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SEMINARIO DE JÓVENES PARA JÓVENES
“INVITACIÓN A LA MATEMÁTICA MODERNA”
EL SALVADOR 2012
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS EN
LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI USANDO EL
MODELO DE POINCARÉ
BR. DARWING JOSÉ MENA GUTIÉRREZ
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA
Contenido
Introducción ............................................................................................................................ 2
Conocimientos fundamentales ................................................................................................ 4
Construcciones con regla y compás ................................................................................... 4
Inversión ............................................................................................................................. 6
Circunferencias ortogonales ............................................................................................... 7
La geometría no euclidiana de Lobachevski ........................................................................ 10
El modelo de Poincaré ...................................................................................................... 10
Conceptos primitivos y definiciones ............................................................................ 10
Postulados ..................................................................................................................... 11
Construcciones en la geometría hiperbólica ......................................................................... 13
Primeras construcciones ................................................................................................... 13
Triángulos: sus rectas y puntos notables .......................................................................... 15
Cuadriláteros ..................................................................................................................... 17
Cónicas a través del círculo hiperbólico ........................................................................... 18
Bibliografía ........................................................................................................................... 19
Anexo ................................................................................................................................... 20
Br. Darwing Mena
1
INTRODUCCIÓN
Es conocido por muchos el quinto postulado de Euclides: “Si una recta que cae sobre dos
rectas forma con ellas ángulos interiores del mismo lado cuya suma sea menor que dos
rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán de lado un que la suma
de los ángulos sea menor que dos rectos”. Para muchos matemáticos este postulado
presento grandes retos ya que es muy extenso y no es tan claro, características con las que
debería contar un postulado.
Muchos intentaron demostrar que el postulado de las paralelas era un teorema y no un
postulado, pero fracasaron en el intento. Fue hasta 1733 que el padre jesuita italiano
Girolamo Saccheri (1667-1733) presentó una investigación científica llamada Euclides ab
omni nævo vindicacatus, pero se centró en que el postulado era un teorema y no pudo hallar
la contradicción que buscaba; no se imaginó que podían existir otras geometrías. Pasaron
treinta años hasta que apareció otro trabajo de gran importancia titulado Die Theorie der
Parallellinien, escrito por Johann Heinrich Lambert (1728-1777), que seguía la misma idea
de Saccheri, pero sus conclusiones no fueron satisfactorias. Un tercer intento de gran
importancia fue presentado por el italiano-francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en
sus Eléments de géométrie, aunque sin llegar a la demostración.
Luego de esto, los matemáticos Karl Friedrich Gauss (1777-1855) de Alemania, János
Bolyai (1802-1860) de Hungría y Nikolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856) de Rusia
trabajaron en el quinto postulado de Euclides considerando tres posibilidades: por un punto
dado que no esté en una recta pueden trazarse más de una, o únicamente una, o ninguna
paralela a otra dada, a estas por su equivalencia se les llamo la hipótesis de los ángulos
agudo, recto u obtuso. Estos tres matemáticos trabajaron en la hipótesis del ángulo agudo
que lograron obtener resultados importantes al pensar que esta puede ser compatible con
algunos postulados de la geometría euclidiana. Aunque todos aportaron la fama del
descubrimiento se le atribuye en mayor medida a Lobachevski por la prioridad en sus
publicaciones.
Sin lugar a dudas la geometría lobachevskiana ha demostrado ser de gran importancia para
las aplicaciones físicas; por ende descartarlas y no darles importancia sería un gran error.
No obstante los matemáticos se maravillan de las muchas geometrías que se han creado
desde la primera crisis de la matemática y de sus fundamentos, no viendo sus aplicaciones a
la vida diaria, sino mas bien desarrollando teorías que hagan más visible al mundo de esta
ciencia.
El presente documento presenta la geometría de Lobachevski desde el punto de vista de las
construcciones geométricas. Retomaré la frase de mi profesor de geometría no euclidiana:
“no se puede ver geometría sin construir la geometría”. Desde mi punto de vista son unas
palabras muy interesantes porque al escuchar por primera vez el nombre de “geometría no
euclidiana” parece que esta no fuera de este mundo. Podría decirse que se presenta este
artículo en el sentido en que Euclides utilizó las construcciones, esto es para “demostrar
que algunas entidades existen realmente”. La recomendación para este seminario es agarrar
regla y compás y realizar las construcciones presentadas.
Br. Darwing Mena
2
En Eves, 1969 se puede leer: “Los geómetras griegos de la antigüedad idearon un juego,
que podemos llamar solitario geométrico, el cual… debe estar realmente a la cabeza de
cualquier lista de juegos que pueden realizarse por una sola persona. Durante las diversas
épocas ha atraído multitud de jugadores y, aunque hayan pasado más de 2000 años,
parece que no ha perdido nada de estímulo y singular encanto.” Ahora el juego se ha
ampliado, ya que no sólo se trabajará con la geometría euclidiana sino que se presentaran
resultados en la geometría no euclidiana.
En la construcción no solo es necesario hacer la construcción sino que también hay que
justificar el hecho de que la construcción es correcta. Esta justificación no está dada en el
documento, pero es una propuesta el justificar el porqué de las construcciones dadas.
Br. Darwing Mena
3
CONOCIMIENTOS FUNDAMENTALES
Para el desarrollo de este material es necesario tener ciertos conocimientos de la geometría
euclidiana, como las definiciones básicas y las construcciones con regla y compás. A
continuación se presentas las construcciones de la geometría euclidiana que serán de mayor
utilidad en la construcción de la geometría de Lobachevski.
Con el fin de no hacer un documento extenso, se resumirán los pasos y se tratará de ir
tomando cierta notación que nos facilite un uso posterior.
Construcciones con regla y compás
No entraremos en detalles los fundamentos de las construcciones con regla y compás;
acerca del compás sólo diremos que nos ayuda a realizar circunferencias y transportar
distancias, y la regla euclidiana nos permite trazar todo lo que se desee de la recta
determinada por dos puntos dados.
Después de cada construcción, para decir que ha concluido utilizaremos el símbolo (■).
Algo importante que no se puede pasar por alto es que no sólo hay un camino para hacer
una construcción geométrica, por lo que en lo sucesivo queda la invitación a buscar
caminos alternativos para las construcciones dadas.
Mediatriz de un segmento
Definición: La mediatriz es el lugar geométrico de todos los
puntos que equidistan de dos puntos fijos.
Sea dado el segmento AB (Figura 1).
i. Se traza una circunferencia (o arco de circunferencia)
de centro A y radio r  AB 2 .
ii. Con el mismo radio r se traza otra circunferencia con
centro en B, quedando determinados los puntos C y D.
iii. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D , que es
la mediatriz buscada ■
Figura 1
Punto medio de un segmento
Definición: Sea el segmento AB . Si M  AB es tal que AM  MB , entonces M es el punto
medio de AB .
Sea dado el segmento AB (Figura 1).
i. Se traza la mediatriz del segmento AB
ii. Sea E la intersección de AB con la mediatriz CD .
iii. E es el punto buscado ■
Br. Darwing Mena
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Perpendicular dado un punto y una recta (segmento)
Aquí se presentan dos casos:
Primero, cuando el punto pertenece a la recta (Figura 2).
Sea dada la recta AB y un punto P que pertenece a la recta
i. Se traza una circunferencia de centro P y radio
r  0 , determinándose los puntos E y D sobre la
recta.
ii. Con centro en E trazar un arco de circunferencia a
un lado de AB , con un radio r1  EP
iii. Con centro en D trazar un arco de circunferencia de
radio r1 al mismo lado que el arco anterior,
determinándose el punto J.
iv. Se traza la recta que pasa por J y P, esta es la recta
perpendicular buscada ■
Figura 2
Segundo caso: cuando el punto no pertenece a la recta
(Figura 3). Sea dada la recta AB y un punto P que no
pertenece a la recta
i. Desde el punto P se traza una circunferencia que
corte a la recta en los puntos E y D.
ii. con centro en E y D trazamos circunferencias de
radio igual a la circunferencia anterior.
iii. Queda determinado el punto F.
iv. La recta buscada es la que pasa por P y F ■
Método alternativo. Dado un segmento (o rayo), construir
una recta perpendicular que pase por uno de sus extremos
(Figura 4).
Sea dado el segmento AB , se construirá la recta
perpendicular al segmento que pasa por B.
i. Se escoge un punto O que no pertenezca a la recta
AB de tal forma que al trazar la circunferencia con
centro en O y radio OB corte AB en el punto D.
ii. Se traza el diámetro de la circunferencia que pasa
por O, determinando el punto E.
iii. La recta que pasa por E y B es perpendicular al
segmento dado■
Figura 3
Figura 4
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5
Bisectriz de un ángulo
Definición: Sea el ángulo ∠BAC con vértice en A. La bisectriz es el rayo que divide al
ángulo en dos ángulos congruentes.
Dado el ∠BAC (Figura 5):
i. Se traza un arco de radio r  0 que corte a AB en E
y a AC en D.
ii. Con centros en C y D trazar arcos de circunferencias
de radio r  ED 2 que se corten en el punto P.
iii. La bisectriz del ángulo dado es el rayo con vértice
en A que pasa por P ■
Figura 5
Tangentes desde un punto a una circunferencia
Definición: Una recta tangente a una circunferencia es la
recta que toca a la circunferencia en un punto. Se puede demostrar que si una recta es
tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio que llega al mismo punto.
En esta construcción se deben entender dos casos, el primero que el punto sea exterior a la
circunferencia.
Sea dada una circunferencia de centro O y radio r, y un
punto P exterior a la circunferencia (Figura 6).
i. Se traza el segmento OP
ii. Se encuentra el punto medio de OP , que
denotaremos por M.
iii. Con centro en M se traza la circunferencia de radio
OM , quedando determinados los puntos A y B al
interceptar a la circunferencia dada.
iv. Las rectas PA y PB son las tangentes a la
circunferencia dada ■
Figura 6
En el caso de que el punto pertenezca a la circunferencia, se traza el radio del centro de la
circunferencia al punto dado y se construye una perpendicular por el punto dado.
Si el punto pertenece al interior de la circunferencia no se pueden trazar tangentes.
Inversión
Podría decirse que la inversión es el principal recurso en las construcciones con regla y
compas de la geometría lobachevskiana, que se expondrá en este documento; esto es por la
facilidad con la que se pueden construir circunferencias ortogonales.
Primero se da la definición de inversión y luego la construcción de del inverso de un punto;
las construcciones de la inversión de una recta o de una circunferencia se dejan para
investigación del lector.
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Definición: Sea O un punto en el plano y r una constante positiva distinta de cero. La
inversión respecto del punto O y de potencia r 2 es una transformación en la que la imagen
B de un punto A distinto de O es tal que los tres puntos son colineales y el producto de las
distancias OA  OB es igual a r 2 . Al punto O se le llama centro de inversión, a r se le llama
radio de inversión y a la circunferencia con centro en O y radio r se le llama circunferencia
de inversión.
Invertir un punto: Dado O (centro de inversión) y un punto A, construir la imagen de A si
la potencia de inversión es r 2 .
Primeramente veamos el caso en el que el punto A está dentro
de la circunferencia de inversión (Figura 7).
i. Trazamos la recta OA .
ii. Por A trazamos una recta m1

OA , quedando
determinados los puntos C y B al intersecar m1 con la
circunferencia de inversión.
iii. Trazamos el segmento OC .
iv. Por C trazamos una recta m2  OC , donde se
Figura 7
determina el punto A en la intersección de la recta
m2 con OA . El punto A es la imagen de la inversión de A, respecto de la
circunferencia de inversión ■
Ahora veamos el caso en el que el punto A está fuera de la circunferencia de inversión
(Figura 8).
i. Trazamos el segmento OA .
ii. Encontramos el punto medio de OA ,que llamaremos
M, por medio de la mediatriz de OA .
iii. Con centro en M y radio OM  MA , trazamos la
circunferencia c1 que corta a la circunferencia de
inversión en los puntos B y C.
iv. Trazamos el segmento BC que corta a OA por un
punto que llamaremos A . El punto A es el inverso
del punto A respecto a O y r ■
Figura 8
Circunferencias ortogonales
Definición: El ángulo de intesección de dos curvas en un punto que ellas tengan en común
es el ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto común.
Definición: Dos curvas son ortogonales si su ángulo de intersección es un ángulo recto.
Br. Darwing Mena
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De la definición anterior se sigue que un dos circunferencias son ortogonales si sus
tangentes en los puntos de intersección son perpendiculares.
Teorema. Toda circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión 1 de centro O y
radio r, es invariante en la inversión.
Demostración: Sea  2 una circunferencia ortogonal, de
centro O , a la circunferencia de inversión 1 (Figura 9).
Digamos que se intersecan en C. Como son ortogonales,
entonces los radios son perpendiculares y por tanto por la
potencia del centro de inversión respecto de  2 , se tiene
que para la secante OB , B 2 que corta a la
circunferencia  2 en A:
OA  OB  r 2
Figura 9
que es la definición de inversión. El punto B es cualquier
punto de  2 y A se escogió para que A2 y por tanto, para cualquier punto de la
circunferencia  2 su imagen estará en la misma circunferencia, por lo que concluimos que
 2 es invariante en la inversión (siempre que  2 sea ortogonal a 1 ) ▄
Siguiendo con las construcciones se tiene la siguiente construcción de relativa importancia
en las construcciones que se verán mas adelante.
Circunferencia ortogonal a una circunferencia dada que pase por un punto que no sea
el centro de la circunferencia dada.
Sea dada una circunferencia de centro O y un punto P
interior a la circunferencia (Figura 10).
i. Se invierte el punto P obteniéndose P .
ii. Se traza el segmento OP .
iii. Se traza una perpendicular a OP que pase por P.
iv. Sea A el punto de intersección de la perpendicular y
la circunferencia dada.
v. Se construye el punto medio del segmento AP ,
llamado B.
vi. La circunferencia de radio AB y centro B es la
Figura 10
circunferencia buscada ■
En el caso en que el punto sea exterior a la circunferencia dada se hace un proceso similar,
que se deja como ejercicio al lector.
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Circunferencia ortogonal a una circunferencia dada que pase por dos puntos
interiores a la circunferencia dada.
Sea dada la circunferencia de centro O y radio r, y los puntos A y B interiores a la
circunferencia (Figura 11).
i. Se construye el inverso del punto A, obteniéndose
A .
ii. Se construye el inverso del punto B, obteniéndose
B .
iii. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB ,
AA y BB .
iv. La intersección de las tres mediatrices determina
el punto O .
v. La circunferencia de centro O y radio r1  OA
es la circunferencia ortogonal a la circunferencia
Figura 11
dada ■
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LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA DE LOBACHEVSKI
Al igual que la geometría euclidiana y las distintas ramas de la matemática, la geometría de
Lobachevski se basa de conceptos primitivos, postulados, definiciones y teoremas que
ayudan a formar una teoría matemática.
H. Poincaré, propuso un modelo donde cumplen todos los axiomas de la geometría de
Lobachevski. Se puede demostrar que al usar el modelo de Poincaré, cada uno de los
postulados de la geometría plana lobachevskiana se convierten en teoremas en la geometría
euclidiana. De donde resulta que si existe una contradicción en los fundamentos de la
geometría de Lobachevski, esta tendría que existir en la geometría euclidiana.
Como se mencionaba anteriormente, no daremos las demostraciones de cada postulado
respecto de la geometría euclidiana, sino que se propone como ejercicio o para consulta en
la bibliografía. Nos centraremos en las construcciones; los postulados están para sustentar
nuestras construcciones.
Existen varios modelos para representar la geometría plana de Lobachevski, podemos
mencionar el modelo de Klein, el modelo de Poincaré en una circunferencia y el modelo de
Poincaré en un semiplano.
El modelo de Poincaré
Sea una circunferencia fija denotada por  en el plano euclidiano, llamada circunferencia
fundamental. Se entenderán los siguientes conceptos primitivos, definiciones y postulados.
Conceptos primitivos y definiciones




Punto: punto en el interior de  .
Recta: la parte interior a  de cualquier “circunferencia” (recta o circunferencia)
ortogonal a  .
Punto en una recta: este concepto es equivalente a tener “recta que pasa por un
punto” o “recta que contiene un punto”.
Punto entre dos puntos: interpretación evidente.
Definición: Longitud de un segmento AB  ln  AB, TS   ln  AT BT  BS AS  , donde
S y T son los puntos en que la “circunferencia” que contiene al segmento AB corta a  ,
siendo puestos S y T de modo que A quede entre S y B. Obsérvese que  AB, TS   1 , de
donde ln  AB, TS   0 . Aquí “ln” denota al logaritmo natural.
Definición: Medida de un ángulo entre dos rectas que se cortan es equivalente a la
medida en radianes del ángulo entre las dos “circunferencias” que contienen a las dos
rectas.
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

Segmentos congruentes: segmentos de igual longitud.
Ángulos congruentes: Ángulos de igual medida.
Postulados
Los postulados que se muestran a continuación se han obtenido a partir de del conjunto de
postulados de Hilbert para la geometría plana euclidiana, simplemente sustituyendo el
postulado de las paralelas.
GRUPO I:
Postulados de conexión
I-1. Hay una y sólo una recta que pasa por dos puntos distintos cualesquiera.
I-2. Toda recta contiene al menos dos puntos distintos y para cada recta hay al menos un
punto que no está en ella.
GRUPO II: Postulados de orden
II-1. Si el punto C está entre los puntos A y B, entonces A, B, C están todos en la misma
recta, y C está entre B y A, y B no está entre C y A, y A no está entre C y B.
II-2. Para dos puntos distintos cualesquiera, A y B, hay siempre un punto C que está entre
A y B, y un punto D que es tal que B está entre A y D.
II-3. Si A, B, C son tres puntos distintos cualesquiera que están en la misma recta, entonces
uno de los puntos está entre los otros dos.
II-4. (Postulado de Pasch) Una recta que corte a un lado de un triángulo pero que no pase
por ninguno de sus vértices tiene también que cortar a otro lado del triángulo.
GRUPO III: Postulados de congruencia
III-1. Si A y B son puntos distintos y si A es un punto que está en la recta m, entonces hay
dos y sólo dos puntos, B y B , que están en m tales que el par de puntos A, B sea
congruente con el par A, B y el par de puntos A, B sea congruente con el par A, B;
además, A está entre B y B .
III-2. Si dos pares de puntos son congruentes al mismo par de puntos, entonces son
congruentes entre sí.
III-3. Si el punto C está entre los puntos A y B y el punto C  está entre los puntos A y B ,
y si el par de puntos A, C es congruente al par A, C  y el par de puntos C, B es
congruente al C , B , entonces el par de puntos A, B es congruente al A, B .
III-4. Si BAC es un ángulo cuyos lados no están en la misma recta, y si A y B son dos
puntos distintos, entonces hay dos y sólo dos rayos distintos AC  y AC tales que el
ángulo BAC sea congruente al ángulo BAC y el ángulo BAC sea congruente al
BAC; además, si D es un punto que está en el rayo AC  y D es un punto en el rayo
AC , entonces el segmento DD corta a la recta determinada por A y B .
III-5. Todo ángulo es congruente a sí mismo.
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III-6. Si dos lados y su ángulo comprendido de un triángulo son congruentes,
respectivamente, a dos lados y su ángulo comprendido de otro triángulo, entonces
cada uno de los ángulos restantes del primer triángulo es congruente al ángulo
correspondiente del segundo triángulo.
GRUPO IV: Postulado de las paralelas
IV-1. Por un punto dado A que no esté en una recta dada m pasan al menos dos rectas que
no cortan a la recta m.
GRUPO V: Alternativo
V-1. Si los puntos de un segmento ordenado con origen A y extremo B se separan en dos
clases de modo que
1) cada punto de AB pertenezca a una y sólo una de las clases,
2) los puntos A y B pertenezcan a distintas clases (que llamaremos respectivamente,
primera y segunda clase),
3) cada punto de la primera clase precede a cada punto de la segunda.
Entonces existe un punto C en AB tal que todo punto que preceda a C pertenecerá a
la primera clase y todo punto que siga a C pertenecerá a la segunda clase.
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CONSTRUCCIONES EN LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA
En las siguientes construcciones será dada la circunferencia fundamental  , cuyo centro lo
denotaremos por H. Se empezará por construcciones de conceptos primitivos, postulados y
definiciones que serán de ayuda en construcciones posteriores. Para hacer diferencia entre
la geometría euclidiana e hiperbólica, se dirá qué tipo de trazo se está haciendo. En caso
que no se indique, se entenderá que es hiperbólico.
Primeras construcciones
Recta
Recordando definición de recta, se tiene que una recta es la
parte interior a  de cualquier “circunferencia” (recta o
circunferencia) ortogonal a  . Por tanto usando la
construcción vista en la primera parte, se tiene la
construcción de una recta que pase por dos puntos A y B
(Figura 12).
i. Se invierte A respecto de  , obteniéndose A .
ii. Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y
AA , determinándose el punto Lab
Figura 12
iii. Con centro en Lab , se traza el arco de circunferencia interior a  . Este es la recta
hiperbólica ■
El hecho de que en la definición “circunferencia” se encuentre entre comillas es el hecho de
que si los puntos A y B se encuentran en el diámetro de  , entonces ese diámetro resulta
ser la recta que pasa por los puntos A y B. De ahora en adelante llamaremos a la recta que
pasa por los puntos A y B como “ele recta a-b” y se usará Lab en su notación. Y Lab es la
notación para indicar el centro de la circunferencia que contiene a los puntos A y B.
Circunferencia
Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de
un punto fijo llamado centro.
Sea dada la circunferencia fundamental  con centro H, y los puntos O y A en el plano
hiperbólico. Se construirá la circunferencia hiperbólica de centro O y radio OA (Figura 13).
i. Se traza el segmento de recta euclidiano Loa .
ii. Se traza la recta euclidiana perpendicular al
segmento ALoa que pasa por el punto A.
iii. Se traza el segmento euclidiano OH y se determina
el punto O en la intersección con la recta
perpendicular.
iv. Con centro en O y radio OA se traza una
circunferencia euclidiana. Esta circunferencia es la
circunferencia hiperbólica de centro O y radio OA ■
Figura 13
Br. Darwing Mena
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Mediatriz de un segmento hiperbólico
Utilizando la definición que se dio para la geometría
euclidiana y un procedimiento similar que el que se uso en
la construcción de la mediatriz en la geometría de Euclides
se tiene que si es dado el segmento Lab en  (Figura 14):
i. Se traza el círculo hiperbólico con centro en B que
pase por A.
ii. Se traza el círculo hiperbólico con centro en A que
pase por B. La intersección de estos determina los
puntos C y D.
iii. Se traza Lcd , que es la mediatriz del segmento
buscado ■
Figura 14
Recta perpendicular a una recta Lab que pasa por un punto fuera de la recta Lab .
Sea dado un punto P interior a  que no pertenezca a la recta
dada Lab (Figura 15).
i. Se encuentra el inverso euclidiano de P respecto de  ,
encontrándose P .
ii. Se encuentra el inverso euclidiano de P respecto del
arco  AB  encontrándose P1 .
iii. Se trazan las mediatrices de PP y PP1 para
determinar el centro L p .
iv. Se traza L p , que es la recta buscada ■
Figura 15
Bisectriz de un ángulo hiperbólico.
En la construcción de un ángulo se puede proceder como en la geometría euclidiana, esto es
desde el “vértice” se trazan rayos por los puntos que limitan el ángulo.
Ahora sea dado el ángulo hiperbólico ∠BAC.
i. Se invierte euclidianamente el punto A, para
determinar A .
ii. Se determina la mediatriz euclidiana del AA .
iii. Dado que se tiene ∠BAC se pueden calcular los
puntos Lab y Lac . Se traza la bisectriz euclidiana del
∠LabALac.
iv. Se determina el punto Lza en la intersección de la
mediatriz y la bisectriz trazada.
v. Se traza un arco de circunferencia con centro en Lza
y radio ALza . Este último será la bisectriz buscada ■
Figura 16
De ahora en adelante el símbolo Lza nos indica la bisectriz hiperbólica con vértice en A.
Br. Darwing Mena
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Quinto postulado de Euclides
Es importante la construcción de la negación del quinto postulado de Euclides en la
geometría de Lobachevski. Recordándolo dice: “Por un punto dado A que no esté en una
recta dada m pasan al menos dos rectas que no cortan a la recta m”.
Adaptando un poco la notación que se ha visto se tendrá
que es dado la Lab y un punto P que no está contenida en la
recta, lo que se hará será construir dos rectas que no tengan
ningún punto en común Lab (Figura 17).
i. Se escoge un punto Q de forma que L pq no
interseque a la recta Lab ; entonces L pq es paralela a
Lab .
ii. Se traza la L ph , que en este caso resulta ser paralela
a Lab ; con esto queda probado la negación del
quinto postulado. Este último puede variar de
acuerdo a la posición del punto P respecto de la recta dada.
Figura 17
Triángulos: sus rectas y puntos notables
Primeramente se verá la definición de triángulo y luego se describirá su construcción,
similar con todas las construcciones siguientes.
Definición: Un triángulo es un conjunto de tres puntos no
colineales conectados por tres segmentos de línea. Cada
punto se denomina vértice y cada segmento se llama un
lado.
Sean dados tres puntos A, B y C no colineales en la
circunferencia fundamental.
i. Se construye Lab
ii. Se traza Lac
iii. Se traza Lbc , y con esto termina la construcción ■
Figura 18
a. Altura
Definición: Una altura de un triángulo es una línea a través de un vértice que es
perpendicular al lado opuesto de ese vértice.
Br. Darwing Mena
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Dado el triángulo ABC, construir la altura del triángulo que
respecto del punto B (Figura 19).
i. Se construye el segmento de recta Lhb que es
perpendicular a Lac que parte de un punto exterior a
ella (que se vio antes), este es la altura del triángulo
respecto del vértice B ■
Se tendrá la siguiente notación para las alturas, que el
símbolo Lhb es la altura del triángulo respecto del punto B.
Figura 19
Ortocentro
Equivalente a la geometría euclidiana, el ortocentro sería el punto donde se intersecan las
tres alturas del triángulo ABC. Surge una pregunta: ¿será que en la geometría no euclidiana
las tres alturas son concurrentes? Queda como ejercicio su
comprobación.
Dado el triángulo ABC (Figura 20).
i. Se construye la altura Lha
ii. Se construye la altura Lhb
iii. Se construye la altura Lhc . El punto de intersección
de los tres segmentos es el punto O, que es el
ortocentro■
Figura 20
b. Bisectriz
Con el concepto que se había visto antes de bisectriz de un ángulo, se trabaja de manera
similar para la bisectriz de un ángulo en un triángulo (Figura 21). Por ese motivo
trabajaremos con la siguiente construcción.
Incentro
Definiendo el incentro como el punto donde se intersecan
las tres bisectrices se tendrá que si es dado el triángulo ABC
(Figura 21), Entonces
i. Se construye la bisectriz Lza ; el centro de este no
aparece porque sería muy grande la imagen.
ii. Se construye la bisectriz Lzc .
Figura 21
iii. Se construye la bisectriz Lzb . El punto de
intersección de las tres bisectrices es el incentro ■
Recordando la geometría euclidiana, el incentro es el centro de la circunferencia inscrita en
el triángulo, de donde se deduce que es similar para la geometría hiperbólica. La
construcción del incírculo hiperbólico se ha puesto en los anexos.
Br. Darwing Mena
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c. Mediatriz
De igual manera que la bisectriz, ya se había hecho la
construcción de la mediatriz de un segmento; las
mediatrices de un triángulo son nada más las mediatrices de
tres segmentos. Lo sorprendente es que las tres mediatrices
son concurrentes en el punto llamado circuncentro.
Circuncentro
i. Trazar la mediatriz de Lab , determinada por los
puntos D y E por donde pasa la mediatriz.
ii. Trazar la mediatriz de Lbc , determinada por los
Figura 22
puntos K y J por donde pasa la mediatriz.
iii. Trazar la mediatriz de Lac , determinada por los puntos G y F por donde pasa la
mediatriz.
iv. En la intersección de las tres mediatrices, se obtiene el punto Q, que es el
circuncentro ■
En los anexos se muestra la construcción del circuncírculo, que es el círculo que pasa a
través de los tres vértices del triángulo, cuyo centro es Q.
d. Mediana
Como es de suponer la mediana de un triángulo se define
como el segmento que va del vértice al punto medio del
lado opuesto al vértice. Por eso para construir las tres
medianas primero hay que construir las mediatrices de los
lados para encontrar el punto medio de cada segmento.
Baricentro
Sea dado el triángulo ABC (Figura 23).
i. Se construyen las tres mediatrices para obtener los
puntos medios de los lados, esto es N, O y R.
ii. Se construyen los segmentos Lao , Lbn y Lcr que
son las tres medianas, el punto de intersección de las
tres medianas es el baricentro G ■
Figura 23
¿Será que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo hiperbólico? ¿O que cada
mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área?
Cuadriláteros
Definición: Dados cuatro puntos A, B, C, y D, de tal manera que todos están situados en el
mismo plano, pero cualesquiera tres no son colineales, si los segmentos Lab , Lbc , Lcd y
Lda se cruzan sólo en sus puntos finales, a su unión se le llama un cuadrilátero.
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Usando esta definición se puede decir que si cuatro puntos cumplen la definición anterior,
entonces sólo se construyen los cuatro segmentos que unen los vértices. Ahora se analizará
qué pasa con la construcción del cuadrado hiperbólico.
La Figura 24 fue hecha de la siguiente manera: dado el
segmento Lab , se pretende construir un cuadrilátero de la
siguiente manera
i. Se debe trazar el punto C de tal forma que ∠ABC=
π/2 y AB  BC ; esto es primero se busca una recta
perpendicular que pase por B y luego una
circunferencia de centro B que pase por A, esto
último para asegurar la misma longitud.
ii. De manera similar se traza el punto D, tal que
∠BCD=π/2 y BC  CD .
iii. El punto E debe cumplir con ∠CDE= π /2 y
Figura 24
CD  DE ■
¿Qué se observa? Si se realizara esta construcción en la geometría euclidiana, seguramente
la figura ABCD sería un cuadrado, pero en la geometría de Lobachevski la suma de los
ángulos interiores en un cuadrilátero es menor que 2 radianes, y como la suma que se dio
era igual a 2 la figura no cierra, esto es no tiene forma de cuadrilátero.
De manera similar queda la definición de otros polígonos en la geometría hiperbólica.
Queda la invitación a la construcción de diversas figuras euclidianas y sus equivalentes en
la geometría de Lobachevski.
Cónicas a través del círculo hiperbólico
Para finalizar se da una relación de las cónicas con un
círculo hiperbólico.
Primero se verá la construcción de una tangente hiperbólica
a un círculo hiperbólico.
Sea el centro en O y radio OA (Figura 25).
i. Se construye el circulo hiperbólico de centro en O y
radio OA; el centro euclidiano quedaría en O1 .
ii.
iii.
iv.
v.
Se traza el rayo euclidiano O1 A .
Figura 25
Se toma el inverso euclidiano de A respecto de  .
Se traza la mediatriz euclidiana del segmento AA .
La intersección de la mediatriz y el rayo nos da el punto Lta , que determina la recta
Lta . Esta es la recta tangente al círculo hiperbólico por el punto A ■
Br. Darwing Mena
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Las tangentes hiperbólicas se denotan como Lta , que
significa la recta tangente por el punto A. Aquí Lta es el
centro euclidiano del círculo que contiene a Lta .
En la Figura 26 se trazan varias rectas tangentes por los
puntos A, B, C, D, E y F, cuyos centros son Lta , Ltb , Ltc ,
Ltd , Lte y Ltf . Si se trazaran todos los centros euclidianos
de las tangentes, su lugar geométrico está contenido en
una cónica. ¿Podría decir bajo qué condiciones esta cónica
sería una hipérbola?
Figura 26
BIBLIOGRAFÍA
 Bonola, Roberto. Non-Euclidean Geometry: a Critical and Historical Study of its
Development. The Open Court Publishing Company. USA. 1912.
 Catellanos, Joel. Dan Austin, Joe. Darnell, Ervan. Interactive Constructions in
Hiperbolic Geometry. http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html
 Eves, Howard. Estudio de las Geometrías. Tomo 1. Unión Tipográfica Editorial
Hispano Americano. México.1969.
 Ivorra Castillo, Carlos. Geometría. http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
 Moise, Edwin E. Elementos de Geometría Superior. Cía. Editorial Continental.
México. 1968.
 Poenisch, Ricardo. Froemel, Enrique. Construcciones Planimétricas. Libro
Segundo. Soc. Imp. y Lito. Universo. Chile. 1938.
 Shively, Levi S. Introducción a la Geometría Moderna. Cía. Editorial Continental.
México. 1984.
Br. Darwing Mena
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ANEXO
[1] Postulados de construcción en los Elementos
En los Elementos de Euclides, los tres primeros postulados nos indican las construcciones
primitivas. Las demás construcciones deben componerse de estas.
a) Puede trazarse una recta de un punto a otro.
b) Una recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta.
c) Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y una distancia.
Cabe mencionar el hecho de que Euclides trató de evitar el uso del quinto postulado en sus
demostraciones y que la geometría de Lobachevski difiere del quinto postulado de la
geometría de Euclides, esto es, estos postulados son aplicables en la geometría hiperbólica
sin ningún temor.
[2] Construcción de la bisectriz hiperbólica, método general
Como es de suponer, el método visto
anteriormente en la construcción de
una bisectriz hiperbólica presenta
algunas dificultades; por eso este
método viene a resolver esos
problemas.
Sea dado el ángulo hiperbólico ∠
BAC y por ende los puntos Lab y Lac
(Figura de la derecha).
i. Se trazan los segmentos
euclidianos ALab y ALac .
ii. Se trazan las perpendiculares
tab y tac a ALab y ALac por el
punto A, respectivamente.
iii. Se traza la bisectriz euclidiana
ba , del ángulo formado por los
rayos tab y tac .
iv. Se traza la perpendicular euclidiana m respecto de ba , que pasa por el punto A.
v. Se encuentra el inverso euclidiano de A denotado por A .
vi. Se encuentra la mediatriz del segmento AA .
vii. La intersección de esta mediatriz con la recta m, genera al punto Lza .
viii.
El rayo Lza es la bisectriz buscada ■
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[3] Construcción del incírculo hiperbólico
i. Se construye el Incentro I del triángulo ABC.
ii. Desde I se traza un segmento perpendicular al lado AB (puede ser cualquiera de los
otros lados del triángulo), determinando el punto M en la intersección con AB
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iii. Se traza la circunferencia hiperbólica de centro I, que pase por M. Esta será tangente
a los tres lados y por tanto es el incírculo del triángulo ABC. El punto P es el centro
de la circunferencia euclidiana que pasa por M.
A continuación se muestra un acercamiento para observar detalles en esta construcción.
■
Se observa que Lcn es la bisectriz que pasa por I, mientras que Lim es el segmento
perpendicular a Lab . De aquí que el radio de la circunferencia hiperbólica es IM, no IN.
Br. Darwing Mena
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[4] Construcción del circuncírculo hiperbólico
i. Se construye el circuncentro hiperbólico Q del triángulo ABC.
ii. Se construye la circunferencia de centro Q y radio CQ. Esta sería el circuncírculo
hiperbólico del triángulo ABC.
■
Br. Darwing Mena
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