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Capítulo 15
BREVE HISTORIA Y CONCEPTOS INTRODUCTORIOS
A LA TEORÍA DEL CRECIMIENTO
1. Suponga que la función de producción para el país X es la siguiente:
3
1
=
Q F=
( K , L) AL 4 K 4
a) ¿Cuál de los dos factores, trabajo o capital, recibe un ingreso mayor como
porcentaje del producto? Explique.
b) Esta función de producción, ¿muestra retornos constantes o retornos crecientes
a escala?
c) Halle la función de producción en términos per cápita.
d) Utilizando la siguiente función de producción lineal:
Y = aK + bL
Y, adicionalmente, asumiendo que a = 0.6 y b = 0.7, indicar si la función de
producción exhibe rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala.
¿Cambia su respuesta si b = 0.4?
Elementos de teoría y política macroeconómica para una economía abierta
2. Utilizando el siguiente cuadro:
Producto bruto interno
(Miles de millones de unidades monetarias domésticas constantes)
Año
Brasil
Colombia
Perú
2000
1024.03
196 373.85
121.06
2001
1037.47
200 657.11
121.32
2002
1065.05
205 591.28
127.40
2003
1077.26
215 073.66
132.55
2004
1138.77
225 104.16
139.14
2005
1174.78
237 982.30
148.64
2006
1221.41
254 505.55
160.15
2007
1290.66
273 710.26
174.33
2008
1356.18
280 647.87
191.48
a) Halle las tasas de crecimiento promedio anuales para el periodo 2000-2008
en Brasil, Colombia y Perú.
b) Asumiendo que Brasil, Colombia y Perú van a crecer desde el 2009 en adelante a la tasa hallada en la sección a) respectivamente para cada país, ¿cuánto
tardarán en duplicar su PBI?
3. Utilizando la siguiente función de producción Cobb-Douglas, que refleja la
producción agregada del país Articon:
Y = AKa L1-a
Y, adicionalmente, asumiendo que A = 1 y a = 0.4.
a) ¿Cuál fue el nivel de producción en Articon para los años 2006, 2007 y 2008?
Sabemos que:
Año
Capital
Trabajo
2006
200
100
2007
220
110
2008
270
110
b) Halle la tasa de crecimiento promedio anual del periodo 2006-2008.
296
Capítulo 15. Breve historia y conceptos introductorios a la teoría del crecimiento
c) Asumiendo que, desde el año 2008, el stock de capital permanece constante
(K = 270), y dado que la población aumenta en 5 individuos cada año, halle
el producto para los años 2009, 2010 y 2011.
4. Resolver los siguientes ejercicios:
a) Completar el cuadro:
Ahorro inversión Perú: 2004-2008
(Millones de nuevos soles a precios de 1994)
Año
Ahorro nacional
Ahorro externo
2004
25 045
24 976
2005
28 688
26 591
2006
37 043
32 097
2007
41 940
39 962
2008
6267
Inversión
51 417
Fuente: BCRP. Elaboración propia.
b) ¿El Perú se comportó entre los años 2004 y 2008 como prestatario o acreedor
del mundo?
5. Utilizando la siguiente función de producción agregada para el país Caribeño:
Y = AKa L1-a
Y, adicionalmente, asumiendo que a = 0.2:
a) Halle la tasa de crecimiento anual del producto para el año 2007 sabiendo que
la población crece a una tasa de 2% anual, que el stock de capital crece al 7%
y la tasa de progreso tecnológico es de 1%.
b) Se sabe que en el año 2008 el producto, la población y el capital crecieron a
la tasa de 5%, 2% y 8%, respectivamente. ¿Qué porcentaje del crecimiento se
atribuye al progreso tecnológico?
297
Elementos de teoría y política macroeconómica para una economía abierta
Solución
1. a) Los exponentes de los factores trabajo y capital indican la participación de los
ingresos de cada factor en el producto bajo el supuesto de que recibe como
remuneración su producto marginal. Dado que 3/4 > 1/4, el trabajo tendrá
una mayor participación que el capital.
b) Dado que estamos frente a una función de producción Cobb-Douglas, para
saber qué tipo de rendimientos a escala presenta es necesario examinar la
magnitud de la suma de los exponentes de los factores capital y trabajo. Hay
rendimientos crecientes si la suma es mayor que 1, decrecientes si la suma es
menor que 1, y constantes si la suma es igual a 1. En este último caso, si los
factores se multiplican por un factor l, el producto también es multiplicado
por el mismo factor l. Algebraicamente, se tiene lo siguiente:
3
1
Q = F ( K , L) = AL 4 K 4
3
4
F ( λK , λ L) = A( Lλ ) ( K λ )
3 1
+
1
4
1
3
F ( λK , λ L) = λ 4 4 A( L) 4 ( K ) 4
3
1
4
4
F ( λK , λ L) = λ A( L) ( K ) = λ Q
Como estos exponentes suman uno, se está ante una función de producción
con rendimientos constantes a escala u homogénea de grado uno. También se
prueba que el producto queda multiplicado por l cuando los factores capital
y trabajo son multiplicados por el mismo l.
c) Para expresar la función de producción en términos per cápita se divide la
función de producción entre el total de trabajadores en la economía:
3
1
Q = f ( K , L) = AL 4 K 4
3
1
Q
L4  K  4
K 
= F  ,1 = A 3  
L
L
L 
L4
De manera abreviada, la expresión anterior adquiere la siguiente forma:
1
Q
= f=
(k ) Ak 4
L
298
Capítulo 15. Breve historia y conceptos introductorios a la teoría del crecimiento
Donde:
k=
K
L
Esta conversión a términos per cápita es posible porque la función de producción es homogénea de grado uno.
d) Todas las funciones de producción lineales presentan rendimientos a escala
constantes, independientemente de los valores de sus parámetros. Algebraicamente, se tiene lo siguiente:
Q = F(K, L) = aK + bL
F(lK, lL) = a(Ll) + b(Kl)
F(lK, lL) = l(aK + bL) = lQ
2. a) Utilizando la fórmula para la tasa de crecimiento promedio del PBI entre los
periodos 0 y t:
g=
t
PBI t
−1
PBI 0
La tasa de crecimiento del producto entre los años 2000-2008 es la siguiente:
Perú:
g PERÚ = 8
PBI 2008
191.48
−1 = 8
− 1 = 5.90%
PBI 2000
121.06
Colombia:
g COL = 8
PBI 2008
280647.87
−1 = 8
− 1 = 4.56%
PBI 2000
196373.85
Brasil:
g BRA = 8
PBI 2008
1356.18
−1 = 8
− 1 = 3.57%
PBI 2000
1024.03
299
Elementos de teoría y política macroeconómica para una economía abierta
b) Para saber cuántos años tardarán Perú, Brasil y Colombia en duplicar su PBI,
se aplica la siguiente fórmula.
g=
t
PBI t
−1
PBI 0
Despejando el valor del PBI en el año t:
PBIt = PBI0(1 + g)t
Si lo que se busca es que el PBI en el año t sea el doble del PBI en el año cero,
se tiene que:
2PBI0 = PBI0(1 + g)t
2 = (1 + g)t
Tomando logaritmos y recordando sus propiedades, se tiene que:
ln 2 = t ln(1 + g)
0.69315 = gt
Finalmente, la cantidad de años (t) requerida para que el PBI se duplique está
dada por la siguiente fórmula:
t=
0.69315
g
Aplicando esto a los datos del problema, se obtiene lo siguiente:
=
tPERÚ
=
tBRA
tCOL =
0.69315
= 11.75
0.059
0.69315
= 19.41
0.0357
0.69315
= 15.20
0.0456
3. a) A partir de los datos del problema, se calcula la producción anual en el país
de Articon:
Año 2006:
Y = (200)0.4(100)0.6 = 131.9
300
Capítulo 15. Breve historia y conceptos introductorios a la teoría del crecimiento
Año 2007:
Y = (220)0.4(110)0.6 = 145.1
Año 2008:
Y = (270)0.4(110)0.6 = 157.5
b) La tasa de crecimiento promedio del producto en el periodo 2006-2008 se
calcula a partir de la formula:
g=
t
PBI t
−1
PBI 0
Reemplazando los datos del problema en la fórmula se obtiene que la tasa de
crecimiento promedio para el periodo 2006-2008 es igual a:
g ARTICON =
PBI2008
157.54
−1 =
− 1 = 9.27%
PBI2006
131.95
c) Si el stock de capital permanece constante a partir del año 2008 y la población
crece a razón de 5 individuos por año, se tienen los siguientes datos:
Año
Capital
Trabajo
2008
270
110
2009
270
115
2010
270
120
2011
270
125
La producción anual en el país de Articon, para los años 2009, 2010 y 2011,
es la siguiente:
Año 2009:
Y = (270)0.4 (115)0.6 = 161.79
Año 2010:
Y = (270)0.4 (120)0.6 = 165.98
Año 2011:
Y = (270)0.4 (125)0.6 = 170.09
301
Elementos de teoría y política macroeconómica para una economía abierta
4. a) Para completar el cuadro es necesario partir de la igualdad entre el ahorro y la
inversión en una economía abierta:
S e + S p + Sg = I
Sn + Se = I
S n = S p + Sg
Donde:
Se
Ahorro externo
Sp Ahorro privado
Sg
Ahorro del gobierno
Sn Ahorro nacional
Ahorro inversión Perú: 2004-2008
(Millones de nuevos soles a precios de 1994)
Año
Ahorro nacional
Ahorro externo
Inversión
2004
25 045
-69
24 976
2005
28 688
-2097
26 591
2006
37 043
-4946
32 097
2007
41 940
-1978
39 962
2008
45 150
6267
51 417
Fuente: BCRP. Elaboración propia.
b) Entre el 2004 y el 2007 el Perú generó más ahorro del que necesitó para
financiar su inversión, por lo que se convirtió en acreedor neto del mundo.
Perú, en 2008 registró un déficit en su cuenta corriente de su balanza de pagos.
5. a) Para obtener la tasa de crecimiento del producto correspondiente al año 2007,
es necesario realizar algunas operaciones. Tras aplicar logaritmos a la función
de producción agregada del país Caribeño, se tiene:
ln Y = ln A + a ln K + (1 - a)ln L
Se deriva con respecto al tiempo:
∂ ln Y 1 ∂ ln A
1 ∂ ln K
1 ∂ ln L
=
+α
+ (1 − α )
A ∂t
K ∂t
L ∂t
∂t
302
Capítulo 15. Breve historia y conceptos introductorios a la teoría del crecimiento
Con lo cual se obtiene:
K
L A
Y
= α + (1 − α ) +
K
L A
Y
En esta expresión se reemplazan los datos del problema para obtener la tasa
de crecimiento del producto.
Y
= 0.2(0.07) + (1 − 0.2)(0.02) + 0.01 = 4%
Y
c) Al reemplazar los datos, se obtiene el porcentaje del crecimiento que se le
atribuye al cambio técnico:
0.05 = 0.2(0.08) + (1 − 0.2)(0.02) +
303
A
A
;
A
= 1.8%
A