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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
La Geometría Elemental, conocida ya por el estudiante, se denomina también Geometría PURA
para distinguirla del presente estudio. Recordaremos que por medio de un sistema coordenado es
posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. Esto, como
veremos, nos permitirá aplicar los métodos del ANÁLISIS A LA GEOMETRÍA; y de ahí el
nombre de GEOMETRÍA ANALÍTICA. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por
ejemplo, como puede usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de
problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse
para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales.
El sistema de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometría Analítica, fue introducido por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes (1596 – 1650). Por esta razón, la
Geometría Analítica se conoce también con el nombre de GEOMETRÍA CARTESIANA. Por
la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de la Matemática, la introducción de la
Geometría Analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de la
Matemática.
En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente, era necesario aplicar un método
especial o un artificio, a la solución de cada problema; en Geometría Analítica, por el contrario,
una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un
procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener
siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría Analítica y que la solución de un
problema geométrico no se ha efectuado por Geometría Analítica si no se ha empleado un
sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es
trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. Esto es de particular importancia
en los primeros pasos de la Geometría Analítica, porque un defecto muy común del principiante
es que si el problema que se trata de resolver se le dificulta, está propenso a caer en los métodos
de la Geometría Pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para
adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.
La Geometría Analítica, una unión de la Geometría y del Álgebra, permite analizar ciertos
conceptos geométricos de manera algebraica e interpretar ciertas relaciones algebraicas de
manera geométrica. Los dos principales objetivos se centran en la graficación de ecuaciones
algebraicas y la determinación de ecuaciones de figuras geométricas útiles.
Dr. César Gallegos Mgs.
-1-
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
SISTEMAS DE COORDENADAS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS (EN EL PLANO)
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos del
plano cartesiano.
y
y2
P2
Queremos encontrar la distancia d entre P1 y
d
P2.Por P1 trazamos una paralela al eje x y por
P2 una paralela al eje y, cortándose éstas en M
como se indica en la figura.
P1
y1
M
x
Consideremos el triángulo rectángulo P1MP2.
x2
x1
Por el teorema de Pitágoras, tenemos:
d2 = (P1M)2 + (P2M)2
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
Pero: P1M = x2 – x1
P2M = y2 – y1
c
b
B
C
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
a
c2  a 2  b 2
d  (x 2  x1 ) 2  (y 2  y 1 ) 2
EJEMPLOS:

1.- Encontrar la distancia entre los puntos: P1
(– 4, 3) y P2 (4, –3). Si aplicamos la fórmula
de la distancia entre dos puntos tenemos:
P1
y



d  (x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )
2
d  ( 4  4 )  ( 3  3 )
2
-2-
x
2

2









d  64  36

d  100

d  10

P2
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.- Hallar la distancia entre los puntos (–3, 5) y (4, 7)

d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
d  (4  3)  (7  5)
2
y

2

d  49  4

d  53



x










DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UNA RAZÓN DADA
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de
un segmento P1 P2 y las coordenadas (x, y) de un
y
B2
P2
punto P que divide a este segmento en la razón
dada r  P1 P : P2 P .
B
B1
P
P1
Vamos a encontrar las coordenadas x e y del
x
punto P
A1 A
Por los puntos P1, P, P2, trazamos perpendiculares
A2
a los ejes coordenados, tal como en la gráfica.
Por Geometría elemental, las tres rectas paralelas
intersecan segmentos proporcionales sobre las dos
RECUERDE
Teorema:
Tres
rectas
paralelas
intersecadas por dos transversales,
determinan segmentos proporcionales en
dichas rectas
A
transversales.
Entonces:
P1 P
PP2

AA 2
Tenemos que:
PP
r 1
A1A = x – x1
PP2
Sustituyendo tenemos: r 
Dr. César Gallegos Mgs.
E
B
A1A
F
C
AA2 = x2 – x
D
AB DE

BC EF
x  x1
x2  x
-3-
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Resolviendo:
rx 2  x  x  x1  rx 2  rx  x  x1  rx 2  x1  x  rx  rx 2  x1  x1  r 
Por lo tanto:
x
x1  rx 2
1 r
Por un procedimiento semejante encontramos “y”, así tenemos:
y
y 1  ry 2
1 r
Caso especial:
Punto medio: (r = 1); en este caso las coordenadas de P son: x 
x1  x 2
y  y2
; y 1
2
2
Ejemplo:
1.
Si P1 (–3, 5) y P2 (7, –1), son dos puntos extremos del segmento P1P2. Hallar las coordenadas
de un punto P(x, y) que divide a este en una razón r = –2
x 1  rx 2  3   27   3  14


 17  x  17
1 r
1 2
1
Solución:
y  ry 2 5   2 1 5  2
y 1


 7  y  7
1 r
1 2
1
x
P (17, – 7)
REFUERZO Nº 1
Hallar el perímetro del cuadrado cuyos vértices son :(–3, –1); (0, 3); (3, 4); (4, –1).
Demostrar que los puntos (–1, 2); (6, 9); (13, 2) son los vértices de un triángulo isósceles.
Demostrar que los puntos (2, –2); (–8, 4); (5, 3) son vértices de un triángulo rectángulo y
hallar su área.
4. Demostrar que los tres puntos (12, 1); (–3, –2); (2, –1) son colineales es decir que están en
la misma recta.
5. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5); (7, 2); (4, –2) son los vértices de un cuadrado.
6. Los vértices de un triángulo son A (3, 8); B (2, –1); C (6, –1) si D es el punto medio del lado
BC calcular la longitud de la mediana AD.
7. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1); (3, 5); (11, 6); (9, 2) son los vértices de un
paralelogramo.
8. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (1, 2); (3, 4); (– 4, 0)
9. Los vértices de un triángulo son A (–1, 3); B (3, 5); C (7, –1) si D es el punto medio del lado
AB y E es el punto medio del lado BC demostrar que el segmento DE es la mitad de la
longitud del lado AC.
10. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3 demostrar que el punto medio de la hipotenusa
equidista de los tres vértices.
NOTA:
Realizar un gráfico para cada ejercicio.
1.
2.
3.
-4-
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
Una línea recta analíticamente, es una ecuación lineal de primer grado en dos variables.
Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer
grado en dos variables es una recta.
Una recta queda determinada completamente si se conoce dos condiciones, por ejemplo,
dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.
ÁNGULO DE INCLINACIÓN
Es el ángulo formado por la recta y la parte positiva
del eje de las X, cuando ésta se considera dirigida
hacia arriba.
Evidentemente, Ө puede tener cualquier valor
comprendido entre 0º y 180º; es decir, su intervalo
de variación está dado por:
'
0º ≤ Ө ≤ 180º

Para la mayor parte de los problemas de Geometría
analítica, emplearemos más la tangente del ángulo de
inclinación que el ángulo mismo. Según esto:
PENDIENTE
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta
y
P2
y2
m = tg 
a la tangente de su ángulo de inclinación.
P1
y1
Para deducir su ecuación, diremos que:

A
Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos de una recta,
entonces, su pendiente es: m 
y 2  y1
x 2  x1

x
x1
x2
DEMOSTRACIÓN:
m = tg 
m  tg 
Sustituyendo tenemos:
Dr. César Gallegos Mgs.
P2 A
P1 A
P2A = y2 – y1
m
P1A = x2 – x1
y 2  y1
, x1  x 2
x 2  x1
-5-
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
EJEMPLOS:
1. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (–2, 4).
y
y  y1
m 2
x 2  x1
6
43
22
1
m
4
5
m
P2 (2,4)
4
P1 (2,3)
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
2.
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y
(–2, 1).
 y

m
y 2  y1
1 1
0


0
x 2  x1
22 4


m0
x








(La recta es paralela al eje x)


8
3. Determine la pendiente de la recta
que pasa por los puntos P1 (2, –3 ) ; P2 (
2, 5 )
y
7
6
P2(2, 5)
5
m
4
y 2  y1 5  3 8

 
x 2  x1 2  2 0
3
2
Cualquier recta que coincida o sea
1
-6
-5 -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
paralela al eje Y será perpendicular al eje
-1
X, y su ángulo de inclinación será de 90º.
-2
Como Tg 90º no está definida, la
-3
-4
-6-
x
P1(2, -3)
pendiente de una recta paralela al eje Y
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no tiene
pendiente. Se recordará que ∞ no es un número.
4.
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 5) ; B ( -3, -1)
m
5.
y 2  y1  1  5  6 6
6



entonces m 
x 2  x1  3  2  5 5
5
Encontrar la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (–2, 1 ) ; P2 ( 2, –7 )
m
y 2  y1
71
8
8



 2
x 2  x 1 2  ( 2 ) 2  2
4
PARALELISMO Y PERPENTICULARIDAD
PARALELISMO Dos rectas L1 y L2 son paralelas, cuando tienen la misma pendiente, es
decir:
m1 = m 2
PERPENDICULARIDAD Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares cuando la pendiente de
la una es igual al recíproco de la otra cambiada de signo, es decir:
m1  
1
m2
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
Sea L1 y L2 dos rectas que se intersecan en el punto P formando los ángulos suplementarios  y
1. Sean A y B las intercepciones de L1 y L2 con el eje x. Se ha formado el triángulo APB, en el
que tenemos el ángulo interior  y en ángulo exterior .
Dr. César Gallegos Mgs.
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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Por geometría elemental, un ángulo
y
L2
L1
exterior de un triángulo es igual a la suma
m2
de los ángulos interiores opuestos.
m1
P
Entonces tenemos:  =  + 

1
Despejando  (ángulo formado entre las
dos rectas), tenemos:  =  - 

0
A

x
B
Aplicando la tangente a los dos miembros
de la igualdad tenemos: tg  = tg (  -  )
tg  
tg  tg
1  tg. tg
Pero: tg  = m2 ; tg  = m1
Entonces:
tg  
m 2  m1
1  m 2 .m1
EJEMPLO:
1.- Hallar los ángulos agudos del paralelogramo cuyos vértices son los puntos: A (–1, 2);
B (2, 6); C (12, 6) y D (9, 2).
-8-
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
62
22
mAD 
2 1
9 1
4
mAB 
mAD  0
3
m  m1
TgA  2
1  m 2 .m1
mAB 
Y
6
B
m2
A
4
0
3
TgA 
4
1  ( 0)
3
o
A  53.13
1
C
m1
2
D
X
9
12
Pero como ABCD es un paralelogramo, tiene sus ángulos opuestos congruentes.
Entonces:
C = 53.13
REFUERZO Nº 2
1.
Decir qué ángulo de inclinación tienen las siguientes rectas: a) el eje x b) el eje y c) una
recta paralela al eje x y dirigida hacia la derecha d) una recta paralela al eje x y dirigida
hacia la izquierda.
2.
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: (–3, 2) y
( 7 , –3).
3.
Los vértices de un triángulo son los puntos (2, –2); (–1, 4); y (4, 5). Calcular la pendiente de
cada uno de los lados.
4.
Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.
Hallar su ordenada.
5.
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135. Sabiendo que la recta final tiene una
pendiente de –3, calcular la pendiente de la recta inicial.
6.
Por medio de pendientes demuéstrese que los tres puntos (6, –2); (2, 1) y (–2, 4) son
colineales.
7.
Demostrar que la recta que pasa por los puntos (–2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos (–1, 1) y (3, 7).
Dr. César Gallegos Mgs.
-9-
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
LA LÍNEA RECTA
DEFINICIÓN.- Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes P 1
y P2, el valor de la pendiente m es la misma.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.
ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE.
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su
dirección (pendiente).
Analíticamente, la ecuación de la recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las
coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación (y por tanto su pendiente).
Una ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto P1( x1 , y1) es:
y – y1 = m(x – x1)
Recuerde que la fórmula punto – pendiente,
y
P1( x1 , y1) denotado al punto dado y P (x, y)
denotado a cualquier otro punto sobre la recta
P1 (x1 , y1 )
DEMOSTRACIÓN:
Sea el punto P(x, y) un punto cualquiera de la
P ( x, y)
recta, diferente del punto dado P1(x1, y1).
Por la definición de pendiente se tiene:
m
y  y1
x  x1
x
0
De la cual obtenemos, inmediatamente, quitando denominadores, la ecuación (1) que es:
y – y1 = m(x – x1)
(1)
Recíprocamente, si las coordenadas de cualquier otro punto P2 (x 2, y2) satisfacen (1), tenemos:
m
y 2  y1
x 2  x1
que es la expresión analítica de la definición de recta, aplicando a los dos puntos P1 (x1, y1) y
P2(x 2, y2) . Por tanto, P2 está sobre la recta. Esto completa la demostración.
- 10 -
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
EJEMPLOS.
1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (4, 3) y tiene una pendiente de 3.
Representar gráficamente.
y
4
Datos: m = 3;
P1 (4, 3)
P1 4,3
3
y – y1 = m(x – x1)
2
y – 3 = 3(x – 4)
y – 3 = 3x – 12
3x  y  9  0
1
x
-1
3x – y – 9 = 0
1
2
3
4
5
6
-1
2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (–2, 3) y tiene una pendiente de –2.
Representar gráficamente.
y
Datos: m = –2;
4
P1  2,3
3
P1 (–2, 3)
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = –2(x – (–2) )
2
2x  y  1  0
y – 3 = –2(x + 2)
1
y – 3 = –2x – 4
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
2x + y + 1 = 0
-1
Dr. César Gallegos Mgs.
- 11 -
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
ECUACIÓN DE LA RECTA, CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS.
y
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos
diferentes, dados sobre una recta.
y1
Al hallar la pendiente de esta recta, se P1 x 1 , y1 
tiene: m 
y 2  y1
x 2  x1
Utilizamos la forma de la ecuación de la
P2 x 2 , y 2 
y2
recta punto pendiente, sabiendo que:
P1 (x1, y1) y m 
y 2  y1
x 2  x1
x2
x1
x
Luego aplicando la fórmula punto pendiente se cumple que:
ECUACIÓN CONOCIDOS
DOS DE SUS PUNTOS
y  y1 
y 2  y1
x  x 1 
x 2  x1
Ejemplos:
1.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (–6, 7) y P2 (1, –2)
Solución: Aplicando la fórmula tenemos:
y  y1 
y 2  y1
x  x 1 
x 2  x1
27
x   6
1   6
9
x  6
y7 
7
y
P1(-6, 7)



y7 


9x+7y+5 =0



x
La ecuación es: 9x + 7y + 5 = 0
       







P2(1, -2)

- 12 -
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (4, 2) y P2 (–5, 7)
y
y  y1 
y 2  y1
(x  x1 )
x 2  x1
P2 (5,7)
8
7
72
y2
( x  4)
54
5
y2
( x  4)
9
 9 y  18  5x  20
6
5x  9 y  20  18  0
1
5x  9 y  38  0
5
5x  9y  38  0
4
3
P1 (4,2)
2
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
3.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (–3, –5), P2 (4, 3).
y  y1 
y 2  y1
(x  x 1 )
x 2  x1
35
y5 
( x  3)
43
8
y  5  ( x  3)
7
7 y  35  8x  24
5 y
4
3
P2 (4,3)
2
1
-5
-4
-3
-2 -1
x
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
8x  7 y  11  0
-3
8x  7 y  24  35  0
-4
8x  7 y  11  0
-5
P1 (3,5)-6
-7
REFUERZO Nº 3
(Grupo 9 pág. 63)
1.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente 2.
2.
Una recta con pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). Un punto sobre la recta tiene ordenada 4,
hallar la abscisa de dicho punto.
3.
Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos (3, – 1) y (–2, –3).
4.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (m, m).
Dr. César Gallegos Mgs.
- 13 -
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
5.
Los vértices de un cuadrilátero son: A (0, 0); B (2, 4); C (6, 7); y D (8, 0). Hallar las
ecuaciones de sus lados.
6.
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (–3, 2), B (1, 6).
OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA DE
ORIGEN.
La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación:
y  mx  b
DEMOSTRACIÓN:
Consideremos una recta l, cuya pendiente es m y cuya
y
ordenada es en el origen, es decir, su intersección con el
eje Y, es b. Como se conoce b, el punto cuyas
(0, b)
coordenadas son (0,b) está sobre la recta. Por tanto, el
b
problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que
P (x, y)
pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Según el
0
teorema 1 , la ecuación buscada es :
y  y 1  m( x  x 1 )
y
y  b  m( x  0)
o sea
9
8
y = mx + b
7
P(0,6)
EJEMPLOS
6
5
1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa
y  2x  6
por la ordenada 6 y cuya pendiente es
4
3
2.
2
Representar gráficamente.
1
Datos: m = 2; b = 6
y = mx + b
- 14 -
b6
x
-7
y = 2x + 6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.- Hallar la ecuación de la recta que
y
pasa por la ordenada 4 y cuya pendiente
5
4
es -3. Representar gráficamente.
P(0,4)
3
4
2
Datos: m = – 3; b = 4
y  3x  4
1
y = mx + b
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y = – 3x + 4
-1
-2
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA.
La recta cuyas intersecciones son con los ejes X e Y son a  0 y b  0 , respectivamente tiene
por ecuación:
x
y

1
a
b
Sean (a ≠ 0) y (b ≠ 0) los segmentos que una recta
y
determinan sobre los ejes X e Y es decir, sus
intercepciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos
(0, b)
de la recta. Por tanto, el problema de obtener la
ecuación de una recta cuando se conocen los
b
segmentos que determinan sobre los ejes se reduce a
(a,0)
hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
y tenemos, por el teorema 3 que dice: La recta que
0
pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x 2, y2)
x
a
 y 2  y1 
(x  x1)
x
2

x
1


tiene por ecuación: y  y1  
Si reemplazamos los valores en la ecuación nos queda:
0b
y 0 
(x  a)
a0
de donde
ay  bx  ab
Dr. César Gallegos Mgs.
- 15 -
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Transponiendo – bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos
x
y

1
a
b
EJEMPLOS:
y
5
1.
Encontrar la ecuación simétrica
de la recta
P2 (0,4) 4
que pasa por los
3
puntos P1 (–3, 0), P2 (0, 4).
4x  3y  12  0
Datos: a = –3; b = 4
1
P1 (3,0)
-5
-4
x
-3
-2
x
y

1
3
4
4 x  3y  12
4 x  3y  12  0
2.
b4
2
-1
1
2
3
4
-1
a  3
-2
Una recta de pendiente – 3 pasa por el punto (4, 6). Hallar la ecuación de la recta en la
forma simétrica.
y
Solución:
9
Primero hallamos la ecuación de
8
la recta, utilizando la fórmula
7
punto pendiente:
6
P4, 6
5
y  y1  mx  x 1 
4
y  6   3x  4
y  6  3x  12
3
2
1
3x  y  18  0
(Ecuación de la recta)
-4 -3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
-1
-2
-3
Para hallar la forma simétrica trasponemos el 18 al segundo miembro de la ecuación, luego
dividimos para 18 obteniendo así:
- 16 -
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
3x  y  18  0
3x  y  18
3x y 18


18 18 18
x y

1
6 18
Ecuación simétrica de la recta
REFUERZO Nº 4
1.
Sea el triángulo formado al unir los puntos: A (–2, 5); B (4, 3) y C (– 4, – 4).
En este triángulo, calcular:
a)
Las ecuaciones de los lados.
b) La ecuación de una recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado BC.
c)
Las ecuaciones de las medianas.
d) Las ecuaciones de la mediatrices de los lados.
2.
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección
de las rectas 2x + y – 8= 0
3.
y
3x – 2y + 9 = 0.
Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x e y son 2 y –3 respectivamente.
Hallar su ecuación.
4.
El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A
(7, –2). Calcular la abscisa de P.
5.
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos: (3, –6) y (–1, 0).
6.
Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (–2,
2) y D (3, – 4). Hallar su ecuación.
7.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2, 4) y determina sobre el eje x el
segmento –9.
8.
Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son: 3x – 8y + 36 = 0 ;
3x – 8y – 19 = 0
y
x + y – 10 = 0 ;
x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo y hallar
las coordenadas de sus vértices.
NOTA: Realice un gráfico para cada ejercicio.
Dr. César Gallegos Mgs.
- 17 -
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Una ecuación general de la recta es una ecuación del tipo:
Ax  By  C  0
(1)
En donde A, B y C; son número reales, y A o B tienen que ser diferente de cero y C puede o no
ser igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de una recta.
Ahora vamos a considerar el caso inverso, a saber, ¿la ecuación lineal (1), representa siempre
una línea recta? Para contestar a esto examinaremos las dos formas posibles de la ecuación (1)
con respecto al coeficiente de y, es decir, las formas para B  0 y B  0 .
CASO I ( B = 0 )
Si B = 0, entonces A  0 , y la ecuación (1) se reduce a la forma: x  
C
A
(2)
Pero ( 2 ) es de la forma x = k , que es la ecuación de una recta paralela al eje Y.
CASO II. ( B  0 )
Si B  0, podemos dividir la ecuación (1) por B y entonces por transposición se deduce a la
forma:
y  (
A
C
)x 
B
B
( 3)
Pero (3) está en la forma y = mx + b; y por tanto, es la ecuación de una recta cuya pendiente m
es 
C
C
A
A
y cuya ordenada en el origen b es  . ( m =  ; b =  ).
B
B
B
B
En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuación (1) representa una recta. Vamos a
hacer un resumen de estos resultados en el siguiente enunciado:
Una ecuación lineal en las variables x e y representa una recta y recíprocamente. ( * )
NOTAS:
1.- Este enunciado muestra lo apropiado del término lineal para designar las expresiones
algebraicas de primer grado.
- 18 -
Dr. César Gallegos Mgs.
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
2.- La pendiente de una recta cualquiera, no paralela al eje Y, puede obtenerse
directamente a
partir de la ecuación. Para ello bastará reducir la forma dada (1) a la forma (3); el coeficiente
de x es la pendiente. Más sencillamente, todo lo que tenemos que hacer es dividir en (1) el
coeficiente de x por el coeficiente de y y después cambiar el signo.
Ejemplos:
Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes ecuaciones de la forma general
de la recta.
1.-
3x + 2y – 8 = 0
A = 3; B = 2, C = -8; entonces: m = 
2.-
A
3
 ;
B
2
b= 
C
8

4
B
2
2x – 5y + 4 = 0
A = 2; B = -5, C = 4: entonces: m = 
A
2
2

 ;
B
5 5
b= 
C
4
4


B
5 5
REFUERZO Nº 5
1.
Hallar la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es
perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1,-3).
2.
Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1)y –18 = 0, sea paralela a la recta 3x – 2y
– 11 = 0.
3.
Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.
4.
Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados
un triángulo rectángulo de área igual a 2½ unidades cuadradas.
5.
Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, –1) y (7, 2) biseca al segmento cuyos
extremos son los puntos (8, –3) y (– 4, –3).
6.
Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0
;
x – 8y + 37 = 0
;
2x – y – 16 = 0
y
x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo y hallar las ecuaciones de sus diagonales.
7.
Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0 ;
x + 5y + 4 = 0 ;
x + 5y –22 = 0
; 5x – y
– 32 = 0 forman un cuadrado.
8.
Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0
Dr. César Gallegos Mgs.
y
3x + 2y – 7 = 0.
- 19 -