ff (T ,ν ) es el factor Gaunt de velocidad promedio. El factor T-1/2 en la
ecuación viene del hecho que dW/dVdtdω ∝ v-1 y v ∝ T 1 2 . El factor de
e-hν/kT viene del corte del limite inferior en la integración de la velocidad
debido a los fotones discretos y la curva Maxweliana de la distribución de
velocidad.
En la fig 5.2 se indican las formulas analíticas aproximadas para g ff en los
varios regímenes en que la dispersión de ángulo-grande y pequeño son
dominantes, y donde el principio de incertidumbre es importante para el
parámetro de impacto mínimo. En la fig 5.3 se presentan las graficas con los
6
valores numéricos.
Los valores de g ff para u ≡ hν/kT >> 1 no son
importantes ya que el espectro se corta para estos valores. Por lo que g ff es
de orden de unidad para u ~ 1 y tiene un valor entre 1 y 5 para 10-4 < u < 1.
Buenos estimados, del orden de magnitud, se pueden obtener cuando fijamos
g ff a unidad.
También podemos ver que el espectro de emisión bremsstrahlung es
básicamente plano en una grafica log-log hasta el corte cuando hν ~ kT.
(Esto es cierto solo para fuentes opticamente delgadas. Aun no hemos
considerado la absorción de fotones por electrones libres.)
Para obtener las formulas de bremsstrahlung no-termal uno tiene que saber
la distribución de velocidades actual, y la expresión de velocidad para un
solo electrón tiene que ser promediada sobre esa distribución. También se
requieren los factores Gaunt apropiados.
7
Para obtener la expresión que determina la potencia total por unidad de
volumen emitido por bremsstrahlung termal, vemos el resultado espectral al
integrar la expresión anterior sobre frecuencia. El resultado es
dW
 2πkT 
=

dtdV  3m 
12
2 5 πe 6 2
Z n e ni g B ,
3hmc 3
o numéricamente en unidades cgs, la emisión (ergs s-1 cm-3) es
ε ff ≡
dW
= 1.4 × 10 −27 T 1 2 ne ni Z 2 g B .
dtdV
El factor g B (T ) es un promedio de frecuencia del factor de Gaunt de
velocidad promedio lo cual esta en el rango de 1.1 a 1.5. Escogiendo un alor
de 1.2 nos dará una precisión dentro del 20%.
7.3 Bremsstrahlung termal (libre-libre), absorción.
Es posible relacionar la absorción de radiación por un electrón moviéndose
en el campo de un ión al proceso de emisión bremsstrahlung que le precede.
El caso más interesante es el de absorción termal libre-libre. Para este caso
podemos comenzar con la ley de kirchhoff
jνff = ανff Bν (T ) .
Definimos ανff como el coeficiente de absorción libre-libre y donde jνff se
relaciona con la expresión de emisión que le precede por
dW
= 4πjνff .
dtdVdν
Introduciendo la curva de la función de Planck Bν(T) (discutida en el
capitulo 1) obtenemos
12
αν
ff
4e 6  2π 
−1 2 2
−3
− hν / kT
)g ff .
=
 T Z ne niν (1 − e

3mhc  3km 
Evaluando la expresión en unidades cgs obtenemos para ανff (cm-1):
8
ανff = 3.7 × 108 T −1 2 Z 2 ne niν −3 (1 − e − hν / kT )g ff .
Para hν >> kT el exponencial es despreciable y αν es proporcional a ν-3 .
Para hν << kT, nos encontramos en el régimen de Rayleigh-Jeans y la
expresión se convierte en
12
ανff =
4e 6  2π 
−3 2 2
−2
 T Z ne niν g ff ,

3mhc  3km 
o numéricamente,
ανff = 0.018T −3 2 Z 2 ne niν −2 g ff .
El promedio Rosseland para el coeficiente de absorción libre-libre en
unidades cgs es
ανff = 1.7 × 10 −25 T −7 2 Z 2 ne ni g R ,
donde g R es el promedio de la frecuencia de g ff , con sus pesos
apropiadamente, y es de orden de unidad.
7.4 Bremsstrahlung relativico.
Nuestra discusión anterior de bremsstrahlung fue para partícula norelativicas. Ahora podemos enseñar que el caso relativico se puede tratar
con un método muy interesante llamado el método de la cuánta virtual. Un
tratamiento clásico nos ayudara a entender bien el concepto aunque para un
entendimiento completo requiere electrodinámica cuántica.
Consideramos la colisión entre un electrón y un ión pesado de carga Ze.
Normalmente, los iones se mueven muy lentamente comparados con los
electrones (en el marco de referencia del medio), pero es posible ver el
proceso desde un marco de referencia en donde inicialmente el electrón esta
reposo. En este caso,el ión parece moverse rápidamente hacia el electrón.
Sin perdida de generalización podemos asumir que el ión se mueve a lo
largo del eje-x con velocidad v mientras que el electrón esta inicialmente en
reposo en el eje-y, una distancia b del origen. Aunque no lo derivamos aquí,
aceptemos por fe, que el campo electrostático de un ión se transforma
9
esencialmente en un pulso transversal donde E ~ B , que al electrón le
parece ser un pulso de radiación electromagnética (fig 5.4).
Esta radiación sufre dispersión Compton del electrón para producir la
radiación emitida. Si transformamos de regreso al marco en reposo del ión
(o marco del laboratorio) obtenemos la radiación de emisión bremsstrahlung
del electrón. Por lo que el proceso bremsstrahlung relativico se puede
considerar como la dispersión Compton de un fotón virtual del campo
electrostático de un ión, como visto en el marco del electrón.
En el marco de reposo del electrón, el espectro del pulso del cuánta virtual
tiene la forma
(Ze )2  b′ω ′  K 2  b′ω ′  ,
dW ′
( ergs cm −2 Hz −1 ) = 2 2 
dA′dω ′
π b′ c  γc  1  γc 
2
donde hemos fijado v=c en el limite ultrarelativico. En este marco el cuánta
virtual es dispersado por un electrón de acuerdo a la sección transversal de
Thomson para ћω' ≤ mc2. En el limite de baja frecuencia la radiación
dispersada es
dW ′
dW ′
= σT
,
dω ′
dA′dω ′
donde σT es la sección transversal de Thomson. Como la energía y la
frecuencia se transforman idénticamente bajo transformaciones Lorentz,
10
obtenemos para la energía emitida por frecuencia en el marco del
laboratorio, dW/dω = dW'/dω'. Para escribir dW/dω como función de b y ω,
en vez de b' y ω', notamos que el largo transversal no cambia, b=b', y que
ω = γω'(1 + βcosθ'), donde θ' es en ángulo de dispersión en el marco de
reposo del electrón. Como la dispersión es simetrica hacia delante y hacia
atrás, tenemos la relación promedio ω = γω'. Así que la emisión en el marco
del laboratorio
8Z 2 e 6
dW
=
dω 3πb 2 c 5 m 2
2
 bω 
 bω 
 2  K1  2  .
γ c
γ c
Esta ecuación es la energía por unidad de frecuencia emitida por la colisión
de un ión y un electrón relativico en el parámetro de impacto b. Para un
plasma con densidades ne de electrones y ni de iones, podemos repetir los
argumentos para obtener la emisión total por unidad de tiempo por unidad de
volumen por unidad de rango de frecuencia donde v →c, y donde bmin~h/mc
de acuerdo al principio de incertidumbre. Como el integral es igual, excepto
por un factor de γ adicional, el limite de baja frecuencia entonces será
ћω<<γ mc2,
16 Z 2 e 6 ne ni  0.68γ 2 c 
dW
 .
~
ln
3c 4 m 2
dtdVdω
 ωbmin 
A frecuencias más altas se tienen que usar ciertas correciones (KleinNishina).
Para una distribución termal de electrones, una expresión útil aproximada
para la potencia de frecuencia integrada (erg s-1 cm-3) en unidades cgs es
dW
= 1.4 × 10 −27 T 1 2 Z 2 ne ni g B (1 + 4.4 × 10 −10 T ) .
dVdt
El segundo término en paréntesis es la corrección relativica para εff.
11
8. Radiación Sincrotrón
Partículas aceleradas por campos magnéticos B radian. Para velocidades norelativicas la naturaleza de la radiación es sencilla y se le conoce como
radiación ciclotrón. La frecuencia de emisión es sencillamente la frecuencia
de giro del campo magnético. Aun así, para partículas extremamente
relativicas el espectro de frecuencias es mucho más complejo y se puede
extender por muchas veces la frecuencia de giro. A esta radiación se le
conoce como radiación sincrotrón.
8.1 Potencia total emitida.
Comencemos encontrando el movimiento de una partícula de masa m y
carga q en un campo magnético usando las ecuaciones relativicas.
d
(γmv ) = q v × B
dt
c
d
(γmc 2 ) = qv ⋅ E = 0 .
dt
La última ecuación implica que γ = constante o que v =constante. Por lo
tanto, sigue que
mγ
dv q
= v×B.
dt c
Separando los componentes de velocidad a lo largo del campo v|| y en un
plano normal al campo v┴ tenemos
dv||
dt
= 0,
dv ⊥
q
=
v ×B.
γmc ⊥
dt
Entonces, v|| = constante y como el v total = constante, v ⊥ también tiene
que ser constante. La solución para esta ecuación es el movimiento circular
uniforme del movimiento proyectado en el plano, ya que la aceleración en
este plano es normal a la velocidad y de magnitud constante. La
combinación del movimiento circular y uniforme a lo largo del campo es un
12
movimiento “helical/espiral” para la partícula (fig. 6.1). La frecuencia de
rotación o “giro” es ωB = qB/γmc.
La aceleración es perpendicular a la velocidad, con una magnitud a┴ = ωBv┴,
para que la radiación total emitida es,
P=
2q 2 4 q 2 B 2 2
γ 2 2 2 v⊥
3c 3
γ mc
o
P=
2 2 2 2 2
r0 cβ ⊥γ B .
3
Para una distribución isotrópica de velocidades es necesario promediar esta
formula sobre todos los ángulos para una velocidad dada β. Si α es el
ángulo de lanzamiento/inclinación, es el ángulo entre el campo y la
velocidad. Entonces obtenemos
β ⊥2 =
2β 2
β2
2
d
Ω
=
,
sin
α
4π ∫
3
2
2
y resulta en P =   r02 cβ 2γ 2 B 2 , el cual puede ser escrito como
 3
13
P=
4
σ T cβ 2γ 2U B
3
donde σ T = 8πr02 / 3 es la sección transversal de Thomson, y UB es la
densidad de energía magnética, UB = B2/8π.
8.2 El espectro de la radiación sincrotrón.
El espectro de la radiación sincrotrón tiene que estar relacionada a la
variación detallada del campo eléctrico, desde la perspectiva del observador.
Por los efectos de “beaming” los campos radiativos emitidos parecen estar
concentrados en una dirección angosta alrededor de la dirección de la
velocidad de la partícula (fig. 4.3). Como la velocidad y la aceleración son
perpendiculares, el diagrama apropiado es como en la fig. 4.10.
El observador vera un pulso de radiación confinado a un intervalo de tiempo
mucho más pequeño que el periodo de giro (rotación). El espectro entonces
será esparcido sobre una región más ancha que del orden de ωB/2π. Esto es
un punto especial de la radiación sincrotrón.
Podemos encontrar ordenes de magnitud haciendo referencia a la fig 6.2. El
observador vera el pulso desde los puntos 1 y 2 a lo largo del paso de la
partícula, de donde los conos de emisión con una apertura angular ~ 1/γ
incluye la dirección del observador. La distancia ∆s a lo largo del paso se
puede calcular del radio de curvatura del paso, a = ∆s / ∆θ . De la geometría
tenemos que ∆θ = 2/γ, de modo que ∆s = 2a / γ . Pero el radio de curvatura
del paso sigue la ecuación de movimiento
14
γm
∆v q
= v×B.
∆t c
Como ∆v = v∆θ y ∆s = v∆t , obtenemos
∆θ qB sin α
=
,
∆s
γmcv
a=
v
.
ω B sin α
Noten que esto difiere por un factor sinα del radio del circulo proyectado por
el movimiento en el plano normal al campo. Así que, ∆s esta dado por
∆s ≈
2v
.
γωB sin α
Los tiempos t1 y t2 en la cual la partícula pasa por los puntos 1 y 2 son tal
que ∆s = v(t2 – t1) para que
t 2 − t1 ≈
2
.
γω B sin α
15
Si definimos t1A y t2A como los tiempos de llegada de la radiación al punto de
observación, desde los puntos 1 y 2, la diferencia t2A − t1A es menor que t2 – t1
por la cantidad ∆s/c, que es el tiempo para que la radiación recorra una
distancia ∆s. Entonces tenemos
∆t A = t 2A − t1A =
2
 v
1 −  .
γω B sin α  c 
Debemos aclarar que el factor (1 – v/c) es el mismo que aparece en el efecto
Doppler. Como γ>>1 el factor se simplifica, (1 – v/c) ~1/2γ2 , y así
∆t A ≈ (γ 3ω B sin α ) .
−1
Por lo tanto, el ancho de los pulsos observados es más pequeño que el
periodo de giro por un factor γ3 (el pulso que se muestra en la fig 6.3). En
base a la discusión que ya hemos tenido sobre el espectro asociado a pulsos,
esperamos que el espectro será muy ancho, cortando a frecuencias como
1/∆tA. Si definimos una frecuencia critica
3
2
ωc ≡ γ 3ω B sin α
o
νc ≡
3 3
γ ωB sin α ,
4π
entonces esperamos que el espectro se extienda hasta el orden de ωc antes de
decaer. De hecho, podemos derivar mucho sobre el espectro de el simple
16
hecho de que el campo eléctrico es una función de θ por la combinación de
γθ, donde θ es el ángulo polar alrededor de la dirección de movimiento.
Esto es una manifestación del efecto “beaming”. Entonces. Podemos
escribir
E (t ) ∝ F (γθ ) ,
donde t se refiere al tempo medido en el marco de referencia del observador.
Fijamos el cero del tiempo y del largo del paso s cuando el pulso esta
centrado en el observador. Podemos encontrar que es θ con argumentos
similares a los usados para encontrar ∆s, entonces θ ≈ s / a y t ≈ (s / v )(1 − v / c ) .
Ahora podemos encontrar la relación entre θ y t, que es
γθ ≈ 2γ (γ 2ω B sin α )t ∝ ωc t .
Por lo tanto, podemos escribir la dependencia del tiempo del campo eléctrico
como
E (t ) ∝ g (ωc t ) .
Todavía no conocemos que es la constante de proporcionalidad, y podría
depender de algún parámetro físico excepto el tiempo t. Pero aun así, es
suficiente para poder derivar la dependencia general de ω para el espectro.
La transformada de Fourier del campo eléctrico es
17
∞
E (ω ) ∝ ∫ g (ωc t )e iωt dt .
−∞
Cambiando variables de integración a ξ ≡ ωct, obtenemos que
∞
E (ω ) ∝ ∫ g (ξ )e iωξ / ωc dξ .
−∞
El espectro dW/dωdΩ es proporcional al cuadrado de E (ω ) . Integrando
sobre el ángulo sólido y dividiendo por el periodo orbital, ambos
independientes de la frecuencia, obtenemos que la potencia promediada en
tiempo por unidad de frecuencia,
ω
dW
dW
= T −1
≡ P (ω ) = C1 F   ,
dω
dtdω
 ωc 
donde F es una función sin dimensiones y C1 es una constante de
proporcionalidad. Podemos ahora evaluar C1 por el simple truco de
comparar la potencia total como evaluada por el integral sobre ω al valor de
P determinado anteriormente:
∞
∞
∞
ω
P = ∫ P (ω )dω = C1 ∫ F  dω = ωc C1 ∫ F ( x )dx ,
0
0
0
 ωc 
donde hemos fijado x ≡ ω/ωc. No sabemos que obtendremos de ∫F(x)dx
hasta que especifiquemos F(x). Pero, podemos considerar su valor-nodimensional como arbitrario si hacemos la normalización apropiada de F(x).
Todavía podemos encontrar la dependencia de C1 de las otros parámetros
físicos. Usando la definición de P
P=
2q 4 B 2γ 2 β 2 sin 2 α
,
3m 2 c 3
y
ωc =
3γ 2 qB sin α
.
2mc
Entonces concluimos que para un caso altamente relativico (β~1), la
potencia por unidad de frecuencia emitida por cada electrón es
P (ω ) =
3 q 3 B sin α  ω 
F   .
2π
mc 2
 ωc 
18
El haber escogido √3/2π como la constante no-dimensional se ha hecho
anticipando los parámetros para la normalización de F. Si se requiere la
potencia por intervalo de frecuencia se puede usar la relación P(ν) = 2πP(ω).
8.3 El índice espectral para la ley de potencia de la distribución de
electrones.
De la formula para P(ω) es muy claro que no aparece un factor de γ, excepto
por el que esta contenido en ωc. De este punto es posible derivar un
resultado extremadamente importante sobre el espectro sincrotrón. Por lo
usual el espectro puede ser aproximado por una ley de potencia sobre un
rango limitado de frecuencias. Cuando esto ocurre, se define el índice
espectral como la constante s en la expresión
P (ω ) ∝ ω − s .
Esta es una pendiente negativa en una grafica de log P(ω) vs. log ω. Es muy
usual que el espectro de radiación astronómica tiene un índice espectral que
es constante sobre un rango ancho de frecuencias: por ejemplo, la porción de
Rayleigh-Jeans de la ley de cuerpo negro tiene un s = -2.
A veces, un resultado similar se puede encontrar para la ley de distribución
de electrones relativicos. En muchos casos la densidad de partículas con
energías entre E y E + dE (o γ y γ + dγ) se puede expresar aproximadamente
con la forma
N ( E )dE = CE − p dE ,
E1 < E < E 2
o
N (γ )dγ = Cγ − p dγ ,
γ1 < γ < γ 2 .
La cantidad C puede variar con el ángulo de lanzamiento/inclinación α y
otros factores. La potencia total radiada por unidad de volumen por unidad
de frecuencia por esa distribución esta dada por el integral de N(γ)dγ
multiplicado por la expresión de radiación de una sola partícula sobe todas
las energías o γ. Por lo tanto tenemos
19
γ2
γ2
ω
Ptot (ω ) = C ∫ P (ω )γ − p dγ ∝ ∫ F  γ − p dγ .
γ1
γ1
 ωc 
Otra vez, cambiamos variable de integración x≡ω/ωc , y notamos que
ωc ∝ γ 2 ;
Ptot (ω ) ∝ ω −( p −1) / 2 ∫ F ( x )x ( p −3) / 2 dx .
x2
x1
Los limites x1 y x2 corresponden a γ1 y γ2 y dependen en ω. Aun así, si los
limites de energía son lo suficientemente grandes podemos aproximar x1~0,
x2~∞, para que el integral sea aproximadamente constante. En este caso
tenemos
Ptot (ω ) ∝ ω − ( p −1) / 2
así, el índice espectral s se relaciona al índice de distribución de partículas p
por s = (p – 1)/2.
Hagamos un resumen de los resultados de este tratamiento simple de la
radiación sincrotrón: Hemos demostrado que
1. La distribución angular de una sola partícula radiando ocurre cerca
(dentro de 1/γ) del cono con ángulo-medio igual al ángulo de inclinación α.
2. El espectro de la partícula singular se extiende hasta algo del orden de la
frecuencia critica ωc. Más precisamente, el espectro es solo función de ω/ωc.
3. Para la ley de potencias de la distribución de las energías de partículas
con índice p sobre un rango de energías suficientemente ancho, el índice
espectral de la radiación es s = (p – 1)/2.
8.4 El Espectro y polarización de la radiación sincrotrón.
Consideremos la trayectoria orbital en la fig. 6.4, donde el origen de las
coordenadas es la posición de la partícula en el origen del tiempo retardado
t′ = 0, y a es el radio de curvatura de la trayectoria. El sistema de
coordenadas ha sido escogido para que la partícula tenga una velocidad v a
lo largo del eje-x en un tiempo t′ = 0; ε┴ es el vector unitario a lo largo del
eje-y en el plano orbital (x-y), y ε || = n × ε ⊥ .
20
Utilizando la fig 6.4, tenemos
 vt ′ 
 vt ′ 
n × (n × β ) = −ε ⊥ sin  + ε || cos  sin θ ,
 a 
 a 
donde hemos fijado β = 1. Esto nos da el primer factor en la expresión
para dW/dωdΩ,
2
dW
= (q 2ω 2 / 4πc ) ∫ n × (n × β ) exp[iω (t ′ − n ⋅ r0 (t ′) / c )]dt ′ .
dωdΩ
Para el segundo factor de esta expresión, exp iω[t ′ − n ⋅ r (t ′) / c ] , notamos que
t′ −
−1 
c 2γ 2 t ′ 3 
a
n ⋅ r (t ′)
 vt ′ 
,
= t ′ − cos θ sin  ≈ (2γ 2 ) (1 + γ 2θ 2 )t ′ +
3a 2 
c
c
 a 

donde se expandió el argumento del seno y coseno para argumentos
pequeños, usamos la aproximación (1 – v/c)~1/2γ2 , y fijamos v=c en los
otros casos. Noten como el argumento que corresponde al exponencial es
grande y la parte correspondiente al integral es pequeño a menos que γθ≤1,
cγt′/a≤1, en acuerdo con la discusión cualitativa de la sección 8.2.
21
Una expresión para el espectro en sus dos estados de polarización, o sea, la
intensidad a lo largo de ε|| y la intensidad a lo largo de ε┴ se pueden obtener
combinando estas tres expresiones
dW||
dW⊥
dW
≡
+
,
dωdΩ dωdΩ dωdΩ
donde después de ciertas expansiones y sustituciones obtenemos
2
dW⊥
q 2ω 2  aθ γ 
=
dωdΩ 4π 2 c  γ 2 c 
dW⊥
q 2ω 2θ 2
=
4π 2 c
dωdΩ
donde θ γ ≡ 1 + γ θ ,
2
2
2
2
 aθ γ

 γc
2
1 3 
3 
∫−∞ y exp 2 iη  y + 3 y dy ,
∞



2
ct ′
y ≡γ
aθ γ
2
1 3 
3 
∫−∞ exp  2 iη  y + 3 y dy ,
∞
y
ωaθ γ3
.
η≡
3cγ 3
Es un pequeño error el extender los limites de integración de -∞ a ∞. Estos
integrales son solo funciones del parámetro η y como mucha de la radiación
ocurre a un ángulo θ≈0, η se puede escribir como η≈η(θ=0)=ω/2ωc . Así que
la dependencia de frecuencia del espectro viene por medio de ω pero a través
de ω/ωc y la dependencia angular usa θ pero solo a través de γθ.
Estos integrales pueden ser expresados en términos de las funciones Bessel
de orden de 1/3 y 2/3 y luego pueden ser integradas sobe el ángulo sólido
para proveer la energía por rango de frecuencia radiada por una partícula por
orbita completa en el plano normal proyectado. Durante una de estas orbitas
la radiación emitida esta casi completamente confinada al ángulo sólido
mostrado en la figura 6.5, que se encuentra dentro de un ángulo de 1/γ del
cono con ángulo medio α. Entonces es posible tomar un elemento del
ángulo sólido dΩ = 2πsinαdθ por lo que podemos escribir
dW⊥ 2q 2ω 2 a 2 sin α
=
3πc 3γ 4
dω
∫
∞
−∞
θ γ4 K 22 (η )dθ ,
3
22
dW||
dω
=
2q 2ω 2 a 2 sin α
3πc 3γ 2
∫
∞
−∞
θ γ2θ 2 K 12 (η )dθ .
3
Los limites infinitos del integral son convenientes por que el integrando se
concentra en un valor pequeño de ∆θ alrededor de α, del orden 1/γ. El
integral en estas expresiones se puede simplificar aun más si definimos
ciertas sustituciones adicionales x≡ω/ωc ,
∞
F ( x ) ≡ x ∫ K 5 (ξ )dξ ,
x
G ( x ) ≡ xK 2 (ξ ) ,
3
3
y si dividimos por el periodo orbital de la carga, T=2π/ωB , podemos
obtener la potencia emitida por unidad de frecuencia,
P⊥ (ω ) =
3q 3 B sin α
[F ( x ) + G ( x )] ,
4πmc 2
23
P|| (ω ) =
3q 3 B sin α
[F ( x ) − G ( x )] .
4πmc 2
La potencia total emitida por frecuencia es la suma de estos:
3q 3 B sin α
P⊥ (ω ) =
F ( x) ,
2πmc 2
como ya lo habíamos determinado. En la fig. 6.6 se grafica la función F(x).
La forma asintótica para valores pequeños y grandes de x son:
13
F ( x) ~
4π  x 
  ,
1  2 
3Γ 
 3
x << 1,
12
π 
F ( x ) ~   e − x x1 2 ,
2
x >> 1 .
Para obtener la emisión integrada en frecuencia, o la emisión de una
distribución de electrones de ley de potencia, es muy útil tener expresiones
para los integrales sobre las funciones de F y G.
24
Para una distribución de potencias de electrones se puede mostrar que la
potencia total por unidad de volumen por unidad de frecuencia, Ptot(ω) es
3q 3CB sin α  p 19   p 1  mcω 
Γ  +  Γ  − 
Ptot (ω ) =

2πmc 2 ( p + 1)  4 12   4 12  3qB sin α 
− ( p −1) / 2
.
8.5 Polarización de la radiación sincrotrón.
También podemos calcular la polarización de la radiación sincrotrón. El
primer punto a notar es que la radiación de una carga será polarizada
elípticamente y el sentido de polarización (mano izquierda o derecha) es
determinado de si la línea de visión observada esta dentro o fuera del cono
de máxima radiación (fig 6.5). Pero, para una distribución razonable de
partículas que varíe suavemente con ángulo de inclinación cancelara el
componente elíptico, ya que conos de emisión contribuirán igualmente a
ambos lados de la línea de visión. Así, que la radiación será parcialmente
polarizada linealmente, y podemos caracterizar la radiación completamente
por su potencia por unidad de frecuencia P||(ω) y P┴(ω), en la dirección
paralela y perpendicular a la proyección del campo magnético en el plano
del cielo (fig 6.7).
25
El grado de polarización linear para partículas con una sola energía γ es:
P⊥ (ω ) − P|| (ω )
G( x)
∏ (ω ) = P (ω ) + P (ω ) = F ( x ) .
⊥
||
Esta polarización es algo grande; la polarización de la radiación integrada
en frecuencia es 75%. Para partículas con una distribución de ley de
potencia para su energía, se puede mostrar que el grado de polarización es
∏=
p +1
.
7
p+
3
8.6 Transición de emisión ciclotrón a sincrotrón.
Es de interés seguir el desarrollo del espectro típico sincrotrón mientras la
energía del electrón varía del régimen no-relativico hasta el régimen
altamente relativico. Consideremos tanto el campo eléctrico en el punto de
observación como el espectro de radiación asociado. Para bajas energías el
componente del campo eléctrico varia senoidalmente con la misma
frecuencia como el giro/rotación del campo magnético, y el espectro
consiste de una sola línea, figura 6.8a y b.
Cuando v/c incrementa, armónicas más altas de la frecuencia fundamental,
ωB, comienzan a contribuir. Debe ser claro que el espectro general debe de
26
ser una superposición de las contribuciones en múltiplos íntegros de ωB , ya
que hay periodicidad en intervalos de tiempo T = 2π/ωB. Cargas en
movimiento circular producen radiación en armónicas de la frecuencia
fundamental y el incremento de armónicas contribuyen con una fuerza
proporcional al incremento de las potencias de v/c, para v/c << 1.
Para velocidades ligeramente relativicas la fig 6.8 se convierte en la fig 6.9.
Aquí hemos adoptado la convención que el campo eléctrico es positivo
mientras la partícula se acerca al observador.
27
Vemos que la fase positiva del campo eléctrico se ha hecho más fina y más
intensa relativo a la fase negativa (efecto Doppler). Ahora hay una cantidad
substancial de radiación en la primera armónica de ωB (i.e. 2ωB).
Finalmente, para velocidades muy relativicas, v~c, tenemos la fig 6.10 (a, b).
La forma originalmente senoidal del campo eléctrico E(t) se a convertido en
una serie de pulsos muy finos, repetidos con un intervalo de tiempo 2π/ωB.
El espectro ahora involucra un gran número de armónicas, cuya envoltura se
acerca a la forma de la función de F(x). Tan pronto la resolución espectral
28
se hace grande con respecto a ωB , o si otros mecanismos de ensanchamiento
llenan los espacios entre las líneas, nos acercamos al resultado derivado
anteriormente. Un mecanismo de ensanchamiento físico ocurre para la
distribución de la energía de las partículas, entonces la frecuencia de
rotación (giro) ωB es proporcional a 1/γ, para que el espectro de las
partículas no se produzca sobre la misma línea. Otro efecto que causara que
el espectro sea continuo es que la emisión de diferentes partes de la región
emisora puede tener diferentes valores y direcciones para el campo
magnético, y así las armónicas queden en diferentes partes del espectro.
El campo eléctrico que recibe el observador de una distribución de partículas
consiste en una superposición aleatoria de muchos pulsos como los ya
descritos. El resultado neto es un espectro que es simplemente la suma de
los espectros de los pulsos individuales.
8.7 La distinción entre la potencia recibida y emitida.
En el 1968 se noto que no existía una distinción propia entre la potencia
recibida y emitida. El problema es que los pulsos recibidos no son a la
frecuencia ωB pero a una frecuencia propiamente corrida por el efecto
Doppler, por el movimiento progresivo de la partícula hacia el observador.
Esto se puede ver claramente en la fig 6.11. Si T=2π/ωB es el periodo orbital
del movimiento proyectado, entonces los efectos del retardo de tiempo, nos
dará el periodo entre la llegada de los pulsos TA que satisfacen
29

 v||
 v
 2π
sin 2 α .
TA = T 1 − cos α  = T 1 − cos 2 α  ≈
c
c
ω




B
La frecuencia fundamental observada entonces es ωB/sin2α en vez de ωB .
Esto nos lleva a dos modificaciones de la teoría anterior que aunque no son
fundamentales si son importantes:
1. El espacio entre las armónicas es ωB/sin2α y no ωB. Para partículas
extremadamente relativicas esto no es importante, por que uno ve el
continuo en vez de la estructura armónica. Al derivar la expresión
para el ancho del pulso ∆tA y consecuentemente para la frecuencia
critica ωc, si corregimos por la compresión Doppler de la radiación.
Por lo que la radiación continua es todavía una función de F(ω/ωc).
30
2. Se encontró la potencia emitida dividiendo la energía por el periodo T
de giro. Aunque correcto, la potencia recibida debe obtenerse
dividiendo la energía por TA. Por lo tanto tenemos que
Pr =
Pe
.
sin 2 α
La pregunta ahora es, si debemos incluir el factor de sen2α cuando
determinamos la potencia recibida. Y la contestación depende de el caso
físico. Por lo usual se observa una región razonablemente localizada en el
espacio con solo una velocidad neta moderada hacia el observador. En esta
caso, cualquier partícula que este progresando hacia el observador en un
tiempo, en otro tiempo estará alejándose (y no contribuirá a la potencia). La
potencia promedia emitida y recibida bajo estas circunstancias será la
misma, por que la cantidad total de pulsos emitidos y recibidos tienen que
ser los mismos a largo plazo. Esto aun se sostiene a corto plazo cuando
existe una distribución estacionaria de partículas.
Podemos concluir que para las situaciones que se encuentran es astrofísica
uno debe utilizar la expresión para la potencia emitida que provea la
potencia observada. Así que, las “correcciones” debido al movimiento
espiral no son tan importantes para la mayoría de los casos de interés.
8.8 Auto-absorción sincrotrón.
La emisión sincrotrón esta acompañada por absorción, en que un fotón
interactúa con una carga en un campo magnético y es absorbido, dando su
energía a la carga. Otro proceso que puede ocurrir es emisión estimulada o
absorción negativa, en que una partícula es inducida a emitir más
fuertemente en una dirección y a una frecuencia en donde ya existen fotones.
Estos procesos pueden estar inter-relacionados por medio de los coeficientes
de Einstein. En nuestra discusión previa sobre los coeficientes de Einstein
tratamos las transiciones entre estados discretos, y ahora tenemos que
generalizar esa discusión para incluir estados continuos. Esto se puede hacer
reconociendo que los estados de una partícula emisora son simplemente los
estados de la partícula libre, definidos por su momento, su posición, y
posiblemente su estado interno. Según la mecánica estadística existe un
estado cuántico asociado por cada grado de libertad translacionional de la
partícula dentro de un volumen de espacio fase de magnitud h3. Así que
31
rompemos el espacio-fase continuo clásico a elementos de tamaño h3, y
consideramos transiciones entre estos estados como si fuesen estados
discretos, para la cual se aplica nuestra discusión anterior.
Necesitamos una modificación adicional del resultado anterior, por que para
una energía dada del fotón hν van haber muchas transiciones posibles entre
los estados, que van a diferir en energía por la cantidad hν. Esto significa
que en la formula para el coeficiente de absorción, tenemos que sumar sobre
todos los estados mayores que 2 y todos los menores a 1:
αν =
hν
4π
∑∑ [n( E ) B
1
E1
12
− n ( E 2 ) B21 ]φ21 (ν ) .
E2
La función de perfil φ21 (ν ) es esencialmente una función δ que restringe las
sumatorias a esos estados que difieren por una energía hν = E2 - E1. Hemos
asumido que la emisión y absorción son isotrópicos. Para emisión
sincrotrón esto requiere que el campo magnético este enredado y que no
tenga dirección neta, y que la distribución de partículas también sea
isotrópica.
Ahora debemos convertir αν a una forma que dependa solo en la ecuación
que derivamos anteriormente para la emisión sincrotrón.
Es más
conveniente escribir la emisión en términos de la frecuencia ν en vez de ω,
para así usar que P(ν, E2) = 2πP(ω). Hemos explícitamente incluido el
argumento E2 , la energía del electrón que radia. En términos de los
coeficientes de Einstein tenemos
P (ν , E 2 ) = hν ∑ A21φ21 (ν ) = (2hν 3 / c 2 )hν ∑ B21φ21 (ν )
E1
E1
donde hemos usado una de las relaciones de Einstein. (como estamos
tratando con estados elementales, los pesos estadísticos son de orden de
unidad.)
Las partes del coeficiente de absorción debido a la emisión de estimulada se
pueden escribir en términos de P(ν, E2):
−
hν
4π
∑ ∑ n(E2 )B21φ21 = −
E1
E2
c2
8πhν 3
∑ n( E
2
) P(ν , E 2 ) .
E2
32
La parte de absorción se puede escribir
hν
4π
∑ ∑ n(E )B
1
E1
12φ21 =
E2
c2
8πhν 3
∑ n( E
2
− hν ) P(ν , E 2 ) .
E2
Hemos utilizado la relación de Einsten B12 = B21, y también hemos usado la
naturaleza continua del problema al mover n(E1) de la sumatoria y
reemplazarlo por n(E2 – hν). Esto no causa problemas pues φ21 (ν ) actúa
como función-δ forzando la relación E1 = E2 – hν. Por lo tanto,
c2
αν =
8πhν 3
∑ [n(E
2
− hν ) − n( E 2 )]P (ν , E 2 ) .
E2
Ahora, podemos introducir la función de distribución isotrópica de
electrones f(p) como f(p)d3p = número de electrones/ volumen con un
momento d3p alrededor de p.
Según la mecánica estadística, el número de estados cuánticos/ rango de
volumen d3p es ω~h −3d 3 p , donde ω~ es el peso estadístico interno del electrón
(=2 para partículas de espín = ½). La densidad de electrones por estado
cuántico es (h 3 / ω~ ) f ( p ) . Entonces, podemos reemplazar
∑→
2
ω~
h3
h3
n( E 2 ) → ~ f ( p2 ) .
ω
3
∫ d p2 ,
Entonces la expresión para el coeficiente de expresión se convierte en
αν =
[
]
c2
d 3 p2 f ( p2* ) − f ( p2 ) P (ν , E 2 )
8πhν 3 ∫
donde p2* es el momento que corresponde a la energía E2 – hν. Antes de
especializar esta formula revisemos que nos da el resultado correcto para una
distribución termal de partículas, esto es
 E ( p) 
.
f ( p ) = K exp  −
 kT 
Notamos que
33
 E 
 E − hν 
hν
f ( p2* ) − f ( p2 ) = K exp − 2
 − K exp − 2  = f ( p2 )( e
kT 
 kT 

kT
− 1) .
Entonces el coeficiente de absorción es
(αν )thermal
c2
(
e hν
3
8πhν
=
kT
− 1)∫ d 3 p2 f ( p2 )P (ν , E 2 ) .
El integral representa la potencia total por volumen por rango de frecuencia
lo cual es 4πjν para emisión isotrópica. Si reconocemos la formula para
Bν(T), podemos re-escribir
(αν )thermal
jν
,
Bν (T )
=
lo cual es el resultado correcto para emisión termal (ley de Kirchhoff).
Como la distribución de electrones es isotrópica es más conveniente el usar
la energía en vez del momento para describir la función de distribución, esto
es, N(E). Si asumimos la relación extremadamente relativica de E = pc,
entonces de la relación N(E)dE = f(p)4πp2dp obtenemos
(αν ) =
c2
8πν
3
∫ dEP(ν , E ) E
2
∂  N (E) 
.
∂E  E 2 
Donde hemos escrito E en vez de E2 y asumimos que hν << E. Esta es una
condición muy necesaria para la aplicación de electrodinámica clásica por lo
que es una restricción implícita en la expresión de P(ν,E). Solo hemos
mostrado el resultado de la expansión hasta el primer orden de hν.
Para el caso de la distribución termal para partículas ultra-relativicas,
N ( E ) = KE 2 e − E kT , obtenemos
(αν )thermal
=
c2
8πν 2 kT
∫ N ( E ) P(ν , E )dE =
jν c 2
,
2ν 2 kT
la ley de Kirchhoff en el régimen de Rayleigh-Jeans. Esto no es sorpresa por
la suposición de que hν << kT.
Para una distribución de partículas de ley de potencias tenemos que
34
− E2
( p + 2 )N ( E ) ,
d  N (E) 
= ( p + 2 )CE −( p +1) ) =
2 

dt  E 
E
por lo que el coeficiente de absorción se puede escribir
αν =
( p + 2 )c 2
8πν
2
∫ dEP(ν , E )
N (E)
.
E
La función de fuente se puede encontrar de
Sν =
jν
αν
=
P(ν )
∝ν 5 2 .
4παν
Este resultado se puede derivar fácilmente si notamos que Sν se puede
escribir como Sν ∝ ν 2 E donde E es la energía promedio de la partícula. El
valor apropiado para E es la energía de los electrones cuya frecuencia
crítica es igual a ν,
esto es,
E 2 ∝ ν c = ν , y así obtenemos la
proporcionalidad de la ecuación anterior. Es de interés que el índice de la
ley de potencia es 5/2, independiente del valor de p. Quizás de más interés
es que el índice no es 2, como el valor de Rayleigh-Jeans, por que la emisión
no es termal.
Para la emisión sincrotrón ópticamente delgada, la intensidad observada es
proporcional a la función de emisión, mientras que para la emisión
ópticamente gruesa es proporcional a la función de fuente. Como las
funciones de emisión y de fuente para una ley de potencias no-termal de una
distribución de electrones son proporcional a ν-(p-1)/2 y ν5/2, respectivamente,
vemos que la región óptimamente gruesa ocurre a bajas frecuencias y
produce un corte de baja frecuencia en el espectro (fig 6.12).
Se puede comprobar que el coeficiente de absorción es positivo para una
distribución arbitraria de energías de partículas N(E). O sea, si tratáramos
de causar una inversión de población, incrementando N(E) a cierta energía
E0 para que la emisión de E0 a E0 – hν fuese una transición maser,
inevitablemente crearíamos una absorción positiva más fuerte en otro lugar
que compensaría. Por lo que no es posible producir un maser de sincrotrón
en el vacío, aunque si sería posible en un plasma donde el índice de
refracción no es unidad.
35
36
9. Dispersión Compton
9.1 Sección transversal y transferencia de energía.
Para fotones con energía baja, hν << mc2, la dispersión de la radiación de
cargas libres se reduce al caso para la dispersión de Thomson, ya discutida.
Para la dispersión Thomson, cuando los fotones incidentes se aproximan a
una onda electromagnética continua, ε = ε1 ,
dσ T 1 2
= r0 (1 + cos 2 θ )
dΩ 2
donde
σT =
8π 2
r0 .
3
Aquí, ε y ε1 son las energías del fotón incidente y dispersado,
respectivamente, dσT/dΩ es la sección transversal diferencial de Thomson
para radiación incidente no-polarizada, y r0 es el radio del electrón clásico.
Cuando ε = ε1, la dispersión se le conoce como coherente o elástica.
Los efectos cuánticos aparecen de dos formas: Primero, a través de la
cinemática del proceso de dispersión, y segundo, a través de la alteración de
las secciones transversales. Los efectos cinemáticas ocurren por que el fotón
posee momento hν/c al igual que energía hν. La dispersión ya no será
elástica (ε ≠ ε1) por el reculado (“recoil”) de la carga. Podemos construir las
relaciones para la conservación de energía y momento. El momento inicial y
final del fotón son Pγi = (ε / c )(l , ni ) y Pγf = (ε 1 / c )(l , n f ) y el momento inicial y
final del electrón son Pei = (mc,0) y Pef = (E / c, p ) , donde ni y nf son las
direcciones iniciales y finales de los fotones (fig 7.1). La conservación de
37
momento y energía se expresan como Pei + Pγi = Pef + Pγf . Re-organizando
2
2
términos y cuadrando obtenemos que Pef = Pei + Pγi − Pγf , lo cual elimina el
momento final del electrón. Así que finalmente obtenemos
ε1 =
1+
ε
mc 2
ε
(1 − cos θ )
.
En términos de largo de onda, lo podemos escribir como:
λ1 − λ = λc (1 − cos θ )
donde el largo de onda Compton se define como
λc ≡
h
= 0.02426 A° para electrones.
mc
Podemos darnos cuenta que habrá un cambio en el largo de onda del orden
de λc al dispersarse. Para longitudes de onda largas λ >> λc (i.e. hν << mc2)
la dispersión es bastante elástica. Cuando esta condición se satisface,
podemos asumir que no hay cambio en la energía del fotón en el marco de
referencia del electrón.
Aunque no derivamos el efecto cuántico en la sección transversal si lo
describiremos sin mucha complicación. La sección transversal diferencial
para la radiación no-polarizada se representa en la cuántica electromagnética
por la expresión de Klein-Nishima

dσ r02 ε 12  ε ε 1
 + − sin 2 θ  .
=
2 
dΩ 2 ε  ε 1 ε

Noten que para ε1 ~ ε la expresión se reduce a su versión clásica. El efecto
principal es el de reducir la sección transversal, de su valor clásico, mientras
la energía del fotón se hace grande. Por lo tanto, la dispersión Compton se
hace menos eficiente a altas energías. La sección transversal total resulta ser
3 1 + x  2 x (1 + x )

1
1 + 3x 
ln (1 + 2 x ) −
σ = σT ⋅  3 
− ln (1 + 2 x ) +
4  x  1 + 2x
(1 + 2 x )2 
 2x
38
donde x ≡ hν/mc2 . En el régimen no-relativico tenemos aproximadamente

σ ≈ σ T 1 − 2 x +

26 x 2
+
5

 ,

x << 1,
pero para el régimen extremadamente relativico tenemos
3
8


1
2
σ = σ T x −1  ln 2 x + ,
x >> 1.
Dispersión de electrones en movimiento: transferencia de energía.
Para esta discusión asumimos que en el marco de referencia del electrón
hν << mc2, para que así la corrección relativica de la expresión de KleinNishima sea despreciable. Siempre y cuando el electrón en movimiento
tenga suficiente energía cinética comparado con el fotón, energía neta podrá
ser transferida del electrón al fotón, en contraste con la situación descrita por
la expresión de conservación de energía. Es este caso al proceso de
dispersión se le conoce como Compton inverso.
Si llamamos a K el laboratorio o el marco de referencia del observador, y
dejamos que K′ sea el marco de referencia del electrón, podemos ver el
evento de dispersión en cada marco de referencia (fig 7.2). Tendremos que
re-escribir las expresiones anteriores para la dispersión desde electrones en
39
reposo con notación prima, ya que aparecen en el marco de referencia de
reposo del electrón. De las ecuaciones de corrimiento Doppler,
ε ′ = εγ (1 − β cos θ ),
ε 1 = ε 1′γ (1 + β cos θ1′).
Entonces, de la expresión de conservación de energía obtenemos


ε 1′ ≈ ε ′1 −
ε′
mc
2
(1 − cos Θ)

cos Θ = cos θ1′ cos θ ′ + sin θ ′ sin θ1′ cos(φ ′ − φ1′) ,
donde φ1′ y φ ′ son los ángulos azimutales del fotón dispersado y el fotón
incidente en el marco de reposo.
En el caso de electrones relativicos, γ2 – 1 >> hν/mc2, las energías del
fotón antes de dispersión, en el marco de reposo del electrón, y después de
dispersión son las tasas aproximadas 1:γ:γ2 , proveyendo que la condición
para la dispersión de Thomson, en el marco de reposo γε << mc2 se
satisfagan. Los ángulos θ y θ1′ son característicamente del orden π/2.
Este proceso convierte fotones de baja energía a uno de alta energía por un
factor del orden γ2. Ya que la energía intermedia del fotón puede ser tan alta
como de 100 KeV y estará en el limite de Thomson, se puede ver que los
fotones de energías enormes (γ x 100 KeV) se pueden producir. Si las
energías intermedias son demasiado altas entonces los dos efectos cuánticos
ya mencionados actúan para reducir la efectividad del proceso, haciendo que
ε 1′ > ε y reduciendo la probabilidad de dispersión. Los efectos cinemáticas
limitan la energía que se puede obtener: De la conservación de energía
podemos escribir que ε1 < γmc2 + ε. Si fijamos ε y dejamos que γ sea muy
grande nos damos cuenta que las energías del fotón más grande que ~γmc2
no se pueden obtener.
9.2 La potencia del Compton inverso.
Las expresiones anteriores se referían a la dispersión Compton de un solo
fotón sobre un solo electrón. Ahora podemos derivar expresiones promedio
40
para el caso de alguna distribución isotrópica de fotones siendo dispersados
de una distribución isotrópica de electrones. De las ecuaciones de dispersión
corregidas para el efecto Doppler ya mencionadas, podemos promediar
sobre todo ángulo. Definimos la función de distribución, en el espacio fase,
del fotón como n(p), lo cual es invariante bajo transformaciones Lorentz. Si
vdε es la densidad de fotones con energía en el rango dε, entonces podemos
relacionar a v y n de la siguiente forma vdε = nd 3 p .
Ahora, d3p se transforma de la misma manera que la energía bajo una
transformada de Lorentz por lo que vdε/ε es invariante:
vdε
ε
=
v ′dε ′
.
ε′
La energía total emitida (o sea, dispersada) en el marco de reposo del
electrón se obtiene
dE1′
= cσ T ∫ ε 1′v ′dε ′ ,
dt ′
donde v′dε′ es la densidad numérica de fotones incidentes. Asumimos ahora
que el cambio de energía del fotón en el marco de reposo es despreciable
comparado con el cambio de energía en el laboratorio, γ2 – 1 >> ε/mc2;
entonces podemos relacionar ε 1′ = ε ′ . También sabemos que
dE1 dE1′
=
dt
dt ′
por la invarianza del poder emitido.
Por lo que resulta en
dE1
v ′dε ′
vdε
.
= cσ T ∫ ε ′ 2
= cσ T ∫ ε ′ 2
ε
dt
ε′
En estas dos ecuaciones hemos asumido que γε >> mc2, para que se pueda
aplicar a dispersión de Thomson. (aunque otros procesos de dispersión
podrían satisfacer el criterio). Ahora, como ε′ = εγ(1-βcosθ), la ecuación
anterior se convierte en
dE1
2
= cσ T γ 2 ∫ (1 − β cos θ ) εvdε ,
dt
41
la cual se refiere solo a cantidades en el marco de referencia K. Para una
distribución isotrópica de fotones tenemos
(1 − β cos θ )2
= 1+
1 2
β ,
3
1
3
ya que cos θ = 0 y cos 2 θ = . Por lo tanto obtenemos
dE1
 1 
= cσ T γ 2 1 + β 2 U ph , donde U ph ≡ ∫ εvdε ,
dt
 3 
es la densidad de energía inicial de los fotones. La tasa de disminución de la
energía inicial total de los fotones es
dE1
= − cσ T ∫ εvdε = −σ T cU ph .
dt
Entonces, la potencia neta perdida por los electrones, y convertida a un
incremento en la radiación es
dE rad
  1  
= cσ T U ph γ 2 1 + β 2  − 1 .
3  
dt
 
Como γ2 – 1 = γ2β2, finalmente tenemos que
Pcompt =
dE rad 4
= σ T cγ 2 β 2U ph .
3
dt
Cuando no despreciamos la transferencia de energía en el marco de reposo
del electrón esta ecuación se convierte
Pcompt
 63 γ ε 2
4
2 2
= σ T cγ β U ph 1 −
2
3
 10 mc ε

,

donde ε 2 y ε son valores promedios integrados sobre Uph. Esta
expresión incluye los casos donde el fotón puede recibir o se le puede quitar
energía.
42
Si utilizamos la expresión para la potencia de radiación sincrotrón emitida
por cada electrón
Psynch =
4
σ T cγ 2 β 2U B ,
3
entonces, junto a la expresión Pcompt obtenemos
Psynch
Pcompt
=
UB
,
U ph
esto significa que la perdida de radiación debido a la emisión sincrotrón y al
efecto inverso Compton tienen la misma tasa que la densidad de energía del
campo magnético y la densidad de energía de los fotones. Este resultado se
sostiene para valores arbitrarios de la velocidad de los electrones, no solo
para valores ultra-relativicos. Pero, si depende de la valides de la dispersión
Thomson en el marco de reposo para que γε << mc2.
Con la ecuación para Pcompt podemos calcular la potencia total compton, por
unidad de volumen, de un medio con electrones relativicos. Si N(γ)dγ es el
número de electrones por unidad de volumen con γ en el rango γ a γ + dγ.
Entonces,
Ptot ( ergs s −1 cm −3 ) = ∫ Pcompt N (γ )dγ .
Por ejemplo, si
Cγ − P , γ min ≤ γ ≤ γ max
N (γ ) = 
otherwise
 0,
entonces, con β~1, obtenemos
Ptot (ergs s −1 cm −3 ) =
4
3− p
3− p
).
σ T cU ph C (3 − p )−1 (γ max
− γ min
3
De la ecuación para Pcompt también podemos calcular la potencia total de una
distribución termal no-relativica de electrones con una densidad numérica ne.
Si tomamos γ~1, β 2 = v 2 / c 2 = 3kT / mc 2 , obtenemos
43
 4kT 
Ptot (ergs s −1 cm −3 ) =  2 cσ T neU ph .
 mc 
El factor en paréntesis es la ganancia de energía fraccional del fotón por
evento de dispersión cuando ε << 4kT .
9.3 El espectro inverso de Compton para dispersión singular
El espectro inverso de dispersión Compton depende de ambos el espectro
incidente y de la distribución de energía de los electrones. Aun así, es
necesario determinar el espectro de la dispersión de fotones de una energía
específica ε0 sobre electrones de una energía dada γmc2, porque el espectro
general se puede encontrar promediando sobre la distribución actual de
fotones y electrones. Aquí consideramos casos en que ambos, fotones y
electrones, tienen distribuciones isotrópicas; los fotones dispersos también
son distribuidos isotrópicamente y solo falta encontrar su espectro de
energía.
Podemos demostrar las técnicas involucradas sin molestarnos por detalles
excesivos, así que vemos el caso γε0 << mc2, que implica dispersión
Compton en el marco de reposo. Ahora asumimos que la dispersión en el
marco de reposo es isotrópico, esto es, que asumimos que
dσ ′
1
2
=
σ T = r02 ,
dΩ′ 4π
3
En vez de la expresión más exacta que vimos anteriormente. Esto nos dará
el comportamiento cualitativo de los resultados.
Cuando tratamos con problemas de dispersión es conveniente usar una
intensidad I basada en el número de fotones en vez de energía. El número
de fotones cruzando un área dA en un tiempo dt dentro de un ángulo sólido
dΩ y rango de energía dε es, IdAdtdΩdε. Esta intensidad se puede
encontrar de la intensidad específica monocromática al dividir por la
energía.
Supongamos que el campo isotrópico del fotón incidente es monoenergético: I(ε)=F0δ(ε-ε0), donde F0 es el número de fotones por unidad
área, por unidad tiempo por esteradio. Podemos determinar la dispersión
44
sobre un has de electrones de densidad N y energía γmc2 viajando a lo largo
del eje-x (fig 7.2). La intensidad del campo incidente en el marco de reposo
es
2
ε′
I ′(ε ′, µ ′) = F0   δ (ε − ε 0 ) ,
ε 
Si recordamos que la cantidad Iν/ν3 es una invariante de Lorentz, que
tenemos un factor adicional de ε dentro de esta definición de I y usamos las
corrección Doppler relativica tenemos que
2
 ε ′  F0 
ε − γε ′ 
δ  µ ′ − 0
I ′(ε ′, µ ′) =  
,
γβε ′ 
 ε 0  γβε ′ 
donde µ′ es el coseno del ángulo entre la dirección de los fotones en el
marco de reposo y el eje-x. La función de emisión en el marco de reposo es
j ′(ε 1′ ) = N ′σ T
1 +1
I ′(ε 1′, µ ′)dµ ′ ,
2 ∫−1
donde j′ es el número de fotones emitidos por unidad de volumen por unidad
de esteradio. Hemos introducido la suposición de dispersión elástica donde
la energía ε 1′ del fotón disperso es igual a la energía del fotón incidente
entonces
 N ′σ T ε 1′F0
,

j ′(ε 1′ ) =  2ε 02γβ

0,

si
ε0
γ (1 + β )
< ε 1′ <
ε0
γ (1 − β ) .
otherwise
La función de emisión en el marco del fotón sería
ε1
 ε ′ j ′(ε 1′ ),
 1
ε0
ε0
 Nσ ε F
j (ε 1 , µ1 ) =  2T 21 0 , si 2
.
< ε1 <
(
)(
)
(
)(
)
2
1
1
1
1
γ
β
βµ
ε
γ
β
γ
+
β
−
βµ
−
−
0
1
1

 0,


45
Aquí N=γN′ relacionando así las densidades en los dos marcos de referencia.
Este resultado se sostiene para un has de electrones. Para obtener los
resultados para una distribución isotrópica de electrones debemos de
promediar sobre el ángulo entre el electrón y el fotón:
j (ε 1 ) =
1 +1
j (ε 1 , µ1 )dµ1 .
2 ∫−1
La cantidad j(ε1,µ1) no es igual a cero solo para cierto intervalo de µ1.
Como NσTF0 es la tasa de dispersión de fotones por unidad de volumen, por
unidad de ángulo sólido, el primer integral expresa la conservación del
número de fotones dispersados y el segundo integral representa el
incremento promedio en la energía de los fotones por dispersión.
∞
∫ j(ε )dε
0
∫
∞
0
1
1
= Nσ T F0 ,
j (ε 1)(ε 1 − ε 0 )dε 1 = Nσ T
4 2 2
γ β ε 0 F0 .
3
La función j(ε1) se grafica como función de β en la figura 7.3a. Para β
pequeño las curvas son simétricas alrededor de la energía inicial del fotón ε0.
Mientras β aumenta, la porción de la curva para ε>>ε0 se hace más y más
dominante, indicando el aumento de la energía promedio del fotón
dispersado. Para valores de β cerca de unidad (γ>>1) es conveniente el reescalar la variable de energía y escribir x ≡
ε1
.
4γ 2ε 0
La función de emisión, en nuestra aproximación, se puede escribir
j (ε 1 ) =
3Nσ T F0
f iso ( x ),
4γ 2ε 0
0 < x < 1,
y es cero en cualquier otro caso. Debemos notar que el desvanecimiento de
fiso(x) para x>1 proviene de la restricción ε1/ε0 < (1+β)/(1-β), que para γ>>1
se convierte en ε1/ε0 < 4γ2.
Cuando incluimos la dependencia angular exacta en dσ′/dΩ′, la expresión
para f(x) en el limite γ>>1 se convierte en f(x)=2x·lnx+x+1-2x2, para
46
0<x<1. Comparamos estas dos formas de f(x) en la fig 7.3b. Note que las
características más importantes del resultado exacto se preservan en la
aproximación.
47
Entonces el espectro resultando de un espectro de ley de potencia inicial
arbitrario de electrones relativicos se puede encontrar. Si v(ε) es la densidad
inicial de fotones introducidos y relacionados a la intensidad isotrópica por
v(ε) = 4πc-1I(ε), la potencia total dispersada por volumen por energía es
γ2
 ε 
3
dE
ε 
= 4πε 1 j (ε 1 ) = cσ T C ∫ dε  1 v (ε )∫ dγ γ − p −2 f  12  .
γ1
4
dVdtdε 1
ε 
 4γ ε 
Si v(ε) es la distribución de cuerpo negro, o sea,
v (ε ) =
8πε 2
1
,
3 3
h c exp(ε / kT ) − 1
Entonces la potencia total dispersada es
C 8π 2 r02
dE
(kT )( p+5) / 2 F ( p)ε 1−( p −1) / 2
=
3 2
dVdtdε 1
hc
donde
 p + 5  p + 5
F ( p ) ≡ A( p ) Γ
ζ 

 2   2 
y ζ denota la función ceta de Riemann definida como
∞
ζ (s ) ≡ ∑ n − s .
n =1
El problema más general de dispersión de un campo isotrópico de fotones de
una distribución isotrópica de electrones, incluyendo el efecto de Compton y
el corte transversal de Klein-Nishina ya fue resuelto en el 1968.
9.4 Energía transferida por dispersiones repetidas en un medio termal
finito
Antes de discutir el efecto de dispersión Compton repetida en el espectro y
energía total de lad distribución de fotones es útil determinar la condición
bajo la cual el proceso de dispersión significativamente altera la energía total
48
del fotón. Solo consideramos la situación en que el limite de Thomson se
aplica: γε<<mc2. EN un medio finito uno puede definir el parámetro “y” de
Compton para determinar si el fotón cambiara significativamente su energía
al cruzar el medio:
cambio de energía fraccional  número promedio 
y≡
x
.
 promedio por dispersión
 de dispersiones 
En general cuando y≥1, la energía total del fotón y el espectro será
significativamente alterado; donde para el caso de y<<1, la energía total no
cambia mucho.
Asumimos que los fotones y electrones están en total equilibrio pero
interaccionan solo por medio de la dispersión, y que la densidad de fotones
es suficientemente pequeña para que el proceso estimulado no sea de
importancia. Los fotones deben tener una distribución Bose-Einstein con un
potencial químico en vez de una distribución Planck porque el fotón no
puede ser creado ni destruido por la dispersión. En el limite no-degenerado
(donde el efecto estimulado no es importante) y la distribución esta dada por
N(E)=KE2e-E/kT entonces
ε
∫ε
=
dN
dε
dε
dN
∫ dε dε
= 3kT ,
ε 2 = 12(kT )2 .
Para este caso hipotético no existe energía neta transferida de los fotones a
los electrones por lo que
∆ε = 0 =
=
αkT
mc 2
ε −
ε2
mc 2
3kT
(α − 4 )kT ,
mc 2
donde α=4. Por lo que para electrones no-relativicos en equilibrio
termodinámico la expresión para la transferencia de energía por dispersión
es
49
(∆ε )NR = ε 2 (4kT − ε ) .
mc
Si los electrones están a una temperatura lo suficientemente alta, relativa a
los fotones incidentes, los fotones pueden ganar energía. A esto se le llama
dispersión inversa Compton. Pero, si ε > 4kT, energía si se transferirá del
fotón al electrón.
En el limite ultra-relativico, γ >> 1, ignorando la transferencia de
4
3
energía en el marco de reposo del electrón, tenemos que (∆ε )R ~ γ 2ε ,
donde el 4/3 proviene del resultado de promediar sobre el ángulo. Para una
distribución termal de electrones ultra-relativicos obtenemos, con
argumentos similares que,
γ
2
=
E2
(mc )
2 2
2
 kT 
= 12 2  .
 mc 
Por lo que (∆ε)R se convierte en (∆ε )R ~ 16ε 
2
kT 
.
2 
 mc 
Ahora, para un medio de pura dispersión tenemos
 número promedio 

 ≈ Max (τ es ,τ es2 ) ,
de
dispersion
es


donde τes esta dado por τes~ρκesR.
Aquí κes es la opacidad de la dispersión de electrones que para hidrogeno
ionizado es
κ es =
σT
mp
= 0.40 cm 2 g −1
donde R es el tamaño del medio finito. Combinando las expresiones
anteriores obtenemos el factor “y” de Compton para una distribución termal
de electrones relativicos y no-relativicos:
50
y NR =
4kT
Max (τ es , τ es2 ),
mc 2
2
 kT 
y R = 16 2  Max (τ es , τ es2 ).
 mc 
Hemos asumido que la transferencia de energía en el marco de reposo del
electrón es despreciable, esto es, 4kT>>ε en el caso no-relativico. El
parámetro “y” es importante porque fotones con energía inicial εi
emergerán con una energía promedio εf ~ εiey después de ser dispersos en
una nube de electrones no-relativicos (mientras εf << 4kT).
En un medio donde absorción es importante, es conveniente definir un
parámetro “y” de Compton que sea dependiente de la frecuencia. Para este
parámetro el τes(ν) relevante se debe medir de una profundidad óptica de
absorción efectiva, τ*(ν) de orden unidad. Por lo tanto, siendo que τes(ν) =
ρκesI*(ν) obtenemos que
 κ κ (ν ) 

τ es (ν ) ~  es a
 1 + κ a (ν ) / κ es 
1
2
donde κa(ν) es la opacidad de absorción.
9.5 El espectro inverso Compton y la potencia de dispersiones repetidas
por electrones relativicos
Ya mostramos como un espectro de ley de potencia resulta de la dispersión
inversa de Compton de una distribución relativica de electrones con una
distribución de ley de potencia. Esto no es sorprendente ya que cualquier
cantidad escalada por un factor que tiene una distribución de ley de potencia
tendrá a su vez una distribución de ley de potencia. Pero también es posible
para electrones relativicos y no-relativicos que se pueda producir una
distribución de fotones de ley de potencia, de dispersiones repetidas de una
distribución de electrones que no sea ley de potencia, pero con una
profundidad de dispersión pequeña.
Si definimos A como la amplificación promedio de la energía de los fotones
por dispersión entonces,
51
2
A≡
ε1 4 2
 kT 
~ γ = 16 2  ,
ε 3
 mc 
donde la segunda ecuación es para una distribución termal de electrones. Si
consideramos una distribución inicial de fotones con una energía promedio
−1
εi, para que ε i << γ 2 2 mc 2 , y una intensidad I(εi) en εi. Entonces, después
de k dispersiones, la energía de un fotón promedio inicial será εk~εiAk . Si el
medio tiene una profundidad óptica de dispersión pequeña (y una
profundidad de absorción aun más pequeña), entonces la probabilidad pk(τes)
de que un fotón tenga k dispersiones antes de escapar el medio sería
aproximadamente pk (τ es ) ~ τ esk . La intensidad de la radiación emergente a
energía εk es más o menos proporcional a pk(τes), ya que el ancho de banda
del espectro producido por Compton es comparable a la frecuencia. Por la
tanto, la intensidad de la energía εk tiene la forma de la ley de potencia
I (ε k ) ~ I (ε i )τ
donde α ≡
k
es
ε
~ I (ε i ) k
 εi
−α

 ,

− ln τ es
. Esta expresión solo se sostiene para fotones emergentes
ln A
que satisfagan ε k γ 2
1
2
≤ mc 2 .
La potencia total Compton del espectro esta dada por
P∝∫
A1 2 mc 2
εi
A
I (ε k )dε k = I (ε i )ε i  ∫
1
12
mc 2 / ε i
x −α dx  .

El factor en brackets es aproximadamente el factor por la cual la potencia
inicial ∝ I(εi)εi, se amplifica en energía. Es claro que la amplificación será
importante si α ≤ 1. Entonces la amplificación de la energía del espectro de
los fotones “blandos” incidentes es muy importante cuando
Aτ es ~ 16(kT / mc 2 ) τ es ≥ 1 ,
2
donde el paso intermedio se sostiene si los electrones son termales. Esta
condición es equivalente a yR ≥ 1 para τes ≤ 1.
52
9.7 El régimen espectral para dispersiones repetidas por electrones norelativicos
Para un análisis detallado del espectro Compton se requiere una solución
para la ecuación Kompaneets. Cuando consideramos dispersiones repetidas
por electrones no-relativicos la energía de transferencia fraccional por
evento de dispersión es pequeña. En particular, podemos expandir la
ecuación de Boltzmann a un segundo orden de esta cantidad lo cual resulta
en la aproximación Fokker-Planck. Para fotones dispersados de una
distribución termal no-relativica de electrones la ecuación Fokker-Planck se
conoce como la ecuación de Kompaneets (quien derivo la expresión in
1957). Esta expresión es
[
]
∂n  kT  1 ∂ 4
x (n ′ + n + n 2 ) ,
= 2 2
∂t c  mc  x ∂x
donde x ≡
ω
kT
, n ′ ≡ ∂n ∂x y n es la distribución Bose-Einstein de fotones con
un potencial químico finito y en equilibrio térmico con los electrones con
−1
j=0, dado por n = (eα + x − 1) . Para frecuencias donde y<<1 (cuerpo negro
modificado) o y>>1 (Comptonización saturada) un análisis aproximado es
suficiente. Para los casos intermedios (Comptonización no-saturada)
requerimos un tratamiento más detallado de la ecuación.
Para delinear regimenes es conveniente introducir varias frecuencias
características. Estamos interesados en un medio termal en donde la emisión
y la absorción se originan del proceso libre-libre (Bremsstrahlung). En este
medio la importancia de absorción es más grande a frecuencias bajas. Si
consideramos una frecuencia ν0, en donde los coeficientes de dispersión y
absorción son iguales, obtenemos que κ es = κ ff (ν 0 ) , y
x03
~ 4 × 10 25 T −7 2 ρg ff ( x0 ) ,
1 − e − x0
donde x0 ≡ hν0/kT y g ff (x ) es el factor Guant libre-libre. En el rango de
interés g ff es aproximado por g ff (x ) ~ 3π −1 2 ln
2.25 
.
 x 
53
Para x ≡ hν/kT<x0, la dispersión no es importante; pero si x > x0, la
dispersión modificara el espectro. Noten que si x0 ≥ 1, la dispersión no es
importante sobre la mayor parte del espectro. En la siguiente discusión
asumimos que x0 << 1.
Consideremos ahora la frecuencia νt en donde el medio se convierte a
delgado, entonces κ es = κ ff (ν t )τ es2 y
xt3
~ 4 × 10 25 T −7 2 ρg ff (xt )τ es2 ,
1 − e − xt
donde xt ≡ hνt/kT y τes es la profundidad óptica total para la dispersión de
electrones. Para valores de x > xt la absorción no es importante. Noten que
para x0 < x < xt tanto la dispersión como la absorción son importantes.
Finalmente, introducimos la frecuencia νcoh para la cual la dispersión
incoherente (efecto inverso Compton) puede ser importante. Esta frecuencia
se define de modo que y(νcoh) = 1, esto es, que para ν > νcoh Compton
inverso es importante entre emisión y escape del medio. Noten que esta
frecuencia solo se define si el parámetro “y” para todo el espesor del medio
excede unidad. De otro modo, la dispersión inversa Compton no es
importante a todas las frecuencias. Para xcoh << 1,
 mc 2 
κ ff (ν coh ) ,
κ es = 
 4kT 
xcoh ~ 2.4 × 1017 ρ 1 2T −9 4 [g ff ( x coh )]
−1 2
.
En estas expresiones podemos ver que el efecto inverso Compton es
importante, y que xcoh se define solamente, cuando xcoh < xt.
Espectro modificado de cuerpo negro: y << 1
Para y << 1, solo la dispersión coherente es importante.
intensidad emergente en un medio dispersivo y absorbente es
Iν =
1+
(κ
2 Bν
ff
+ κ es )κ −ff1
Entonces, la
.
54
En el limite κes >> κff(ν), la forma funcional de esta expresión se puede
derivar de consideraciones simples de camino-aleatorio. Cuando el valor de
x << x0 la expresión se reduce a la intensidad de cuerpo negro, pero para
x >> x0 se convierte en el espectro modificado de cuerpo negro,
IνMB ≡ 2 Bν
κ ff
κ es
= 8.4 × 10 −4 T 5 4 ρ 1 2 g 1ff 2 x 3 2 e − x 2 (e x − 1)
−1 2
× ergs s −1 cm −2 Hz −1 ster −1 .
x03
nos da una ecuación aproximada para x0:
Para x0 << 1,
1 − e − x0
x0 ~ 6.3 × 1012 T −7 4 ρ 1 2 [g ff ( x0 )] .
12
Noten que a frecuencias x0 << x << 1, IνMB ∝ ν en vez de la ley de RayleighJeans IνRJ ∝ ν 2 . Aproximadamente el flujo total del espectro de cuerpo negro
modificado es
F
MB
κ 
~ σT  R 
 κ es 
4
12
~ 2.3 × 107 T 9 4 ρ 1 2 erg s −1 cm −2 ,
donde hemos usado el promedio Rosseland, κR, en lugar del promedio sobre
las frecuencias, κff.
Para xt < x0 la emisión es de cuerpo negro en x < xt y Bremsstrahlung
óptimamente delgado para x > xt, donde la dispersión no es importante. Para
x0 <xt < 1, la emisión se describe muy bien por la ecuación para Iν, para
x < xt , y luego es Bremsstrahlung óptimamente delgado para x > xt. Para
xt > 1 el medio se comporta como si fuese infinito y la expresión para Iν se
puede usar para todo el espectro.
Espectro Wien: y >> 1
When y >> 1, el Compton inverso puede ser muy importante, dependiendo si
xcoh << 1 o xcoh >> 1. En el último caso, el Compton inverso se puede
despreciar ya que la mayoría de los fotones y energía, o sea, el espectro en la
55
región x ≤ 1, participan de dispersión coherente. Entonces, para el caso en
que xcoh << 1,
12
x coh
 mc 2 
 x0 .
= 
 4kT 
La expresión para Iν correctamente describe el espectro para x << xcoh, pero
para x ≥ xcoh debemos considerar el efecto inverso Compton (fig 7.4). En
esta región del espectro, si xcoh << 1, el Compton inverso se saturará y
obtendremos una intensidad Wien:
IνW =
2hν 3
2hν 3 −α −hν
n
=
e e
c2
c2
kT
,
donde el factor e-α esta relacionado con la tasa a la cual se producen fotones.
El flujo total en un espectro de la forma de la expresión anterior es
F W (erg s −1 cm −2 ) = π ∫ IνW dν =
12πe −α k 4T 4
,
c2h3
donde el fotón promedio tiene energía hv = 3kT .
56
La tasa a la cual la energía se genera en el espectro Compton se puede
calcular aproximadamente si movemos todos los fotones bremsstrahlung a
energías kT:
 ε ff
dW W
(
erg s −1 cm −3 ) ~ kT ∫  ν
dtdV
 hν
∞

dν ~ ε ff ∫ g ff (ν , T )e −hν
ν coh

kT
dν
ν
.
Aquí ενff (erg s −1 cm −3 Hz ) es la tasa de energía bremsstrahlung (libre-libre)
generada dada en el capitulo 5 y ε ff (erg s −1 cm −3 ) es la energía total por
unidad tiempo por unidad volumen. El integral se puede aproximar
evaluando g en el limite bajo, νcoh, y permitiendo que e-hν/kT sea una función
“step” que sea unidad para hν < kT y cero para hν > kT. Entonces el
resultado, usando una aproximación analítica para g , tenemos
dW W
~ A(ρ , T )ε ff ,
dtdV
A(ρ , T ) ≡
3
[ln(2.25 / xcoh )]2 .
4
La función A(ρ,T) es el factor por la cual el Compton inverso amplifica la
potencia bremsstrahlung. Para calcular el flujo emergente esta expresión se
debe multiplicar por una profundidad característica. Si xt < 1, entonces el
medio es efectivamente delgado para la mayoría de los fotones y FW~RAεff,
donde R es el tamaño del medio. Si xt >> 1, entonces, como los fotones con
energías x > xcoh se amplifica rápidamente a x~1, R se reemplaza por R ,
donde τ * (R , x = 1) ~ 1 . La intensidad emergente se muestra en la fig 7.4.
Componización no-saturada con fotones débiles
Finalmente, debemos considerar la situación en donde γ >> 1, pero en donde
xcoh~1; o sea, un medio en el cual el Compton inverso es importante pero no
se satura hasta el espectro Wien para la mayoría de los fotones. En este
caso se requiere analizar la ecuación de Kompaneets y es mejor si se
considera una solución “steady-state” bajo ciertas idealizaciones. Para este
tipo de solución debemos considerar tanto los fotones entrando como
escapando. Los fotones escapan por medio del proceso de difusión espacial.
Pero, para fotones que han sido dispersos muchas veces es una buena
aproximación el asumir que la probabilidad de que un fotón escape en un
tiempo de dispersión Compton es igual al inverso del número promedio de
dispersiones Max (τ es ,τ es2 ). La aproximación “steady-state” para la ecuación
de Kompaneets es
57
[
]
n
 kT  1 ∂ 4 ′
,
0= 2 2
x (n + n ) + Q ( x ) −
Max (τ es , τ es2 )
 mc  x ∂x
donde Q(x) es la fuente de fotones y el termino n2 se elimino pues es muy
pequeño en aplicaciones astrofísicas. Si asumimos que Q(x) no es cero solo
para x ≤ xs , donde xs << 1; esto es, que los fotones incidentes son blandos
en vez de bremsstrahlung. Para x >> 1, el término en brackets muestra que
la solución aproximadamente es n ∝ e − x , esto es que el espectro cae
aproximadamente exponencialmente a energías de fotón muy por encima la
temperatura del electrón, como se esperaría para un espectro termal. Al otro
extremo, para xs << x << 1, el término n en el bracket se puede despreciar en
comparación con los términos n′, y se obtiene la solución de ley de potencia
aproximada:
n ∝ xm
m( m + 3) −
m=−
4
=0 ,
y
3
9 4
±
+
2
4 y
donde ya definimos el parámetro Compton “y”. La solución con la raíz
positiva es apropiada para y >> 1 (para el limite de baja frecuencia de la ley
de Wien en el limite y→∞, Iν ∝ x 3n ∝ x 3 ); para y << 1, la raíz negativa es la
apropiada. Para y~1, se debe tomar una combinación linear de las dos
soluciones, y no existe una ley de potencia.
La figura 7.5 ilustra el espectro que resulta de la comptonización nosaturada. Noten que medir la forma del espectro Compton no-saturado con
una fuente de fotones blandos determina tanto la temperatura de electrones y
la profundidad óptica de dispersión de la fuente. La intensidad emergente
en el régimen de la ley de potencia satisface
ν 
Iν ~ Iν s  
ν s 
3+ m
.
58
El espectro es muy sensitivo a “y”. La energía incidente es
significativamente amplificado para m ≥-4, o sea, y ≥ 1. Este resultado es
análogo al caso relativico ya considerado.
59