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Tecnológico de Monterrey Campus Santa Fe
Bachillerato Internacional
Equilibrio en enanas blancas:
Gravitación, degeneración electrónica y Sirio B
Convocatoria Mayo 2015
Número de palabras: 3842
Felipe Borja Díaz
Candidato 0024000034
Supervisor: Cesar Maldonado Mercado
Física
Resumen
Esta investigación exploró la posibilidad de fundamentar el equilibrio de una enana blanca
como Sirio B tomando en cuenta la presión por electrones degenerados en aras de contestar
¿en qué medida puede la degeneración electrónica explicar el equilibrio de Sirio B en
un marco no-relativista?
Se consideró a la estrella un sistema fluido esférico cuasiestático con densidad
uniforme compuesto por un gas cuántico ideal. Fue derivada una expresión para la
compresión central atribuida al efecto gravitatorio de la masa de la estrella en términos de su
radio y masa. Para esto fue necesario igualar las fuerzas de gravitación y gradiente de presión
aplicadas a un cilindro de gas en esta, obteniendo y resolviendo para el diferencial de presión
con respecto al radio, integrándolo como último paso para expresar la presión central:
𝑃=
3 𝐺𝑀2
8 𝜋𝑅4
Posteriormente se evaluó la posibilidad de degeneración electrónica en nuestro cuerpo
celeste y cuantificó teóricamente la fuerza que este fenómeno produce. Para ello se ideó un
modelo teórico que ahondara en el comportamiento corpuscular de los electrones y la
generación de presión por el impulso impreso. Obteniendo la siguiente expresión:
5
ℏ2
𝑍 𝜌 3
[( )
]
𝑃=
3𝑚𝑒 𝐴 𝑚ℎ
Al evaluar los resultados se obtuvo una discrepancia de 6 órdenes de magnitud en los
valores para ambas expresiones, lo que indica un posible caso de degeneración parcial en
Sirio B y se descarta un caso de degeneración total en el sistema. Este estudio es meramente
un intento de comprender mejor los fenómenos de degeneración y su relación con el
equilibrio estelar, por lo que no se hace ninguna generalización cuantitativa. Posibles
consideraciones para estudios futuros incluyen la consideración de un panorama relativista
en lo que concierne al movimiento de los electrones y la cuantificación del efecto que tiene
la temperatura del sistema en la presión de este.
(293 palabras)
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Índice
Introducción .......................................................................................................................... 3
I. Sobre enanas blancas ........................................................................................................ 5
1.
Presión central ............................................................................................................... 5
1.1 Condiciones .................................................................................................................. 5
1.2 Equilibrio ..................................................................................................................... 6
1.3 Derivación .................................................................................................................... 6
1.31 Diferencial de presión ........................................................................................... 6
1.32 Presión Central ...................................................................................................... 9
2.
Degeneración electrónica ............................................................................................ 11
2.1 Principio de exclusión ............................................................................................... 11
2.2 Principio de incertidumbre ...................................................................................... 11
2.3 Presión degenerada ................................................... Error! Bookmark not defined.
2.4 Derivación .................................................................................................................. 12
II.
Sirio B y Valoración de resultados ......................................................................... 17
1.1 Contexto Histórico .................................................................................................... 17
1.4 Evaluación de las fuerzas ......................................................................................... 18
Conclusión ........................................................................................................................... 20
Obras Consultadas ............................................................................................................. 21
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Introducción
¿En qué medida puede la degeneración electrónica explicar el equilibrio en Sirio B dentro
de un marco no relativista?
Convencionalmente, las teorías de evolución estelar plantean tres estados finales para una
estrella: un hoyo negro, una estrella de neutrones y, solamente si la masa del objeto no supera
1.40 M⊙ 1 (Chandrasekhar 156), una estrella enana blanca. Estas enanas blancas son el
destino final de más del 90% de las estrellas de secuencia principal (Koester y Chanmugan
859) y contienen en radios similares al de la tierra masas equiparables a la del sol (Holberg
et al A more accurate… 935; Koester y Chanmugan 839). Por ello, son consideradas sistemas
de alta energía; en los cuales es común que la densidad sea tan alta al punto que su presión
esté determinada por principios de mecánica cuántica en vez de por su densidad, volumen y
temperatura como dicta la relación de Clasius-Clapeyron. Condiciones bajo las cuales se
habla de “materia degenerada”.
Estas características no pueden ser simuladas en laboratorios terrestres, por lo que las
propiedades de la materia bajo tan extremas condiciones suelen ser explicadas teóricamente
y posteriormente comprobadas con observaciones. Por ello, se suele considerar a estos
cuerpos celestes “laboratorios” para materia a densidades y presiones extremas.
El objetivo de esta investigación es explorar matemáticamente el equilibrio
hidrostático de Sirio B, enana blanca clave en el desarrollo histórico del estudio de estas. Se
buscará responder a la siguiente pregunta: ¿En qué medida puede la degeneración
electrónica explicar el equilibrio en Sirio B dentro de un marco no relativista?
Se considerará a la estrella como un sistema fluido esférico, cuasiestático, con
densidad uniforme y compuesto por un gas ideal de Fermi-Dirac. En cuanto a las fuerzas que
estarán actuando sobre este, la fuerza por gradiente de presión2 (𝐹𝑝 ) contrarrestará el efecto
gravitacional de la masa del sistema (𝐹𝑔 ), manteniendo el equilibrio tal que:
1
Masas solares
2
Degenerada o de cualquier otro tipo. En esta investigación se asumirá un estado de degeneración total.
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∑ 𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝐹𝑔 = 0
Principios físicos pertinentes incluyen: la ley de gravitación universal de Newton,
los principios de exclusión de Pauli, incertidumbre de Heisenberg y el comportamiento de
gases ideales cuánticos Fermi-Dirac en casos no relativistas.
Se comenzará derivando una expresión que cuantifique la fuerza de presión central
gravitatoria en términos del radio y la masa de nuestro sistema utilizando las teorías de
gravitación universal y gradiente de presión. Posteriormente se explorará la posibilidad de
degeneración en una enana blanca y formulará una expresión aproximada para presión por
esta; al haber realizado ambas derivaciones, se discutirá la validez de las dos expresiones en
Sirio B y evaluarán los resultados. Para ello se utilizarán observaciones del cuerpo celeste
desde el telescopio espacial Hubble
3
y serán consultadas fuentes primarias –entre ellas
publicaciones de Holberg, Koester y Barstow: pioneros en el estudio de estos objetos- para
proveer un contexto académico pertinente.
La relevancia de esta monografía radica en estudiar y tratar de entender la dinámica
fascinante no solo de la estrella más brillante de nuestro cielo nocturno, sino también de
uno de los tipos de estrella predominantes en nuestro universo y sus implicaciones para el
desarrollo de este; pudiendo incluso involucrar el destino de nuestro sol. Es también
justificable el estudio del tema ya que platea la oportunidad de entender sistemas
macroscópicos -como lo son las estrellas- en términos de leyes aplicadas a partículas
fundamentales. Tomando, con sus respectivos límites, fenómenos totalmente distintos y
estudiando ambos para resolver un problema.
3
Principalmente desde el HST por Barstow et al. y Bond et al.
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I. Sobre enanas blancas
Un hecho fundamental en el estudio de la evolución estelar es el papel que juega la radiación
en el equilibrio hidrostático de las estrellas (Chandrasekhar 143; Celnikier 113), es decir, en
el balance entre las fuerzas de expansión de estas y su efecto gravitatorio. Cada periodo de
estabilidad estelar corresponde a reacciones específicas de síntesis nuclear llevadas a cabo.
Comúnmente empezando por la fusión de hidrógeno a helio (Mestel 585), estas reacciones
exotérmicas proveen la energía necesaria para contrarrestar la compresión por gravedad y
evitar el colapso del sistema.
En esto radica la particular fascinación por las enanas blancas, y en especial por Sirio
B: estas estrellas no albergan nucleosíntesis en sus interiores. A sus densidades de alrededor
de 106 gr cm-3 (Burton 158) y temperaturas4 muy p or debajo de las necesarias para fusionar
Carbono, Oxígeno5 u otros elementos ligeros (Burton 155; Barstow, Bond y Holberg 1142),
dicha radiación está ausente. Lo que da pie a una búsqueda de explicaciones que ha divergido
por décadas; junto con un fascinante campo de estudio que busca explicar su sorprendente
supervivencia y cualidades poco comunes: el de la materia degenerada.
1. Presión central
La primera fuerza que analizaremos dentro de la estrella se debe al efecto gravitatorio de la
masa de la enana blanca y, regida por la ley de gravitación universal de Newton, actúa en
dirección al centro de masa de sistema atrayendo esta entre sí y provocando una compresión.
1.1 Condiciones
Previamente mencionado, será necesario realizar grandes asunciones al derivar nuestra
expresión. Mientras que las enanas blancas y otros tipos de estrellas mantienen una
desuniformidad en su densidad y composición, se considerará a nuestra estrella como un
4
𝑇𝑒𝑓𝑓 ≈ 25000 𝐾 (Barstow, Bond y Holberg 1142) en Sirio B
5
Principales componentes de estas estrellas
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fluido esférico de densidad uniforme. Por lo tanto, la masa de este estará dada por 𝑚 = 𝑉𝜌
4
donde 𝑉 es el volumen de la esfera 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 y 𝜌 la densidad.
Al considerarlo así, será posible expresar la masa de la siguiente manera:
4
𝑚 = 3 𝜋 𝑅3𝜌
Tal que 𝑅 sea el radio de esta esfera. Expresión que utilizaremos más adelante.
1.2 Equilibrio
El equilibrio hidrostático se produce en un fluido en el que las fuerzas de gradiente de presión
y la gravitatoria se contrarrestan, siendo:
∑ 𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝐹𝑔 = 0
[1]
En el caso de una estrella: la fuerza gravitatoria
actúa atrayendo al gas hacia el centro de masa y la de
diferencial de presión actúa en sentido contrario para
expandir el sistema, como se muestra en la ilustración 1.
1.3 Derivación
1.31 Obteniendo el diferencial de presión
Si consideramos estas dos fuerzas:
𝐹𝑔 =
𝐺 𝑀𝑟 𝑚
𝑟2
[2]
Ilustración 1: Equilibrio hidrostático dentro de la
estrella.
Dada por la fórmula de gravitación universal de
Newton donde 𝐺 es la constante de gravitación y :
𝐹𝑃 = 𝐴∆𝑃
[3]
Que es definida como la fuerza de flotación tal que ∆𝑃 dignifica una diferencia de
presión y 𝐴 una superficie.
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Y las aplicamos a un cilindro de masa 𝑑𝑚, altura ∆𝑟 y área de la base 𝐴 en cualquier
lugar de la estrella. (Ilustración 2).
Ilustración 2: Cilindro de masa dm, altura ∆r y
superficie A de gas ideal en la estrella. Sobre este
cilindro actúa una fuerza gravitatoria hacia el centro
de masa de la estrella.
Podemos empezar a desarrollar una expresión para la presión central de la estrella
causada por el empuje gravitatorio.
Los gradientes de presión laterales no se tomarán en cuenta por ser equivalentes y
opuestos. También es posible despreciar la fuerza de gravitación del material que se
encuentra por encima del cilindro6 y tomar la masa dentro de una esfera de radio 𝑟 debajo de
nuestro cilindro como puntual (𝑀𝑟 ), concentrándola en el centro de la estrella como lo
muestra la Ilustración 4.
6
Ya que se puede llegar a considerar la estrella como una infinidad de cascarones concéntricos, por lo tanto
tomándose como una partícula
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Ilustración 3: El efecto gravitatorio de la masa
en área sombreada sobre nuestro cilindro es
nulo. Consideramos toda la masa contenida por
el radio r como puntual en el centro para facilitar
el cálculo de su efecto sobre nuestro cilindro.
Ambas fuerzas deben contrarrestarse para mantener el equilibrio hidrostático de la
estrella, por lo que es posible igualar [2] y [3].
𝐺 𝑀𝑟 𝑑𝑚
𝑟2
= 𝐴∆𝑃
[4]
Y consecuentemente sustituir las masas 𝑀𝑟 :
4
𝑀𝑟 = 3 𝜋𝑟 3 𝜌
[5]
𝑑𝑚 = 𝐴 𝜌 ∆𝑟
[6]
Y 𝑑𝑚 :
Del material por debajo de nuestro cilindro [5] y de este mismo [6], en la expresión
para la fuerza gravitacional entre estos [2].
𝐹𝑔 =
4
3
𝐺 𝜋𝑟 3 𝜌𝐴∆𝑟𝜌
𝑟2
4
𝐹𝑔 = 3 𝐺𝜋𝜌𝑟𝐴∆𝑟𝜌
[7]
Para seguir con nuestra igualación y poder resolver la razón de presión sobre
∆𝑃
incremento de radio ∆𝑟 .
𝐴 ∆𝑃 =
𝐺 𝑀𝑟 𝑚
𝑟2
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4
𝐴∆𝑃 = 3
𝐺 𝜋 𝑟 3 𝜌2 𝐴 ∆𝑟𝜌
4
𝐴∆𝑃 =
3
𝑟2
𝐺 𝜋𝑟𝜌 2 𝐴∆𝑟
4
∆𝑃 = 3 𝐺𝜋𝑟𝜌 2 ∆𝑟
[8]
Ya que en la expresión pasada es posible expresar ∆𝑃 como función de ∆𝑟,
resolveremos para 𝑑𝑃 y haremos infinitésima esta diferencia.
∆𝑃
∆𝑟
𝑑𝑃
𝑑𝑟
4
= 3 𝐺𝜋𝑟𝜌 2
4
= 3 𝐺𝜋𝑟𝜌 2
[9]
Es posible despejar la diferencial de P, 𝑑𝑃 en [9]:
4
𝑑𝑃 = (3 𝐺𝜋𝑟𝜌 2)𝑑𝑟
4
𝑑𝑃 = −(3 𝐺𝜋𝑟𝜌 2 )𝑑𝑟
[10]
Y arreglar el signo de la expresión para asemejar el comportamiento particular de la
estrella. En esta, la presión es máxima en el centro y nominalmente cero cuando el valor del
radio es máximo (en la superficie). Por lo que
𝑑𝑃
𝑑𝑟
debe ser negativa.
1.32 Presión Central
A fin de que al integrar [10] y evaluar nuestra función de la superficie de la estrella al centro
𝑑𝑃
de la misma, de 𝑟 = 𝑅 a 𝑟 = 0, obtengamos la fuerza de compresión total. Esto por ser 𝑑𝑟 el
cambio de presión con respecto al cambio de radio; el cual puede ser “acumulado” a lo largo
del radio total:
0
0
4
∫𝑅 𝑑𝑃 = ∫𝑅 (− 3 𝐺𝜋𝜌 2 𝑟) 𝑑𝑟
4
0
4
1
𝑃 = − 3 𝐺𝜋𝜌 2 ∫𝑅 𝑟 𝑑𝑟
𝑃 = − 3 𝐺𝜋𝜌 2 [2 𝑟 2 ]
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0
𝑅
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2
𝑃 = [− 3 𝐺𝜋𝜌 2𝑟 2 ]
0
𝑅
2
𝑃 = 0 − [− 3 𝐺𝜋𝜌 2𝑅2 ]
Teniendo como resultado la fuerza por presión gravitacional 𝑃 :
𝑃=
2
3
𝜋𝐺𝜌 2𝑅2
[11]
En donde sustituimos
𝑀
𝑣
en ρ para obtener la expresión final en términos de la masa
𝑀 y el radio 𝑅 de la estrella.
2
𝑃 = 3 𝜋𝐺𝜌 2 𝑅2
2
𝑀 2
2
𝑀
𝑃 = 3 𝜋𝐺 [ 𝑉 ] 𝑅 2
2
𝑃 = 3 𝜋𝐺 [4
𝜋𝑅3
2
𝑀2
3
𝑃 = 3 𝜋𝐺 [16
9
𝑃=
] 𝑅2
𝜋2 𝑅6
] 𝑅2
2 9
( )𝜋𝐺𝑀2 𝑅2
3 16
𝜋2 𝑅6
3 𝐺𝑀2
𝑃 = 8 𝜋𝑅4
[12]
Expresión que no solo está en términos de la masa y el radio de nuestra estrella, sino
1
también arroja resultados importantes. Encontramos que 𝑃 ∝ 𝑅4 y 𝑃 ∝ 𝑀2 . Hechos que no
tendrían mayor significado de ser independiente la masa y el radio; pero al haber una
relación teórica entre estos: 𝑀 ∝ 𝑅3 es posible que se nos presente un límite a la función.
Será necesario comparar esta expresión con la obtenida más delante de presión por
degeneración electrónica para evaluar si esta puede sostener a Sirio B en balance.
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2. Degeneración electrónica
Para estudiar la posibilidad de que la degeneración electrónica sea el sustento del balance en
nuestras estrellas, es necesario cuantificar su efecto. Retomando, es posible que los sistemas
de alta energía lleguen a tan altas densidades que su presión es determinada por los Principio
de Exclusión de Pauli e incertidumbre de Heisenberg ( Committee on High Energy Density
Plasma Physics 12) en vez de por su temperatura. Cuando ocurre esto en un gas ideal, se le
denota como gas ideal cuántico y dependiendo de su composición, se diferencia entre los
gases Bose-Einstein y Fermi-Dirac; estos últimos incluyendo los gases de degeneración
electrónica.
Los electrones degenerados son un peculiar estado de materia en el cual, gracias al
principio de exclusión, estas partículas deben de tener distintos niveles de energía y es
imposible condensar más esta concentración de electrones ya que se encuentra en su estado
fundamental (Burton 156; Mestel 583). Por lo tanto, para añadir masa a un sistema de
electrones bajo estas condiciones es necesario elevar el nivel de energía; requerimiento que
se manifiesta como presión.
2.1 Principio de exclusión
El principio de exclusión de Pauli requiere que ciertas partículas –los Fermiones, entre ellos
neutrones y electrones- no puedan colapsar en el mismo nivel de energía. (Celnikier 84) Por
lo tanto, en un gas ideal de tales partículas confinado a un volumen dado las energías de estas
deben de estar dispersas a lo largo de un gran rango de valores, incluso si su temperatura
nominal es muy baja.
2.2 Principio de incertidumbre
El de incertidumbre de Heisenberg establece un límite fundamental a la precisión con la que
es posible conocer un par de cualidades físicas en un objeto, como lo son su posición, 𝑥 , y
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su cantidad de movimiento, 𝑝. Es expresado en términos de ℏ, la constante reducida de Plank7
, de la siguiente manera :
∆𝑝∆𝑥 ≥
ℏ
2
(Celnikier 90)
Lo cual interpretaremos para propósitos de nuestra investigación, como:
∆𝑝∆𝑥 ≈ ℏ
[13]
Asemejando procedimientos encontrados en la literatura consultada. Diciéndonos
que, en cierta manera, mientras más comprimida esté la materia dentro de nuestra estrella –
estando sus partículas más juntas ∴ su incertidumbre en la posición siendo menor- podemos
considerar el movimiento de sus partículas como más errático, efecto que junto se
manifestará como presión.
2.4 Derivación
Tomando como base todo lo anterior, podemos empezar a derivar una expresión
considerando un cubo de material de enana blanca, un gas ideal homogéneo de electrones
degenerados (Ilustración 5) en el que cada electrón está confinado a un volumen determinado.
Ilustración 4: Cubo de material de enana blanca, electrones en espacios confinados individuales.
7 ℎ
2𝜋
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En este volumen total unitario habrá 𝑛𝑒 número de electrones, cada uno con una
incertidumbre en su posición de ∆𝑥. Por lo tanto, nombraremos ∆𝑥 3 al volumen al que cada
uno está confinado, dado que:
𝑛𝑒 ∆𝑥 3 = 1
[14]
Por lo tanto:
3
1
∆𝑥 = √𝑛
𝑒
1
−
∆𝑥 = 𝑛𝑒 3
[15]
Al considerar que ∆𝑝 ≈ 𝑝 en [13] siendo 𝑝 la cantidad de movimiento de los
electrones, nuestra expresión puede verse de la siguiente manera:
ℏ
𝑝 ≈ ∆𝑥
𝑝≈
ℏ
1
−
𝑛𝑒 3
1
𝑝 ≈ ℏ 𝑛𝑒 3
[16]
En los gases ideales, como este, las partículas colisionan solamente con los límites
del espacio en el que están contenidas. Por lo tanto, si es considerado que la estrella está
compuesta únicamente por un gas ideal de electrones y tenemos una expresión para la
cantidad de movimiento de estos, podemos encontrar la fuerza de presión que ejercen estos
electrones sobre las paredes de su “confinamiento” con el concepto de impulso: cambio de
momento en un lapso de tiempo.
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Ilustración 5: Volumen de electrones que "rebotarán" en un metro cuadrado durante 1 segundo
El cambio de momento estará dado por el número de electrones que vayan a colisionar
con esta superficie unitaria en un segundo.
Empezando por asumir que solo hay 3 posibles direcciones, cada una con dos
sentidos, en las que los electrones pueden moverse (arriba, abajo, derecha, izquierda,
“dentro”, “fuera”)8 como se ve en la ilustración 7. Y que es igual de probable que estos se
muevan en cualquiera de estas direcciones gracias al principio de equipartición de energía,
podemos encontrar el volumen dentro del cual los electrones contenidos rebotarán en el 𝑚2
de límite. Este estará dado por: 1𝑠 ∙ 1𝑚2 ∙ 𝑣 ∙ 𝑛𝑒
1
Por lo tanto: 1𝑠 ∙ 1𝑚2 ∙ 𝑣 ∙ 𝑛𝑒 ∙ 6 electrones rebotarán, cada uno con una cantidad de
movimiento 𝑝 inicial y una cantidad 𝑝 final, lo que resultará en un impulso, o cambio de
momento, de 2𝑝 por cada uno.
Por lo que la presión estará dada por:
1
𝑃 ≈ 6 𝑛𝑒 𝑣2𝑝
1
𝑃 ≈ 3 𝑛𝑒 𝑣𝑝
8
[17]
Asunción irrealista, ya que los electrones pueden moverse en una infinidad de direcciones.
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Ilustración 6: Equipartición de energía: movimiento del electrón es igual de probable en cualquier dirección. Eje x, y o z
Expresión que puede ser transformada al tomar la cantidad de movimiento de los
electrones en un contexto no relativista, es decir, considerando sus velocidades como mucho
menores a la de la luz para no incluir el factor de Lorentz. La cantidad de movimiento de
cualquier cuerpo bajo estas circunstancias es definida como:
𝑝 = 𝑚𝑣
Y por consiguiente su velocidad, necesaria para arreglar nuestra expresión de presión, como:
𝑝
𝑣=𝑚
Por lo tanto, sustituyendo 𝑣 en [17] con 𝑚𝑒 como la masa del electrón, nuestra presión
por degeneración electrónica adquiere la forma de:
𝑃=
𝑛𝑒 𝑝 2
[18]
3𝑚𝑒
En la cual puede ser sustituido 𝑝, el momento de los electrones de [16]
1
𝑝 ≈ ℏ 𝑛𝑒 3
1
𝑃=
𝑛𝑒 (ℏ𝑛𝑒 3 )2
3𝑚𝑒
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5
𝑃=
ℏ2 𝑛3𝑒
3𝑚𝑒
Y ya que vemos la necesidad de expresar nuestra creación 𝑛𝑒 en términos generales
para más adelante poder usar la derivación final, debemos dividir la densidad de la estrella
entre la masa atómica del hidrógeno: lo que nos daría el número de átomos de hidrógeno.
Pero ya que Sirio B está compuesta principalmente de Carbono (y la consideraremos
exclusivamente compuesta por electrones), debemos de multiplicar el nominador por el
número de electrones (o protones) que tiene el carbono y el denominador por la masa atómica
con respecto al hidrógeno.
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑍
𝑍
𝜌
𝑛𝑒 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝐻𝑖𝑑𝑟ó𝑔𝑒𝑛𝑜 (𝐴) = (𝐴) 𝑚
ℎ
[19]
Para sustituir en [18] y obtener una expresión final:
ℏ2
𝑍
𝑃 = 3𝑚 [(𝐴)
𝑒
𝜌
𝑚ℎ
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]
5
3
[20]
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II. Sirio B y Valoración de resultados
1.1 Contexto Histórico
Pocos objetos estelares aparecen tan brillantes en el cielo nocturno como Sirio, con una
magnitud aparente de -1.46 (J. B. Holberg, Diamond 11), es la estrella más brillante del cielo
nocturno visto desde la tierra. Lleva por nombre propio Alfa Canis Majoris y es conocida
desde la antigüedad con registros en las culturas Ejipcia, Maya, Griega y Polinesia (Burton
36). En 1844 Friedrich Wilhelm Bessel9 dedujo a partir de las oscilaciones observables que
debía tener un acompañante invisible, lo que desconcertó a la comunidad astronómica (Bessel
136) y dio paso a que se le reconociera como el sistema binario Sirio AB. Este “acompañante”
es ahora identificado como Sirio B, la estrella enana blanca con la cual inició el estudio de
las cualidades sorprendentes de estos cuerpos celestes.
1.2 Observaciones secundarias
El observar a Sirio B en el espectro de luz visible es particularmente difícil, debido a la luz
diseminada por su compañera Sirio A, cientos de veces más luminosa. Sin embargo, desde
1993 la separación de los componentes A y B de esta estrella se ha vuelto cada vez más
favorable y estudios recientes han podido obtener espectrografías -casi incontaminadas- con
buena resolución de ambos componentes.
La obtención de datos secundarios se realizó al hacer un estudio de la literatura
relevante en las bases de datos del Astrophysics Data System -operada por el Smithsonian
Astrohpysical
Observatory, la NASA y la universidad de Harvard-, los archivos de
publicaciones de la American Astronomical Society y los de la Royal Astronomical Society.
1.3 Masa y Radio
El rango de masas que han sido calculadas abarca desde 1.05 𝑀⊙(Holberg et al 1998) para
observaciones terrestres, hasta 0.978 M⊙ (Barstow, Bond y Holberg 1142) como resultados
experimentales desde el telescopio espacial Hubble. Sin embargo, existe un consenso general
entre los expertos en lo que concierne a la masa de Sirio B; ubicándola en 1.02 M⊙ (Barstow
9
Astrónomo y matemático reconocido por plantear el paralelaje trigonométrico y dirigir el icónico
observatorio de Königsberg.
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et al 2005; Bond 1; Barstow, Bond y Holberg 1145) por la mayoría de ellos. Este resultado
permea la literatura tanto dentro de estudios teóricos de relaciones masa-radio como en
resultados experimentales.
Los rangos de incertidumbre encontrados circundaban ±2%, un nivel de error mucho
menor al estimado para nuestras derivaciones (por las consideraciones de equipartición de
energía en solo tres direcciones, etc…) Por lo cual estas y su papel en la verificación de
nuestros resultados será negligido.
Por otro lado, determinar el radio de Sirio B ha representado un reto para astrónomos
a lo largo de la historia. Entre la literatura consultada, la fuente que consideraremos como
más fiable por la naturaleza de sus observaciones será: “Hubble Space Telescope
spectroscopy of the Balmer lines in Sirius B.” por Barstow, Bond y Holberg. Estudio
realizado en 2005 con datos estpectroscópicos obtenidos por el telescopio espacial Hubble
que arrojó un radio de 0.00864 ±0.00012𝑅⊙ (sic 1142). Dato con una presunta exactitud
inprecedente gracias a la linea de visión única obtenida en órbita.
1.4 Evaluación de las fuerzas
Tomando la masa y el radio de Sirio B como:
𝑀 = 1.02 𝑀⊙ = 2.03𝑥1030 𝑘𝑔
Y
𝑅 = 8.64𝑥10−3 𝑅⊙ = 6.01𝑥106 𝑚
Podemos evaluar nuestras expresiones finales de compresión [12] y presión
degenerada [20] con estos números para comparar magnitudes de ambos resultados.
1.41 Compresión
Tenemos nuestra expresión final [12]:
𝑃=
3𝐺𝑀2
8𝜋𝑅4
Y evaluamos 𝑀 y 𝑅
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2
3 𝐺(2.03𝑥1030 𝑘𝑔)
𝑃=8
𝜋(6.01𝑥106 𝑚)4
Subsecuentemente G, la constante de gravitación universal de Newton:
2
3 (6.67𝑥10−11 𝑚3 𝑘𝑔−1 𝑠 −2 )(2.03𝑥1030 𝑘𝑔)
𝑃=8
𝜋(6.01𝑥106 𝑚)4
Al resolver obtenemos que la compresión central debe de ser:
𝑃 = 2.52𝑥1022 𝑘𝑔 𝑚−1 𝑠 −2 = 2.52𝑥1022 𝑃𝑎
1.42 Degeneración
Entre los términos de nuestra expresión original [20]:
𝑃=
ℏ2
3𝑚𝑒
𝑍
𝜌
𝐴
𝑚ℎ
[( )
]
5
3
Se encuentra 𝜌, denotando la densidad del cuerpo estelar. Para Sirio B, esta estaría dada por:
𝜌=
𝑀
𝑉
=4
3
2.03𝑥1030 𝑘𝑔
𝜋(6.01𝑥106 𝑚)3
= 2.23𝑥109 𝑘𝑔 𝑚−3
Que puede ser posteriormente sustituida en [20] junto con Z -el número atómico del
carbono: 6- , A –la masa atómica de este en Unidades de masa atómica: 12u-, 𝑚𝑒 -la masa
del electrón, 𝑚ℎ -la de un átomo de hidrógeno- y ℏ -la constante de Plank reducida.
5
2
𝑃=
(1.05𝑥10−34 𝐽 𝑠)
3∙9.11𝑥10−31 𝑘𝑔
[
6∙2.23𝑥109 𝑘𝑔 𝑚−3 3
12∙1.67𝑥10−24 𝑘𝑔
]
𝑃 = 2.06𝑥1016 𝑘𝑔 𝑚−1 𝑠 2 = 2.06𝑥1016 𝑃𝑎
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Conclusión
Los resultados de la evaluación indican una discrepancia en resultados de 6 órdenes de
magnitud: divergencia muy significativa del valor esperado. Discrepancia que puede
indicar un estado de degeneración parcial en Sirio B; estado en el que la energía del sistema
no es mucho menor a la energía de fermi y por consiguiente la temperatura y el volumen
del gas sean factores al determinar la presión de este.
Esto se puede deber a las consideraciones tomadas para poder llevar a cabo la derivación
como: el marco no-relativista al buscar la cantidad de movimiento de los electrones; la
composición de electrones degenerados enteramente para la enana blanca, el principio de
equipartición de energía en solo tres direcciones e incluso la asunción de degeneración y
uniformidad total en Sirio. Otro factor que pudo haber limitado el alcance de esta
investigación fue el tomar a sirio B como un cuerpo con temperatura de 0 Kelvin,
comparados con los 25000 K reales según Barstow, Bond y Holberg (1142). Al estar cerca
la masa de este objeto al límite de Chandrasekhar, la consideración no relativista tomada
pudo haber hecho que los resultados diverjan enormemente. Otros factores a considerar
futuramente serían la composición múltiple de Sirio, que incluye no solo carbono, sino
también hidrógeno, helio y oxígeno (Barstow 1160).
Esta investigación condujo a interesantes perspectivas clásicas de principios cuánticos y
viceversa, las expresiones desarrolladas exploraron relaciones masa-presión e incluso la
aplicación de comportamientos elementales al estudiar un sistema a macro escala.
Pudimos alcanzar cierto nivel de certeza en cuanto a la material degenerada como sustento
del equilibrio en enanas blancas. No lo suficiente para formar conocimiento científico, pero
la exploración fue satisfaciente dejó resultados aproximados.
Algunas cuestiones emergen de nuestros resultados, por ejemplo, la importancia de los
factores relativistas de Lorentz, por ejemplo, en el estudio de sistemas de alta energía.
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Obras Consultadas
Barstow, M. A., y otros. «HST Observations of the Sirius B Balmer lines.» 14th European
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Barstow, M.A, y otros. «Hubble Space Telescope spectroscopy of the Balmer lines in Sirius
B.» Royal Astronomical Society 362 (2005): 1134-1142. Impreso.
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Burton, W.B. Bertola, F. Cassinelli, J.P. Astrophysics and Space Science Library : Sirius
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Celnikier, Ludwik Marian. World Scientific Series in Astronomy and Astrophysics, vol 11:
Find a Hotter Place! : A history of nuclear Astrophysics. EEUU: World Scientific,
2006. Impreso.
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Physics: The X-Games of Contemporary Science. Washington DC: National
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Mestel, L. «On the energy of white dwarfs.» Royal Astronomical Society vol.112 (1952):
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