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Dinámica del Punto sobre Superficie
Índice
1. Teoría general de la Dinámica del Punto sobre
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Superficie lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Ecuación de la energía . . . . . . . . . .
1.2.2. Casos potenciales . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Ecuación del momento cinético . . . . .
1.3. Ligaduras Unilaterales y Bilaterales . . . . . . .
1.4. Superficies móviles (rígidas y deformables) . . .
1.5. Superficies rugosas . . . . . . . . . . . . . . . .
Superficie
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4
4
5
5
5
2. Ejemplo: Péndulo esférico
2.1. Resolución en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Resolución en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
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2
1.
Teoría general de la Dinámica del Punto sobre Superficie
1.1.
Introducción
Sea una partícula M de masa m que se mueve por la superficie S de ecuación implícita:
R̄
z
(1)
S : f (r̄, t) = 0
estando sometida a la siguiente fuerza directamente aplicada:
F̄
˙ t)
F̄ = F̄ (r̄, r̄,
r̄
M
S
Se pretende conocer el movimiento de la misma,
O
así como la reacción R̄ de la superficie sobre la
y
partícula.
El versor normal a la superficie en un punto
regular (∇f 6= 0̄) está definido por:
x
∇f
~
N=
|∇f |
Derivando totalmente con respecto al tiempo en la ecuación implícita de la superficie
(1):
df
∂f
= ∇f · v̄ +
=0
(2)
dt
∂t
Volviendo a derivar totalmente respecto al tiempo en (2):
d 2f
d(∇f )
∂f
∂2f
= ∇f · γ̄ +
· v̄ + ∇( ) · v̄ + 2 = 0
dt 2
∂t }
| dt
{z ∂t
~ |∇f (r̄, t)| +
˙ t)
(γ̄ · N)
G(r̄, r̄,
=0
| {z }
γN
La relación anterior implica que la componente normal de la aceleración está fijada en
términos de la posición, la velocidad y el tiempo (como una F.D.A.), lo que hace necesaria
la existencia de al menos una componente normal de la reacción de la superficie sobre el
punto que fuerce su cumplimiento.
~ = λ∇f ⇒ N = λ(∇f · N)
~ = λ|∇f | =
N̄ = N N
6 |N̄|
En general, se tiene que:
~ = 0̄, F̄R · N
~ = 0)
R̄ = N̄ + F̄R (N̄ ∧ N
1.2.
Superficie lisa
Sea S una superficie lisa (F̄R ≡ 0), por lo que la reacción de la misma sobre la partícula
es exclusivamente normal: R̄ = N̄.
Ecuaciones:
F̄ + N̄ = mγ̄
Dinámica
F̄ + λ∇f = mγ̄
[3 EDO orden 2]
(3)
Geometría
f (r̄, t) = 0
[1 EA]
(1)
⇒
⇒
3
que constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
(3) y una ecuación algebraica (1).
Incógnitas:
qj (t) (j = 1, 2, 3) Movimiento
[3 incógnitas]
λ(t)
Reacción Normal [1 incógnita]
Con lo que el problema está matemáticamente cerrado.
Para desacoplar el problema del movimiento del problema del calculo de la reacción normal en superficies lisas se suele usar
z
el siguiente planteamiento alternativo, que
consiste en proyectar la ecuación de cantidad de movimiento en las variedades normal y tangencial a la superficie.
Representación paramétrica de la superficie S : r̄ = r̄(u1 , u2 , t) (No es única).
La ecuación (1) se satisface idénticamente.
O
El plano tangente a la superficie en cada punto regular (r̄u1 ∧ r̄u2 6= 0̄) se define
mediante el punto y su variedad tangente:
x
ΠT : {M; r̄u1 , r̄u2 }
R̄
~
N
r̄u1
F̄
r̄
M
S
r̄u2
y
y la recta normal como:
~ = r̄u1 ∧ r̄u2
N
|r̄u1 ∧ r̄u2 |
Vector velocidad del punto:
~}
RN : {M; N
2
v̄ =
dr̄ X
=
r̄uj u̇j + r̄t = v̄(uj , u̇j , t)
dt
j=1
| {z } |{z}
(4)
v̄ind
v̄rel
El primer término v̄rel es la velocidad de la partícula M relativa a la superficie considerada como fija (congelada) con esa parametrización, que siempre está contenida en el
plano tangente, mientras que el último término v̄ind es la contribución a la velocidad de
la partícula M inducida por el movimiento de la superficie (que en general no es fija).
Vector aceleración del punto:
γ̄(uj , u̇j , üj , t) =
2
X
r̄uj üj +
j=1
2
X
r̄uj uk u̇j u̇k + 2
2
X
r̄uj t u̇j + r̄tt
(5)
j=1
j,k=1
| {z }
tangencial
Proyectando las ecuaciones sobre la variedad tangente y la normal:
F̄ · r̄ui = mγ̄ · r̄ui (i = 1, 2)
~ + N = mγ̄ · N
~
F̄ · N
(Plano tangente: movimiento) [2 ecuaciones]
(Normal: reacción) [1 ecuación]
Incógnitas:
ui (t)
N(t)
Movimiento [2 incógnitas]
Reacción Normal [1 incógnita]
4
Con lo que el problema vuelve a estar matemáticamente cerrado, pero ahora las dos
primeras ecuaciones están desacopladas de la última.
1.2.1.
Ecuación de la energía
Si multiplicamos la ecuación vectorial (3) escalarmente por dr̄ = v̄dt se obtiene:
F̄ · dr̄ + λ∇f · v̄ dt = mγ̄ · v̄ dt
Despejado de (2) y substituyendo:
dv̄
1
∂f
dt = m · v̄ dt = d( mv 2 ) = dT
∂t
dt
2
que es la ecuación de la energía para el movimiento de un punto por una superficie.
Su utilidad principal se reduce al caso de superficie fija ( ∂f
= 0 ó r̄ = r̄(u1 , u2 )), donde
∂t
se tiene:
F̄ · dr̄ − λ
(6)
F̄ · dr̄ = dT
Si F̄ = F̄ (r̄) podemos utilizar la representación paramétrica para escribir:
F̄ = F̄ (uj ) (j = 1, 2)
2
X
dr̄ =
r̄ui (uj )dui
i=1
dT =
2
X
F̄ (uj ) · r̄ui (uj )dui =
i=1
1.2.2.
2
X
Pi (uj )dui
i=1
Casos potenciales
Si el trabajo elemental es una diferencial exacta:
∂P1
∂P2
=
∂u2
∂u1
⇒
2
X
i=1
→
dT = dU
R
⇒
F̄ (r̄) = −∇V (r̄)
1.2.3.
→
→
T − U = CTE
Si la fuerza es potencial:
(6)
(6)
Pi (u1 , u2 )dui = dU(u1 , u2)
dT = −∇V (r̄) · dr̄ = −dV
R
⇒
T + V = CTE
Ecuación del momento cinético
La ecuación del momento cinético solo tiene dos componentes escalares independientes
(y no tres como la ecuación de cantidad de movimiento). Demostración:
r̄ ∧ F̄ + r̄ ∧ N̄ =
d
(r̄ ∧ mv̄)
dt
(·r̄)
→
0=0
Cuando la reacción normal siempre corta o es paralela a un eje fijo cuyo versor director
es ~e, la proyección según ese eje de la ecuación de momento cinético respecto a un punto
del eje proporciona una ecuación que no contiene a la reacción normal (caso de partícula
sobre superficie de revolución).
~e · (r̄ ∧ N̄) = 0
⇒
~e · (r̄ ∧ F̄ ) + ~e ·(r̄∧N̄ ) = ~e · (
d
d
(r̄ ∧ mv̄)) = (~e · (r̄ ∧ mv̄))
dt
dt
5
Cuando las F.D.A. tampoco dan componente de momento en esa dirección se tiene
una integral primera:
~e · (r̄ ∧ mv̄) = ~e · H̄0 = C
1.3.
Ligaduras Unilaterales y Bilaterales
~ = λ∇f
N̄ = N N
~ = ∇f /|∇f |
N
⇒
N = λ|∇f |
⇒
sign(N) = sign(λ)
Bilaterales N̄ puede tener cualquiera de los dos sentidos posibles, es decir, λ o N pueden
tomar valores positivos, negativos y nulos: λ, N ∈ R
Unilaterales N̄ solo puede tener un sentido, es decir, λ o N solo pueden ser o no negativos
−
∗
o no positivos: λ, N ∈ R+
∗ (ó λ, N ∈ R∗ ). Si en un instante t se anula la normal
∗
(N(t ) = 0), se produce el desprendimiento en dicho instante solo si N cambia de
signo: ∃δ > 0 | ∀ǫ : 0 < ǫ < δ, sign(N(t∗ + ǫ)) 6= sign(N(t∗ − ǫ)).
1.4.
Superficies móviles (rígidas y deformables)
Rígidas Suele tener más fácil tratamiento mediante técnicas de la Dinámica Relativa:
• Referencia ligada a la superficie y planteamiento del movimiento relativo a la
referencia no inercial anterior.
Deformables Suele tener más fácil tratamiento mediante técnicas de la Dinámica Analítica:
• Ecuaciones de Lagrange de segunda especie.
1.5.
Superficies rugosas
Si S es una superficie rugosa, significa que F̄R 6≡ 0. Hace falta información adicional
sobre esta incógnita. En nuestro caso será la hipótesis de Coulomb/Morin:
2
X
r̄uj u̇j
v̄rel (4)
j=1
F̄R = −f |N̄|
= −f |N| 2
|v̄rel |
X
|
r̄uj u̇j |
(7)
j=1
Ecuación de cantidad de movimiento proyectada sobre las variedades tangente y normal:
F̄ · r̄ui −f |N|
2
X
(r̄ui · r̄uj )u̇j
j=1
|
2
X
=mγ̄ · r̄ui
(i = 1, 2) [2 ecuaciones]
r̄uj u̇j |
j=1
~ +N
F̄ · N
~
=mγ̄ · N
[1 ecuación]
6
que son un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas,
pero en el que si despejamos N de la tercera y lo introducimos en las primeras tiene fácil
desacoplamiento:
~
N(uj , u̇j , t) = (mγ̄ − F̄ ) · N
(8)
N no puede depender de üj , como se comprueba analizando el segundo miembro de (8) si
tenemos en cuenta la ecuación (5) y las dependencias de la fuerza directamente aplicada.
2
X
r̄uj u̇j
2
X
r̄uj u̇j |
j=1
F̄R (uj , u̇j , t) = −f |N(uj , u̇j , t)|
|
(9)
j=1
⇒ F̄ · r̄ui − f |N(uj , u̇j , t)|
2
X
(r̄ui · r̄uj )u̇j
j=1
|
2
X
= mγ̄ · r̄ui
(i = 1, 2)
(10)
r̄uj u̇j |
j=1
Cuando se resuelva el sistema (10), constituido por 2 EDO de segundo orden con 2 incógnitas, se obtiene el movimiento del punto: ui (t) (i = 1, 2). Las reacciones normal y
tangencial en función del tiempo se obtienen simplemente por sustitución de las funciones
temporales anteriores en las ecuaciones (8,9).
2.
Ejemplo: Péndulo esférico
Se denomina péndulo esférico a una partícula de masa m que se mueve por una superficie esférica lisa sometida a una única fuerza directamente aplicada que es el peso.
2.1.
Resolución en coordenadas cartesianas
Sea la superficie esférica de ecuación implícita:
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0
Un vector normal a la superficie se define mediante:
∇f = 2(x~ı + y~ + z~k)
La reacción normal se puede escribir como:
N̄ = λ∇f = 2λ(x~ı + y~ + z~k)
La fuerza directamente aplicada es:
F̄ = −mg~k
Ecuación de cantidad de movimiento proyectada en la referencia cartesiana:
mẍ = 2λx
mÿ = 2λy
mz̈ = 2λz − mg
(11)
(12)
(13)
7
Ecuación de la ligadura:
x2 + y 2 + z 2 − R2 = 0
2.2.
(14)
Resolución en coordenadas esféricas
Representación paramétrica de la superficie esférica:
r̄(θ, φ) = R(cos φ cos θ~ı + cos φ sin θ~ + sin φ~k)
Vectores derivados:
r̄θ = R cos φ(− sin θ~ı + cos θ~)
r̄φ = R(− sin φ cos θ~ı − sin φ sin θ~ + cos φ~k)
r̄θθ = −R cos φ(cos θ~ı + sin θ~)
r̄θφ = −R sin φ(− sin θ~ı + cos θ~)
r̄φφ = −R(cos φ cos θ~ı + cos φ sin θ~ + sin φ~k)
Vectores de la cinemática
v̄ = r̄θ θ̇ + r̄φ φ̇
γ̄ = r̄θ θ̈ + r̄φ φ̈ + r̄θθ θ̇2 + 2r̄θφ θ̇ φ̇ + r̄φφ φ̇2
(15)
(16)
Ecuación de cantidad de movimiento proyectada en la variedad tangente a la esfera:
mR2 [θ̈ cos2 φ − 2θ̇φ̇ cos φ sin φ] = 0
mR2 [φ̈ + θ̇2 cos φ sin φ] = −mgR cos φ
Reducción a cuadraturas del movimiento:
d(θ̇ cos2 φ)
=0
⇒ θ̇ cos2 φ = C
dt
Z φ
1 dφ̇2
g
2 sin φ
2
2
φ̈ + C
+ cos φ = 0 =
+ f (φ) ⇒ φ̇ − φ̇0 = −2
f (x)dx
cos3 φ R
2 dφ
φ0
{z
}
|
f (φ)
(17)
(18)