Download 1 Sea V es espacio generado por el conjunto de vectores 5 0 0 −

Sea V es espacio generado por el conjunto de vectores






5
1
1



 0 
 −3 
 −2




v1 = 
 0  , v2 =  −1  , v3 =  1



−2
−1
5








Defina u1 = v1 . Indique las coordenadas de u2 , la componente ortogonal de v2
sobre U1 = Gen {u1 }.
Solución
Recuerde que la proyección ortogonal, o simplemente proyección, de v sobre
u se define como
v•u
proy(v, u) = proyu (v) =
u
u•u
mientras que la componente ortogonal de v sobre u se define como
compu (v) = v − proyu (v)
Por otro lado, la proyección ortogonal de v sobre el espacio U generado por el
conjunto de vectores ortogonales {u1 , . . . uk } no nulos se define como
proyU (v) = proyu1 (v) + proyu2 (v) + · · · + proyuk (v)
Y por último, la componente ortogonal de v sobre el espacio U generado por el
conjunto de vectores ortogonales {u1 , . . . uk } no nulos se define como
compU (v) = v − proyU (v)
Con esto en mente
v2 • u1 = (1) · (5) + (−3) · (0) + (−1) · (0) + (−1) · (−2) = 7
u1 • u1 = (5) · (5) + (0) · (0) + (0) · (0) + (−2) · (−2) = 29
y por tanto
proyu1 (v2 ) =
35
14
v2 • u1
u1 =<
, 0, 0, −
>
u1 • u1
29
29
y ası́
compU1 (v2 )
= compu1 (v2 )
= v2 − proyu1 (v2 )
6
= < − 29
, −3, −1, − 15
29 >