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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532
(6a)
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
FIZ 1300 FIS 1532
(6a)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
1er. Semestre 2008
Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532
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Corriente eléctrica
CORRIENTE ELECTRICA
Corriente eléctrica implica carga en movimiento. Existen muchas formas de
corriente eléctrica, pero vamos a considerar por ahora aquella producida por
una baterı́a. Una baterı́a es un dispositivo que tiene dos extremos
conductores (bornes) y es capaz de mantener una diferencia de potencia
constante entre ellos. De esta forma si conectamos un conductor entre ellos
los electrones del conductor se moverán dentro de él, desde el borne
negativo hacia el borne positivo de la baterı́a.
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Corriente eléctrica
DEFINICION DE CORRIENTE ELECTRICA
La corriente eléctrica se define como la cantidad de carga eléctrica que pasa
a traves de un plano como el plano A de la figura, por unidad de tiempo:
i=
dq
dt
A
B
C
−
+
Bateria
Nótese que la corriente que pasa por A es la misma que pasa por B y por C.
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Corriente eléctrica
UNIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA
La unidad de corriente eléctrica es de la definición 1 [C/seg] y se llama 1
Ampere. La corriente es un escalar pero tiene signo. Por ejemplo las
corrientes de la figura tienen el mismo valor absoluto, pero transportan
portadores de cargas del mismo signo en sentidos opuestos, entonces
i1 = −i2
i1
i2
+q
+q
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Corriente eléctrica
Sin embargo en la figura siguiente, de nuevo las corrientes tienen el mismo
valor absoluto, pero transportan portadores de cargas de distinto signo en
sentidos opuestos. Entonces
i1 = i2
i1
i2
+q
−q
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Corriente eléctrica
CONVENCION
Por convención las corrientes se dibujan en la dirección en que se moverı́an
los portadores positivos, aun cuando los verdaderos portadores son
negativos y se mueven en la dirección opuesta.
Convencion
+e
electrones
−e
−
+
Bateria
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−
+
Bateria
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Corriente eléctrica
CORRIENTE EN JUNTURAS
Cuando un cable conductor que lleva una corriente eléctrica se bifurca en
dos ramas la suma de las corrientes en las ramas es igual a la corriente
original. Esto es consequencia de la conservación de la carga eléctrica.
i1 = i2 + i3
i2
i1
i3
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Densidad de corriente
DENSIDAD DE CORRIENTE
Muchas veces queremos estudiar
el flujo de carga en un punto determinado de conductor. Para esto
es muy conveniente el concepto de
densidad de corriente. Un portador
de carga positiva se moverá en un
punto cualquiera segun la dirección
del campo eléctrico en es punto.
J
dA
Entonces definimos la densidad de corriente como un vector en la dirección
~ y con una magnitud J igual a la corriente por unidad de área en ese
de E
punto. Ası́ la corriente que atraviesa un elemento de área dA es igual a
~J · d ~
A donde d ~
A es un vector perpendicular a ese elemento de área.
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Densidad de corriente
VELOCIDAD DE DERIVA
Los electrones en un conductor se
mueven aleatoriamente debido a su
movimiento térmico. Sin embargo,
en presencia de un campo eléctrico tenderán a moverse en dirección
opuesta al campo con una velocidad
llamada de deriva vd .
vd
E
+
J
Si tenemos un conductor de sección A como el de la figura en la que se muestran por
convención portadores positivos en un número n por unidad de volumen, en el largo L
del conductor hay una carga:
Q = nALe
La corriente en este ejemplo se puede escribir como:
Z
~J · d ~
i=
A = JA
A
La carga Q = nALe atravesará la sección A en el tiempo
t=
L
vd
→
i=
Q
= nAevd
t
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→
~J = ne~vd
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Densidad de corriente
EJEMPLO
Un cable conductor de radio R = 2 mm, lleva una densidad de corriente J.
Calcule la corriente total en la porción del cable entre R/2 y R, en los casos
en que:
a) La densidad de corriente es J = 50000 A/m2 uniformemente distribuı́da a
través de una sección transversal del cable.
b) La densidad de corriente vale J = ar 2 , en que a = 7 × 1011 A/m4
R/2
R
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Resistencia eléctrica
RESISTENCIA ELECTRICA
Al aplicar una diferencia de potencial en los extremos de una barra,
por ésta pasa una corriente eléctrica cuyo valor depende de la
naturaleza de la barra. Si la barra es de cobre pasa una corriente
muy grande pero si se trata de un material aislador, como el vidrio la
corriente es ı́nfima, casi nula. La propiedad que caracteriza los
distintos materiales se llama resistencia y se define por:
R=
V
I
La unidad de resistencia es 1 Ohm o 1 Ω y es igual a
1 Ω = 1 V/A
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Resistencia eléctrica
RESISTIVIDAD ELECTRICA
Sin embargo el valor de la resistencia eléctrica depende no sólo del
material sino tambien de la forma y tamaño del objeto y de la forma
en que se aplique la diferencia de potencial.
Por esto es necesaria una cantidad que sólo dependa del material.
Esta cantidad se llama resistividad y se define por
ρ=
E
J
Tiene unidades de [mV/A] = [Ω m].
El inverso de ρ se llama conductividad σ y aparece en:
J = σE
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Resistencia eléctrica
RESISTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES
METALES
Plata
Cobre
Fierro
Platino
1.62×10−8
1.69×10−8
9.8×10−8
10.6×10−8
SEMICONDUCTORES
Silicio puro
Silicio, tipo n
Silicio, tipo p
2.5×103
8.7×10−4
2.8×10−3
AISLADORES
Vidrio
Cuarzo fundido
1.0×1014
1.0×1016
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Resistencia eléctrica
Calculo de la resistencia a partir de la resistividad
Resistencia: propiedad de un objeto
Resistividad: propiedad del material
L
A
i
V
Consideremos una barra de sección A y longitud L, entonces:
De E = V /L y J = i/A, obtenemos
E
VA
ρ=
=
J
i L
pero V /i = R, por lo tanto:
L
R=ρ
A
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Resistencia eléctrica
Variacion con la temperatura La resistividad eléctrica varı́a con la
temperatura. La dependencia de la resistividad con la temperatura es distinta
para metal que para un semiconductor. El los metales varı́a casi linealmente
y podemos utilizar la relación:
ρ − ρo = ρo α(T − To )
donde ρo es la resistividad para T = To y α se llama el coeficiente de
temperatura de la resistividad. Por ejemplo para la plata ρo = 1.62 × 10−8 a
To = 20o C y α = 4.1 × 10−3 o K−1 .
Para los semiconductores dopados el comportamiento es distinto. En este
caso la resistividad disminuye con la temperatura:
ρ = Ae−a/kB T
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Ley de Ohm
LEY DE OHM Existen dispositivos en los cuales existe una relación lineal
entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente que circula por él. Este
es el caso de los resistores (o resistencias) en la cuales esta relación se
mantiene sin importar la magnitud o la polaridad del potencial aplicado. Esta
situación se ilustra en la figura de la izquierda, la cual es una expresion de la
LEY DE OHM.
V
V
I
La figura de la derecha corresponde a un diodo semiconductor.
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I
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Ley de Ohm
La ley de Ohm dice que la
corriente que circula a traves de
un dispositivo es proporcional a
la diferencia de potencial aplicada. Esta ley no es válida para todos los dispositivos por los cuales circula corriente, como por
ejemplo un diodo semiconductor
para el cual la dependencia V
v/s I se muestra en la figura de’recha anterior.
Georg Ohm 1789–1854
La ley de Ohm expresa que la resistencia del dispositivo es independiente de
la magnitud y la polaridad del potencial aplicado. Esto es cierto para los
resistores:
V = IR
con R constante
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Ley de Ohm
POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS
El trabajo que realiza la baterı́a para trasladar un elemento de carga dq a
través de una diferencia de potencial V es:
I
Es decir la potencia entregada por la baterı́a
al dispositivo es:
dU = Vdq = VIdt
P = IV
Si el dispositivo anterior es una resistencia
para la cual se cumple la ley de Ohm, tenemos:
V2
P = I2R =
R
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V
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Ley de Ohm
Metales. Semiconductores.
Los semiconductores puros tienen un resistividad muy alta, como se ve en la
tabla siguiente, para el silicio. Sin embargo puede ser reducida agregando
cierto tipo de impurezas
Densidad de portadores [m]−3
Resistividad [Ω m]
Coeficiente de resistencia [o K−1 ]
ρ
Superconductores Tienen la propiedad que la
resistividad se hace cero bajo una cierta temperatura, llama crı́tica.
T
SUPERCONDUCTOR
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Ejemplos
Ejemplo 1 Un alambre de Al de 2.5 mm de diámetro se suelda a un
alambre de cobre de 1.8 mm de diámetro y se hace pasar una
corriente i de 0.017 A. ¿ Cuál es la densidad de corriente en ambos
cables?
JAl =
JCu =
Ricardo Ramı́rez
i
i
1.7 × 10−2
2
=
=
= 3500 A/m
AAl
4.9 × 10−6
π( d2Al )2
i
i
1.7 × 10−2
2
=
= 6700 A/m
=
dCu 2
−6
ACu
2.54
×
10
π( 2 )
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Ejemplos
¿Cuál es la velocidad de deriva en el cobre?
n
densidad
=
NA
masa molar
masa molar = peso atómico en [g/mol]=64 [g/mol]
densidad = 9 × 103 Kg/m3 , NA = 6.02 × 1023 mol−1
Por lo tanto:
n=
NA × densidad
= 8.47 × 1028
M
y
vd = JCu /ne = 1.8 mm/hora
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m−3
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Ejemplos
Ejemplo 2
¿Qué largo de cable de cobre de instalación eléctrica se necesita para que al
conectarlo a una baterı́a de 12 V, circulen 10 A por él?
Ejemplo 3
¿Cuál es la resistencia de una ampolleta de 40 W encendida?
Si la resistencia de esta ampolleta apagada y a temperatura ambiente es de
24 Ω y suponiendo que el filamento es de tungsteno (α = 4.5 × 10−3 o K−1 ),
¿Puede decir que se cumple la relación lineal entre la resistencia y la
temperatura en este caso?
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