Download Energías en un oscilador vertical

OSCILADOR MECÁNICO VERTICAL
Datos: velocidad del objeto en b, vb = 6 m/s ; K=72 N/m ; g=9,8 m/s² ; m=0,5 kg
Como las únicas fuerzas que actúan son conservativas la energía mecánica ha de ser la misma en
cualquier situación. Vamos a remarcar 4 posiciones (subida), ya que en la bajada se repiten las
energías (sólo cambia el sentido de la velocidad).
Con la referencia para las energías potenciales
gravitatoria y elástica marcada en el dibujo (x=0) d
x=+A'-x0
d
x=+A-x 0
Ref. (Epg y Epe )
Posición de equilibrio
E p = mgx ; E pe = 12 Kx 2
Ec = E M − E pe − E pg
;
(EM=Epe+Ec+Epg)
x=0
c
x=-x0
b
E pg = 4.9x
E pe = 36x 2
;
E c = 36(0.24536 − x 2 ) − 4.9x
;
En lo que sigue se tiene en cuenta que mg=Kx0
(x0=0,0681 m)
E M(a) = E P g (a) + E P e (a) = −mg(x 0 + A) + 12 K(A + x 0 ) 2 =
A=estiramiento inicial
= −mgx 0 − mgA + 12 KA 2 + 12 Kx 20 + KAx 0 =
m
a
x=-A-x0
1
2
2 KA
− 12 Kx 20 = E M(a) = E M
2
2
E M(b) = E C(b) + E P g (b) + E P e (b) = 12 mv 2b − mgx 0 + 12 Kx 20 = 2 mv b − 2 Kx 0 = E M(b)
1
1
Igualando las la energías mecánicas en a y b tenemos que 2 KA
Con los datos del ejercicio ( K, m y vb) d A=0,5 m
1
2
= 12 mv 2b
En el tramo a d b (ascenso) la fuerza elástica (hacia arriba) es mayor que el peso
con lo que la FR va hacia arriba: aumenta la EC (teorema de las fuerzas vivas),
aumenta la Epg y disminuye Epe
E M(c) = E c(c) = 12 mv 2c
En el tramo bd c la fuerza elástica (hacia arriba) es menor que el peso con lo que
la FR va hacia abajo: disminuye la EC, disminuye la Epe y aumenta la Epg
∏
∏
E M(d) = E Pg(d) + E Pe(d) = mg(A − x 0 ) + 12 K(A − x 0 ) 2 = mgA ∏ − mgx 0 + 12 KA ∏2 +
1
2
2 Kx 0
2
∏2
− KA ∏ x 0 = 2 KA − 2 Kx 0 = E M(d) . Por si podía caber alguna duda, compa1
1
rando las energías mecánicas en a y d, deducimos que
A = A∏
En el tramo cd d la fuerza elástica y el peso van hacia abajo con lo que la FR va
hacia abajo: disminuye la EC, aumenta la Epe y aumenta la Epg
Si nos fijamos en la posición de equilibrio (b), en el extremo inferior (a), y en el superior
(d), las energías con respecto al mismo muelle colocado horizontalmente (en este caso el peso
1
no haría trabajo y no variaría la energía potencial gravitatoria): son menores en 2 Kx 20 .
Dicho de otro modo: el peso supone sólo un desplazamiento “global” de x0 hacia abajo y el
movimiento es igualmente armónico y centrado en la posición de equilibrio [”se podría decir que
la existencia del peso es equivalente a tomar la referencia para la E pe en la posición muelle estirado x0”]