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IM-2007-1-25
MODELO BIOMECÁNICO DEL PEDALEO
JUAN MANUEL RODRÍGUEZ PRIETO
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA
BOGOTÁ D.C.
2007
1
IM-2007-1-25
MODELO BIOMECÁNICO DEL PEDALEO.
JUAN MANUEL RODRÍGUEZ PRIETO
PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE:
INGENIERO MECÁNICO
ASESOR
CARLOS FRANCISCO RODRÍGUEZ HERRERA
INGENIERO MECÁNICO, PhD.
Co-ASESOR
ANA MARIA POLANCO GUTIERREZ
INGENIERO MECÁNICO, MSc.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA
BOGOTÁ D.C.
2007
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IM-2007-1-25
CONTENIDO
1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................................................................... 8
1.1 JUSTIFICACIÓN....................................................................................................................................... 8
2. OBJETIVOS.................................................................................................................................................. 10
2.1 OBJETIVOS GENERALES .................................................................................................................... 10
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS ................................................................................................................... 10
3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO .......................................................................................................... 11
3.1 MODELOS BIOMECÁNICOS .............................................................................................................. 11
3.2 ECUACIONES DINAMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE NEWTON-EULER ........................... 12
3.3 ECUACIONES DINÁMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE LAGRANGE ..................................... 12
3.4 ECUACIONES DINÁMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE KANE ................................................ 14
3.5 SELECCIÓN DEL PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA EL
PEDALEO ..................................................................................................................................................... 17
3.6 EJEMPLO DEL PLANTEAMIENTO DE KANE DE LAS ECUACIONES DINÁMICAS DE
MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS ................................................................................................... 20
4. SISTEMA MUSCULO ESQUELETICO DE LA EXTREMIDAD INFERIOR ................................... 23
4.1 HUESOS ................................................................................................................................................. 23
4.1.1 Funciones de los huesos que conforman las extremidades inferiores del sistema esquelético. ..... 23
4.1.2 Huesos que intervienen en el pedaleo ............................................................................................. 23
4.2 MÚSCULOS ........................................................................................................................................... 25
4.2.1 Funciones de los músculos relevantes en el pedaleo ...................................................................... 25
4.2.2 Estructura de los músculos ............................................................................................................. 25
4.2.3 ¿Como trabajan los músculos? ....................................................................................................... 26
4.2.4 Movimientos permitidos por las articulaciones .............................................................................. 26
4.2.5 Actuadores que permiten el movimiento de las extremidades inferiores ........................................ 28
4.2.6 Selección de los músculos a utilizar en el modelo .......................................................................... 28
4.2.7 Modelo matemático de los actuadores de los actuadores de fuerza. ............................................ 29
5. MOVIMIENTO DEL CUERPO HUMANO EN EL PEDALEO ........................................................... 39
5.1 MODELO BIOMECÁNICO ................................................................................................................... 39
5.1.1 Parámetros del modelo ................................................................................................................... 40
5.1.2 Modelo de prueba............................................................................................................................ 42
5.1.2.1
5.1.2.2
5.1.2.3
5.1.2.4
Configuración del mecanismo durante un ciclo de pedaleo ........................................................... 42
Modelo de Cinética inversa .................................................................................................................. 45
Resultados del modelo de Cinética inversa ...................................................................................... 47
Secuencia de activación de actuadores de torque en la cadera y la rodilla ................................ 49
5.2 INTEGRACIÓN DEL MODELO DE ACTUACIÓN MUSCULAR AL MODELO BIOMECÁNICO . 50
5.3 EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS .......................................................................................................... 52
5.3.1 Flexión del muslo ............................................................................................................................ 52
5.3.2 Pedaleo ............................................................................................................................................ 55
5.3.2.1 Modelo muscular en el pedaleo .......................................................................................................... 55
5.3.2.2 Resultados .............................................................................................................................................. 57
6. CONCLUSIONES ....................................................................................................................................... 60
7. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................................... 61
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Procedimiento de análisis de movimientos humano más usado en la
actualidad. ..................................................................................................................... 8
Figura 2. Análisis de movimiento del pedaleo mediante un modelo de dinámica
directa............................................................................................................................. 9
Figura 3. Esquema de un problema dinámico a resolver por el planteamiento de
Kane. ............................................................................................................................ 21
Figura 4. Hueso de la extremidad inferior humana. ..................................................... 23
Figura 5. Nombre de los movimientos de las extremidades inferiores. .................. 27
Figura 6. Curva isométrica de fuerza contra longitud del tejido muscular. ............... 30
Figura 7. Curva normalizada de fuerza contra velocidad de acortamiento. ............. 31
Figura 8. Modelo esquemático de un músculo de Hill. .............................................. 32
Figura 9. Esquema de la dinámica de activación. ........................................................ 32
Figura 10. Fuerza contra deformación normalizada para un tendón. ........................ 35
Figura 11. Modelo integrado músculo-tendón con ángulo de penación 0°. ............. 36
Figura 12. Modelo Biomecánico del Pedaleo. ............................................................... 39
Figura 13. Diagrama de cuerpo libre de la manivela.................................................... 41
Figura 14. Configuración del modelo biomecánico 1. ................................................. 43
Figura 15 Configuración del modelo biomecánico 2. .................................................. 44
Figura 16. Configuración del modelo biomecánico 3 ................................................... 44
Figura 17. Modelo de dinámica inversa.......................................................................... 47
Figura 18. Posición angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de
90 r.p.m. ....................................................................................................................... 47
Figura 19. Velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla para una
velocidad de pedaleo de 90 r.p.m. .......................................................................... 48
Figura 20. Curva de torque de actuación en la cadera y la rodilla durante el
pedaleo. ....................................................................................................................... 49
Figura 21. Método de solución del modelo integrado. ................................................ 51
Figura 22. Prueba de funcionamiento del modelo muscular de Hill........................... 52
Figura 23. Activación del iliaco y el glúteo mayor durante la flexión del muslo. ...... 53
Figura 24. Flexión de la rodilla dadas las activaciones de la figura 21. .................... 54
Figura 25. Fuerza realizada por el glúteo y el iliaco en el movimiento de flexión. .. 55
Figura 26. Ubicación de los actuadores musculares.................................................... 56
Figura 27. Secuencia de activación de los músculos durante el pedaleo. ............... 56
Figura 28. Posición angular de la manivela con respecto al tiempo. ....................... 58
Figura 29. Fuerza de actuación ejercida por cada uno de los músculos del modelo.
....................................................................................................................................... 58
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LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Comparación de los planteamientos de las ecuaciones de movimiento. .. 18
Tabla 2. Explicación de los movimientos en las extremidades inferiores. ................ 27
Tabla 3. Grupos de la extremidad inferior humana y sus funciones.......................... 28
Tabla 4. Grupo musculares relevantes en la actividad física del pedaleo. ............... 29
Tabla 5. Datos Antropométricos del ser humano relevantes en el pedaleo. ............ 40
Tabla 6. Coordenadas generalizadas que definen la ubicación de los cuerpos...... 45
Tabla 7. Propiedades de los actuadores musculares. ................................................ 57
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INTRODUCCIÓN.
Desde la invención de la bicicleta, el pedaleo ha sido considerado como un
proceso de aprendizaje mecánico que generalmente se inicia a una edad
temprana, ocupando muchas veces el segundo lugar en actividades mecánicas
aprendidas por el hombre después del caminar. Es tal la relevancia del pedaleo,
que le ha permitido al hombre desplazarse de un lugar a otro en un tiempo más
corto en comparación con el que se demoraría caminando; no obstante algunas
personas presentan algunas dificultades a la hora de realizar el movimiento del
pedaleo debido a algunas anomalías músculo-esqueléticas
como las que se
mencionaran a continuación: deformación de nacimiento en las extremidades
inferiores, pérdida de alguno de sus miembros inferiores por accidente o
enfermedad, pérdida o reubicación de algún músculo a causa de un accidente, o
simplemente existen casos en los que se requiere de un pedaleo más eficiente,
es decir una buena relación entre la potencia de salida en el eje de la manivela con
respecto a la potencia suministrada por los músculos, tal es el caso del ciclismo.
De ahí, que el modelamiento dinámico de movimientos humanos, es decir el
modelamiento de un movimiento mediante un conjunto de cuerpos rígidos unidos
entre si, que se mueven los unos con respecto a los otros y que representen
adecuadamente una actividad física, es un tema que cada día interesa más a
ingenieros, médicos y deportistas debido a los grandes beneficios que se pueden
obtener, es por eso que durante los últimos años se ha desarrollado gran
conocimiento en áreas de estudio como el análisis de marcha y la biomecánica.
Tal es
el desarrollo de estos campos de estudios y su aplicabilidad,
que la
estimación por dinámica inversa de los momentos de actuación en una articulación
y por dinámica directa del movimiento que generan las fuerzas ejercidas por cada
uno de los grupos musculares en diferentes actividades físicas, entre ellas el
pedaleo en una persona saludable y en una persona con patologías músculoesquelética
se pueden comparar, permitiendo en gran variedad de casos
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diagnosticar el tratamiento a seguir para corregir tal patología y en otros
diagnosticar la incapacidad de realizar el movimiento de las piernas en el pedaleo.
Es por tanto que este trabajo desarrolla un modelo de dinámica inversa de la
actividad física del pedaleo que permita estimar los momentos de actuación en la
articulación de la cadera y la rodilla y como segunda instancia se propone un
modelo de dinámica directa actuado por músculos, el cual permite estimar la fuerza
que cada uno de los músculos realiza durante el ciclo o dada la fuerza que realiza
un músculo cual será el movimiento de las piernas.
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1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
1.1 JUSTIFICACIÓN
La dinámica inversa es comúnmente empleada en los análisis del movimiento
humano, entre ellos el pedaleo, para estimar los momentos de actuación en las
"
articulaciones ∑ M
!
!
!
= Iα y las fuerzas de reacción ∑ F = ma por la interacción de
un cuerpo con el otro, dado que se conoce la cinemática de sistema dinámico, la
cual se determina a partir de la posición adquirida experimentalmente mediante
sensores de posición ubicados sobre cada uno de los cuerpos. Este procedimiento
se resume en la siguiente figura.
Figura 1. Procedimiento de análisis de movimientos humano más usado en la
actualidad.
Pero debido a que el movimiento de las extremidades inferiores es causado por
actuadores de fuerza, donde cada uno se ellos se encuentra conformado por un
tendón en serie con un músculo, el modelo dinámico que representa de una
manera más real el pedaleo es uno de dinámica directa, ya que dada las fuerzas
realizadas por los músculos es necesario conocer cuales serán las posiciones que
tendrán cada uno de los cuerpos en el ciclo de movimiento (figura 2). Ahora, si ya
se conocen cuales son las fuerzas que permiten realizar el movimiento, se puede
conocer cuanta energía esta siendo almacenada en el elemento elástico, es decir
en el tendón y a la vez se puede estimar cuando potencia están suministrando los
músculos, esto ultimo permitiría encontrar una condición optima de pedaleo la cual
maximice
la
relación de potencia entregada en el eje sobre la potencia
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suministrada, lo cual tendría un campo en el ciclismo de alto rendimiento o
simplemente permitiría ampliar los puntos de comparación entre el pedaleo de una
persona saludable y una persona con alguna patología, los cuales permitan
diagnosticar un tratamiento acertado .
Figura 2. Análisis de movimiento del pedaleo mediante un modelo de
dinámica directa.
Teniendo en cuenta los anteriores argumentos, es necesario formular la siguiente
pregunta:
¿Cómo desarrollar un modelo biomecánico teórico del pedaleo que permita estimar
las fuerzas ejercidas por cada uno de los músculos y a la vez permita entender la
coordinación muscular en la actividad física del pedaleo?
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2. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVOS GENERALES
•
Integrar al modelo de dinámica directa teórico actuadores que representen
de manera acertada el comportamiento de los músculos.
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
• Realizar un modelo biomecánico del movimiento de las piernas en la
actividad física de pedaleo.
•
Estudiar los modelos matemáticos que permitan resolver la dinámica del
movimiento de cadena cerrada de cuerpos rígidos.
•
Estudiar los modelos de actuación muscular que representen de manera
adecuada a los músculos y la coordinación muscular que se presenta en el
pedaleo.
•
Realizar simulaciones por computador que permitan resolver las ecuaciones
y a la vez desarrollar una interfase grafica que permita la visualización del
movimiento de pedaleo.
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3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
3.1 MODELOS BIOMECÁNICOS
En base a la definición de biomecánica: “disciplina científica encargada del estudio
de las estructuras mecánicas que existen en los seres vivos” 1 , tal campo de
estudio busca generar modelos dinámicos que capturen los movimientos más
significativos que tienen los cuerpos en determinada actividad física con el objetivo
de estimar las fuerzas que se producen por el contacto entre los cuerpos, las
fuerzas que permiten generar ese movimiento (fuerzas musculares), la potencia
suministrada por los músculos, donde los cuerpos que pertenecen al sistema
dinámico son considerados rígidos(masa, inercia y longitud determinadas
experimentalmente). Es por tanto, que los modelos biomecánicos suelen
considerar un número inferior de cuerpos a los que posee el sistema real, ya que
un cuerpo del modelo biomecánico generalmente representa varios cuerpos del ser
viviente teniendo en cuenta que algunos de los grados de libertad que posee
presentan cambios en el tiempo poco significativos en comparación con los
consideran en el modelo biomecánico.
Tal es el caso de la marcha, en el cual generalmente se considera que el cuerpo
humano se puede modelar mediante un cuerpo que representa la cabeza, los
brazos y la cadera, dos que representa los muslos (uno por pierna), dos que
representan las piernas y dos que representan los pies. Como se ve en el ejemplo
anterior, solo se considera un pequeña fracción de los cuerpos que conforman el
cuerpo humano, ya que en caminado normal los otros cuerpos no presentan
movimientos relevantes para el análisis. Lo que parece a simple de vista intuición
se ha verificado experimentalmente mediante fotogrametría, más exactamente una
técnica experimental que permite capturar imágenes tridimensionales del
movimiento a altas frecuencias, capturando así la mayoría de los aspectos
1
http://es.wikipedia.org/wiki/Biomecanica
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relevantes del movimiento. En cambio, si se quiere modelar el movimiento de la
mano o del pie en una determinada actividad física es necesario considerar
puntualmente algunos de los cuerpos que componen el pie y la mano, los cuales
no son considerados en modelos de marcha o modelos de pedaleo.
3.2 ECUACIONES DINAMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE NEWTON-EULER
Para resolver la dinámica de un cuerpo rígido i que se mueve en un plano en el
marco de referencia inercial N, cuya ubicación en espacio esta dada por la
( xi , yi , θ i ) y que pertenece a un sistema dinámico conformado
coordenadas
por K cuerpos , los cuales se encuentran unidos entre si y moviéndose los unos
con respecto a los otros bajo b restricciones de configuración, es necesario
plantear la segunda ley de Newton para cada uno
!
!
∑ F = m *a
i
i
cmi
de los cuerpos
y la derivada del moméntum angular con respecto al tiempo
tomada en el marco de referencia N igual a la sumatoria de momentos actuando en
éste.
3.3 ECUACIONES DINÁMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE LAGRANGE
El método de Lagrange para un sistema dinámico conformado por K cuerpos
rígidos moviéndose exclusivamente en un plano en el marco de referencia inercial
N, donde cada uno tendrá como máximo 3 grados de libertad, definido cada grado
de libertad mediante las coordenadas generalizadas
q
i
(2 de translación y una de
rotación) y sometido a b restricciones de configuración establece que la fuerza
generalizada debe ser igual a la derivada con respecto al tiempo de la derivada
parcial con respecto a la velocidad generalizada del lagrangiano menos la derivada
parcial del lagrangiano con respecto a la coordenada generalizada
Donde el Lagrangiano se define como:
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L = ∑ T − V − ∑ λ c (q , q , q ,.....q )
K
i =1
b
i
i
j =1
j
j
1
2
3
n
(1)
Siendo Ti la energía cinética, Vi la energía potencial del cuerpo i, cj las restricciones
de configuración del sistema y n el numero de coordenadas generalizadas del
sistema dinámico.
Hay que aclarar que el lagrangiano se ha modificado para incluir las restricciones
de configuración por contacto con otros aplicando los mismos principios de los
multiplicadores de lagrange que se utilizan en la optimización de una función que
depende de varias variables y que se encuentra sujeta a un número dado de
restricciones.
Quedando
la ecuación de Lagrange para sistemas holonómicos escrita de la
siguiente forma:
Qk
⎛
d ⎜ ∂L
=
⎜
.
dt ⎜
∂
q
k
⎝
⎞
⎟
∂L
⎟−
(2)
⎟ ∂q k
⎠
Y el término llamado fuerza generalizada se define como
!
! ∂ N v! Gi
!
∂ N ω i (3)
Qk = ∑ Fi •
+ M Gi •
.
.
i =1
∂ qi
∂ qi
K
!
donde Fi es
!
la suma de fuerzas externas actuando en el cuerpo i, M Gi es la
sumatoria de momentos externos con respecto al centro de masa del cuerpo i y los
dos términos restantes son la derivada parcial de la velocidad del centro de masa
del cuerpo i con respecto a la velocidad generalizada y la derivada de la velocidad
angular del cuerpo con respecto a la velocidad generalizada.
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3.4 ECUACIONES DINÁMICAS EN EL PLANTEAMIENTO DE KANE
Para un sistema dinámico conformado por K cuerpos rígidos, moviéndose
exclusivamente en un plano, donde cada uno tendrá como máximo 3 grados de
libertad, definido cada grado de libertad mediante las coordenadas generalizadas
q
i
(2 de translación y una de rotación), sometido a b restricciones de
configuración generara un sistema con
p=3K-b grados libertad o coordenadas
generalizadas independientes.
Según (Gillespie ,2003), el método de Kane define las rapideces generalizadas de
la siguiente forma:
⎡q ⎤
⎡u ⎤
⎢ ! ⎥ =W ⎢ ! ⎥ + Z
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢q ⎥
⎢⎣u ⎥⎦
⎣ ⎦
.
1
1
(4)
.
n
n
Donde W es una matriz de dimensiones n*n y Z es un vector columna de n filas
que contiene los términos independientes
que dependen de las coordenadas
.
generalizadas y
del tiempo,
ui y q i
son las rapideces y velocidades
generalizadas respectivamente, y n es número de coordenadas generalizadas
independientes.
Despejando las velocidades generalizadas (ecuaciones diferenciales cinemáticas)
se obtiene:
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⎡q ⎤
⎢ ⎥
⎢ ! ⎥ =W
⎢q ⎥
⎣ ⎦
.
1
.
n
⎡ ⎡u ⎤
⎤
⎢⎢ ! ⎥ − Z ⎥
⎢⎢ ⎥
⎥
⎢⎣ ⎢⎣u ⎥⎦
⎥⎦
1
−1
(5)
n
Tal definición de las rapideces generalizadas permite expresar la velocidad de un
punto en función de estas, quedando así,
la expresión en una forma más
compacta que si se expresara en función de las velocidades generalizadas.
⎡ u1 ⎤
!
!
!
!
N Pi
v = v1Pi … vnPi ⎢⎢ " ⎥⎥ + vtPi
⎢⎣u n ⎥⎦
[
]
(6)
En la definición anterior, los términos que acompañan a cada una de las rapideces
generalizadas
!
vtPi
ui
Pi
reciben el nombre velocidades parciales generalizadas v r y
es el término independiente que depende de las coordenadas generalizadas
y del tiempo.
Como en este proyecto se pretende analizar el movimiento de cuerpo rígido y no
el de una partícula es necesario definir la velocidad angular del cuerpo i en
función de las rapideces generalizadas y las velocidades angulares parciales.
N
!
!
ω = [ω
i
⎡u ⎤
!
!
… ω ]⎢ " ⎥ + ω
⎢ ⎥
⎢⎣u ⎥⎦
1
i
1
i
i
n
t
n
15
(7)
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Donde
!
ωri
es la r velocidad angular parcial de i en N y
!
ω ti
es un término
independiente que depende de las coordenadas generalizadas y del tiempo. De la
misma forma pudo haberse definido la velocidad angular de un cuerpo en otro
marco de referencia que no sea inercial.
Habiendo realizado las definiciones básicas se procede a plasmar la ecuación de
Kane para sistemas holonómicos (es decir sistemas que solo poseen restricciones
de configuración), la cual parte del concepto de fuerzas activas generalizadas Fr
y de fuerzas inerciales generalizadas Fr* , las cuales matemáticamente se definen
de la siguiente manera:
F = ∑ R • v +T • ω
K
r
i
N
i*
i
N
r
i =1
N
. i
N
.
i
r
r
K
i =1
N
i*
(8)
i / i*
F =∑ L• v + H • ω
*
N
r
i
r
Donde N es el marco de referencia inercial, K el número de cuerpos rígidos
involucrados, R i son las fuerzas externas que actúan en i*, T i los momentos
externos,
N . i
L la derivada con respecto al tiempo del momentum lineal,
N . i / i*
derivada con respecto al tiempo del momentum angular del cuerpo i y
centro de masa de el cuerpo i.
Quedando la ecuación de Kane de la siguiente forma:
Fr − Fr* = 0 r = 1,....p
16
(6)
H
i
*
la
es el
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Esta formulación entrega p ecuaciones dinámicas para
de
u! r , las cuales son función
ur , de las coordenadas generalizadas y del tiempo y una vez se tienen las ur
es posible obtener las evolución de las coordenadas generalizas en el tiempo de
acuerdo a la ecuación (5)
3.5 SELECCIÓN DEL PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE
MOVIMIENTO PARA EL PEDALEO
A continuación se presenta una tabla de comparación entre el planteamiento de las
ecuaciones de movimiento que seria necesario plantear para describir la dinámica
del pedaleo por el
método de Lagrange, Newton y Kane, asumiendo que el
sistema posee un solo grado de libertad, más exactamente el ángulo de manivela.
Puntos
de Newton
Kane
Lagrange
Comparación
Cuerpos
5
5
5
Coordenadas
15
3
15
15
1
15
15
1
15
14
4
14
generalizadas
Ecuaciones
dinámicas
Ecuaciones
cinemáticas
Restricciones de
configuración
Cálculos Previos
Velocidades,
Velocidades,
Velocidades,
aceleraciones,
aceleraciones,
energías
sumatoria
fuerzas
de ecuación de Kane.
y
17
y potencial
cinética
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sumatoria
de
momentos
Ecuaciones
a
resolver
! 15
! 2
! 15
ecuaciones
ecuaciones
ecuaciones
diferenciale
diferenciale
diferenciale
s
s
s
de
segundo
de
orden
orden
orden
ecuaciones
de
ecuaciones
de
restricción
de
Fuerzas
restricción
restricción
de Fuerzas
y
de Fuerzas
de actuación
actuación
resuelve
que
! 14
ecuaciones
restricción
Programa
de
segundo
! 4
! 14
Resultados
1
restricción
de
y
de
actuación
No
Si
No
el
método
Tabla 1. Comparación de los planteamientos de las ecuaciones de
movimiento.
Con base el la tabla de comparación, se ve que con el planteamiento de Kane de
las ecuaciones de movimiento dinámico es posible no tener en cuenta las fuerzas
de reacción que se producen en el cuerpo por estar interactuado con otros
cuerpos.
Además, con el planteamiento de Kane, el orden de las ecuaciones diferenciales
provenientes de la descripción del
movimiento de los cuerpos rígidos que
pertenecen al sistema dinámico, se reduce de una ecuación diferencial de segundo
orden que se obtiene tradicionalmente por el planteamiento de Newton-Euler a un
18
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sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden por grado de libertad del
sistema. Lo cual se traduce en una ventaja a la hora de resolver numéricamente el
sistema, ya que el planteamiento numérico para resolver una ecuación diferencial
de primer orden es sencillo en comparación con el de las ecuaciones de segundo
orden.
Por la razones dadas, en el caso del pedaleo es necesario plantear solo una vez la
ecuación de Kane, ya que el sistema propuesto en el presente proyecto posee un
solo grado de libertad y por tanto una sola rapidez generalizada. En cambio, con el
planteamiento de Newton seria necesario calcular aceleraciones, y realizar
sumatoria de fuerzas y de momentos para cada cuerpo rígido que pertenece al
sistema dinámico del
pedaleo. Por lo tanto,
para el caso del pedaleo seria
necesario realizar 5 sumatorias de fuerzas y 5 sumatorias de momentos, para un
total de 15 ecuaciones diferenciales de segundo orden, ya que la sumatoria de
fuerzas se pueden descomponer en dos componentes para un movimiento de
cuerpo rígido en un plano. A estas ecuaciones abría que sumarle las ecuaciones
provenientes de las restricciones de configuración existentes por estar los cuerpos
rígidos en contacto. Como paso final, seria necesario manipular algebraicamente
las ecuaciones conseguidas por el método de Newton, para obtener la ecuación
dinámica que describe la evolución de la coordenada generalizada independiente
en función del tiempo o resolver el sistema diferencial algebraico generado, es
decir un sistema de ecuaciones en las cuales unas son ecuaciones diferenciales y
las otras son ecuaciones algebraicas no lineales.
Al comparar el método de kane y el de lagrange de acuerdo a la tabla 1 se
obtienen conclusiones similares a las obtenidas en la comparación Newton-Kane
en cuanto a número de ecuaciones diferenciales a resolver, numero de restricción
de configuración.
19
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Por las explicaciones dadas, es posible afirmar que para un sistema que posea
restricciones holonómicas o de configuración como es el caso del pedaleo, utilizar
el planteamiento de Kane de las ecuaciones de movimiento de cuerpos rígidos
genera expresiones matemáticas más compactas y en un menor número de
ecuaciones con respecto a los otros planteamientos, lo cual es una ventaja a la
hora de resolver el problema con métodos numéricos, ya que cada ecuación extra
sea diferencial o una ecuación no lineal incrementa el tiempo de solución de la
dinámica del sistema o simplemente hay más riesgo de que se obtengan errores
en los resultados debido a un error de operación matemática. Es por lo anterior
que en el presente proyecto se usara el planteamiento de Kane para obtener las
ecuaciones diferenciales que describen la variación del ángulo de la manivela en
función del tiempo, así como para determinar las restricciones de configuración en
el caso de dinámica directa, o el torque de actuación en la cadera o en la rodilla
requerido dadas la variación del ángulo de la manivela en el caso de dinámica
inversa.
3.6 EJEMPLO DEL PLANTEAMIENTO DE KANE DE LAS ECUACIONES
DINÁMICAS DE MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Considere una barra delgada de distribución de masa uniforme, de longitud L,
masa m y una inercia centroidal I b3 b3 pivotada en uno de sus extremos, a la cual
se le esta aplicando un torque de actuación M. Se asume que en la unión no existe
fricción.
20
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Figura 3. Esquema de un problema dinámico a resolver por el planteamiento
de Kane.
Definiendo la rapidez generalizada de la siguiente manera:
.
u1 = q1 (7)
Expresando la velocidad angular del cuerpo B en el marco de referencia inercial A:
A
ω B = u1 b 3 (8)
Calculando la velocidad del centro de masa de la barra:
B
*
B*
V B = AV P + Aω × r = u1
A
P
L
b 2 (9)
2
Calculando la velocidad parcial generalizada del centro de masa de B en A y la
velocidad angular parcial de B en A se obtiene lo siguiente:
A
A
∂ ω
ω =
= b3
∂u1
A
B
1
B
V1
*
A
B
B*
∂ V
=
∂u1
=
(10)
L
b2
2
Calculando la fuerza activa generalizada asociada a la rapidez generalizada u1.
F1 = −mg a 2 •
L
L
b2 + M b3 • b3 = −mg sin( q1 ) + M (11)
2
2
21
IM-2007-1-25
Antes de calcular la fuerza inercial generalizada es necesario calcular la cantidad
de movimiento del cuerpo B y el momento del momento lineal con respecto al
centro de masa de B:
A
A
B
L = mu1
H
B / B*
L
b2
2
(12)
= I b3 b3 • u1 b3 = Iu1 b3
Calculando la fuerza inercial generalizada asociada a la rapidez generalizada u1.
2
.
.
.
L ⎞ L
⎛ . L
⎛L⎞
F = ⎜ m u 1 b2 − mu12 b1 ⎟ • b2 + I u 1 b3 • b3 = m u 1 ⎜ ⎟ + I u 1 (13)
2
2 ⎠ 2
⎝
⎝2⎠
*
1
Ahora aplicando el planteamiento de Kane se obtiene:
Fr − Fr* = 0
(14)
.
L
⎛L⎞
m u 1 ⎜ ⎟ + I u 1 = −mg sin(q1 ) + M
2
⎝2⎠
2
.
Si se quiere resolver como cambiar la coordenada generalizada en función de un
momento aplicado sobre el cuerpo B (dinámica directa), se debe resolver el
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
.
q =u
1
.
u1 =
1
(15)
L
sin(q1 ) + M
2
(16)
2
⎛L⎞
m⎜ ⎟ + I
⎝2⎠
− mg
22
IM-2007-1-25
4. SISTEMA MUSCULO ESQUELETICO DE LA EXTREMIDAD INFERIOR
4.1 HUESOS
4.1.1 Funciones de los huesos que conforman las extremidades inferiores
del sistema esquelético.
• Soportar el cuerpo: De esta función se encargan principalmente el fémur, la
tibia, y el peroné.
•
Movimiento flexible del cuerpo el cual se realiza en conjunto con los
músculos.
4.1.2 Huesos que intervienen en el pedaleo
Al hacer referencia a los huesos que son relevantes en el pedaleo, se podría decir
que la mayoría de los huesos del sistema esquelético intervienen, pero desde un
punto de vista practico y útil en el momento de realizar un modelo biomecánico,
resulta útil asumir que solo intervienen los que conforman el fémur, la canilla y los
pies, de los cuales se hará un breve explicación a continuación de acuerdo a
(Mader, 2002):
Figura 4. Hueso de la extremidad inferior humana.
Fuente: (Mader, 2002)
23
IM-2007-1-25
Fémur.
•
Es el hueso más largo del cuerpo.
•
La cabeza del fémur posee un cuello, cuyo objetivo es posicionar de una
mejor manera las piernas para el caminado.
•
En la unión del cuello y el eje del fémur hay dos protuberancias óseas de
donde un número de músculos de las piernas son sujetados (puntos de
origen e inserción de los músculos).
•
El fémur en su parte inferior se separa para formar dos protuberancias
esféricas dentro de estas se forma un ranura donde va a ser alojada la
rotula
Rotula
•
Esta embebida dentro del tendón cuadriceps.
•
La rótula incrementa el brazo de acción de la fuerza, para hacerla más
efectiva a la hora de realizar un movimiento de flexión-extensión.
Tibia y Peroné
•
Se extienden desde la unión de la rodilla hasta la unión de tobillo.
•
La unión de la tibia con el fémur se da por medio de una superficie casi
plana.
•
Tiene una protuberancia en la parte frontal superior, en la cual se unen los
músculo tendón encargados del movimiento de extensión de la
•
El peroné es el hueso más delgado del pie.
•
Generalmente en los modelos biomecánicos la tibia y el peroné se asumen
como un solo cuerpo rígido
24
IM-2007-1-25
Pie.
Formado por un total de 28 huesos. Pero por facilidades en el análisis de marcha y
modelamiento biomecánico del pie se suelen utilizar solamente tres divisiones en
el pie, denominadas de la siguiente forma:
•
Parte anterior del pie: Formado por el astralago y el calcáneo.
o Astralago o talus
o Calcáneo: Su superficie inferior transmite el peso del cuerpo al piso a
través de una capa de grasa ubicada en este.
•
Parte media del pie: Formado por el hueso navicular, tarsiano, cuboide y los
tres huesos cuneiformes.
•
Parte posterior del pie: conformado por los metatarsianos y las falanges.
4.2 MÚSCULOS
4.2.1 Funciones de los músculos relevantes en el pedaleo
•
Ayudan a soportar el cuerpo.
•
Permitir que los huesos se muevan.
•
Ayudan a mantener a temperatura del cuerpo constante.
4.2.2 Estructura de los músculos
Un músculo desde su interior se encuentra compuesto por un manojo de fibras
musculares, las cuales se encuentran recubiertas por una capa delgada llamada
fascículo. El fascículo se encuentra recubierto de un tejido fibroso conectivo
25
IM-2007-1-25
llamado fascia, el cual se extiende hasta donde el músculo se convierte en
tendón.(Maden, 2002)
4.2.3 ¿Como trabajan los músculos?
El punto donde el músculo se conecta al hueso que permanece quieto se llama
origen, y el punto donde el músculo se conecta al hueso que se mueve se llama
inserción.
Teniendo en cuenta que los músculos solo ejercen fuerza al momento de
contraerse, la mayoría de los músculos tienen un músculo antagonista o contrario
para poder realizar el movimiento en dirección opuesta o para poder volver a lo
posición de la que partió.
El ejemplo más clásico es el del brazo, en el cual el bíceps y el tríceps son
antagonistas, ya que uno realiza el movimiento de flexión del antebrazo y el otro el
movimiento de extensión. En movimientos del cuerpo más complejo actúan
simultáneamente un grupo de músculos, aunque igual siempre existe un músculo
que domina el movimiento.
A continuación se explicara brevemente los movimientos y grados de libertad
permitidos por cada unión y la función de cada uno de los músculos que integra la
extremidad inferior humana:
4.2.4 Movimientos permitidos por las articulaciones
Se presentan los nombres de los movimientos angulares más significativos en las
extremidades inferiores, los cuales son relevantes en el análisis de marcha y en el
modelamiento biomecánico:
26
IM-2007-1-25
Figura 5. Nombre de los movimientos de las extremidades inferiores.
Fuente: (Maden, 2002)
Movimiento.
Descripción.
Flexión.
Movimiento que disminuye el ángulo de
unión entre los hueso.
Extensión.
Movimiento que incrementa el ángulo
de unión entre los hueso.
Addución.
Es el movimiento de una parte del
cuerpo hacia la línea media.
Abducción.
Es el movimiento de una parte del
cuerpo alejándose de la línea media.
Inversión.
El movimiento del pie, tal que la planta
de este quede mirando hacia adentro.
Eversión.
El movimiento del pie, tal que la planta
de este quede mirando hacia afuera.
Tabla 2. Explicación de los movimientos en las extremidades inferiores.
27
IM-2007-1-25
4.2.5 Actuadores que permiten el movimiento de las extremidades inferiores
Músculo
Función
Aductor largo
Permite el movimiento de addución del
muslo.
Iliaco
Permite el movimiento de flexión del
muslo.
Sartorio
Permite el movimiento de rotación del
muslo.
Cuadriceps(femoral rectoy vasti)
Extiende la parte inferior del pie.
Peroneo largo
Permite el movimiento de eversión.
Flexor largo de los dedos
Permite el movimiento de flexión de los
dedos de los pies.
Extensor largo de los dedos
Permite el movimiento de extensión de
los dedos de los pies.
Glúteo medio
Permite el movimiento de abducción del
muslo.
Glúteo mayor
Grupo Hamstring
Colabora con la extensión del muslo
Extiende el muslo y flexiona la parte
inferior de la pierna.
Gastrocnemio
Es el encargado de la flexión plantar del
tobillo, aunque también contribuye a la
flexión de la rodilla.
Tabla 3. Grupos de la extremidad inferior humana y sus funciones.
Fuente: (Mader, 2002)
4.2.6 Selección de los músculos a utilizar en el modelo
En base en los movimientos que permite cada uno de los músculos anteriormente
mencionados y teniendo en cuenta que en el pedaleo el movimiento de los cuerpos
se reduce casi que por completo al plano sagital, solo se tendrán en cuenta los
28
IM-2007-1-25
músculos que producen un movimiento de flexión o extensión del muslo, la pierna,
y el pie. Reduciéndose los grupos anteriormente mencionados a los que se
presentan a continuación:
Grupo Muscular
Glúteo Mayor
Grupo Hamstrings
Femoral recto
Vasti
Biceps Femoral
Iliaco
Tabla 4. Grupo musculares relevantes en la actividad física del pedaleo.
4.2.7 Modelo matemático de los actuadores de los actuadores de fuerza.
Modelo músculo-tendón de Hill-Zajac
La interacción entre el impulso enviado sistema nervioso central y los movimientos
del esqueleto humano se da por medio del sistema músculo-tendón (unión huesohueso), ya que por medio de la dinámica de activación (excitación-contracción) la
señal neuronal es transformada en una señal de activación, la cual al igual que
las propiedades del músculo de fuerza, de longitud, por medio de la dinámica de
contracción son las causantes de la fuerza de tensión que puede ejercer cada uno
de los músculos(Zajac,1989).
Propiedad fuerza-longitud de los músculos.
La propiedad fuerza longitud(fl) en estado estable de un músculo se define por
medio
de
la
curva
isométrica
de
fuerza
contra
longitud
muscular(Zajac,1989), donde FM es la fuerza del músculo, LM
29
del
tejido
la longitud del
IM-2007-1-25
músculo y a (t ) la activación. Un músculo se comporta de acuerdo a la curva de
fuerza longitud siempre y cuando la activación y la longitud del músculo
permanecen constantes en el tiempo, es decir, esto se presenta cuando el estado
transiente en la función a (t ) ha dejado de existir y se convierte en un estado
estacionario. Siendo a(t) una función
cuyo rango varia entre 0 y 1, donde 1
representa un músculo que se encuentra completamente activo y 0 un músculo
que se encuentra inactivo.
A la diferencia de la fuerza que un músculo puede desarrollar entre un estado
completamente activo y uno pasivo se le conoce como fuerza activa de músculo.
La región del músculo en el cual esta fuerza es desarrollada es entre 0.5Lo M y
M
M
1.5Lo , donde L0 es la longitud en la cual el músculo realiza la mayor fuerza en el
estado activo FoM . En cambio la fuerza pasiva se genera siempre y cuando el valor
de la longitud del músculo sea mayor que L0 M .(ver figura 6)
Figura 6. Curva isométrica de fuerza contra longitud del tejido muscular.
Fuente: (Zajac, 1990)
Hay que aclarar que, la curva de F M contra LM para valor de a(t) entre cero y uno
puede ser considerada como un escalamiento de esa misma curva para a(t) =1.
30
IM-2007-1-25
Propiedad de fuerza-velocidad de los músculos.
Cuando un músculo es sometido a una fuerza de tensión constante, el músculo
empieza a acortarse a una velocidad hasta que alcanza una longitud determinada,
la cual corresponde a la longitud en la cual se puede soportar esa tensión en
estado estacionario. De un conjunto de curvas de longitud contra tiempo para una
tensión determinada y longitud inicial determinada, se pueden obtener relaciones
empíricas de F M contra velocidad de
acortamiento, para un rango de LM de
entre 0.5Lo M y 1.5Lo M . Cuando el músculo tiene longitud inicial Lo M se acorta a una
velocidad vm , a la cual no puede soportar ningún tipo de carga, de ahí que v m se
conozca como máxima velocidad de acortamiento. Cuando la activación es menor
que 1 se asume que la máxima velocidad de acortamiento es lineal con la
activación o igual a la velocidad de acortamiento cuando la activación es igual a 1.
Figura 7. Curva normalizada de fuerza contra velocidad de acortamiento.
Fuente: (Zajac, 1989)
Modelo del músculo, como un sistema resorte amortiguador.
El modelo muscular consiste en un elemento contráctil conectado en paralelo con
F M . La fuerza que soporta el
un elemento pasivo, lo cuales soportan la fuerza
31
IM-2007-1-25
M
elemento contráctil F CE depende de la longitud del músculo L , su velocidad v y
de la función de activación a(t).
Figura 8. Modelo esquemático de un músculo de Hill.
Fuente: (Zajac, 1989)
El elementos elástico SEE que aparece en la figura 8 en muchos casos pueden ser
despreciados, por ejemplo en todos los actuadores músculo esqueléticos a
excepción de los que tienen tendones cortos, ya que la energía almacenada en los
cross-bridges de los músculos, es muy pequeña comparada con la almacenada en
la parte interna y externa del tendón.(Zajac,1989)
Dinámica de activación.
Figura 9. Esquema de la dinámica de activación.
Fuente: (Zajac, 1989)
32
IM-2007-1-25
La envolvente de la electromiografía normalizada con respecto a FoM puede ser
considerada como la señal emitida por el sistema nervioso central, y si tal señal la
filtramos para impedir el paso de ruido obtenemos la señal de activación del
músculo.(Zajac,1989)
Lo que matemáticamente se puede escribir como:
⎡1
⎤
1
a(t ) + ⎢ (β + (1 − β )u (t ) )a(t ) = u (t )⎥ (17)
τ
⎣τ
⎦
.
act
act
Donde β es una constante que varia entre 0 y 1, la cual se define
matemáticamente como la relación de la constante de tiempo de activación y
deactivación.
Propiedades normalizadas en el modelo del músculo.
En el modelo del músculo se puede hablar de fuerza
y longitud muscular
normalizada respectivamente con la fuerza pico isométrica y con la longitud de
fibra optima. En lo que se refiere a las propiedades dinámicas podemos encontrar
la velocidad muscular normalizada, definida como la relación entre la velocidad de
músculo con respecto a la máxima velocidad de acortamiento y por ultimo faltaría
el tiempo de escalamiento La anteriores propiedades músculo-tendonicas
normalizadas se expresaran matemáticamente en el mismo orden que fueron
mencionadas:
F
~
F =
F
M
M
M
(18)
o
~ L
L =
L
M
M
M
o
33
(19)
IM-2007-1-25
v
v~ =
v
M
M
τ=
1
τ
(20)
m
t (21)
c
L
τ =
v
M
o
(22)
c
m
Se acostumbra asumir τ c =0.1 en la mayoría de los casos.
Modelo del tendón
En la mayoría de los modelos la elasticidad del tendón es asumida lineal, ya que
para deformación mayores al 2% se puede hablar de un modulo de elasticidad del
músculo (1.2GPa) (Zajac,1989), lo cual es equivalente a decir que el músculo tiene
una constante de rigidez igual a:
dF
k =
dl
T
T
T
(22)
Donde FT es la fuerza que esta realizado el tendon y lT es la longitud del tendon.
Para el modelo de muchos tendones teniendo curvas de F T contra LT
desconocidas puede ser favorable normalizar estas curvas mediante la fuerza pico
~
activa y la longitud de inactividad del tendón, obteniendo F T y ε T o σ~ T y
ε T (Zajac,1989)
34
IM-2007-1-25
Para que curva fuerza contra deformación normalizada pueda ser realizada se
requiere que se satisfagan las siguientes condiciones:
•
Las curvas fuerza deformación son independiente
del tendón, y solo
dependen de las propiedades de este.
•
La deformación ε oT (se asume 3.3%) y el esfuerzo σ oT (se asume 32MPa)
del tendón son músculo tendón independiente cuando la fuerza es igual a la
fuerza pico activa, por tanto el único parámetro necesario para especificar
un tendón es la longitud inactiva de este
LTs
De acuerdo al anterior modelo, la fuerza y la longitud del tendón pueden ser
escritas de la siguiente forma (Zajac, 1989):
~
F T = F T * FoT
(
(23)
)
LT = 1 + ε T LTS (24)
Figura 10. Fuerza contra deformación normalizada para un tendón.
Fuente: (Zajac, 1989)
En la Figura 10 se puede ver como a partir de un 2% de deformación existe una
relación lineal entre la fuerza y deformación normalizada, lo que permite hablar de
modulo de elasticidad al igual que en los metales.
35
IM-2007-1-25
Modelo integrado músculo tendón
Figura 11. Modelo integrado músculo-tendón con ángulo de penación 0°.
Para especificar un actuador de este modelo se requieren cuatro parámetros, tres
para representar el músculo y uno para especificar el tendón, los cuales se
mencionan a continuación:
F
M
•
Fuerza activa máxima:
•
Longitud optima de fibra muscular:
•
Longitud inactiva del tendón:
•
Tiempo escalado: τ c
o
L
M
(25)
o
L
T
S
Debido a que el ángulo de penación en el modelo a utilizar es de 0, es correcto
afirmar que
F MT = F T = F M
y debido a que el tendón es considerado un
elemento elástico podemos decir que (Zajac,1989):
F M = F T = F MT = k T ( LMT − LM )
(26)
Derivándolo con respecto al tiempo obtenemos que:
(
MT
dF M dF T dF MT
dLM
T dL
=
=
=k (
−
) = k T v MT − v M
dt
dt
dt
dt
dt
36
)
(27)
IM-2007-1-25
Sabiendo que la velocidad del músculo v M = v M ( F M , LM , a(t ))
o en términos
~ ~
adimensionales v~ M = v~ M ( F M , L M , a (τ )) y que la velocidad del actuador músculo
tendón es v
MT
dl MT
dl MT
MT
~
o en términos adimensionales v =
=
dt
dt
LMo
τc
y la rigidez
LM
~
30
adimensional como k T = k T oM = ~T .
Fo
LS
Entonces la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la fuerza en el
sistema músculo tendonico en términos adimensionales puede ser escrita de la
siguiente forma:
~
~
~
~
~
dF
dF
dF
dL
~ dL
~
=
=
=k (
−
) = k (v~ − v~
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
M
T
MT
MT
M
T
T
MT
M
)
(28)
~
dF MT ~T ~ MT ~ M ~ M ~M
= k v − v ( F , L , a(τ )) (26)
dτ
(
Ahora si
)
la longitud del actuador LMT cambia a bajas velocidades, el actuador
responde a velocidad comportándose como un amortiguador, y si la longitud
LMT cambia a altas frecuencias, el actuador responde a cambios de longitud y se
comporta como un resorte. Matemáticamente esto se diferencia mediante la
~ = k~ T , es decir si la frecuencia de operación del actuador es
frecuencia de corte ω
c
menor que la de corte es un actuador de velocidad, en cambio si la velocidad es
mayor es un actuador de longitud.(Zajac,1989). La función de velocidad para los
actuadores que responden a longitud es:
~
− v~ = a(τ ) − F
M
M
(29)
La función de velocidad para los actuadores que responden a velocidad es:
~
~
− v~ = (2L − 1)a(τ ) − F
M
M
37
M
(30)
IM-2007-1-25
Quedando
así la ecuación diferencial que describe la fuerza en el sistema
músculo-tendón para un actuador que responde a longitud:
.
~
dF
~
~
= k (v~ + a(τ ) − F
dτ
MT
T
Quedando
MT
M
)
(31)
así la ecuación diferencial que describe la fuerza en el sistema
músculo-tendón para un actuador que responde a velocidad:
~
dF
~
~
~
= k (v~ + (2 L − 1)a(τ ) − F
dτ
MT
T
MT
M
38
M
)
(32)
IM-2007-1-25
5. MOVIMIENTO DEL CUERPO HUMANO EN EL PEDALEO
5.1 MODELO BIOMECÁNICO
El
modelo biomecánico que representa la actividad física del pedaleo,
se
especifica mediante tres cuerpos y la manivela por pierna, los cuales van a ser
considerados cuerpos cilíndricos rígidos con sus respectivas propiedades de
longitud, masa e inercia, es decir que no van a ser tenidas en cuenta las pequeñas
deformaciones que sufren los cuerpos por estar sometidos a cargas. Los cuerpos
mencionados representaran en orden descendente de ubicación al fémur, la tibia,
el pie y la manivela. La razón que permite considerar los cuerpos anteriormente
mencionadas, se debe a que son los cuerpos que presentan movimientos más
significativos con respecto a los otros durante el pedaleo cumpliendo con lo que
pretende capturar un modelo biomecánico.
Figura 12. Modelo Biomecánico del Pedaleo.
Habiendo especificado como serán los cuerpos, es necesario explicar como serán
las uniones entre ellos y que grados de libertad tendrá el sistema dinámico.
Las
uniones entre los cuerpos, entre el fémur y la tierra y entre la manivela y la tierra se
39
IM-2007-1-25
asumen uniones rotacionales simples, lo cual permite que el pedaleo pueda ser
modelado como dos cadenas cerradas de cuerpos rígidos (figura 12) teniendo un
solo grado libertad, ya que la articulación del tobillo se ha restringido debido a que
el ángulo entre la tibia y el pie presenta variaciones pequeñas durante el ciclo de
pedaleo.
Lo último que falta por especificar es como estaría actuado el modelo, lo cual se va
a responder más adelante en este documento cuando se hable del modelo de
dinámica inversa y modelo de dinámica directa
5.1.1 Parámetros del modelo
Los parámetros escogidos en lo se refiere a longitudes, masa, centros de masa,
inercias centroidales de las extremidades inferiores fueron estimados para una
persona de estatura de 1.80 m y 80 kg de masa de acuerdo a lo reportado por
(Winter, 1979). Arrojando las propiedades se muestran en la siguiente tabla:
Estatura 1.80 Longitud(m)
Masa(kg)
m y 80 kg de
Centro
Inercia
masa(m)
centroidal.
masa
muslo
kg.m 2
0.410
8.0
0.178 desde 0.014030
la cadera
canilla
0.435
3.72
0.188
desde 0.06420
la rodilla
pie
0.195
1.16
0.098
desde 0.00995
el tobillo.
Tabla 5. Datos Antropométricos del ser humano relevantes en el pedaleo.
40
IM-2007-1-25
5.1.2 Diagrama de cuerpo libre de la manivela y su aplicación en la eficiencia
del pedaleo
Figura 13. Diagrama de cuerpo libre de la manivela.
Se asume que Fr1 y Ft1 son pequeñas en comparación con Fr y Ft
, de
acuerdo a lo reportado por (Zajac,1996).
Es relevante analizar que fuerzas están presentes en la manivela, haciendo estas
referencia a las que se reacciones que se producen por contacto con el pedal y
con el eje de giro la manivela (figura 13), ya que dependiendo de su magnitud y
dirección puede la manivela girar o no, lo que matemáticamente se puede escribir
como:
∑ Fradial =Ry cos θ + Rx sin θ + Fr = 0
∑ Ftan gencial =Ry sin θ − Rx cos θ − Ft = 0
∑ M eje = + M Re stricción −
41
Ft * L p
2
= Iα
(33)
IM-2007-1-25
De acuerdo a la física del pedaleo en la manivela descrita por las ecuaciones
escritas anteriormente, se ve que la condición optima de pedaleo es aquella en la
cual el valor de la magnitud de fuerza Ft es máximo y la magnitud de la fuerza Fr
es mínimo, debido a que mayor Ft es la que contribuye a vencer el torque de
restricción en el eje de la manivela y permitir el movimiento de pedaleo, en cambio
mayor
Fr se traduce simplemente en mayores fuerzas de reacción en el eje, que
se podría entender también como energía suministrada por los actuadores que
esta siendo desaprovechada . En conclusión, si Ft es máxima y Fr es mínima
esto se traduce en una mejor eficiencia del sistema, es decir una mejor relación
entre la potencia entregada en el eje de giro de la manivela sobre la
potencia
suministrada por lo actuadores, ya sea de torque o de fuerza.
El entendimiento del efecto de cada una de las fuerzas en la manivela sobre la
velocidad de pedaleo nos permite plantear un modelo de cinética inversa que se
presenta en el siguiente numeral cuya entrada va a ser una velocidad de pedaleo
constante y cuya salida va a ser la actuación requerida.
5.1.2 Modelo de prueba
5.1.2.1 Configuración del mecanismo durante un ciclo de pedaleo
Antes de plantear el modelo de cinética inversa, se propone analizar como cambia
la ubicación angular del muslo, la canilla, el pie
manivela con respecto a la vertical
θ.
en función del ángulo de la
Para esto se presentan graficas que
exponen la configuración del modelo biomecánico cada 30° de variación
del
ángulo de la manivela, cuyo objetivo principal es el de permitir entender como
debe ser la actuación de torque en un modelo de dinámica inversa.
42
IM-2007-1-25
Por ejemplo, en el intervalo de 0 < θ < 30 ° el fémur gira un pequeño ángulo en la
dirección
contraria a las manecillas del reloj para después quedar horizontal
durante el resto de este intervalo; mientras que la canilla por medio de un
movimiento de extensión incrementa el ángulo comprendido entre el muslo y la
canilla permitiendo continuar con el ciclo de pedaleo. El hecho de que el muslo
permanezca estacionario (durante este periodo el sistema no puede ser actuado
en la articulación de la cadera) y la canilla se encuentre girando durante parte de
este intervalo demuestra la necesidad de que en este movimiento se requieren por
lo menos dos actuadores de torque, activándose estos de manera secuencial.
El otro punto relevante de actuación, es el intervalo entre 90 < θ < 120° , ya durante
esta parte del ciclo el pie y la manivela quedan paralelos, demostrándose que el
sistema en este momento
no puede ser actuado en la rodilla y tiene que se
actuado en la cadera, lo cual confirma la necesidad secuencial de dos o más
actuadores.
Figura 14. Configuración del modelo biomecánico 1.
43
IM-2007-1-25
Figura 15 Configuración del modelo biomecánico 2.
Figura 16. Configuración del modelo biomecánico 3
44
IM-2007-1-25
5.1.2.2 Modelo de Cinética inversa
Como ya se dijo en los numerales anteriores, el pedaleo humano va a ser
modelado como 3 cuerpos moviéndose en el plano sagital, representado estos al
muslo, canilla-pie, y la manivela por pierna y orientados estos con respecto al
marco de referencia inercial N mediante las siguientes coordenadas generalizadas
q , q , q , q , q , de acuerdo a lo que se muestra en la siguiente tabla:
1
2
4
5
6
Coordenada generalizada
Significado
q
Angulo comprendido entre el
1
fémur de una pierna y la
vertical.
q
Angulo comprendido entre la
2
canilla de una pierna y la
vertical.
q
q
Angulo comprendido entre la
4
manivela y la vertical.
Angulo comprendido entre el
5
fémur de la otra pierna y la
vertical.
q
Angulo comprendido entre la
6
canilla de la otra pierna y la
vertical.
Tabla 6. Coordenadas generalizadas que definen la ubicación de los cuerpos.
La definición de las coordenadas generalizadas junto con la geometría del modelo
de 2 cadenas cerradas de cuerpos rígidos permite especificar las 4 restricciones
de configuración del sistema dinámico que representa el pedaleo, las cuales se
pueden expresar matemáticamente de la siguiente manera:
45
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− 0.104 − 0.2 sin( q4 ) + 0.195 cos(q2 ) − 0.35 sin( q2 ) + 0.41sin( q1 ) = 0
0.59 − 0.35 cos(q2 ) − 0.195 sin( q2 ) − 0.41cos(q1 ) − 0.2 cos(q4 ) = 0 (34)
− 0.104 + 0.2 sin( q4 ) + 0.195 cos(q6 ) − 0.35 sin( q6 ) + 0.41sin( q5 ) = 0
0.59 − 0.35 cos(q6 ) − 0.195 sin( q6 ) − 0.41cos(q5 ) + 0.2 cos(q4 ) = 0
Como el sistema dinámico se puede describir completamente mediante 5
coordenadas generalizadas y posee 4 restricciones de configuración se confirma
que el sistema posee un solo grado de libertad, ya que el número de grados de
libertad del sistema es igual al número de coordenadas generalizadas
independientes. En este modelo la coordenada generalizada independiente será
q4 o en ángulo de la manivela con respecto a la vertical.
Además de las restricciones de configuración, el modelo biomecánico tiene una
restricción de torque o carga en el eje de la manivela que tiene en cuenta los
efectos de fricción más los efectos de resistencia por la inercia que se encuentra
girando sobre el eje de la manivela.
El presente modelo asumirá un modelo de cinética inversa que tiene como entrada
la velocidad angular de pedal constante de 90 rpm (9.42 rad/s) y un torque de
resistencia tal que el pico durante el ciclo sea de 45 N.m, pero que tenga una
forma senoidal para que se aproxime a la curva reportada por (Neptune,1999) y
como salida los torques de actuación, ya sea en
factibilidad del supuesto radica en que
la cadera o la rodilla. La
de acuerdo a lo reportado por
(Neptune,1997), existen sistemas de control para ser adaptados en el eje de la
manivela que permiten controlar la tasa de disipación de energía en esta actividad,
mediante la variación controlada del torque resistente, lo que permite que el pedal
gire a una velocidad angular próxima a ser constante.
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Lo dicho en los párrafos anteriores sobre las coordenadas generalizadas,
restricciones de configuración y carga resistente en el eje de la manivela se puede
resumir en la figura 15.
Figura 17. Modelo de dinámica inversa.
5.1.2.3 Resultados del modelo de Cinética inversa
Figura 18. Posición angular del fémur y la canilla para una velocidad de
pedaleo de 90 r.p.m.
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Figura 19. Velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla para una
velocidad de pedaleo de 90 r.p.m.
Las figuras 16 y 17 muestran los resultados cinemáticos del modelo de dinámica
inversa, es decir la posición, velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla
para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m., lo que es equivalente a una velocidad
de 9.42 rad/s. En la grafica 17 se puede ver que el fémur alcanza una velocidad
angular máxima de 5 rad/s cuando se encuentra girando en el sentido de las
manecillas del reloj, mientras que la canilla alcanza una velocidad angular pico de
5 rad/s cuando gira en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En lo que
hace referencia a las graficas de aceleración del fémur y la canilla se puede decir
que los puntos de aceleración cero son lo más relevantes ya que en este momento
el sistema dinámico no puede ser actuado en ese cuerpo debido a que requeriría
una actuación infinita.
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5.1.2.4 Secuencia de activación de actuadores de torque en la cadera y la
rodilla
Basándose en el análisis cinemática y en las funciones de torque de actuación
arrojadas por el modelo de dinámica inversa se propone que el sistema debe ser
actuado en la rodilla en el intervalo ángulo de barrido del pedal 0 ≤ θ ≤ 60 o o
0 ≤ t ≤ 0.11 seg
y en el intervalo de
60 o ≤ θ ≤ 180 o
o
0.11 ≤ t ≤ 0.33 seg
actuado en la cadera, donde como se ve los actuadores se activan de manera
secuencial. Resultando en las siguientes curvas de torque de actuación:
Figura 20. Curva de torque de actuación en la cadera y la rodilla durante el
pedaleo.
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Alcanzándose un torque máximo de actuación en magnitud de 300 Nm.
No se incluye la otra parte del ciclo de pedaleo, es decir los 0.33 segundos
faltantes, ya que la actuación es la misma en la articulación de la cadera y de la
rodilla de la otra pierna sino que desfasada medio ciclo en el tiempo, es decir 0.33
segundos.
5.2 INTEGRACIÓN DEL MODELO DE ACTUACIÓN MUSCULAR AL MODELO
BIOMECÁNICO
Como paso previo a la integración de los modelos se realizo un código de
programación en Autolev 4.1, en el cual se establece como va a estar conformado
el sistema dinámico del pedaleo en cuanto al número de cuerpos que va a tener,
sus masas, sus inercias, sus longitudes, la ubicación de los centros de masa, como
se encuentran ubicados los unos con respecto a los otros por medio de matrices
de rotación, que velocidades van a tener los centro de masa de cada uno de los
cuerpos y como van a estar definidas las rapideces generalizas para entregar
como resultado la dinámica del sistema en un forma simbólica, es decir en función
de los parámetros anteriormente mencionadas y las actuaciones musculares.
Hasta este momento las fuerzas se asumen que son una variables, ya que todavía
no se ha hecho explicita su dependencia con F ( LMT , v M , a(t )) .
Para hacer explicita la dependencia se desarrollaron diagramas de bloques en el
Simulink de Matlab 7 que resuelven la ecuaciones diferenciales que representan la
fuerza que puede hacer actuador músculo tendonico dada la longitud del actuador
LMT , la velocidad de acortamiento
v M y la activación a (t )
del actuador durante el
movimiento, es decir la relación planteada ecuaciones 31 y 32 de este documento.
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Teniendo listo los dos resultados anteriores, se procede a exportar a Matlab la
ecuación dinámica, la ecuación cinemática y las ecuaciones de restricción para
armar un diagrama global de bloques que represente la dinámica del pedaleo, al
cual se le unen como sub-bloques los diagramas que representan a los actuadores
de fuerza seleccionados en el numeral 4.26, es decir los músculos encargados del
movimiento de los cuerpos en el plano sagital, para obtener finalmente un modelo
biomecánico movido por actuadores que representan de manera acertada a los
músculos. (Ver Anexo 1 y Anexo 2)
En la figura 19 se muestra un resumen del proceso de integración y solución del
modelo biomecánico.
Figura 21. Método de solución del modelo integrado.
A continuación se presentan simulaciones de algunos movimientos humanos
típicos donde la entrada son fuerzas entregadas por actuadores músculo-tendones
que se comportan bajo el modelo de Hill y donde las ecuaciones dinámicas se
encuentran mediante la formulación de Kane, a través del programa AUTOLEV.
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5.3 EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS
5.3.1 Flexión del muslo
Suponga que se desea realizar un movimiento de flexión del muslo, en el cual el
muslo es actuado por los músculos iliaco(IL) y glúteo mayor(GM) debido a que
estos son los encargados de la flexión y la extensión del muslo, y donde los
músculos se comportan bajo el modelo de Hill
con propiedades
musculares
reportadas por (Zajac,1997). Sea el muslo (M), la canilla (C) con masa Mm, Mc;
inercias centroidal Im, Ic; longitudes Lm, Lc y cuya ubicación en el espacio se
encuentra dada mediante las coordenadas generalizadas q1 y q2 , las cuales
representan los ángulos que hay los cuerpos (M) y (C) y la vertical . (Ver figura 20)
Figura 22. Prueba de funcionamiento del modelo muscular de Hill
Se aclara que el cuerpo (C) en esta prueba no esta siendo actuado por ningún
músculo o fuerza externa, por lo tanto sobre el las únicas fuerzas que actuaran
serán su propio peso, más las fuerzas de reacción por contacto con el cuerpo (M).
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La velocidad de los cuerpos (C )y (M ) son:
N
ω P = u1 b 3
N
ω = u2 b3
C
(35)
Donde
u1 = q!1
u 2 = q! 2
(36)
Aplicando la integración del modelo muscular y al modelo dinámico de movimiento
con unas propiedades de masa, inercia y longitud para una persona de 1.80 m y
80kg y unas activaciones de los músculos dada por la figura 21.
Activación m uscular
0,4
Activación
0,35
0,3
0,25
Iliaco
0,2
Gluteo mayor
0,15
0,1
0,05
0
0
0,5
1
1,5
Tiempo(s)
Figura 23. Activación del iliaco y el glúteo mayor durante la flexión del muslo.
53
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Figura 24. Flexión de la rodilla dadas las activaciones de la figura 21.
Como se ve en la figura 22 el muslo puede ser flexionado un total de 122°
partiendo del reposo de una posición en la cual el muslo y la canilla se encuentran
verticalmente. Para lograr un ángulo de flexión diferente seria necesario una
función de activación diferente, ya sea en magnitud de activación o en periodo en
el cual se encuentra activada.
Las fuerzas que permiten el movimiento de flexión mostrado se encuentran dadas
por la figura que se muestra a continuación:
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Figura 25. Fuerza realizada por el glúteo y el iliaco en el movimiento de
flexión.
En la figura 23 se ve que los músculos realizan mayor fuerza cuando están
activados, es decir en el intervalo de 0 a 1.25 s, pero también realizan fuerza
pasiva, lo que quiere decir que el músculo realiza fuerza a pesar de no estar
activado, tal es el caso del iliaco en el intervalo de 1.3 a 3 segundos o del glúteo
mayor en el intervalo de 1.3 a 2 segundos.
5.3.2 Pedaleo
5.3.2.1 Modelo muscular en el pedaleo
En numerales anteriores ya se respondió a la pregunta fundamental: ¿Cuáles
músculos se van a usar y por qué, ahora en este numeral se responderán otras
cuatro preguntas que son necesarias para especificar a los músculos, las cuales es
su orden son: ¿ Que geometría tienen y donde es el origen y la inserción de los
músculos?, ¿ Como van a ser activados los músculos en el pedaleo?, ¿ los
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músculos en el pedaleo responden como actuadores de longitud o velocidad? y por
último ¿Cuales son las propiedades que caracterizan a cada uno de los músculos?
Para coordinar el movimiento de las piernas en el pedaleo se utilizan 6 actuadores
por pierna, los cuales se modelan como líneas rectas con un punto de origen y un
punto de inserción como se muestra en la siguiente grafica.
Figura 26. Ubicación de los actuadores musculares.
La secuencia de activación de los músculos durante el ciclo de pedaleo es medida
experimentalmente con técnicas de electro miografía (EMG). (Neptune, 1996). (ver
figura 25)
Figura 27. Secuencia de activación de los músculos durante el pedaleo.
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Todos los músculos considerados en el modelo del pedaleo responden a
velocidad, ya que la frecuencia a la que operan todos los actuadores es menor a la
frecuencia de corte.
Y último paso necesario para acabar de especificar
los actuadores son los
parámetros de fuerza, longitud de los músculo tendones, los cuales se muestran a
continuación: (Neptune, 1998)
Grupo
Fmo (N)
l mo (m)
lts(m)
Gluteo mayor
1250
0.131
0.260
Hamstrings
1288
0.080
0.359
Femoral recto 974
0.084
0.346
Vasti
2125
0.087
0.239
Biceps
502
0.173
0.100
788
0.100
0.130
Muscular
Femoral
Iliaco
Tabla 7. Propiedades de los actuadores musculares.
Fuente: (Zajac, 1990)
5.3.2.2 Resultados
En este numeral se presentan los resultados obtenidos durante la simulación de la
evolución del ángulo de manivela q4 durante medio ciclo de pedaleo comparados
con el ángulo de manivela para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m, debido a
que las activaciones de los músculos utilizadas en este trabajo fueron las reportas
por (Neptune,1996) para una dicha velocidad.
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Al igual que en el modelo de dinámica inversa se utilizaron las propiedades de
masa, inercia y longitud para una persona de estura 1.80 m y 80 kg de masa.
Además, se presenta los resultados de la fuerza de actuación estimada por el
modelo de Hill durante el periodo de la simulación.
Figura 28. Posición angular de la manivela con respecto al tiempo.
Figura 29. Fuerza de actuación ejercida por cada uno de los músculos del
modelo.
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Como se puede ver en la figura 26 la variable q4 sigue el movimiento experimental
hasta los 0.1 segundos, lo que es equivalente a más o menos la tercera parte del
ciclo de pedaleo, pero a partir de 0.1 segundos hasta 0.28 segundos presenta una
desviación algo significativa en posición angular la que se traduce en una
desviación en velocidad de pedaleo máxima 2.5 rad/s o 23.8 r.p.m. De aquí se
puede recalcar algo positivo del modelo y es que los actuadores seleccionados
permiten realizar el movimiento de pedaleo aunque se presenten errores en
posición y velocidad.
Los resultados aquí presentados y justificados por las investigaciones realizadas
por (Zajac,2002) permiten concluir que el uso de mediciones experimentales de la
activación (EMG) y de las propiedades dinámicas del modelo es rara vez exitoso
debido posiblemente a las incertidumbres siempre existentes en este tipo de
mediciones. Lo cual sugiere que en este trabajo hizo falta un ajuste de parámetros
como la masa y la inercia de los cuerpos y un ajuste sobre las funciones de
activación mediante las técnicas de optimización.
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6. CONCLUSIONES
•
Por medio de dinámica directa fue posible integrar un modelo de actuación
muscular a un modelo biomecánico del pedaleo.
•
Las simulaciones realizadas entregaron un ángulo de salida en función del
tiempo con un error de posición angular menor a 12°, lo cual era de
esperarse de acuerdo a lo encontrada en la teoria de modelos
biomecánicos.
•
Las ecuaciones de Kane se aplica de manera eficiente en el modelamiento
de movimientos humanos como el pedaleo, ya que reduce el orden de las
ecuaciones diferenciales, además que casi siempre son expresiones
matemáticas mucho más sencillas.
Para realizar un modelo que simule mejor el pedaleo es necesario lo siguiente:
! Considerar el movimiento del pie respecto a la canilla, es decir modelar el
pedaleo como un sistema dinámico con tres grados de libertad.
! Realizar un modelo de optimización que permita realizar un ajuste sobre los
parámetros dinámicos del modelo, así como sobre las funciones de
activación.
! Utilizar un sistema de control que permita realizar correcciones en posición
angular de la manivela y en la velocidad de pedaleo.
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7. BIBLIOGRAFIA
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[5] KANE, T. AND LEVISON, D. “Dynamics: theory and applications”. Mcgraw- Hill,
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[9] Zajac, F.E. and Levine W.S. MUSCLE COORDINATION OF MAXIMUN_SPEED
PEDALING. J. Biomechanics, Vol 30, No 6, pp 595 602 19997
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