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TEORIA ELECTROMAGNETICA
FIZ 0321
(6)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
2do. Semestre 2006
Fuerza entre cargas en movimiento
Fuerza entre cargas q1 y q2 que se mueven con velocidades ~v1 y ~v2 :
~ m = µo q1 q2 ~v1 × (~v2 × r̂ )
F
µo = 4π × 10−7 [MKS]
(1)
4π r 2
Si consideramos a q1 como una carga de prueba, podemos escribir
~ m = q1~v1 × B
~
F
~ producido por el movimiento
donde definimos el campo magnético B,
de la carga q2 , como:
~ = µo q2 ~v2 × r̂
B
4π r 2
Amplificando (1) por o y usando o µo = c −2 , donde c es la velocidad
de la luz, obtenemos:
~ m = 1 q1 q2 ~v1 × ~v2 × r̂ = Fe ~v1 × ~v2 × r̂
F
4πo r 2 c
c
c
c
Ası́ vemos que la razón entre la fuerza magnética y la eléctrica es:
Fm
v1 v2
= 2
Fe
c
También podemos demostrar que:
~
~ = ~v1 × E
B
c
c
Si v1 , v2 << c, Fm << Fe .
En realidad todas las ecuaciones que hemos vistos hasta ahora son
válidas en estas condiciones y son sólo aproximaciones de la
ecuaciones relativistas correctas.
Ley de Biot-Savart
Campo producido por la corriente de un circuito:
~ ~r ) =
d B(
µo Id ~` × (~r − ~r 0 )
4π |~r − ~r 0 |3
d ~`
dB
r
r’
O
Fuerza entre circuitos
~ =
F
I
~ = µo I1 I2
I2 d ~`2 × B
4π
r1
O
I I
r2
d ~`2 × [d ~`1 × (~r2 − ~r1 )]
|~r2 − ~r1 |3
~
Propiedades de B
~ =0
∇·B
~ = µo ~J
∇×B
I
~ · d ~` = µo I
B
Ley circuital de Ampère
Potencial magnético vectorial
~ =∇×A
~
B
~0 = A
~ + ∇Ψ cumple la ecuación anterior.
Cualquier otro vector A
~ = µo ~J, obtenemos:
De ∇ × B
~ − ∇2 A
~ = µo ~J
∇(∇ · A)
~ = 0, llegamos a ∇2 A
~ = −µo ~J.
Eligiendo ∇ · A
Cada componente cartesiana cumple la ecuación de Poisson, luego:
~ ~r )
A(
=
=
Z ~ 0
µo
J(~r ) 3 0
d r
4π
|~r − ~r 0 |
Z
µo I
1
d~r 0 para un circuito con corriente I
4π
|~r − ~r 0 |
Campo magnético de un circuito distante
Utilizamos
~ ~r ) = µo I
A(
4π
I
1
d~r 0
|~r − ~r 0 |
I
r
r’
O
Como r 0 << r , expandimos el denominador en potencias de r 0 /r :
~r · ~r 0
1
|~r − ~r 0 |−1 =
1 + 2 ···
r
r
I
I
µo I 1
1
0
0 ~ ~0
~
~
~
~
A(r ) =
dr + 3
d r (r · r ) · · ·
4π r
r
La primera integral es cero.
El segundo término se puede reescribir utilizando las siguientes
identidades:
(~r 0 × d~r 0 ) × ~r = d~r 0 (~r 0 · ~r ) − ~r 0 (~r 0 · d~r )
d[~r 0 (~r · ~r 0 )] = d~r 0 (~r 0 · ~r ) + ~r 0 (~r · d~r 0 )
Sumando estas dos ecuaciones:
1 0
1
(~r × d~r 0 ) × ~r + d[~r 0 (~r · ~r 0 )]
2
2
Al integrar en un circuito cerrado el último término se anula por ser
un diferencial exacto. Ası́ :
I
~r
~ × ~r
µo m
µo I
0
0
~
~r × d~r ×
=
A(~r ) =
3
4π 2
r
4π r 3
d~r 0 (~r 0 · ~r ) =
El término entre paréntesis cuadrado se denomina momento
~:
magnético m
I
I
~ =
~r 0 × d~r 0
m
2
Potencial magnético escalar
~ = 0, y podmos definir un
Si la densidad de corriente es cero, ∇ × B
potencial magnético escalar Φ:
~ = −µo ∇Φ
B
~ = 0:
pero como ∇ · B
∇2 Φ = 0
~
Por otra parte el campo magnético de un momento magnético m
puede ser escrito como:
~ · ~r )~r
~
µo 3(m
m
~
~
B(r ) =
− 3
4π
r5
r
expresón que a su vez se puede escribir como:
~ · ~r
~ ) = − µo ∇ m
B(r
4π
r3
~ encontramos:
Luego para un momento m
φ(~r ) =
~ · ~r
m
4πr 3
Este resultado se puede aplicar
a un circuito de forma arbitraria,
por el cual circula una corriente
I, el cual se se considera como
una superposición de un número
muy grande de circuitos infinitesimales, como se muestra en la
figura
P
r
C
I
Para cada circuito infinitesimal de área da tenemos un momento
magnético:
~ = I n̂da
dm
y por lo tanto el potencial magnético escalar es:
Z 0
~r · n̂da
I
φ(~r ) =
4π
r 03
Si reemplazamos ~r 0 por −~r 0 vemos que la integral es el ángulo sólido
subtendido por el circuito desde P:
φ(P) = −
IΩ
4π
Ejemplo 1
BOBINA DE HELMHOLTZ
Consiste en dos bobinas circulares
del mismo radio, con N vueltas cada una, colocadas de tal forma que
producen un campo magnético en el
punto P (a la distancia b de O) de
la figura tiene su primera y segunda
derivada nula
a
2b
P
O
El campo magnético en el punto P está dirigido en la dirección z y vale:
»
–
Nµo Ia2
1
1
B=
+
2
(z 2 + a2 )3/2
((2b − z)2 + a2 )3/2
La primera derivada es:
dB
3 Nµo Ia2
=−
dz
2
2
»
2(z − 2b)
2z
+
(z 2 + a2 )5/2
((2b − z)2 + a2 )5/2
Esta derivada se anula en el punto P.
–
La segunda derivada es:
d 2B
dz 2
=
"
3Nµo Ia2
1
2z 2
5
−
−
2
2 (z 2 + a2 )7/2
(z 2 + a2 )5/2
+
2(z − 2b)2
5
1
−
2
2
5/2
2 ((2b − z)2 + a2 )5/2
((2b − z) + a )
#
Para z = b
d 2B
3Nµo Ia2
=
−
−
dz 2
2
»
2a2 − 8b2
(b2 + a2 )7/2
–
Para a = 2b esta derivada se anula, como también la tercera y alrededor de
z = a/2, ası́ el campo en esta región es aproximadamente:
B(z) = B(a/2) +
"
„
«4 #
1
d 4B ˛
144 z − a/2
(z − a/2)4 4 ˛z=a/2 = B(a/2) 1 −
24
dz
125
a
Ejemplo 2
BOBINA ENROLLADA EN UN TORO DE REVOLUCION
N vueltas de un cable por el cual pasa una corriente I se enrollan en
~ en
un toro de revolución de radios interior a y exterior b. Encuentre B
el interior del toro. Encuentre la razón b/a para que el campo no
varı́e más de un 25 %.
Para un radio a < r < b :
2πrB = µo NI
→
B=
µo NI
2πr
Luego:
Bmax =
µo NI
2πa
Bmin =
µo NI
2πb
por lo tanto:
Bmax
= 1,25
Bmin
→
b
= 1,25
a
Ejemplo 3
ESFERA CARGADA QUE ROTA
Una esfera de radio a con una densidad de carga superficial σ rota
alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular ω.
Demuestre que el campo magnético en un punto exterior es un
campo dipolar y halle el momento dipolar equivalente.
Ejemplo 4
Una partı́cula cargada parte desde el reposo en el orı́gen del sistema
de coordenadas, en una región con campos uniformes:
~ = E ı̂
E
~ = B k̂
B
Encontrar las coordenadas x, y , z de la partı́cula en el tiempo t.
Ejemplo 5
~ está suspendido por una fibra sin
Un iman de momento magnético m
torsión de modo que puede rotar libremente en un plano horizontal y
~ horizontal. Encuentre el perı́odo para pequeñas
un campo B
oscilaciones alrededor del equilibrio, si su momento de inercia es I.
Ejemplo 6
Una partı́cula puntual de masa M y carga q rota en una órbita
circular de radio r con velocidad angular ω. Demuestre que si ~L es su
~ asociado al
momento angular, entonces el momento magnético m
movimiento de la carga es:
~ =
m
q ~
L
2M
Ejemplo 7
Un circuito en forma de un cuadrado de lado a lleva una corriente I.
Encuentre el potencial magnético vectorial en cualquier punto del
espacio.
Colocamos el circuito sobre el plano
x − y con su centro en el orı́gen y
sus paralelos a los ejes.
Para el primer tramo en rojo:
µo I
~
A1 =
4π
~r 0 =
Z
d~
`
|~r − ~r 0 |
a
ı̂+y 0 ̂ ~r = x ı̂+y ̂+z k̂
2
~
A1
=
µo I
4π
=
µo I
4π
z
Z
[(x −

senh−1
a/2)2
a
a
y
d~
` = dy 0 ̂
x
dy 0
+ (y − y 0 )2 + z 2 ]1/2
a − 2y
a + 2y
− senh−1
[(x − a/2)2 + z 2 ]1/2
[(x + a/2)2 + z 2 ]1/2
ff
Ejemplo 8
Encuentre el potencial magnético escalar en el eje a la distancia h de
un anillo circular de radio R que lleva una corriente I.
El PMR vale:
P
IΩ
Φ=−
4π
h
El ángulo sólido subtendido en el
punto P es:
R
α
Z
2π
Z
sin θdθ
Ω=
0
dφ = 2π(1−cos α)
0
donde cos α =
h
.
R
Luego
Φ=−
I
2
„
«
h
1−
R