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COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES
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2011 -
Prof. Cecilia Galimberti
MATEMÁTICA
4° AÑO B
GUÍA N° 3 – FUNCIÓN MÓDULO – ECUACIONES E INECUACIONES
REVISIÓN: INECUACIONES
Un subconjunto de números Reales, se puede expresar:
- En lenguaje coloquial: “los x mayores que 4 y menores que 9”
- Como un intervalo: ( 4 , 9 )
- Como una inecuación: 4 < x < 9
- Gráficamente: ___________________________
Ejemplos:
Lenguaje coloquial
intervalo Inecuación
Gráficamente
1 x es mayor que 2 y menor
que 1
2
[1,3]
3 x es mayor o igual que –7 y
menor que 2
4
________________
Clasificación
5
x > –5
Clasificación de intervalos:
- cerrado: incluye sus extremos
- abierto: no incluye sus extremos
- semiabierto: incluye uno de sus extremos
- finito: sus extremos son conocidos
- infinito: al menos uno de sus extremos es 
Ejercicio 1: Expresar como inecuación, clasificar y graficar los siguientes intervalos:
a) [– 2 ; 3 )
c) ( – 2 ;  )
b) [ – 4 ; – 3 ]
d) ( –  ; 1 ]
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO
Dado un n° real, definimos como el “Módulo de x”, con la notación | x | , a:
|x|=
x
si x  0
–x
si x < 0
De modo que el valor absoluto de cualquier número, siempre es positivo, es decir, el módulo
“convierte” a todo número en positivo.
Ejemplos:
|5|=5
|–7|=7
|2–3|=1
|–2.3 |=6
Ejercicio 2: Calcula:
a) | - 4,3 | =
b) | –1/2 | =
c) | 3 – 5 | =
d) | 1654 | =
1
5ta Propiedad: ¿Qué ocurre con el módulo de la suma o de la resta?. Veamos estos ej:
Ejemplo 1:
| 6 + 4 | = | 10 | = 10
| 6 | + | 4 | = 6 + 4 = 10
Ejemplo 2:
|–6+4|=|–2| =2
| – 6 | + | 4 | = 6 + 4 = 10
Es decir que, el módulo de la suma de dos n° reales, es menor o igual que la suma de los
módulos de dichos números
Ejemplo 3:
|8–3|=| 5|= 5
|8|– |3|= 8–3=5
Ejemplo 4:
| 8 – (–3) | = | 11 | = 11
| 8 | – | –3 | = 8 – 3 = 5
Es decir que, el módulo de la resta de dos n° reales, es mayor o igual que la resta de los
módulos de dichos números
Esta propiedad se denomina Desigualdad triangular, y se expresa en símbolos:
|a+b|  |a|+|b|
6ta Propiedad:
x   :
|a–b|  |a|–|b|
x²  x
2
Ejercicio 3: Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones con módulo:
a) | x | = 2
j) | 12 – 5 x | = 8
s) | ( x + 3 ) / ( x + 1 ) | = ½
b) | x – 2 | = 3
k) |( 4 x – 7 ) / 3 | = 3
t) | 3 x – 4 | = x
c) | 5 x | = 15
l) | ( 9 – 2 x ) / 5 | = 1
u) | ( x + 2 ) / ( x – 1 ) | = 2
d) | x / 2 | = 4
m) – | x | = – | –9 | – |–1,5 |
v) – | x + 1 | = | 5 – 2 x |
e) | x | = – 1
n) – | x | = – 6 + | x |
w) | 2 x + 3 | = | x – 1 |
f) | 3 x – 2 | = 7
o) 3 – | x – 1 | = 1
x) | x + 2 | = | 1 – 2 x |
g) | 2 + x | = 0
p) | 2 x + 4 | = 0
y) | x + 4 | =| 2 – x |
h) | x – 1 | = | 1 – 4 |
q) | – x | = 17
z) | x + 3 | =| 5 – x |
i) | x | = | 7 | – | – 2 |
r) x + | – 2 | = | 2 |
Ejercicio 4: Resolver las siguientes ecuaciones (de mayor complejidad):
a) 4 x  x  15
e) x  3  2 x  6  21
b) x   x  1
f)
c)
 8x
4

x
 3,5

2
7
d)  6 x  (2).( 3)
2x  3
45
g) x 
. 2 
 6x  9
 5
2
9
 3/ 2 ²
4
h)  x  2 x  8x  5
i)
( x  5)²  1,5
j) 3 x² = 3   15
k) 3x  12   3x
l) 3. x  8  1  13
Interpretación geométrica:
Podemos interpretar el módulo de un número, como la distancia de ese número, al 0, en la
recta numérica.
Con esta noción de distancia podemos pensar que, por ejemplo, | x | = 4 representa a
aquellas x cuya distancia al cero, es 4. Estos son x = 4 y x = – 4
Del mismo modo, | x |  4 representa a aquellos números cuya distancia al cero, es menor o
igual a 4, si miramos en la recta:
Se trata de todos los x entre – 4 y 4, es decir: – 4  x  4
3
Y si analizamos | x |  4, resultarán aquellos números cuya distancia al cero, es mayor o
igual a 4, es decir:
x  –4 ó x  4
Inecuaciones con módulo:
Podemos resumir lo visto, en la siguiente propiedad:
|x|<a → –a<x<a
y
| x | > a → x < –a
ó
x>a
Estas propiedades también son válidas si en lugar de los signos < ó >, trabajamos con  ó 
Ejercicio 5:
Ejercicio 6: Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones en R:
1 x
2  2x
1
8
a) 2.( x  3)  x  3
f)
b)  3x   x  4
g) x  2   3.4
l)  1.( x  5)  9   2
h) 6 x  6  5x  5  2
m) 2. x  9  x  9
d)  8 .  x  4.(4)
i) (2)³  x  1
n)  1.( x  2)   1
e) x  1  2  2 x  6
j) 4. x  2  3x  6
o) 2 x  4  2  x  2
c)
 2x
5

3x
1

5
6
2. 1

k)  x .  3 .6   x  x .16  6
Ejercicio 7: Resolver las siguientes inecuaciones, expresar como intervalos, y graficar:
a) | x – 2 |  5
b) | x – 1 | > 3
c) | x + 5 |  2
d) | x + 4 | < 1
4
Ejercicio 8: Graficar las siguientes funciones:
f(x) = 2 . | 2 x + 1 | + 1
g(x) = – 2 . | x – 3 | – 1
h(x) = 3. | x | – 1
j(x) = | – 2 x |
k(x) = | 2 x + 2 |
l(x) = | x – 1 | +1
Ejercicio 9: Graficar las siguientes funciones en un mismo sistema cartesiano:
f(x) = | x |
d(x) = | x – 2 |
m(x) = | x | + 1
n(x) = 3. | x |
Si generalizamos en: f(x) = a . | x – h | + k. ¿Qué desplazamiento indica la a? ¿Y la h? ¿Y
la k?
5