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El futuro de la geometría en la escuela
secundaria *
Michael de Villiers**
Introducción
R
ecientemente en un número del Mathematical Digest (julio de 1996, n. 104:26)
publicado por el Departamento de Matemáticas de la UCT alguien escribió lo
siguiente:
“… Sudáfrica es el habitat de una especie en peligro, ya que la Geometría Euclidiana ha
desaparecido de los programas de estudio de muchos otros países…”
Tal afirmación es bastante común entre matemáticos y enseñantes de las matemáticas
en Sudáfrica, pero muestra gran ignorancia, como nada más alejado de la verdad. De
hecho, la geometría está viva, bien y experimentando un emocionante renacimiento en
muchos países; no sólo a nivel escolar, sino también a nivel universitario. Existe un gran
peligro si aquellos que hacen la política en educación matemática en Sudáfrica no están
conscientes de estos dramáticos nuevos desarrollos.
Algunos desarrollos en la geometría contemporánea
L
a única geometría que mucha gente conoce es la geometría Euclidiana que
aprendieron en la escuela. Además, ahí aparece como la creencia de que los
antiguos Griegos y otras civilizaciones anteriores a ellos habían descubierto toda la
geometría que habría que conocerse. Muy pocos se dan cuenta que muchos resultados
emocionantes nuevos en la geometría Euclidiana fueron descubiertos en los siglos XIX y
XX, por ejemplo los teoremas de Morley, de Miquel, de Feuerbach, de Steiner, etc.
Además de eso, el siglo anterior vio el desarrollo de las geometrías no-Euclidianas de
Lobachewsky-Bolya y Riemann. Los axiomas anti-intuitivos para estas dos geometrías
revolucionaron completamente la comprensión de los matemáticos sobre la naturaleza de
los axiomas. Mientras que muchos habían creído anteriormente que los axiomas eran
“verdades autoevidentes”, se dieron cuenta de que eran simplemente “puntos de inicio
necesarios” para los sistemas matemáticos. De la creencia de que las matemáticas se
ocupaban de “verdades absolutas” relacionadas con el mundo real, se dieron cuenta de
que las matemáticas se ocupaban de “verdades proposicionales” que pueden o no tener
aplicaciones en el mundo real, y de hecho esa capacidad de ser aplicada no era un
criterio necesario para las matemáticas.
En la Tabla 1 se presentan dos ejemplos de las respectivas geometrías no-Euclidianas
de Lobachwsky-Bolya y Riemann. Modelos respectivos son el llamado disco de Poincaré
y la geometría de la esfera.
* The future of secondary school geometry, apareció originalmente en la revista electrónica Preuve,
Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical Proof, 98 0304 (marzo-abril de 1998), URL
http://www.cabri.net/Preuve/Resumes/deVilliers/deVilliers98/deVilliers98.html. (Traducción al español por
Víctor Larios Osorio (Depto. de Matemáticas del CICFM, Fac. de Ingeniería, UAQ, 1999)).
Esta traducción sólo tiene fines educativos, por lo que se prohíbe su reproducción con fines de lucro.
**
University of Durban-Westville, Sudáfrica.
1
Lobachevsky-Bolyai
Riemann
Axioma (Playfair): Por un punto P Axioma (Playfair): Por un punto P externo
externo a una línea l al menos dos líneas a una línea l no pueden ser trazadas
paralelas a l pueden ser trazadas.
líneas paralelas a l.
Teorema: La suma de los ángulos de un
triángulo es menor que 180º y su área es
proporcional al “defecto” de su suma de
ángulos.
Teorema: La suma de los ángulos de un
triángulo es mayor que 180º y su área es
proporcional al “exceso” de su suma de
ángulos.
Tabla 1
El siglo anterior vio también el desarrollo axiomático de la geometría proyectiva cuyos
orígenes se remontan hasta Pappus (350 A.C.) y Desargues (1639). Un parteaguas mayor
fue el descubrimiento y demostración independiente del principio de dualidad de Poncelet,
Plucker y Gergonne en 1826. Dos teoremas o configuraciones son llamadas duales si una
puede ser obtenida de la otra reemplazando cada concepto y operador por su concepto y
operador dual. En la geometría proyectiva encontramos la siguiente dualidad:
vértices (puntos) — lados (líneas)
inscrito en un círculo — circunscrito alrededor de un círculo
colineal — concurrente
Esta dualidad es revelada notablemente por los teoremas proyectivos de Pascal (16231662) y Brianchon (1785-1864) como sigue:
El teorema de Pascal. Si un hexágono
es inscrito en un círculo, entonces los
tres puntos de intersección de los lados
opuestos son colineales (están en un
línea recta) (Figura 1a).
Teorema de Brianchon. Si un hexágono
es circunscrito alrededor de un círculo,
entonces las tres líneas (las diagonales)
que conectan vértices opuestos son
concurrentes (se cortan en el mismo
punto) (Figura 1b).
Figura 1: Teoremas de Pascal y Brianchon
Aunque el tratamiento axiomático inicial de la geometría proyectiva fue puramente
sintético, la incorporación de métodos analíticos ocurrió en la última parte del siglo
pasado. Más notable fue el famoso Erlangen Programm (Programa de Erlangen) de Klein
(1872) que describía a la geometría como el estudio de aquellas propiedades geométricas
que permanecen invariantes (sin cambios) bajo los diferentes grupos de
2
transformaciones. Rápidamente, la geometría puede ser clasificada de acuerdo a este
punto de vista como sigue:
isométricas - transformaciones de las figuras planas que preservan todas las
distancias y los ángulos (congruencia).
semejantes - transformaciones de las figuras planas donde la forma (semejanza) es
preservada.
afines - transformaciones de las figuras planas donde el paralelismo es preservado.
proyectivas - transformaciones de las figuras planas que preservan la colinealidad
de puntos y la concurrencia de líneas.
topológicas - transformaciones de las figuras planas que preservan su cerradura y
orientación.
Desde tiempos inmemoriales, los patrones geométricos de una y dos dimensiones han
sido usados por los seres humanos para adornar sus moradas, ropas e implementos. La
Figura 2a por ejemplo muestra un mosaico Morisco de la Alambra en el sur de España. El
artista Holandés Maurits C. Escher usó teselados extensamente en la producción de su
trabajo artístico en el periodo 1937-1971 (ver la Figura 2b para un teselado como los de
Escher). Quizá sorprendentemente, el estudio de los patrones y teselados (mosaicos) ha
recibido un interés sin precedentes por los matemáticos en el siglo XX. No obstante, en
los 70’s una ama de casa Marjorie Rice descubrió cuatro nuevos pentágonos convexos
que pueden ser teselados, aunque los matemáticos habían pensado hasta ese momento
que la lista de pentágonos teselables estaba completa (ver Schattschneider,1981). Más
recientemente, Grunbaun y Shepherd (1986) realizaron una investigación sistemática en
algún modo igual a Los Elementos de Euclides.
(a)
(b)
Figura 2: Ejemplos de teselados
Uno de los conceptos importantes en la clasificación de patrones y teselados es el de
simetría. Usando este concepto, los patrones pueden ser clasificados en siete tipos
diferentes y los teselados en diecisiete tipos diferentes. Una propiedad obvia de cualquier
mosaico es el de la repetición del patrón. Si un mosaico tiene simetría traslacional en dos
direcciones independientes es llamado periódico. Aunque los mosaicos más comunes son
periódicos, hace sólo casi veinte años, el matemático Británico Penrose descubrió un
sorprende conjunto de dos cuadriláteros que son teselados no periódicamente (p.ej. ver
Benade,1995). De hecho, aún es una cuestión abierta si existe o no una tesela simple con
la cual se pueda teselar no periódicamente.
Otro desarrollo interesante en años recientes ha sido la geometría fractal, que es el
estudio de objetos geométricos con dimensiones fraccionarias. Por ejemplo, una nube es
3
un buen ejemplo de un fractal. Si bien no es realmente del todo tridimensional, no es
ciertamente bidimensional; uno podría por lo tanto decir que su dimensión está en algún
lugar entre dos y tres. De hecho, muchos objetos del mundo real tales como las líneas
costeras, las hojas de helecho, las cadenas montañosas, los árboles, los cristales, etc.,
tienen propiedades fractales. La compresión fractal de imágenes es también usada
actualmente en una gran variedad de multimedia y en otras aplicaciones de computadora
basadas en imágenes. Una propiedad importante de los fractales es la auto-similaridad
que libremente quiere decir que cualquier pequeño subconjunto de la figura es similar a la
figura más grande. Dos ejemplos de fractales son dados en la Figura 3 donde esta
propiedad es claramente ilustrada.
Copo de nieve de Koch
Triángulo de Sierpinski
Figura 3: Ejemplos de fractales
También en años recientes se ha visto también el desarrollo y expansión de la Teoría
de Nudos y su aplicación incrementada a la biología, el uso de la Geometría Proyectiva
en el diseño de programas de realidad virtual, la aplicación de la Teoría de Códigos en el
diseño de reproductores de CD, una investigación de la geometría involucrada en
robótica, etc. Incluso la Geometría de Bombas de Jabón está recibiendo nueva atención
como se ilustra por la sesión especial presentada en la Burlington Mathsfest en 1995. En
1986 Eugene Krause escribió un pequeño libro deleitable de Taxicab Geometry,
presentando un nuevo tipo de geometría no-Euclidiana. Diversas conferencias
internacionales en geometría han sido celebradas en la década pasada. De hecho, David
Henderson de la Cornell University, EEUU, recientemente dijo al autor que actualmente
tienen más estudiantes post-graduados en geometría o en campos relacionados con la
geometría que en álgebra pura.
Incluso la geometría Euclidiana está experimentando un emocionante renacimiento en
no una pequeña parte debido al desarrollo reciente de software para geometría dinámica
1
como Cabri y The Geometer’s Skecthpad. De hecho, Philip Davies (1995) describe un
futuro posible y optimista para la investigación en la geometría del triángulo. Por ejemplo,
recientemente Adrian Oldknow (1995,1996) usó Sketchpad para descubrir el resultado
hasta ahora desconocido de que el centro de Soddy, el incentro y el punto de Gergonne
de un triángulo son colineales (entre otros resultados interesantes). El centro de Soddy
fue llamado así por el ganador del premio Nobel en química Frederick Soddy, quien
publicó el siguiente resultado en 1936: Si tres círculos con centros en los tres vértices de
un triángulo son trazados tangentes entre sí como se muestra en la Figura 4 (cada
triángulo tiene un conjunto único de tales círculos), entonces existe un cuarto círculo
tangente a los otros tres como se muestra. (El centro de este círculo es ahora conocido
como el (in)centro de Soddy S —existe también otro externo.)
1
A partir de la versión 3.0 de este software apareció la versión traducida al castellano: El Geómetra. N. del T.
4
Figura 4: Centro de Soddy
(a)
(b)
Figura 5: Punto Gergonne y línea Gergonne-Soddy-Incentro
El punto de Gergonne G de un triángulo es el punto de concurrencia de los tres
segmentos de línea que van de los vértices a los puntos de tangencia del incírculo con los
lados opuestos (ver Figura 5a). (El punto de Gergonne es incidentalmente un caso
degenerado especial del teorema de Brianchon.) Entonces, como se muestra en la Figura
5b, encontramos el sorprendente resultado de que el punto de Gergonne G, el centro de
Soddy S y el incentro I son colineales. (El centro de Soddy externo también pertenece a
esta línea.)
El autor también descubrió recientemente dos generalizaciones interesantes del
teorema de Von Aubel usando software para geometría dinámica. Este teorema declara
que si unos cuadrados son construidos en los lados de cualquier cuadrilátero entonces
los segmentos de línea que conectan los centros de los cuadrados de lados opuestos son
siempre congruentes y perpendiculares (ver Yaglom,1962 o Kelly,1966). Después de
alguna experimentación, el autor se dirigió a generalizarlo con rectángulos y rombos
semejantes entre sí en los lados construidos en los lados como se muestra abajo (las
demostraciones son dadas en De Villiers,1996 y en prensa). En la Figura 6, EG es
siempre perpendicular a FH. Además KM es congruente con LN donde K, L, M y N son
los puntos medios de los segmentos de línea que unen vértices adyacentes de los
rectángulos semejantes como se muestra.
5
m FOG =90°
KM =7.51 cm
NL =7.51 cm
K
L
F
B
C
E
O
G
A
D
N
M
H
Figura 6: Generalización rectangular de Von Aubel
En la Figura 7, EG es siempre congruente con FH. Además KM es perpendicular a LN
donde K, L, M y N son los puntos medios de los segmentos de línea que unen los vértices
adyacentes de los rombos semejantes como se muestra. Por lo tanto la “intersección” de
estos dos resultados provee el teorema de Von Aubel.
m KOL =90°
FH =4.27 cm
EG =4.27 cm
L
K
F
C
B
E
G
O
D
A
N
H
M
Figura 7: Generalización rómbica de Von Aubel
Con sólo una breve lectura cuidadosa de algunos ejemplares recientes de revistas
matemáticas como el Mathematical Intelligencer, American Mathematical Monthly, The
Mathematical Gazette, Mathematics Magazine, Mathematics & Informatics Quarterly, etc.,
fácilmente se verifica la actividad y el interés incrementados en la geometría Euclidiana
tradicional. El matemático Crelle dijo una vez: “Es en verdad asombroso que una figura
6
tan simple como un triángulo es tan inagotable en propiedades”. ¡Quizá ésto aplica aun
más ampliamente a la geometría Euclidiana en general!
Algunos desarrollos en la educación de la geometría
LA TEORÍA DE LOS VAN HIELE
L
a teoría de los Van Hiele se originó en las disertaciones doctorales respectivas de
Dina van Hiele-Geldof y su esposo Pierre van Hiele en la University of Utrecht,
Holanda, en 1957. Desafortunadamente Dina murió poco después de completarla y
Pierre fue quien desarrolló y diseminó la teoría en publicaciones posteriores.
Mientras que la disertación de Pierre principalmente trataba de explicar por qué los
alumnos experimentaban problemas en la educación de la geometría (a este respecto era
explicativo y descriptivo), la disertación de Dina era sobre un experimento de enseñanza y
en ese sentido es más preceptivo con respecto a ordenar el contenido de la geometría y
las actividades de aprendizaje de los alumnos. La característica más obvia de la teoría es
la distinción de cinco niveles discretos de pensamiento con respecto al desarrollo de la
comprensión de la geometría por parte de los alumnos. Cuatro características importantes
de la teoría son resumidas como sigue por Usiskin (1982:4):
orden fijo - El orden en el cual los alumnos progresan a través de los niveles de
pensamiento es invariante. En otras palabras, un alumno no puede estar en un
nivel n sin haber pasado por el nivel n-1.
adyacencia - Cada nivel de pensamiento que era intrínseco en el nivel precedente
se convierte en extrínseco en el nivel actual.
distinción - Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su propia red de
relaciones que conectan estos símbolos.
separación - Dos personas que razonan a niveles diferentes no pueden entenderse
entre sí.
La razón principal del fallo del curriculum de geometría tradicional fue atribuido por los
Van Hiele al hecho de que el curriculum era presentado en un nivel más alto al de los
alumnos; ¡en otras palabras, ellos no podían entender al profesor ni podría éste entender
por qué ellos no podían entenderlo! Si bien la teoría de los Van Hiele distingue entre cinco
niveles diferentes de pensamiento, nos enfocaremos aquí en los primeros cuatro niveles
ya que son los más pertinentes para la geometría de nuestra escuela secundaria. Las
características generales de cada nivel pueden ser descritas como sigue:
Nivel 1: Reconocimiento
Los alumnos reconocen visualmente figuras por su apariencia global. Reconocen
triángulos, cuadrados, paralelogramos y otros por su forma, pero no identifican
explícitamente las propiedades de estas figuras.
Nivel 2: Análisis
Los alumnos empiezan a analizar las propiedades de las figuras y aprenden la
terminología técnica apropiada para describirlas, pero no relacionan las figuras
entre sí o las propiedades de las figuras.
Nivel 3: Orden
Los alumnos ordenan lógicamente las propiedades de las figuras en cadenas cortas
de deducciones y entienden las relaciones entre figuras (p.ej. inclusiones de
clases).
7
Nivel 4: Deducción
Los alumnos empiezan a desarrollar secuencias más largas de enunciados y
empiezan a entender el significado de la deducción, del papel de los axiomas, los
teoremas y la demostración.
Las diferencias entre los tres primeros niveles pueden ser resumidas como se muestra
en la Tabla 2 en términos de los objetos y la estructura del pensamiento de cada nivel.
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Objetos del
pensamiento
Figuras individuales
Clases de figuras
Definiciones de clases de
figuras
Estructura del
pensamiento
Reconocimiento visual.
Reconocimiento
de Formulación
propiedades
como observación
características de clases. relaciones lógicas.
Ejemplos
• Los paralelogramos van
todos
juntos
porque
“parecen lo mismo” • Los
rectángulos y rombos no
son
paralelogramos
porque “no lucen como
uno”.
Ordenamiento visual.
Un paralelogramo tiene: •
•
4
lados
ángulos
opuestos iguales • lados
opuestos iguales • lados
•
opuestos
paralelos
diagonales
que
se
bisectan,
etc.
Un
rectángulo no es un
paralelogramo dado que
un
rectángulo
tiene
ángulos de 90º y un
paralelogramo no.
y
de
Lados opuestos iguales
implica lados opuestos
•
paralelos
lados
opuestos
paralelos
implica lados opuestos
•
iguales
ángulos
opuestos iguales implica
lados opuestos iguales •
diagonales
que
se
bisectan
implica
una
simetría de medio giro.
Tabla 2
Con el uso de entrevistas basadas en tareas, Burger y Shaughnessy (1986)
caracterizaron los niveles de pensamiento de los alumnos en los primeros cuatro niveles
más completamente como sigue:
Nivel 1
(1) Uso frecuente de propiedades visuales irrelevantes para identificar, comparar,
clasificar y describir figuras.
(2) Usualmente hay referencias a prototipos visuales de figuras y se es fácilmente
engañado por la orientación de las figuras.
(3) Una incapacidad en pensar en una variedad infinita de un tipo en particular de
figura (p.ej. en términos de orientación y forma).
(4) Clasificaciones inconsistentes de figuras; por ejemplo, usando propiedades no
comunes o irrelevantes para ordenar figuras.
(5) Descripciones (definiciones) incompletas de figuras por la visualización de
condiciones necesarias (frecuentemente visuales) como condiciones suficientes.
Nivel 2
(1) Una comparación explícita de figuras en términos de sus propiedades
fundamentales.
(2) Se evita el uso de inclusiones de clases entre diferentes clases de figuras, p.ej.
los cuadrados y los rectángulos son considerados separados.
(3) Ordenamiento de figuras en términos de sólo una propiedad, por ejemplo,
propiedades de los lados, mientras otras propiedades como simetrías, ángulos y
diagonales, son ignoradas.
(4) Exhibición de un uso no económico de las propiedades de las figuras para
describirlas (definirlas), en lugar de sólo usar las propiedades suficientes.
8
(5) Un rechazo explícito a las definiciones proporcionadas por otras personas, p.ej.
un profesor o un libro de texto, en favor de sus propias definiciones personales.
(6) Un acercamiento empírico para establecer la verdad de un enunciado; p.ej. el
uso de observaciones y mediciones con base en varios dibujos.
Nivel 3
(1) La formulación de definiciones correctas y económicas de figuras.
(2) Una capacidad para transformar definiciones incompletas en definiciones
completas y una aceptación y uso más espontáneo de definiciones para nuevos
conceptos.
(3) La aceptación de diferentes definiciones equivalentes para el mismo concepto.
(4) La clasificación jerárquica de figuras, p.ej. cuadriláteros.
(5) El uso explícito de la figura lógica “si… entonces” en la formulación y manejo de
conjeturas, además del uso implícito de reglas lógicas tales como el modus
ponens.
(6) Una falta de certeza y claridad con respecto a la función respectiva de los
axiomas, las definiciones y la demostración.
Nivel 4
(1) Una comprensión de la función respectiva de los axiomas, las definiciones y la
demostración.
(2) Conjeturación espontánea y esfuerzo auto-iniciado para verificarlas
deductivamente.
LA INVESTIGACIÓN RUSA EN LA EDUCACIÓN DE LA GEOMETRÍA
La geometría ha formado siempre una parte extremadamente prominente en el
curriculum Ruso de matemáticas en los siglos XIX y XX. Esta tradición memorable fue
influenciada sin duda por (y ayudada por) los logros de varios geómetras Rusos famosos
de los dos siglos anteriores. Tradicionalmente el curriculum Ruso de geometría consistía
en dos fases, a saber, una fase intuitiva para los Grados 1 al 5 y una fase de
sistematización (deductiva) desde el Grado 6 (12/13 años de edad).
Al final de los 60’s los investigadores Rusos (Soviéticos) emprendieron un análisis
amplio tanto de la fase intuitiva como de la de sistematización a fin de intentar y encontrar
una respuesta a la perturbante cuestión de por qué los alumnos que estaban haciendo un
buen progreso en otras asignaturas escolares, mostraban un progreso pequeño en
geometría. En su análisis, la teoría de los Van Hiele jugó un papel principal. Por ejemplo,
se encontró que al final del Grado 5 (antes de continuar con la fase de sistematización
que requiere al menos una comprensión del Nivel 3) sólo el 10-15% de los alumnos
estaban en el Nivel 2. La razón principal para ésto fue la atención insuficiente a la
geometría en la escuela primaria. Por ejemplo, en los primeros cincos años se esperaba
que los alumnos principalmente a través de actividades del Nivel 1 tuvieran conocimiento
de sólo alrededor de 12-15 objetos geométricos (y la terminología asociada). En
contraste, se esperaba que los alumnos en el primer tema tratado en el primer mes del
Grado 6 llegaran a conocer no sólo cerca de 100 objetos y terminología nueva, sino
también que manejaran una comprensión del Nivel 3. (O alternativamente, el profesor
tenía que intentar presentar nuevo contenido a 3 Niveles simultáneamente.) ¡No es de
extrañar que describieran el periodo entre los Grados 1 y 5 como un “prolongado periodo
de inactividad geométrica”!
Subsecuentemente los Rusos diseñaron un curriculum geométrico experimental muy
exitoso basado en la teoría de los Van Hiele. Encontraron que un factor importante fue la
secuenciación continua y desarrollo de conceptos desde el Grado 1. Como se reporta en
9
Wirszup (1976:75-96), el alumno promedio en el Grado 8 del curriculum experimental
mostraba la misma o mejor comprensión que sus contrapartes de los Grados 11 y 12 del
viejo curriculum.
EL CURRICULUM DE GEOMETRÍA EN LA ESCUELA PRIMARIA Y MEDIA
Los paralelismos entre la experiencia Rusa y la de Sudáfrica son obvias. Tenemos aún
un curriculum de geometría principalmente cargado en la escuela secundaria con
geometría formal, y con relativamente poco contenido dado informalmente en la escuela
primaria. (P.ej. ¿qué tanto sobre semejanza o geometría del círculo se ve en la escuela
primaria?) De hecho, es bien conocido que en promedio, el desempeño de los alumnos
en geometría métrica (Grado 12) es mucho peor que en álgebra. ¿Por qué?
La teoría de los Van Hiele proporciona una explicación importante. Por ejemplo, la
investigación de De Villiers y Njisane (1987) ha mostrado que alrededor del 45% de los
alumnos negros en el Grado 12 (Std 10) en KwaZulu han logrado sólo dominar el Nivel 2
o menos, ¡mientras que la investigación asumió el manejo al Nivel 3 y más! Niveles de
Van Hiele similarmente bajos entre alumnos de secundaria han sido encontrados por
Malan (1986), Smith y De Villiers (1990) y Govender (1995). En particular, la transición del
Nivel 1 al Nivel 2 representa problemas específicos a quienes aprenden un segundo
lenguaje, dado que involucra la adquisición de la terminología técnica con la cual las
propiedades de las figuras necesitan ser descritas y exploradas. Ésto requiere mucho
tiempo que no está disponible en el sobrecargado curriculum actual de secundaria.
Parece claro que ninguna cantidad de esfuerzo y métodos de enseñanza imaginativos
en la escuela secundaria serán exitosos, a menos que nos embarquemos en una revisión
amplia del curriculum de geometría de la escuela primaria de acuerdo a las líneas de los
Van Hiele. ¡De esta manera, el futuro de la geometría en la escuela secundaria depende
ultimadamente de la geometría en la escuela primaria!
En Japón, por ejemplo, los alumnos ya empiezan el Grado 1 con tangramas
extendidos, además de otras investigaciones planas y espaciales (p.ej. ver Nohda,1992).
Esto se lleva a cabo de manera continua en los años siguientes a fin de que en el Grado
5 (Std 3) estén ya tratando formalmente los conceptos de congruencia y semejanza,
conceptos que son introducidos hasta los Grados 8 y 9 (Stds 6 y 7) en Sudáfrica. No es
de extrañar que en los estudios comparativos internacionales de años recientes, los niños
de las escuelas Japonesas han sobrepasado constantemente en su desempeño a niños
de escuelas de otros países.
Aunque la introducción reciente de los teselados en nuestras escuelas primarias es
para ser grandemente bienvenida, muchos profesores y autores de libros de texto
parecen no entender su relevancia con respecto a la teoría de los Van Hiele. Si bien los
teselados tienen una gran atracción estética debido a sus patrones intrigantes y
artísticamente agradables, la razón fundamental para introducirlos en la escuela primaria
es que proporcionan un fundamento visual intuitivo (Van Hiele 1) para una variedad de
contenidos geométricos que después pueden ser tratados más formalmente en un
contexto deductivo.
Por ejemplo, en un teselado de patrón triangular como la que se muestra en la Figura
8, uno podría hacer a los alumnos las siguientes preguntas:
(1) Identifica y colorea las líneas paralelas.
(2) ¿Qué puedes decir de los ángulos A, B, C, D y E, y por qué?
(3) ¿Qué puedes decir de los ángulos A, 1, 2, 3 y 4, y por qué?
10
B
A
D
C
E
1
2
3
4
Figura 8: Visualización
En una actividad como ésa los alumnos se darán cuenta que los ángulos A, B, C, D y
E son iguales, dado que un medio giro del triángulo gris sobre el punto medio del lado AB
pone el ángulo A sobre el ángulo B, etc. De esta manera, los alumnos pueden ser
introducidos en un principio al concepto de “sierras” o “zig-zags” (ángulos alternos).
Similarmente, los alumnos se darían cuenta de que los ángulos A, 1, 2, 3 y 4 son iguales,
dado que la traslación consecutiva del triángulo gris en la dirección de los ángulos 1, 2, 3
y 4 pone el ángulo A sobre cada uno de estos ángulos. De esta manera, los alumnos
pueden ser introducidos inicialmente al concepto de “escaleras” (ángulos
correspondientes). Los alumnos deberían ser animados a encontrar diferentes sierras y
escaleras en el mismo u otros patrones de teselados para perfeccionar su capacidad de
visualización.
Dado que cada tesela tiene que ser idéntica y puede ser hecha para llenar
exactamente cada una de las demás por medio de traslaciones, rotaciones y reflexiones,
los alumnos pueden ser fácilmente introducidos al concepto de congruencia. Se les puede
también pedir a los alumnos que busquen diferentes formas en tales teselados, p.ej.
paralelogramos, trapecios y exágonos. Podrían ser alentados para buscar figuras más
grandes con la misma forma, introduciéndolos de esta manera al concepto de semejanza
(como se muestra en la Figura 8 con el sombreado de triángulos y paralelogramos
semejantes).
Los teselados también proporcionan un contexto conveniente para el análisis de las
propiedades de figuras geométricas (Van Hiele 2), así como de su explicación lógica (Van
Hiele 3). Por ejemplo, después de que los alumnos han construido un teselado de patrón
triangular como se ve en la Figura 9, uno podría pedirles cuestiones como las siguientes:
(1) ¿Qué puedes decir sobre los ángulos A y B con relación a D y E? ¿Por qué?
¿Qué puedes, por tanto, concluir de ésto?
(2) ¿Qué puedes decir sobre los ángulos F y G con relación a los ángulos H e I?
¿Por qué? ¿Por tanto, qué puedes concluir de ésto?
(3) ¿Qué puedes decir sobre el segmento JK con relación al segmento LM? ¿Por
qué? ¿Qué puedes, por tanto, concluir de ésto?
11
A
D
C E
B
F
H
E
C
D
I
B
A
G
J
K
L
M
Figura 9: Analizando
En el primer caso, los alumnos pueden ver que ∠A=∠D debido a que una sierra se
forma. Además, ∠B=∠E debido a una escalera. Entonces es fácil para ellos observar que
dado que los tres ángulos están en una línea recta, la suma de los ángulos del triángulo
ABC debe ser igual a un ángulo llano. También pueden observar que ésta es una verdad
en cualquier vértice, así como para cualquier tamaño de triángulo u orientación,
posibilitando la generalización. En el segundo caso, el teorema del ángulo exterior es
introducido y en el tercer caso, el teorema del punto medio. Tales análisis claramente son
sólo un pequeño paso lejano de las explicaciones geométricas estándares
(demostraciones); todo lo que necesitan ahora es algo de formalización. En la Figura 10
los tres niveles son ilustrados con el descubrimiento y explicación de que los ángulos
opuestos de un paralelogramo son iguales.
Y
X
X
1
X
Y
X
2
Y
Nivel 1: Reconocimiento de paralelogramos
Nivel 2: Uso de sierras y escaleras para
descubrir ángulos opuestos iguales
Nivel 3:
ángulo 1 = ángulo 2 (sierra)
ángulo 1 = ángulo x (escalera)
⇒ ángulo 2 = ángulo x
Figura 10: Tres niveles
Otro aspecto importante de la teoría de los Van Hiele es que enfatiza que las
actividades informales en los Niveles 1 y 2 deberían proveer “subestructuras
conceptuales” apropiadas para las actividades formales del siguiente nivel. He observado
frecuentemente a profesores y estudiantes para profesores que permiten a los alumnos
medir y sumar los ángulos de un triángulo para que descubran que suman 180°. Desde
una perspectiva de los Van Hiele ésto es totalmente inapropiado, ya que no proporciona
una subestructura conceptual conveniente en la cual la demostración formal esté incluida
implícitamente. En comparación, la actividad anterior del teselado proporciona claramente
tal subestructura. Similarmente, la actividad de medición de los ángulos de la base de un
triángulo isósceles es conceptualmente inapropiada, pero doblarlo sobre su eje de
simetría pone los fundamentos de una demostración formal posterior. Lo mismo se aplica
a la investigación de las propiedades de los cuadriláteros. Por ejemplo, es
12
conceptualmente inapropiado medir los ángulos opuestos de un paralelogramo para dejar
a los alumnos descubrir que son iguales. Es mucho mejor dejarlos darle un medio giro al
paralelogramo para encontrar que los ángulos opuestos (y los lados) quedan sobre los
otros, lo que se aplica a todos los paralelogramos y contiene las semillas conceptuales
para una demostración formal.
Recientemente tuve una conversación con un profesor, quien rápidamente desestimó
una introducción de un compañero profesor a los teselados en la que primero dejaba a
sus alumnos manipular pequeñas tarjetas con teselas. Este profesor sentía que eso
producía patrones desordenados, era poco efectivo y una pérdida de tiempo y que uno
debería empezar proporcionando a los alumnos sólo una rejilla cuadrada o triangular ya
hecha, y mostrarles cómo fácilmente ellos pueden dibujar patrones bien hechos de
teselados (ver Figura 11). Si bien tales rejillas son una forma útil y efectiva para dibujar
patrones bien hechos, conceptualmente es extremadamente importante para los alumnos
haber tenido primero experiencia previa en la manipulación de teselas, es decir rotando,
trasladando y reflejando las teselas a mano. El problema es que es posible dibujar
patrones de teselados en tales retículas sin una comprensión clara de las isometrías
subyacentes con las que se crean, y que se convierten en algo conceptualmente
importante para el análisis de las propiedades geométricas incluidas en los patrones.
Figura 11: Usando retículas
PROCESO VERSUS PRODUCTO EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
La distinción entre “procesos” y “productos” en la educación matemática es
relativamente vieja. Por un producto nos referimos aquí al resultado final de alguna
actividad matemática que le precede. En 1978, las Syllabus Proposals of MASA con
respecto al South African Mathematics Project establecían:
“El valor intrínseco de las matemáticas no sólo está en los PRODUCTOS de la actividad
matemática (es decir conceptos, definiciones, estructuras y sistemas axiomáticos pulidos),
sino también y especialmente en los PROCESOS de la ACTIVIDAD MATEMÁTICA que
inducen tales productos, p.ej. generalizaciones, reconocimientos de patrones, formulaciones
de definiciones, axiomatizaciones. Las versiones de los programas de estudio están
destinados a reflejar un énfasis incrementado en la actividad matemática genuina como
opuesta a la mera asimilación de productos terminados de tal actividad. Este énfasis está
particularmente reflejado en las varias secciones de geometría.” — MASA (1978:3)
Desafortunadamente, estas buenas intenciones, salvo por pocas escuelas, fueron
difícilmente implementadas a gran escala en las escuelas de Sudáfrica. Muchos
profesores y autores de libros de texto simplemente continuaron proveyendo a los
13
alumnos contenidos ya hechos que éstos tenían que meramente asimilar y regurgitar en
pruebas y exámenes.
La educación tradicional de la geometría de este tipo puede ser comparado con una
clase de cocina y repostería donde el profesor sólo muestra a los alumnos los pasteles (o
aún peor, sólo fotos de los pasteles) sin mostrarles qué va en el interior del pastel y cómo
se hace. ¡Además, no les está permitido intentar cocer por su propia cuenta!
La distinción entre algunos procesos y productos principales de la geometría formal
puede ser resumida como se muestra en la Tabla 3. Muchos productos formales
frecuentemente requieren una cantidad de procesos previos, algunos de los cuales han
sido indicados. El proceso de demostrar también tiene su propio producto, a saber una
demostración, que debería ser distinguido de un teorema, definición o axioma al que se
refiere.
Producto
Procesos
Axiomas
Axiomatización • demostrar
Definiciones
Formulación de definiciones • experimentación • demostrar
Teoremas
Encuentro y formulación de teoremas • experimentación •
refutación • encuentro de patrones • generalización •
particularización • visualización • demostrar
Clasificaciones
Clasificar
Tabla 3
Por limitaciones de espacio, aquí nos enfocaremos principalmente al manejo de
definiciones en el Nivel 3 de los Van Hiele. La enseñanza directa de las definiciones
geométricas sin énfasis en los procesos subyacentes de definición han sido
frecuentemente criticados tanto por los matemáticos como por los enseñantes de
matemáticas. Por ejemplo, ya en 1908 Benchara Blandford escribió (citado en Griffiths y
Howson,1974:216-217):
“A mí me parece un método radicalmente vicioso, ciertamente en geometría, sino es que en
otras asignaturas, suministrar a un niño definiciones ya hechas, para ser subsecuentemente
memorizadas después de ser más o menos explicadas. El desarrollo de una definición factible
para la propia estimulación de la actividad del niño por las cuestiones apropiadas, es tanto
interesante como altamente educativo.”
El bien conocido matemático Hans Freudenthal (1973:417-418) también criticó
fuertemente la práctica tradicional de proveer directamente definiciones geométricas
como sigue:
“… muchas definiciones no son preconcebidas sino hasta el toque final de la actividad
organizativa. El niño no debería ser privado de este privilegio... La buena instrucción de
geometría puede implicar mucho —aprendizaje para organizar una materia y aprendizaje de
qué se está organizando, aprendizaje para conceptualizar y de qué se está conceptualizando,
aprendizaje para definir y qué es una definición. Implica guiar a los alumnos a entender por
qué alguna organización, algún concepto, alguna definición es mejor que otra. La instrucción
tradicional es diferente. En vez de dar al niño la oportunidad de organizar experiencias
espaciales, la materia se ofrece como una estructura preorganizada. Todos los conceptos, las
definiciones y las deducciones son preconcebidas por el profesor, quien sabe cuál es su uso
con todo detalle —o mejor dicho, por el autor del libro de texto que ha construido
cuidadosamente todos sus secretos en la estructura.”
De nuestra discusión precedente de la teoría de los Van Hiele debe estar claro que la
comprensión de definiciones formales sólo se desarrolla hasta el Nivel 3, y que la
14
provisión directa de definiciones formales a los alumnos en un nivel menor estaría
condenada al fracaso. De hecho, si tomamos seriamente la teoría constructivista (es
decir, ese conocimiento simplemente no puede ser transferido directamente de una
persona a otra, y que el conocimiento significativo necesita ser activamente
(re-)construido por el que aprende), deberíamos siquiera en el Nivel 3 hacer que los
alumnos se ocuparan de actividades de formulación de definiciones y permitirles escoger
sus propias definiciones en cada nivel. Esto implica permitir los siguientes tipos de
definiciones significativas en cada nivel:
Van Hiele 1
Definiciones visuales, p.ej. un rectángulo es un cuadrilátero con todos sus ángulos
rectos y dos lados largos y dos cortos.
Van Hiele 2
Definiciones no económicas, p.ej. un rectángulo es un cuadrilátero con lados
opuestos paralelos e iguales, todos sus ángulos rectos, diagonales iguales,
simetría de medio giro, dos ejes de simetría que cortan lados opuestos, dos
lados largos y dos cortos, etc.
Van Hiele 3
Definiciones correctas y económicas, p.ej. un rectángulo es un cuadrilátero con dos
ejes de simetría que cortan lados opuestos.
Como se puede ver en los dos ejemplos de los Niveles 1 y 2 de los Van Hiele, las
2
definiciones espontáneas de los alumnos también tenderían a ser parciales, en otras
palabras, no permitirían la inclusión de los cuadrados en los rectángulos (por la
declaración explícita de que dos lados son largos y dos son cortos). En contraste, de
acuerdo a la teoría de los Van Hiele, las definiciones del Nivel 3 son típicamente
jerárquicas, que quiere decir que permiten la inclusión de los cuadrados en los
rectángulos, y no serían entendidos por alumnos de niveles menores.
La presentación de definiciones formales en los libros de texto es frecuentemente
precedidas por una actividad en la cual los alumnos tienen que comparar de forma tabular
varias propiedades de los cuadriláteros, p.ej. ver que un cuadrado, un rectángulos y un
rombo tienen todas las propiedades de un paralelogramo. Claramente el propósito es
prepararlos para las definiciones formales posteriores que son jerárquicas. (En otras
palabras, las definiciones dadas suministran la inclusión de casos especiales, p.ej. un
paralelogramo es definido a fin de incluir cuadrados, rombos y rectángulos.) Sin embargo,
la investigación reportada en De Villiers (1994) muestra que muchos alumnos, aun
después de hacer comparaciones tabulares y otras actividades, si se les da la
3
oportunidad, prefieren aún definir los cuadriláteros de manera parcial. (En otras palabras,
por ejemplo, ellos preferirían definir aún un paralelogramo como un cuadrilátero con
ambos pares de lados opuestos paralelos, pero no con todos sus ángulos y lados
iguales.)
Una aproximación constructivista no presentaría directamente a los alumnos
definiciones ya hechas, sino que les permitiría formular sus propias definiciones sin tener
en cuenta si son parciales o jerárquicas. Para entonces, discutiendo y comparando en la
clase las ventajas y desventajas relativas de estas dos diferentes formas de clasificación
y definición de los cuadriláteros (ambas son matemáticamente correctas), los alumnos
pueden ser guiados a darse cuenta de que existen ciertas ventajas en aceptar una
2
3
En el original: partitional. (N. del T.)
En el original: in partitions, que se traducirían como en particiones. (N. del T.)
15
clasificación jerárquica. Por ejemplo, si a los alumnos se les pide comparar las dos
definiciones siguientes de los paralelogramos, inmediatamente se dan cuenta que la
primera es mucho más económica que la segunda:
jerárquica: Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados
opuestos paralelos.
parcial: Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos
paralelos, pero no con todos sus ángulos y lados iguales.
En general, claramente las definiciones parciales son más largas dado que tienen que
incluir propiedades adicionales para asegurar la exclusión de casos especiales. Otra
ventaja de una definición jerárquica para un concepto es que todos los teoremas
demostrados para ese concepto automáticamente se aplican para sus casos especiales.
Por ejemplo, si demostramos que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre
sí, podemos concluir inmediatamente que también es verdadero para los rectángulos, los
rombos y los cuadrados. Si de cualquier modo, los clasificamos y definimos parcialmente,
tendríamos que demostrar separadamente cada caso, para los paralelogramos, para los
rectángulos, para los rombos y para los cuadrados, de que sus diagonales se bisectan
entre sí. Claramente ésto es muy poco económico. Parece claro que a menos de que el
papel y la función de una clasificación jerárquica sea discutida de manera significativa en
clase como se describe en De Villiers (1994), muchos alumnos tendrán dificultad en
comprender por qué sus definiciones intuitivas y parciales no son usadas.
EL EXPERIMENTO USEME
¿Es posible idear estrategias de enseñanza para enseñar procesos de definición y
axiomatización en los Niveles 3 y 4 de los Van Hiele? Ésto de hecho fue el foco del
University of Stellenbosch Experiment with Mathematics Education (USEME) realizado
con un grupo de control en 1977 y un grupo experimental en 1978 (ver Human y Nel et
al,1989a). El experimento fue propuesto para el nivel del Grado 10 (Std 8) e involucró a
19 escuelas en la Provincia de El Cabo. Mientras que la aproximación tradicional
básicamente se enfoca en el desarrollo de habilidades para hacer demostraciones
4
deductivas (especialmente los riders ), la aproximación experimental fue dirigida
principalmente al:
desarrollo de habilidades para construir definiciones formales y económicas de
conceptos geométricos.
desarrollo de la comprensión de la naturaleza y papel de los axiomas, las
definiciones y la demostración.
Lo siguiente es un ejemplo de uno de los primeros ejercicios sobre definiciones usado
en el acercamiento experimental (ver Human y Nel et al,1989b:21).
4
En Inglaterra los riders eran ejercicios o problemas difíciles (originales, usualmente teoremas) que se les
dejaba a cargo de los alumnos. N. del T.
16
EJERCICIO
1(a) Haz una lista de todas las propiedades comunes de las figuras de abajo. Mira los ángulos, lados
y diagonales y mídelos si es necesario.
(b) ¿Cómo son llamados estos tipos de cuadriláteros?
(c) ¿Cómo explicarías con palabras, sin hacer un dibujo, qué son estos cuadriláteros a alguien que
aún no los conoce?
La tendencia espontánea de casi todos los alumnos en (c) fue hacer una lista de todas
las propiedades descubiertas en (a); dando de esta manera una descripción (definición)
correcta, pero poco económica, de los rombos (sugiriendo con esto una comprensión del
Nivel 2). Esto lleva a los siguientes dos ejercicios que fueron destinados a guiarlos a
acortar sus descripciones (definiciones), por ejemplo:
EJERCICIO (continuación)
2. La dirección a la que está dirigida una carta es:
Sr. JH Nel
“Nelstevrede”
9 Venter Avenue
PO Box 48639
Stellenbosch
7600
(a) La dirección es innecesariamente larga. Da una versión acortada de la dirección y que aún así la
carta le llegue al Sr. Nel. (El correo en Stellenbosch es entregado en post boxes, o apartados
postales, además de direcciones en las calles.)
(b) ¿Existen otras versiones cortas de la dirección con la cual la carta aún le llegaría al Sr. Nel? Da
todas las versiones cortas que puedas. Todas deben ser lo más cortas posibles.
3(a) Construye tres rombos diferentes como quieras.
(b) Mira de nuevo la descripción verbal de los rombos que diste en 1(c). ¿Tu descripción es quizá
innecesariamente larga? Si es así, da una descripción más corta de los rombos y que
definitivamente aún te dé un rombo si construyeras una figura de acuerdo a la información en tu
17
descripción (corta): garantiza por tanto que tendrá todas las propiedades de un rombo, aun si
todas las propiedades no son mencionadas en tu descripción más corta.
(c) Da tres descripciones verbales cortas diferentes de los rombos.
(d) Intenta construir un cuadrilátero que no sea un rombo, pero que cumpla con las condiciones de
tu primera descripción (corta) en (b). Si lo puedes lograr, ¡tu descripción no es una descripción
precisa de los rombos! Verifica tus otras dos descripciones cortas de la misma forma.
Claramente aquí los alumnos eran llevados a acortar sus descripciones (definiciones)
de los rombos excluyendo algunas de sus propiedades. Por ejemplo, en 3(a) los alumnos
encontraron que no se necesita usar todas las propiedades para construir un rombo. Se
podría por ejemplo obtener uno construyendo todos los lados iguales. En (b) y (c) los
alumnos típicamente produjeron versiones más cortas, algunas de las cuales estaban
incompletas (¡particularmente si eran animados a hacerlas lo más cortas posible
prometiéndoles un premio!), por ejemplo: “Un rombo es una cuadrilátero con diagonales
perpendiculares”. Esta oportunidad suministra un contraejemplo y una discusión de la
necesidad de contener suficiente información en las descripciones (definiciones) de uno
para garantizar que alguien más sepa exactamente de qué figura se está hablando.
Con algún incentivo, los alumnos propusieron varias posibilidades diferentes. Además
se nota que en esta etapa no se esperaba que verificaran lógicamente sus definiciones,
sino por medio de la construcción y la medida precisa (en otras palabras, una actividad
típica del Nivel 2). Por ejemplo, se esperaba que los alumnos construyeran figuras como
las mostradas en la Figura 12 para evaluar definiciones como las siguientes:
(1) Un rombo es una cuadrilátero con todos los lados iguales.
(2) Un rombo es una cuadrilátero con diagonales perpendiculares y que se bisectan
entre sí.
(3) Un rombo es una cuadrilátero con diagonales que se bisectan entre sí.
(4) Un rombo es una cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos y un par
de lados adyacentes iguales.
(5) Un rombo es una cuadrilátero con diagonales perpendiculares y un par de lados
adyacentes iguales.
(6) Un rombo es una cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos y
un par de lados adyacentes iguales.
Figura 12: Construcción y medición
18
Psicológicamente, construcciones como éstas son extremadamente importantes para
la transición del Nivel 2 al Nivel 3. Ayudan a desarrollar una comprensión de la diferencia
entre una premisa y una conclusión y su relación causal; en otras palabras, de la
estructura lógica de una enunciado “si-entonces”. Cada uno de los enunciados de arriba
pueden ser lógicamente reescritos de esta forma. Por ejemplo, el último enunciado podría
reescribirse como: “Si un cuadrilátero tiene ambos pares de lados opuestos paralelos y un
par de lados adyacentes iguales, entonces es un rombo (es decir, tiene todos sus lados
iguales, diagonales que se bisectan, etc.)”. Smith (1940) reportó una mejora notable en la
comprensión de los alumnos acerca de los enunciados “si-entonces” al dejarlos hacer
construcciones para evaluar enunciados geométricos como sigue:
“Los alumnos vieron que cuando hicieron ciertas cosas al hacer una figura otras ciertas cosas
resultaron. Aprendieron a percibir la diferencia de categorías entre las relaciones que pusieron
en una figura —las cosas sobre las que tenían control— y las relaciones que resultaron sin
acción alguna de su parte. Finalmente, la diferencia entre estas dos categorías estaba
asociada con la diferencia entre las condiciones dadas y la conclusión, entre la parte de la
hipótesis y la parte de la tesis de la sentencia.”
Después de alguna exploración experimental de diferentes definiciones alternativas
para los rombos como la descrita arriba, los alumnos entonces fueron guiados a una fase
deductiva donde empezando de una definición tuvieron que verificar lógicamente si todas
las otras propiedades podían ser derivadas de aquélla (como teoremas). Entonces los
mismos ejercicios fueron repetidos para los paralelogramos. A la larga, fue explicado a
los alumnos sería confuso si todos usaran definiciones diferentes para los rombos y los
paralelogramos, y se acordó usar una sola definición de ahí en adelante para cada
concepto. (Note que el papel y la función de una clasificación jerárquica para los
cuadriláteros no estaba dirigida adecuadamente en el momento del experimento USEME,
y fue una de las razones para el estudio posterior reportado en De Villiers (1994).)
Un malentendido común entre los alumnos (e incluso entre algunos de sus profesores
y autores de libros de texto) es que los axiomas son verdades auto-evidentes, en vez de
puntos de inicio necesarios para un sistema matemático. Un objetivo importante del
proyecto USEME fue el de permitir a los alumnos entender la necesidad de las
definiciones y los axiomas proveyéndoles la experiencia de que no todas las
proposiciones en un sistema formal pueden ser demostradas sin caer en una circularidad,
y que consecuentemente uno tiene que aceptar ciertas proposiciones como puntos de
inicio (Nivel 4 de los Van Hiele). En vez de la presentación a los alumnos de un sistema
axiomático terminado, fueron primero ocupados en el proceso de sistematización como
sigue (ver Human y Nel et al,1989b:43). (Nota: Aunque los alumnos en este punto sabían
las propiedades de las líneas paralelas debido a una exploración informal, no había sido
dada una definición formal para las líneas paralelas ni se habían derivado cualquiera de
las propiedades. También habían sido previamente introducidos a la demostración como
un medio de explicación de varios riders interesantes.)
19
EJERCICIO
1. Intenta demostrar que si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los
ángulos alternos son iguales. Puedes hacer uso de nuestras otras suposiciones sobre líneas
paralelas (ángulos correspondientes iguales, ángulos co-internos suplementarios), además del
teorema que dice que cuando dos líneas rectas se intersectan, los ángulos opuestos son iguales.
2. En tu demostración del nº1 hiciste uso de ciertas suposiciones. Ahora intenta demostrar estas
suposiciones también.
3. Una vez más, en tus demostraciones del nº2 hiciste uso de suposiciones. Ahora haz un intento de
demostrar estas suposiciones también y continúa así hasta que hayas demostrado todas tus
suposiciones.
En el intento de contestar las cuestiones 1, 2 y 3, los alumnos inevitablemente arguyen
circularmente. Lo siguiente es un ejemplo:
1.
P 2
A
C
1
1
B
D
Q
∠Q1=∠P2 (ángulos correspondientes, AB // CD)
∠P1=∠P2 (ángulos directamente opuestos)
∴∠Q1=∠P1
Por tanto, los ángulos alternos son iguales.
2.
P 3
2
A
C
1
Q
B
D
∠Q1+∠P2=180º (ángulos internos, AB // CD)
∠P3+∠P2=180º (QP extendido forma una línea recta)
∴∠Q1=∠P3
Por tanto, los ángulos correspondientes son iguales.
20
3.
P
A
C
3 2
1
Q
B
D
∠P3+∠P2=180º (APB es una línea recta)
∠P3=∠Q1 (ángulos alternos, AB // CD)
∴∠Q1+∠P2=180º
Por tanto, la suma de ángulos internos del mismo lado de la transversal es 180º.
Figura 13: Un argumento circular
Estas series de demostraciones pueden ser esquemáticamente representadas como
se muestra en la Figura 13 y claramente ilustrar el argumento circular subyacente. El
problema es que no importa qué tanto lo intenten, inevitablemente van a parar a algún
tipo de circularidad. Si bien muchos alumnos al principio no reconocen el problema,
algunos ejercicios posteriores los alertan sobre el problema subyacente y de la
compresión de que es imposible demostrar todos los enunciados matemáticos o las
propiedades de los objetos matemáticos sin obtener un argumento circular. Entonces se
dieron cuenta de que uno tenía que aceptar una de estas propiedades como un
enunciado sin demostración (es decir, como una definición o axioma) para evitar una
circularidad.
La investigación comparativa en la conclusión del experimento USEME indicó que los
grupos experimentales no sólo habían avanzado sustancialmente en su habilidad para
definir objetos geométricos conocidos y desconocidos (económicamente correctos), sino
que habían desarrollado una comprensión más profunda de la naturaleza de los axiomas,
además de una habilidad para reconocer argumentos circulares y otros argumentos
inválidos (ver Human y Nel et al,1989a).
SOFTWARE PARA LA GEOMETRÍA DINÁMICA
El desarrollo de software para la geometría dinámica en años recientes es ciertamente
el desarrollo más emocionante en geometría desde Euclides. Aparte de volver a encender
el interés en algunas investigaciones básicas en geometría, se ha revitalizado la
enseñanza de la geometría en muchos países donde la geometría Euclidiana estaba en
peligro de ser tirada al cubo de basura de la historia. Por ejemplo, recientemente alguien
hizo la declaración en el International Congress on Mathematical Education (ICME) en
España (julio de 1996) que la geometría dinámica había salvado el curriculum de
geometría en los Estados Unidos.
21
Como hemos visto antes, una de las principales razones del desempeño pobre de los
alumnos en geometría puede ser encontrado en términos de la teoría de los Van Hiele.
Por ejemplo, muchos alumnos no han desarrollado habilidades de visualización que son
un prerrequisito importante para el éxito en geometría. Además, los alumnos son
introducidos demasiado temprano a la geometría formal sin permitir la suficiente
exploración experimental de las propiedades de las figuras y la introducción gradual a la
terminología formal apropiada.
En el pasado, muchos profesores han permitido simplemente la exploración informal
de las relaciones geométricas a través de la construcción y la medición con papel-y-lápiz,
dado que consumen mucho tiempo (y son relativamente inexactas). (Claro está, existen
también aquellos profesores que desde una posición filosófica formalista extrema,
desatienden cualquier forma de trabajo experimental en matemáticas.) Otro problema es
que tales figuras construidas son “estáticas”, uno o tiene que redibujar la figura o ser
capaz de visualizar cómo podría cambiar de forma.
Esto no obstante ha cambiado totalmente ahora con el desarrollo de algunos paquetes
de software sofisticado para geometría. Uno de los primeros paquetes de tal “estado del
arte” en ser producido fue Cabri-Geometry, un programa Francés que fue presentado
primeramente a la comunidad internacional de Educación Matemática en la conferencia
de Budapest en 1988. Desde entonces otros paquetes similares han sido desarrollados,
por ejemplo, The Geometer’s Sketchpad por una compañía Norteamericana y con
asistencia de la National Science Foundation y el Visual Geometry Project del
Swarthmore College, EEUU.
Estos paquetes de software geométrico fueron diseñados con la intención específica
de poner a disposición del alumno o estudiante un ambiente de tipo micromundo para la
exploración experimental de la geometría elemental plana. En el pasado uno tenía que
dibujar las configuraciones geométricas en una hoja de papel, obteniendo una
representación más o menos exacta pero fija, limitando de esta manera severamente la
exploración. En estos paquetes de software las figuras geométricas pueden ser
construidas a través de acciones y en un leguaje que es muy cercano al usado en el
universo familiar de “papel-y-lápiz”. En contraste con las construcciones de papel-y-lápiz,
la geometría dinámica es precisa y es extremadamente rápida y fácil para realizar
construcciones complejas, y para modificarlas después.
Una vez creadas, estas figuras pueden ser redibujadas “arrastrando” sus elementos
básicos directamente en la pantalla y moviéndolas, mientras se mantienen las
propiedades que se les habían dado explícitamente. De esta manera uno puede cambiar
“continuamente” un triángulo, y por ejemplo notar que sus alturas siempre son
concurrentes durante la transformación. El software por tanto le permite a uno repetir
fácilmente experimentos con muchas orientaciones diferentes y verificar de esa manera
qué propiedades geométricas permanecen invariantes. De hecho, Cabri tiene un servicio
para verificar propiedades (sólo la versión para Macintosh), que puede verificar si ciertas
propiedades (p.ej. paralelismo, concurrencia, colinealidad, ortogonalidad, etc.) son
verdaderas en general, y si no lo son, puede construir contraejemplos.
Probablemente el servicio mejor recibido de la geometría dinámica es su potencial
para alentar (re-introducir) la experimentación y la “investigación” de tipo orientada de los
alumnos en geometría descrita por Luthuli (1996) y otros. En tal aproximación de tipo de
investigación, los estudiantes son inducidos tempranamente al arte de formular problemas
y permitir suficiente oportunidad para la exploración, la conjeturación, la refutación, la
reformulación y la explicación como se bosqueja en la Figura 14 (comparar con
22
Chazan,1990). El software para geometría dinámica alienta fuertemente este tipo de
pensamiento de tal manera que no sólo implica fuertemente la verificación de conjeturas
verdaderas, sino también es extremadamente valuado para la construcción de
contraejemplos de conjeturas falsas.
Figura 14: Investigación del alumno en geometría
Sin embargo, el desarrollo de la geometría dinámica también ha necesitado de un
cambio radical en la enseñanza de la demostración. Tradicionalmente, la aproximación
típica a la geometría había sido siempre intentando y creando dudas en las mentes de los
alumnos sobre la validez de sus observaciones empíricas, y por ello intentando motivar
una necesidad de las demostración deductiva. Por experiencia, estas estrategias de
suscitar dudas a fin de crear una necesidad por la demostración es simplemente no
exitosa cuando las conjeturas geométricas han sido minuciosamente investigadas a
través de su variación continua con software dinámico como Cabri o Sketchpad. Cuando
los alumnos son capaces de producir numerosas configuraciones correspondientes fácil y
rápidamente, entonces simplemente no tienen (o tienen muy poca) necesidad de una
mayor convicción/verificación.
Aunque los alumnos pueden no exhibir una necesidad mayor para la convicción de
tales situaciones, el autor ha encontrado relativamente fácil suscitar más curiosidad
preguntándoles por qué piensan que un resultado particular es verdadero; es decir,
desafiándolos para que lo intenten y lo expliquen (ver también De Villiers,1990;1991;
Schumann y De Villiers,1993). Rápidamente los alumnos admiten que la verificación
inductiva meramente confirma; lo cual no da un sentido satisfactorio de iluminación; es
decir, una idea o comprensión en cómo es una consecuencia de otros resultados
familiares. Los alumnos por tanto lo encuentran bastante satisfactorio entonces viendo un
argumento deductivo como un intento de explicación, más que una verificación.
Particularmente efectivo aparecen para ser presentado tempranamente a los alumnos
los resultados donde el suministrar explicaciones (demostración) posibilita
generalizaciones sorprendentes (usando la demostración como un medio de
descubrimiento). Más que un enfoque unilateral de la demostración como un medio de
verificación en geometría, se muestra que otras funciones de la demostración tales como
la explicación y el descubrimiento deberían ser efectivamente utilizadas para introducir a
la demostración como una actividad significativa para los alumnos.
23
Lo siguiente es un ejemplo de una posible hoja de trabajo en este sentido tomada de
De Villiers (1995a):
HOJA DE TRABAJO
(a) Construye un romboide dinámico usando las propiedades de los romboides que se exploraron y
discutieron en nuestras lecciones previas.
(b) Verifica el romboide para asegurar que es dinámico, es decir, ¿siempre permanece como
romboide sin importar cómo transformes la figura? Compara tu(s) construcción(es) con las de
tus compañeros —¿son iguales o diferentes?
(c) Construye ahora los puntos medios de los lados y conecta los puntos medios de los lados
adyacentes para formar un cuadrilátero inscrito.
(d) ¿Qué notas sobre el cuadrilátero inscrito realizado de esta manera? (Haz algunas medidas para
verificar tus observaciones.)
(e) Enuncia tu conjetura.
(f) Arrastra cualquier vértice de tu romboide y déjalo en una nueva posición. ¿Ésto confirma tu
conjetura? Si no, ¿puedes modificar tu conjetura?
(g) Repite el último paso varias veces.
(h) ¿Tu conjetura es verdadera también cuando tu romboide es cóncavo?
(i) Usa el verificador de propiedades del Cabri para verificar si tu conjetura es verdadera en
general.
(j) Enuncia tu conclusión final. Compara con tus compañeros —¿es la misma o es diferente?
(k) ¿Puedes explicar por qué es verdadera? (Trata de explicarlo en término de otros resultados
geométricos ya conocidos. Pista: construye las diagonales de tu romboide. ¿Qué notas?)
(l) Compara tu(s) explicación(es) con las de tus compañeros. ¿Concuerdas o no con sus
explicaciones? ¿Por qué? ¿Cuáles explicaciones son las más satisfactorias? ¿Por qué?
A
A
E
H
H
E
D
B
D
B
G
F
G
F
C
C
Figura 15: Explicación y descubrimiento
Formulación
Los segmentos de línea que conectan consecutivamente a los puntos medios de los
lados adyacentes del romboide forman un rectángulo.
24
Explicación deductiva
Un análisis deductivo muestra que el cuadrilátero inscrito es siempre un rectángulo,
por la perpendicularidad de las diagonales de un romboide. Por ejemplo, de
acuerdo a una propiedad de los triángulos discutida previamente, tenemos que
EF//AC en el triángulo ABC y HG//AC en el triángulo ADC (ver la Figura 15a). Por
tanto EF//HG. Similarmente EH//BD//FG y por tanto EFGH es un paralelogramo.
Dado que BD⊥AC (propiedad de un romboide) también tenemos por ejemplo que
EF⊥EH, pero esto implica que EFGH es un rectángulo (un paralelogramo con un
ángulo recto es un rectángulo).
Retrospectiva
Nótese que la propiedad de los lados adyacentes iguales (o un eje de simetría a
través de un par de ángulos opuestos) no fue usada del todo. En otras palabras,
podemos inmediatamente generalizar el resultado a un cuadrilátero
perpendicular como se muestra en la Figura 15b. (Note que también es
verdadero para casos cóncavos y cruzados). Esto muestra el valor del entender
por qué algo es verdadero. Además, note que el resultado general no fue
sugerido por una verificación puramente empírica de la conjetura original. Incluso
una investigación sistemática y empírica de varios tipos de cuadriláteros
probablemente no habría ayudado a descubrir el caso general, dado que mucha
gente habría probablemente restringido su investigación a los cuadriláteros más
familiares como son los paralelogramos, los rectángulos, los rombos y los
cuadrados. (Nótese que de la explicación de arriba también podemos ver
inmediatamente que EFGH será siempre un paralelogramo en cualquier
cuadrilátero. ¡Verifique con Cabri o Sketchpad si lo desea!)
El lenguaje del profesor es particularmente crucial en esta fase introductoria de la
demostración. En lugar de decir lo usual:
“No podemos estar seguros que este resultado es verdadero para todas las variaciones
posibles, y por tanto tenemos que demostrarlo (deductivamente) para estar absolutamente
seguros.”
los alumnos (y los estudiantes) encuentran muchos más significativo si el profesor dice:
“Sabemos ahora que este resultado es verdadero de nuestra investigación experimental. Sin
embargo veamos ahora si podemos EXPLICAR POR QUÉ es verdadero en términos de otros
resultados geométricos ya conocidos. En otras palabras, cómo es consecuencia lógica de
estos otros resultados.”
Usualmente es necesario discutir algún detalle sobre lo que se quiere decir con
“explicación”. Por ejemplo, la observación habitual de que el sol sale todas las mañanas
claramente no constituye una explicación; sólo reconfirma la validez de la observación.
Para explicar algo, uno por tanto tiene que explicarlo en términos de algo más, p.ej. la
rotación de la tierra alrededor del eje polar. Similarmente, la observación usual que dice
que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º no constituye una explicación; a fin de
explicarlo, necesitamos mostrar cómo (por qué) es una consecuencia lógica de algunos
otros resultados que conocemos.
Por supuesto que la demostración tiene muchas otras funciones, p.ej. verificación,
sistematización, comunicación, descubrimiento, reto intelectual, etc., que también tienen
que ser comunicadas a los alumnos para hacer a la demostración una actividad
significativa para ellos. De hecho, parece significativo introducir las funciones de la
demostración más o menos en la secuencia dada en la Figura 16. Es importante no
postergar indebidamente la primera introducción de la demostración como un medio de
25
explicación, ya que los alumnos podrían acostumbrarse a ver la geometría tan sólo como
una acumulación de hechos empíricamente descubiertos, y en la cual la explicación no
juega un papel. Por ejemplo, los alumnos incluso en el Nivel 1 de los Van Hiele podrían
fácilmente usar la simetría para explicar por qué ciertos resultados son verdaderos (p.ej.
por qué los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales). Aunque las otras
funciones pueden ser introducidas gradualmente según sea el progreso de los alumnos a
través de los niveles del 1 al 3, la función de sistematización debería, sin embargo, ser
postergada hasta que los alumnos hayan alcanzado al menos el Nivel 3 ó 4 de los Van
Hiele. (Ejemplos de actividades dirigidas a algunos funciones son dadas en De Villiers
(1995b)). La función de comunicación está, por supuesto, presente todo el tiempo como
el profesor necesite para negociar continuamente con los alumnos los criterios para
determinar qué constituye una explicación, una demostración, etc.
Figura 16: Enseñando las funciones de la demostración
La naturaleza dinámica de las figuras geométricas construidas en Sketchpad o en
Cabri pueden además hacer la aceptación de una clasificación jerárquica de los
cuadriláteros menos problemática que en este momento. Por ejemplo, si los alumnos
construyen un cuadrilátero con lados opuestos paralelos, entonces notarán que podrían
fácilmente arrastrarlo hacia la forma de un rectángulo, un rombo o un cuadrado como se
muestra en la Figura 17. Mayores investigaciones en esta área en particular debería ser
de gran valor.
D
C
A
B
D
A
C
B
D
C
A
B
D
C
A
B
Figura 17: Transformaciones dinámicas de un paralelogramo
La habilidad para transformar rápida y eficientemente configuraciones geométricas con
el software para geometría dinámica también le permite a uno modelar efectivamente
situaciones del mundo real y problemas de dibujos con escalas dinámicas. Esto por tanto
viene a hacer posible el darle a los alumnos problemas mucho más complicados del
mundo real para resolver. Algunos ejemplos son dados en De Villiers (1994b). Estos
paquetes de software también tienen facilidades para trazar lugares geométricos de
ciertos objetos, p.ej. puntos. Esta facilidad podría ser usada fácilmente, no sólo en
muchos contextos del mundo real, sino hace también viable introducir y estudiar las
cónicas como lugares geométricos (a la manera clásica de los Griegos) en lugar de
tratarlas puramente algebraicamente como en los programas de estudio presentes.
26
Comentarios de conclusión
que cuáles son algunos de los cambios cruciales necesarios en la geometría en la
¿Asíescuela
secundaria al acercarnos al año 2000? Básicamente los cambios pueden
ser resumidos como cambios en el contenido, en los procesos y en la educación de
los profesores. En términos del contenido existe una necesidad de actualizarlos
incluyendo posibles contenidos tales como los fractales, la teoría de gráficas, las
transformaciones, la geometría no-Euclidiana, etc., en varios grados y en varios niveles
de formalidad. En particular, el estudio de las transformaciones podría tomar la forma de
una valiosa línea dorada a través del curriculum completo, y en la escuela secundaria
muestra la poderosa integración del álgebra y la geometría (ver De Villiers,1993). Sin
embargo, incluso antes de cualquier cambio en la escuela secundaria, muchos cambios
son necesarios en nuestro curriculum geométrico de primaria. Aparte de contenidos tales
como teselados, geometría visual y tridimensional como es descrito por Van Niekerk
(1995, 1996) y Witterholt y Heinneman (1995), es absolutamente esencial para el
desarrollo de habilidades de visualización y de orientación espacial, no sólo para la
geometría formal posterior, sino también para posteriores estudios de carpintería,
herrería, arquitectura, arte gráficas por computadoras, diseño en ingeniería, etc. También
un uso mayor podría ser realizarse de dibujos a escala más precisos para resolver
problemas complicados del mundo real, y para desarrollar un entendimiento intuitivo del
proceso de modelación. Estos cambios también tienen que ser contextualizados
significativamente
en
diferentes
contextos
geográficamente,
culturalmente,
lingüísticamente, etc.
Sin embargo, quizá aún más importante que los cambios en el contenido geométrico,
necesitamos concentrarnos mucho más en la enseñanza y en el desarrollo de aspectos
procedurales de las matemáticas. Es necesario que sea reconocido que el contenido
geométrico debería no ser presentado de una manera ya hecha a los alumnos, sino que
ellos deberían (re)construirlo activamente en la clase. A fin de realizar tal cambio radical
en los objetivos, es necesario cambiar nuestros procedimientos de evaluación. Joubert
(1980) y De Vries (1980) han desarrollado, por ejemplo, diversos ejemplos de cómo uno
podría evaluar las habilidades para conjeturar, definir, axiomatizar, clasificar, leer
críticamente, refutar, etc. (ver por ejemplo Joubert,1988 y 1989).
Finalmente, es importante señalar que nada de lo anterior sería realizable sin cambios
radicales a los programas de educación de profesores a lo largo del país; tanto en
pre-servicio como ya en servicio. En particular, muchos profesores de escuela
secundaria, aun aquellos con buenas calificaciones, saben a duras penas algo más que
los alumnos a los que tienen que enseñar. La razón es simple: muchas instituciones
terciarias (con excepción de UPE) no enseñan más geometría en sus cursos
universitarios. Por tanto, es importante considerar seriamente la (re)introducción de la
geometría en los cursos terciarios para profesores de secundaria, no sólo Euclidiana, sino
diferentes tipos de geometría (compare con Baart,1992). Sin embargo, la educación de la
geometría de los profesores de escuela primaria necesita también una atención urgente.
Burger (1992), por ejemplo, ha propuesto un curriculum geométrico interesante para los
profesores de matemáticas de primaria basado en el modelo Van Hiele que podría
proporcionar las bases para el desarrollo de un nuevo curriculum geométrico universitario.
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