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1.3 Ecuaciones diferenciales de 2do orden
Movimiento armónico simple
Considere un resorte con peso despreciable suspendido verticalmente de en un apoyo fijo en la
parte superior. Al sujetar un peso  de la parte inferior del resorte, éste se desplaza una longitud
 , figura (1.23b) ; tal que cuando  está en reposo, el sistema está en equilibrio. Si se impone
un desplazamiento hacia abajo en la parte inferior del resorte y posteriormente se suelta, el peso
estará bajo movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio (1.23c). Es obvio que
existe una fuerza que trata de regresar el peso desplazado a su posición de equilibrio, esta fuerza
se denomina fuerza de inercia.
Figura 1.23: Resorte: a) posición inicial, b) con carga estática y c) con desplazamiento impuesto.
La fuerza restauradora está gobernada por la Ley de Hooke que establece: la fuerza ejercida
por un resorte, tendiente a restaurar el peso  a la posición de equilibrio, es proporcional a la
distancia de  a la posición de equilibrio.
 = 
(1.288)
Cuando el peso  se coloca en el resorte de estira una distancia  com se muestra en la figura
(1.23b). De acuedo con la ley de Hooke, la tensión 1 en el resorte es proporcional al alargamiento,
y así 1 = . Puesto que el resorte y el peso están en equilibrio se tiene que
1 =  = 
(1.289)
Cuando el peso se desplaza más y se suelta, su posición en el tiempo , se muestra en la figura
(1.23c). La tensión 1 en el resorte en este tiempo es, de acuerdo a la ley de Hooke,
2 = ( + ) = 
c
°Gelacio
Juárez, UAM
(1.290)
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1.3 Ecuaciones diferenciales de 2do orden
Por equilibrio, en la figura (1.23c)
2 +  =   =  − 2
(1.291)
Sustituyendo las ecs. (1.289) y (1.290) en la ec. (1.291)
 =  − ( + ) = −
(1.292)
Por la ley de Newton la ecuación de movimiento es:
 2 
= −
 2
(1.293)
Ejemplo
Un peso de 490332 N estira un resorte 25 cm. Si el peso se jala 10 cm por debajo de la posición
de equilibrio y se suelta, determine: a) una ecuación diferencial y condiciones asociadas que
describan el movimiento; b) la posición del peso como una función del tiempo; y c) la posición,
velocidad y aceleración 0.25 s después de haberse soltado.
Solución. Por la ley de Hook, la constante del resorte es:
=

500 N
N
=
= 20000

0025 m
m
(1.294)
El modelo matemático de este problema es de la ec. (1.293)
490332 N 2 
N
= −20000 
2
2
9807 m s 
m
2
 
N
50 kg 2 + 20000  = 0

m
(1.295)
Puesto que inicialmente,  = 0 el peso está 10 cm por debajo de la posición de equilibrio se tiene,
(0) = 010 m
(1.296)
Además, puesto que el peso se suelta, se considera que la velocidad
 (0) =
(0)
=0

(1.297)
Solución general. La ecuación característica de la ec. (1.295) es
50 kg2 + 20000
N
=0
m
(1.298)
con las raíces de la ec. (1.298), 1 = 20 1s y 2 = −20 1s , se obtiene de la ec. (1.258) la solución
general
c
°Gelacio
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59
1.3 Ecuaciones diferenciales de 2do orden
1
1
() = 1 cos 20  + 2 sin 20 
s
s
(1.299)
1
1
1
1
() =  0 () = −1 20 sin 20  + 2 20 cos 20 
s
s
s
s
(1.300)
La derivada de la ec. (1.299) es
De las condiciones en las ecs. (1.296) y (1.297) en las ecs. (1.299) y (1.300)
(0) = 1 = 010 m
1
(0) = 2 20 = 0
s
(1.301)
(1.302)
Resolviendo (1.283) se obtienen los valores de 1 = 010 m y 2 = 0, con los que se obtiene
la solución particular de la ec. (1.281), así el desplazamiento, la velocidad y la aceleración,
respectivamente, están definidos por
1
() = 010 m cos 20 
s
1
m
() = −2 sin 20 
s
s
1
m
() = −40 2 cos 20 
s
s
(1.303)
(1.304)
(1.305)
La gráfica del desplazamiento se muestra en la figura 1.24; la de la velocidad en la 1.25 ; y la de
la aceleración en la 1.26. Las tres gráficas tiene un periodo, ciclos por segundo,

2
1 = 10 s
20 s
(1.306)
10 1
1
1
=
= 3 1831

 s
s
(1.307)
 =
y una frecuencia, ciclos por segundo,
 =
Tarea
En el ejemplo anterior, considere las siguientes condiciones iniciales
(0) = 010 m
 (0) =
(0)
m
=1

s
(1.308)
(1.309)
Además, grafique las soluciones y compárelas con las de las figuras 1.24, 1.25 y 1.26.
c
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1.3 Ecuaciones diferenciales de 2do orden
y(m)
0.10
0.05
0.00
0.1
0.2
0.3
t(s)
-0.05
-0.10
Figura 1.24: Desplazamiento
2
v(m/s)
1
0
0.1
0.2
0.3
t(s)
-1
-2
Figura 1.25: Velocidad
a(m/s2)
40
20
0
0.1
0.2
0.3
t(s)
-20
-40
Figura 1.26: Aceleración
c
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