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46 Geometría
Concepto
1. División
de con
circunferencia
resto
Reflexiones
adicionales
La siguiente fórmula es un
modo de ver la construcción
conceptual que se desarrolla
en estas páginas:
1. Se plantea un problema
significativo para el alumno.
2. La solución conduce a
conceptualizar algún objeto
geométrico o relación entre
objetos geométricos.
3. Se presentan casos que
ilustran el concepto que se
está construyendo, junto con
los casos que no satisfacen el
concepto.
Fig.1
En las páginas 17 a 21 del Tomo IV, Vol.
1 se aborda el concepto de circunferencia.
La página 17 inicia con el planteamiento
del siguiente problema: ¿cómo deberán colocarse los niños para que al tirar la argolla
todos tengan la misma oportunidad de ensartarla en el poste azul? (Fig. 1).
En la página 19 (Fig. 3) se plantea en la
actividad 2 un problema y tres respuestas, al
reproducir las hojas y recortar el papel, la correcta será la de Yoshio, porque sólo en ésta
se puede comprobar que los puntos de la
periferia se encuentran a la misma distancia
del punto de intersección de los dobleces de
la hoja (que es el centro de la circunferencia). Los otros casos son importantes porque
muestran ejemplos que no producirán la forma redonda que se solicita hacer. La estrategia de presentar casos que ilustran un concepto y casos que no lo ilustran es de mucha
importancia para la formación de conceptos.
4. Se da nombre y se define
el concepto.
5. Se construyen casos que
ilustran al concepto y se reconocen en el entorno casos
que lo ilustran y que no lo
ilustran.
6. Se procede a ampliar el
significado del concepto.
Fig.3
Esta es la secuencia que se ve
en estas páginas para la construcción conceptual y que se
volverá a aplicar sucesivamente en otras partes del texto
en los temas de geometría.
Fig.2
Para que el juego sea equitativo, la única
variable significativa es la distancia desde la
cual se lanza la argolla, ya que otras como
estatura, fuerza, longitud de los brazos, etc.,
más o menos están controladas por ser los niños y niñas de la misma estatura, edad y complexión. En la página 18 se encuentra la solución: colocar a los niños en torno del poste
azul y a la misma distancia de él (Fig. 2). Las
siguientes dos imágenes de esa página generalizan la idea abstrayéndola de su contexto y
representándola con una figura geométrica, a
la cual llaman en la lección “figura redonda”;
aún no se le conoce como circunferencia.
A renglón seguido se define y denomina
el concepto de circunferencia. Se enseña a
los alumnos cómo trazar circunferencias con
compás, instrumento que construye conjuntos de puntos equidistantes del punto donde
se apoya, el cual es justamente la definición
de circunferencia.
Después de definir el concepto de diámetro
en la página 21 (Fig. 4) se pide a los alumnos
completar enunciados acerca de varias relaciones entre diámetro y circunferencia que
proporcionan una ampliación del concepto de
diámetro: su punto medio es el centro de la circunferencia, es un eje de simetría, es la cuerda de mayor longitud. Finalmente, se plantea
el problema de reproducir una circunferencia,
este es un problema clásico de la geometría.
Fig.4
Geometría 47
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. Dos diámetros diferentes de una circunferencia se intersectan es un punto. ¿Qué
significa éste en términos de la circunferencia? Argumenta tu respuesta y discútela con
tus compañeros y tu profesor.
2. La siguiente imagen fue tomada de la página 21, las líneas rojas son
cuerdas trazadas desde un mismo punto.
Traza una circunferencia en una hoja y desde un mismo punto (como
en la imagen) traza muchas cuerdas, después localiza y marca con
color rojo los puntos medios de las cuerdas trazadas.
a) ¿Qué forma evoca la curva que describen los puntos medios de las
cuerdas?
b) ¿Cómo podrías verificar que esa es la forma que parecen evocar los puntos medios?
Notas: Se llama cuerda de una circunferencia a cualquier segmento de recta cuyos puntos extremos están en la circunferencia. Se llama punto medio de un segmento al punto
del segmento que lo divide por la mitad.
3. En la actividad 7 de la página 21, en la pregunta 2 se plantea cómo encontrar el centro
de una circunferencia cuando no se le conoce, o bien no está marcado en la imagen.
En la imagen del texto un chico sugiere: “Recorta el círculo y examínalo. Si lo doblamos
para hacer dos secciones iguales,…”
a) Encuentra la solución al problema aplicando esta sugerencia.
b) Argumenta la solución y busca en un texto de geometría su sustento.
48 Geometría
Ángulos
Multiplicación (4) Tablas de multiplicar
Reflexiones
adicionales
En las páginas 59 a 63 del Tomo IV, Vol. 1
se integra el concepto de ángulo.
Concepto de medida:
Por medición se entiende el
proceso por medio del cual
asignamos un número a una
magnitud física de algún objeto o conjunto de objetos con
propósitos de comparación.
Como antecedente a esta lección, en la
página 20 del Tomo III Vol. 2, se estudió la
definición de ángulo recto. La cual no se funda en la idea de medida, sino en la acción
de girar en la comparación con un modelo
llamado ángulo recto.
El nombre de medida se usa
para denotar el número de
unidades que corresponden a
la magnitud que se mide.
La medida cuenta con las siguientes propiedades:
1. La medida del todo es
igual a la suma de las medidas de cada una de sus partes.
2. La medida es siempre un
número mayor o igual a cero.
3. En igualdad de condiciones de realización de una medición, la repetición de ésta
da resultados iguales.
Medición directa: Es un
proceso visual que consiste
en hacer una comparación
directa de la cualidad de un
objeto con una unidad de medida estándar.
Medición indirecta: Hay
propiedades físicas que no
pueden medirse de forma
directa como la temperatura,
la presión atmosférica, la velocidad, etc. Para medirlas se
debe utilizar instrumentos de
medición indirecta, como el
termómetro, el manómetro o
el velocímetro.
El transportador es un instrumento que cuenta con una
escala para medir ángulos de
manera directa.
La medida de los ángulos,
como se define en estas páginas,
cumple las tres propiedades que
toda medida debe satisfacer.
Fig.1
En la página 59 del Tomo IV, Vol. 1, se define por primera vez la forma ángulo y en las
siguientes dos páginas se plantea al alumno
el problema de comparar “ángulos” por su
tamaño. Es decir, cuantificar el tamaño de
los ángulos, medirlos relacionándolos con
otros. Posteriormente se aborda la cuestión
de cómo asociar a cada ángulo un número
que sea su medida y además que se cumpla un aspecto fundamental: si dos ángulos
tienen diferente tamaño, deberán tener también medidas diferentes. En el fondo este es
el problema que se plantea al alumno al preguntarle sobre cuál animal tiene más abierta la boca y cuál menos, y que los ordene
según el tamaño del ángulo formado por sus
bocas abiertas (Fig. 1).
En la página 62 (Fig. 3) se ve que las ideas
de Hiroshi y Masako tienen la finalidad de
proponer un patrón con respecto al cual comparar los casos concretos: cuántas veces
cabe el patrón en un ángulo dado, ¿la mitad,
un tercio, dos veces, tres y media veces…?
La idea de Masako consiste en crear un instrumento que permita una mejor apreciación
de las comparaciones que se pide hacer.
En la página 63 se introduce el patrón de
medida para los ángulos, patrón universalmente aceptado, así como el instrumento para
medirlos. En la página 66 (Fig. 4) se enseña
cómo construir ángulos con medidas dadas.
Fig.2
Fig.3
De esta forma se da solución al problema
de medir ángulos mediante un sistema que a
todo ángulo le asigna un único número como
su medida y a los ángulos con diferente abertura les asigna diferentes medidas.
Fig.4
Geometría 49
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. En estas páginas se pretende que los alumnos aprendan a medir ángulos con el
transportador. Utiliza ángulos específicos para ejemplificar que la medición de ángulos
así realizada satisface las tres propiedades que toda medida debe cumplir.
2. Supongamos que alguien inventó un método para medir ángulos
basado en el área que éstos encierran. Este método se ilustra en
la figura de la derecha:
A una distancia de un centímetro del vértice del ángulo, se
traza sobre uno de sus lados el segmento perpendicular a él.
El área del triángulo así formado será la medida del ángulo.
En este caso es:
Medida de β = ½(1 cm.)×d =(½) d
El autor del método afirma que esta medida siempre es un
número positivo.
Argumenta por qué los resultados de este procedimiento no
cumplen las propiedades que debe tener una medida.
3. A la luz de las tres propiedades que toda medida debe cumplir, comenta casos de
otras medidas, como: temperatura, longitud, volumen, peso, etc.
50 Geometría
Clasificación de triángulos
y solamente si se cuelga del vértice formado por los popotes del mismo color el lado
opuesto estará en posición horizontal.
3. Si un triángulo está formado por popotes
de diferente color, todos sus lados serán de
diferente longitud y en ningún caso al colgar
el triángulo de uno de sus vértices el lado
opuesto será horizontal.
Los comportamientos enlistados se muestran en el método de la maestra y en el de
Hiroshi (Fig. 3).
Reflexiones
adicionales
Un aspecto notable en esta
forma de abordar el concepto
de triángulo y sus diferentes
tipos es el papel que se le hace
jugar a la fuerza de gravedad,
o de otra manera, al peso de
los cuerpos. En efecto, los
popotes de la misma longitud
pesan lo mismo.
Por lo tanto:
1. Si un triángulo se forma
con tres popotes del mismo
tamaño, entonces al colgarlo
por cualquiera de sus vértices,
éste quedará en equilibrio con
su base siempre horizontal.
2. Si el triángulo se forma con
dos popotes de igual tamaño y
el tercero es de diferente longitud, entonces, solamente si
se le cuelga por el vértice formado por los popotes iguales,
la base quedará horizontal, en
cualquier otro caso la base
quedará inclinada.
3. Si el triángulo está formado
por tres popotes de diferente
tamaño cada uno, entonces al
ser colgado por cualquiera de
sus vértices, la base quedará
siempre inclinada.
Si en lugar de longitud se
hablara de color, el resultado
sería el mismo, pues los popotes del mismo color tienen la
misma longitud.
Fig.1
En las páginas 72 a 78 y en la 80 del Tomo
IV, Vol. 1, se atiende la clasificación de los
triángulos. Como antecedentes a esta lección
se cuenta con las definiciones de triángulo, y
ángulo y la medición de ángulos.
En la página 72 (Fig. 1), los triángulos
construidos por medio de popotes de colores
poseen cualidades singulares a partir de los
popotes que se usen para su construcción.
Lo anterior sucede de esta forma porque los
popotes tienen diferente longitud según sea
su color, entonces los del mismo color pesan
lo mismo.
Estas características de los triángulos que
se construyen explican su comportamiento al
ser colgados en el pizarrón (Fig. 2):
Es una forma ingeniosa de
lograr la clasificación de los
triángulos por la longitud de
sus lados, que puede dar lugar
a preguntas cuya respuesta
puede ser interesante:
¿Por qué cuando se cuelga
un triángulo equilátero por
cualquiera de sus vértices, al
lograrse el equilibrio, la base
siempre queda horizontal?
¿Por qué en el caso del triángulo isósceles únicamente sucede con un vértice? ¿Por qué
para el triángulo escaleno esto
nunca ocurre?
Después de esta experiencia,
los alumnos pueden observar
que los triángulos se divididen
en tres clases.
Fig.3
A partir de esta experiencia, en donde interviene la acción de la gravedad, se propicia
de manera inductiva las definiciones de triángulos equiláteros e isósceles.
En las páginas 76 y 77, dadas las definiciones, y como en otros casos de conceptualización, se procede a reconocer en el entorno
real y en el abstracto, casos particulares que
ilustren estos conceptos (Figs. 4 y 5).
Fig.4
Fig.2
1. Si un triángulo está formado por popotes
del mismo color, el lado opuesto al vértice de
donde se cuelga será siempre horizontal y todos los lados tendrán la misma longitud.
2. Si un triángulo está formado por dos popotes del mismo color y otro de un color diferente
el triángulo tendrá dos lados del mismo tamaño
Fig.5
Geometría 51
Actividades que se sugieren para los futuros
docentes
1. En la página 80 del texto se encuentra la siguiente imagen.
La indicación es doblar y recortar hojas como se ilustra en la
parte superior para formar triángulos isósceles. Se indica hacer
varios triángulos con la misma forma y superponerlos como se
ve en la figura de abajo. El doblez de la hoja marca una línea
recta y esta línea aparece sin importar el número de triángulos
que así se construyan. Esta última imagen es muy sugerente y
la línea que ahí aparece.
a) Escribe enunciados geométricos cuyo sujeto sea esta línea
usando en ellos algunas o todas las siguientes palabras: simetría, altura, mediatriz, punto medio, perpendicular.
Deben ser enunciados verdaderos y para cada uno debes argumentar sobre su veracidad.
D
A
C
B
2. La siguiente imagen se encuentra en la página 86 del libro:
En el contenido de la página 78 se declara: “En un triángulo isósceles, hay 2 ángulos
que miden lo mismo. En un triángulo equilátero, cada uno de sus 3 ángulos mide 60°”.
Respecto a la imagen se dice: A y B son los centros de las circunferencias, BD y AE son
diámetros. Se pregunta: ¿qué tipo de triángulo es CDB?
Responde la pregunta, pero no midiendo sobre la imagen, sino argumentando la validez
de tu respuesta con base en las conceptos expuestos en estas páginas.
52 Geometría
Construcción de triángulos
Reflexiones
adicionales
La construcción con regla y
compás es uno de los temas
clásicos de la geometría. En
estas páginas se introduce la
construcción de triángulos.
En las páginas 79 a 85 del Tomo IV, Vol. 1
se aborda la construcción de triángulos con
regla y compás.
La siguiente figura se refiere
al primer teorema de los Elementos de Euclides: Dado un
segmento, construir sobre él
un triángulo equilátero.
En las páginas 84 y 85 (Figs. 3 y 4) se desarrollan respuestas a la pregunta anterior.
Para la primera actividad de la página 84,
Yoshiko y Tamotsu plantean cada uno formas
diferentes de proceder que conducen a soluciones correctas para la construcción. La solución de Yoshiko hace referencia al caso del
inciso 2 del listado anterior, mientras que la
de Tamotsu corresponde al inciso 4, en ambos casos se dan tres elementos de los seis
que contiene el triángulo.
En la figura el segmento dado
es AB.
c
A
C
c‘
B
Esta construcción, con una
ligera diferencia, es la que
se usa en la página 79, inciso
2, (Fig. 1) para construir un
triángulo isósceles.
En geometría los problemas
de construcción no se terminan al realizar ésta; se exige
además explicar cómo se
hace, fundamentarla con base
en definiciones, en principios
y en resultados ya probados y
establecidos como teoremas
de la geometría. El razonamiento de Euclides es más o
menos el siguiente:
• Con centro en A y radio AB
se traza la circunferencia c.
• Con centro en B y radio BA
se traza la circunferencia c’.
• C es un punto de intersección
de las circunferencias.
• Se trazan los segmentos CA
y CB.
• El segmento AC es radio de
la circunferencia c, entonces
AC=AB.
• El segmento BC es radio de
la circunferencia c’, entonces
BC=BA.
• Puesto que AB=BA, entonces AC=BC.
• Por lo tanto, los segmentos
AB, AC y BC son iguales en
longitud.
• Debido a lo anterior, el
triángulo ABC es equilátero
y está construido sobre el
segmento AB.
Fig.1
1. Al principio se trata la construcción de
triángulos isósceles o equiláteros para los
cuales se da la longitud de sus lados.
2. En otro caso se aborda la construcción
de un triángulo dando la longitud de un lado
y la medida de los ángulos adyacentes a él.
3. En el siguiente, se da la longitud de los
lados de un triángulo donde todos sus lados
son diferentes.
4. En el último, se dan las longitudes de dos
lados y el ángulo formado por ellos.
Esos casos configuran el contenido del
tema de congruencia de triángulos, cuyo estudio culmina en el nivel de bachillerato. En
el nivel de educación primaria sólo se empieza a esbozar a partir de la siguiente pregunta: “si un triángulo tiene tres lados y tres
ángulos, ¿cuántos y cuáles de estos elementos necesitas conocer como mínimo para reproducir ese triángulo?”
Fig.2
Fig.3
Este problema no es simple. En la sección
3 de la página 85, solamente para el primer
caso es posible construir el triángulo, en los
otros dos, no se puede construir sólo con
esos datos. En los tres casos de la pregunta se dan tres datos del triángulo. Si en los
casos 2 y 3, se da un dato más (4 datos en
total) ya es posible la construcción, pero entonces estos casos se pueden reducir a los
planteados por Yoshiko o Tamotsu, es decir,
tres datos son suficientes, pero no cualesquiera de ellos.
Fig.4
Geometría 53
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
Revisa en cualquier libro de texto de geometría el tema de congruencia de triángulos y
después, resuelve los siguientes problemas.
1. En la columna de “Reflexiones adicionales” se afirma que el triángulo ABD es equilátero.
D
A
B
D
C
En la siguiente figura se ha trazado la recta que pasa por los puntos C y D intersecciones
de las circunferencias. Esa línea recta es perpendicular al segmento AB.
D
A
B
A
B
C
Una forma de demostrar la validez de la afirmación anterior es probando primero que los
triángulos DAC y DBC son congruentes. Argumenta por qué esos triángulos efectivamente son congruentes.
C
D
A
B
C
2. Después de hacer lo anterior, demuestra que en la figura de abajo los triángulos DAE
y DBE son congruentes.
D
A
B
C
Observa que al ser congruentes los triángulos DAE y DBE, entonces los ángulos de esos
triángulos con vértice E son congruentes, es decir, miden lo mismo. Como esos ángulos
suman 180°, entonces cada uno mide 90°. Por lo tanto, la recta DC es perpendicular al
segmento AB.
Nota. Los criterios planteados en los incisos de la página anterior son útiles para este problema.