Download Ejercicio nº 12 - Wiki 2010-11

1) Halla el valor de Xˆ , Yˆ , Zˆ en los siguientes polígonos regulares:
a.
El ángulo X̂ es el ángulo central del pentágono regular, por lo que
mide la quinta parte de 360º: X̂
360 º
5
72º
Para calcular Yˆ podemos hacer dos cosas:
o O bien trabajar con los triángulos que se forman con
los radios del círculo, los vértices y el centro del
pentágono:
o
O bien utilizar la relación entre ángulos centrales y
ángulos inscritos:
En cualquier caso Yˆ vale 108º
Y Ẑ forma junto a Yˆ un ángulo completo, es decir, 360º,
así que Zˆ
360º Yˆ
360º 108º 252º
b.
El ángulo X̂ es el doble del ángulo central de un heptágono, por
lo que mide: X̂
2·
360 º
7
720 º
7
102, 86º 102 º 51 ' 25,7 ' '
El ángulo Yˆ mide la mitad del ángulo central correspondiente, que abarca 5
5·
lados del heptágono, es decir: Ŷ
360 º
7
2
1800 º
14
900 º
7
128, 57 º
De nuevo el ángulo Ẑ forma junto al ángulo Yˆ un ángulo completo, por lo que
mide Zˆ
360º Yˆ
360º 128,57º 231, 43º
2) Sabiendo que el ángulo AOˆ B
94º , calcula cuánto miden los ángulos P̂ y
Q̂ :
Tanto P̂ como Q̂ son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco que
AOˆ B , así que ambos miden la mitad que AOˆ B , es decir, 47º.
3) En un libro de biología observamos el dibujo de una célula. Sabemos que su
díametro real es de 10 5 m y en el dibujo mide 4 cm.
a. Calcula la escala con la que ha sido dibujada.
Pasamos la medida real a centímetros: 10 5 m 10 5 ·102 cm
10 3 cm
Entonces, si 4 cm representan 10 3 cm , 1 centímetro representará
10 3
4
0,001
0,00025 cm
4
La escala es 1: 0,00025
b. Una pulga cuyo tamaño es de 2 mm, ¿cuánto medirá si la dibujas con la
misma escala?
En el dibujo medirá 2 : 0,00025 8000mm 800cm 8 m!
4)
a. Los triángulos APQ y ABC, ¿son semejantes? Razona la
respuesta.
Son semejantes porque están en posición de Tales.
Un razonamiento alternativo: son dos triángulos
rectángulos que comparten un ángulo (en el vértice A)
b. Calcula x BP .
La semejanza anterior implica la proporcionalidad de los
lados correspondientes (¡cuidado!, el lado que
corresponde a AP no mide x, pues AB=AP+PB)
8
8
x
6
15
8 ·15
6· 8 x
120
48 6 x
6x
5) Halla la altura de un triángulo equilátero de 3 cm. de lado.
Puro trabajo de libro de texto:
Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo
BCD:
h2
3 2 1,5 2
9 2,25
6,75
h
6,75
2, 6 cm
72
x
72
6
12
6) En una circunferencia de radio 12 cm. trazamos
una recta a 7 cm. de su centro. ¿Cuál es la
longitud de la cuerda que determina esta recta en
la circunferencia?
Una vez hecho el dibujo no es difícil:
Utilizamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo
OBM para calcular la longitud x, que es la mitad
de la cuerda solicitada:
x2
12 2
72
144 49
95
x
95
9,75
Por lo que la cuerda medirá 19,5 cm.
7) Conociendo las medidas de sus lados, di si los siguientes triángulos son
rectángulos, acutángulos u obtusángulos:
a. 20 cm., 29 cm. y 21 cm.
Observamos la relación entre la suma de los cuadrados de los lados
menores y el cuadrado del lado mayor:
29 2
841
20 2
400
2
441
21
400 441 841
Por lo que el triángulo es rectángulo.
b. 32 m, 24 m y 18 m.
Exactamente igual que en a:
32 2
576
2
324
24
18
1024
2
576 324
900 1024
Por lo que el triángulo es obtusángulo.
8) Halla el área de la siguiente figura:
Podemos descomponer la figura en dos
rectángulos y un triángulo:
o Área del rectángulo superior:
5,5·1 5, 5 cm 2
o
Área del rectángulo inferior:
1,5 · 3 4, 5 cm 2
o
Área del triángulo:
1, 5 ·1
2
o
0, 75 cm 2
En total: 5, 5 4, 5 0,75 10, 75 cm 2
9) Calcula el área de la parte sombreada, sabiendo que r = 0,5 cm. y R = 1,5 cm.
La figura está claramente compuesta por un rectángulo, dos coronas circulares
y una semielipse:
o Área del rectángulo:
3· 7
o
21cm 2
Área de la semielipse:
· 2 ·1,5
2
o
1,5 cm 2
4, 71 cm 2
Área de la corona circular:
· 1, 52
0, 52
· 2 cm 2 6,28cm 2
o En total: 21 4,71 2 · 6, 28 38, 27 cm 2
10) Halla el área de la parte sombreada:
La parte sombreada es la mitad de un cuadrado. Por una vez resulta útil
considerar el cuadrado como un rombo, pues conocemos la medida de las
diagonales y no la del lado. El área del cuadrado será, entonces:
5·5
2
25
2
12, 5 cm 2
Y el área de la parte sombreada:
12, 5
2
6, 25 cm 2
11) Las diagonales de un rombo miden 12 cm. y 16 cm. Halla el área de otro rombo
semejante al primero, cuyo perímetro sea igual a 1m.
Si calculamos los lados de ambos rombos podremos conocer la razón de
semejanza entre los dos:
o
o
Lado del primer rombo:
Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por las
semidiagonales y el lado
l 2 6 2 82 36 64 100 l 10cm
Lado del segundo rombo:
Como conocemos el perímetro, no puede ser muy difícil
o
100
4
25 cm
La razón de semejanza entonces es:
25
10
2,5
12 · 16
2
96 cm 2
o
Área del primer rombo:
o
o
Por lo que el área del segundo rombo será 96· 2, 52 96· 6,25 600cm 2
Podemos calcular el área del 2º rombo de un modo alternativo:
 Como la razón de semejanza es 2 ’5, las diagonales del 2º
rombo miden 16 · 2’5 = 40 cm. y 12 · 2’5 = 30 cm. y el área será:
40 · 30
2
1200
2
600 cm 2