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Examen temático de MI (enero de
2014): se calificarán los mejores 4
problemas
January 21, 2014
Problema 1.
Tenemos una estrella O “fugada” que viaja a velocidad va altamente
supersónica dentro de un medio uniforme de densidad ρa . La estrella tiene
un viento estacionario con una pérdida de masa Ṁ y una velocidad que es
una función de la distancia R al centro de la estrella:
v(R) = vw
"
R∗
1−
R
2 #
,
(1)
donde vw (constante) es la “velocidad terminal” del viento y R∗ es el radio
de la estrella.
La interacción del viento estelar con el medio ambiente (en movimiento
a una velocidad va en un sistema de referencia quieto con la estrella) lleva a
la producción del sistema de 2 choques (choques a y b) que se muestra en la
figura 1. Supondremos que los dos choques son fuertes, y que la separación
entre ambos choques es despreciable frente a R.
a. demostrar que la densidad del viento en función de la distancia R a la
estrella viene dada por:
ρ(R) =
Ṁ
1
,
2
4πR vw 1 − (R∗ /R)2
(2)
b. escriba la condición de equilibrio sobre el eje de simetrı́a de las presiones
post-choque (de los choques a y b, ver la figura 1), suponiendo que los
1
choque a
choque b
v(R)
*
R 1,2
va
Figure 1: Interacción de un viento con un medio ambiente en movimiento.
dos choques son fuertes) en función de ρa , va , Ṁ , vw , R∗ y R. Demostrar
que esta condición de equilibrio de presión puede ser escrita en la forma:
R
κ
R∗
4
R
−
R∗
donde
κ=
2
+ 1 = 0,
4πρa va2 R∗2
,
Ṁ vw
(3)
(4)
c. demostrar que las soluciones de la ecuación de equilibrio de presiones
post-choque son R1 y R2 , dadas por:
R1,2 = R∗
s
1±
√
1 − 4κ
.
2κ
(5)
d. ¿qué condición debe cumplir κ para que exista una solución única para
el radio de equilibrio de presiones post-choque?
NOTA: la presión post-choque fuerte es: P = 2ρv 2 /(γ + 1) donde ρ es
la densidad pre-choque, v es la velocidad normal pre-choque (medida en el
sistema de referencia del choque) y γ es el cociente de calores especı́ficos.
Problema 2.
Una estrella se “enciende” a t = 0, emitiendo una tasa de fotones ionizantes S (constante para t > 0).
a. si está rodeada por un medio de densidad (numérica) n, demostrar que
el radio del frente de ionización R inicialmente obedece la ecuación
diferencial
dR
S
=
(6)
dt
4πR2 n
donde se ha despreciado el efecto de las recombinaciones dentro de la
región ionizada,
b. encontrar la velocidad v = dR/dt del frente de ionización en función
del tiempo t para el caso de n uniforme (recomendación: primero
integrar la ecuación diferencial del inciso a. para obtener R(t)),
c. determinar la velocidad v del frente de ionización para el caso en el que
el medio que rodea la estrella es un viento eyectado previamente, de
forma que tiene una densidad n(R) = (R0 /R)2 n0 (donde R es el radio
esférico, y R0 y n0 son constantes).
Problema 3.
En una nebulosa se observan los cocientes de lı́nea:
• IHα /IHβ = 6.0,
• I5007 /IHβ = 10.22.
Encuentre el cociente de I5007,0 /IHβ,0 desenrojecido. Recuerde que el cociente intrı́nseco “de Balmer” es IHα,0 /IHβ,0 =2.86 y que el cociente de lı́nea
observado se puede obtener de,
Iλ,0 −cHβ (f (λ)−f (Hβ))
Iλ
=
10
,
IHβ
IHβ,0
(7)
donde los subı́ndices “0” indican los valores intrı́nsecos, y f (λ) es la ley de
extinción, que en el visible se puede aproximar como,
f (λ) = 2.5634λ2 − 4.8735λ + 1.7636
(8)
con λ en µm.
NOTA: las longitudes de onda de las dos primeras lineas de Balmer son
λHα =0.6563 µm y λHβ =0.4861 µm.
Problema 4.
Un cuerpo gaseoso aislado sin campo magnético, rotación, ni movimientos
turbulentos en equilibrio virial satisface la siguiente condición:
2U + Ω = 0,
(9)
con
2GM 2
,
(10)
5R
donde G es la constante gravitatoria, M es la masa, cs la velocidad del sonido
(isotérmica) y R el radio de la nube.
2U = 3c2s M y Ω = −
a. Usa la relación anterior para calcular la masa de equilibrio Meq (en
función de la velocidad del sonido cs y la densidad ρ) suponiendo que
se tiene una nube esférica homogénea.
b. Calcula Meq para una nube de H atómico con temperatura T = 100 K
y densidad (numérica) nHI = 1000 cm−3 . Da el valor de Meq en masas
solares.
c. Calcula Meq para una nube de H molecular con temperatura T = 10 K
y densidad nH2 = 1000 cm−3 . Da la respuesta en unidades de la masa
solar.
q
NOTA: cs = P/ρ, k = 1.38 × 10−16 erg K−1 , mH = 1.67 × 10−24 g,
G = 6.67 × 10−8 cm3 g−1 s−2 , M⊙ = 2 × 1033 g.
Problema 5.
Considere una nube de HI con una temperatura uniforme T = 100K.
a. ¿Cuál serı́a el ancho total a potencia media (FWHM) del perfil de
velocidad radial de la lı́nea de 21 cm si el único mecanismo de ensanchamiento fuera el efecto Doppler debido al movimiento térmico? (dar
la respuesta en km/s)
b. ¿Cuál serı́a el ancho total a potencia media (FWHM) del perfil de esta
lı́nea en función de la frecuencia ν? (dar la respuesta en kHz)
SUGERENCIA: Para calcular el FWHM, parta de la ecuación de perfil de
lı́nea empleando la función de distribución de Maxwell-Boltzmann:
mH
f (ωz )dωz =
2πkT
1/2
2
e−mH ωz /2kT dωz
donde ωz es la velocidad de los átomos de H a lo largo de uno de los ejes
coordenados.
NOTA: k = 1.38 × 10−16 erg K−1 , mH = 1.67 × 10−24 g