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FÍSICA Y QUÍMICA DE 1º DE BACHILLERATO
I.E.S. EL PARADOR
SOLUCIONES DE DINÁMICA
PROBLEMA 20 (pág. 92)
Si dejamos en libertad un cuerpo de 4kg de masa sobre un plano inclinado de 30º y
a una altura de 5 m, llega a la base del plano con una rapidez de 8 m/s.
Determinad:
A) El coeficiente de fricción entre cuerpo y plano.
B) El módulo de la fuerza F que debemos hacer en dirección perpendicular al
plano para que llegue a la base con una rapidez de 2 m/s.
A) Conocemos la masa del cuerpo m=4kg, el ángulo de inclinación =30º, la altura
desde la que cae el cuerpo h=5m, y la rapidez final vf=8m/s con la que llega a la base del
plano inclinado. Tenemos que determinar la expresión para el coeficiente de rozamiento
en función de esos datos. Hay que tener en cuenta que, aunque no lo mencione el
enunciado, también conocemos (por si hiciera falta) la aceleración de caída libre
f ( m , , h, v f , g ) .
g=9,8m/s2. Así pues, buscamos una expresión
Si dejamos el cuerpo en libertad y desciende
por el plano inclinado, es porque debe existir
R Froz
una aceleración tangencial atg no nula
responsable de que el cuerpo abandone el
Ptg
h
reposo y vaya aumentando su rapidez.
Pn
Debemos de determinar la expresión para esa
P
atg a partir de las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo. Si esa atg es constante (que debe serlo,
ya que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante el descenso son constantes),
el cuerpo descenderá con un m.u.a. sobre una trayectoria rectilínea conocida (la
superficie del plano). Conocida, entonces, la expresión para la aceleración del cuerpo
podremos relacionar los datos mediante las ecuaciones de ese m.u.a.
Identificadas las tres interacciones que sufre el cuerpo, representamos las fuerzas que
actúan sobre él, tal y como se observa en la figura, y las descomponemos todas ellas en
sus componentes tangencial y normal.
Como el movimiento es rectilíneo en la dirección normal no existe aceleración:
R
Pn
R
atg
g ( sen
mg cos
Como en la dirección tangencial sí existe aceleración:
atg
Ptg
Froz
m
mgsen
m
R
mgsen
mg cos
m
cos )
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Podemos comprobar que realmente la aceleración es constante durante todo el descenso,
ya que g, y lo son.
Ahora nos queda escribir las ecuaciones de ese mua, para lo que tomamos como origen
de referencia el punto de partida y el sentido positivo el del movimiento, por lo que la
aceleración debe quedar positiva (al ser un movimiento cada vez más rápido), tal y como
puedes comprobar tú mismo. En ese caso las ecuaciones son:
e
1
atg t 2
2
v
y
atg t
En el instante final en el que llega a la base del plano la posición coincidirá con la
distancia recorrida sobre el plano, y por un sencillo razonamiento trigonométrico
podemos deducir que está relacionada con la altura h y con el ángulo mediante la
expresión h=ef·sen . De ahí que ef=h/sen . Introduciendo este resultado en la ecuación
para la posición:
2h
h
1
tf
ef
atg t f 2
atg sen
sen
2
Introduciendo esta última expresión en la ecuación para la velocidad obtenemos:
vf
atg t f
2hatg
vf 2
sen
2hatg
sen
Teniendo en cuenta ahora la expresión para la aceleración:
vf 2
2hg ( sen
sen
cos )
De ahí podemos despejar la expresión para el coeficiente de rozamiento, de modo que:
(1
Sustituyendo valores, obtenemos que:
vf 2
2 gh
) tag
0, 2
B) Si queremos que llegue ahora con una rapidez menor, la aceleración de caída debe ser
menor, por lo que la fuerza de rozamiento debe ser mayor. Es decir, que el cuerpo y el
plano deben de estar más apretados (ya que no
estamos variando el coeficiente de rozamiento,
R
Froz
que seguirá valiendo 0,2). Para ello debemos
ejercer la fuerza en el sentido que indica la
Ptg
Fyo,c
h
figura. Por lo demás, todo es igual que en el
apartado anterior, sólo que ahora la incógnita
P Pn
es el módulo de Fyo,c. Hay que tener en cuenta
ahora la presencia de esta nueva fuerza al hacer
los razonamientos.
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Como el movimiento es rectilíneo, la aceleración normal es nula:
R
Fyo ,c
Pn
R
Fyo, c
mg cos
(1)
Como en la dirección tangencial sí existe aceleración:
atg
Ptg
Froz
m
(2)
Ahora bien, Ptg=mgsen ; y como el cuerpo está deslizando podemos escribir que
Froz=(Froz)max= ·R, y utilizando la expresión (1) queda Froz= Fyo,c+ mgcos .
Introduciendo esas expresiones en la ecuación (2), obtenemos finalmente:
atg
Ptg
Froz
m
mgsen
( Fyo ,c
m
mg cos )
atg
g ( sen
cos )
Fyo ,c
m
(3)
Las ecuaciones cinemáticas del movimiento siguen siendo las mismas que antes, por lo
que de la misma manera podemos llegar a la expresión:
2hatg
vf 2
sen
Sólo que ahora cambia la expresión para la atg, que viene dada por la expresión (3), de
modo que:
Fyo,c
2h g (sen
cos )
m
vf 2
sen
De esta última ecuación podemos despejar la expresión para Fyo,c, de modo que resulta
finalmente que:
v f 2 sen
mg
Fyo ,c
( sen
cos )
2 gh
Una expresión bastante complicada que no vamos a analizar, pero sí que podemos
comprobar que es dimensionalmente correcta. Sustituyendo datos obtenemos finalmente
que:
Fyo ,c
60 N