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Cálculos de circuitos sencillos en corriente alterna
Objetivos
1. Aplicar la Ley de Ohm para un dipolo pasivo, bien en términos de impedancia o de
admitancia y las Leyes de Kirchhoff (LK) fasoriales, en la solución de circuitos sencillos en
régimen de corriente alterna y construir diagramas fasoriales (DF) cualitativos utilizando las
definiciones y la convención de signos establecida en el texto y en lel material.
2. Aplicar las simplificaciones y fórmulas de reducción de impedancias en serie y admitancias
en paralelo en el cálculo de circuitos sencillos, realizando sus diagramas fasoriales cualitativos
y el cálculo de los parámetros del circuito equivalente serie y el paralelo.
Sumario
a) Relaciones tensión- corriente en forma fasorial en los elementos de circuito. Ley de Ohm.
Impedancia, admitancia y diagramas fasoriales.
b) Leyes de Kirchhoff con fasores.
c) Ley de Ohm para un dipolo pasivo arbitrario, circuitos equivalentes serie, paralelo y su
dependencia con la frecuencia.
Bibliografía básica:
Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 10. Epígrafes 10.7, 10.8 y 10.11 (diagramas fasoriales),
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverria”, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Las conexiones de elementos serie , paralelo , serie paralelo, transformaciones delta - estrella , divisores de
corriente y de tensión, cumplen las mismas leyes
matemáticas que los resistores en corriente directa ,
aunque se debe tener muy en cuenta que en el caso de
impedancias se trabaja con números complejos.
Ejercicio 1
En el circuito mostrado, se conocen la corriente y la tensión total:
i (t)=10 cos (377t + 450 ) A
v (t)=20 cos(377t) V
a) Trazar el DF cualitativo.
b) Calcule la impedancia equivalente, la resistencia y la capacitancia
Solución:
¿Circuito serie o paralelo?
¿Cómo calcular: XL ,XC , Z ? (Epígrafe 10.7. Impedancia)
V = I Z, Z = R + j (XL - XC) = R + j X , Unidad: Ohm (Ω )
Z = Ʒ ∠ϕ = V / I = V∠Ө / I∠Ф = V/I ∠Ө− Ф
donde ϕ es el ángulo de impedancia
Ʒ = V/I es el módulo de la impedancia
1 ϕ = Ө− Ф
es el defasaje entre la tensión y la corriente alterna aplicados al dipolo.
En forma polar: Z = Ʒ ∠ϕ. En forma binómica: Z = R + j X
R: resistencia (componente resistiva equivalente de la impedancia)
X: reactancia (componente reactiva equivalente de la impedancia)
Para un dipolo lineal y pasivo siempre se cumple -900 ≤ϕ≤-900 de manera que el valor
modular del ángulo de impedancia no excede 900 y R ≥ 0
Esto implica además que para un dipolo lineal y pasivo cos ϕ≥ 0 y por tanto R ≥ 0 siempre.
Si ϕ > 0 X > 0 el circuito es predominantemente inductivo
Si ϕ < 0 X< 0 el circuito es predominantemente capacitivo
Si ϕ = 0 X = 0 el circuito es resistivo puro o esta en resonancia.
El carácter predominante de un circuito (inductivo o capacitivo) depende de los valores de los
parámetros L, C y de la frecuencia de trabajo en el circuito. Si lo parámetros están dados, un
circuito puede presentar un comportamiento predominantemente inductivo para una
frecuencia y predominantemente capacitivo para otra frecuencia .
a) ¿Circuito serie o paralelo? ¿Referencia?
b) ¿Fasores asociados a las funciones del tiempo? V = 20∠00 V I = IR = 10 ∠450 A
¿Cómo se calcula la impedancia? Z = V / I = 2∠450 = 1,41 - j 1,41 Ω
Como Z = R + j (XL - XC) = R + j X , R =1,41 Ω y X= - 1,41 Ω
Calculando XL =377(5.10-3) = 1,89 Ω, y comparando con la ecuación - 1,41= 1,89 - XC
De donde XC = X +XL = 3,30 Ω =1/ (ωC) y despejando se tiene que C =1 / ωXC = 803,8 μF
Ejercicio 2
En el circuito mostrado, se conoce que L = 52 mH,
iL (t)=7,5 cos (377t -290 ) A y i(t)=10,5 cos (377t +310 ) A .
a) Trazar el DF cualitativo
Calcular: b) la tensión v (t) c) la admitancia, conductancia y
capacitancia del circuito
Solución:
¿Circuito serie o paralelo?
¿Cómo calcular: G, BL, BC, Y? (Epígrafe 10.8. Admitancia) Observar dualidad con el serie.
I = V Y, Y = G + j (BC - BL) = G + j B Unidades: 1Ω−1 = 1S (siemens)
La admitancia da una medida de la facilidad de la conducción eléctrica a través del dipolo.
Y = 1/ Z = I / V = y ∠− ϕ en forma polar y en forma binómica: Y = G + j B
y: I / V es el módulo de la admitancia
- ϕ = Ф − Ө es el defasaje entre la corriente y la tensión alterna aplicados al dipolo.
G: conductancia (componente resistiva equivalente de la admitancia)
B: susceptancia (componente reactiva equivalente de la admitancia)
Para un dipolo lineal pasivo G ≥0 siempre
Si ϕ > 0 B< 0 el circuito es predominantemente inductivo
Si ϕ < 0 B> 0 el circuito es predominantemente capacitivo
Si ϕ = 0 B = 0 el circuito es resistivo puro o esta en resonancia.
a) Circuito paralelo ¿Referencia?
2 b) Cálculo de la reactancia inductiva: XL= ωL =19,6Ω y el fasor ILm= 7,5 ∠-290 A
Cálculo de la tensión total fasorialmente aplicando Ley de Ohm en el inductor: Vm =147∠610 V
¿Función del tiempo asociada al fasor? v(t)= 147cos(377t +610 ) V
¿Cómo se calcula Y?: Y = Im / Vm=0,071 ∠ − 300 S = 0,061 - j0, 0355 S= G + j (BC - BL)
G =0,061 S y B = Bc - BL = - 0,0355 S. Calculando BL =1 / ωLp = 1/19,6= 0,051 S
Comparando con la ecuación -0,0355 = BC - 0,051, de donde
BC = B + BL = -0,0355 + 0,051= 0,016S y despejando de BC se tiene: C = BC / ω = 42,4 μ F
B
Ejercicio 3
Las impedancias están expresadas en ohms.
a) Trace el DF cualitativo
Calcule
b) la impedancia equivalente de entrada
c) los parámetros del circuito equivalente serie y paralelo si ω =
102 rad/s
Solución:
a) Circuito serie-paralelo. ¿Referencia? En este caso
seleccionamos la corriente I1 en la rama más interna o alejada
de la entrada, y difícil del paralelo en la referencia I1.
VR está en fase con I1
VL avanza 900 a la corriente I1
Realizamos la suma fasorial: Vp = VR + VL
I2 avanza 900 a VP
Sumamos fasorialmente I1 + I2 = I
VLs avanza 900 a I
VRs en fase con I
Sumando fasorialmente VP + VLs + VRs = V
En este caso, según el DF, el circuito es predominantemente
inductivo atendiendo a que V avanza a I.
b) Z = Zp + 5+ j25 = 10 - j10 +5+j25 = 15 + j15 (Ω) = R + j X, por tanto R= 15Ω y X = 15Ω
c) Circuitos equivalentes
Equivalente serie, X= ωLs
Ls = X / ω = 15 /100 = 0,15H
Equivalente paralelo, Y = 1/ Z =0,047∠- 450 Ω
Y = G + j B = 0,033 - j0,033 (S)
Se utiliza con más frecuencia el empleo de reactancias y resistencias para caracterizar sus
valores.
G = 0.033 y Rp = 1/0,033 = 30 Ω
B=1 /ωLp y Lp = 1/100(0,033) = 0,3H
Los circuitos equivalentes son los mostrados
3 Conclusiones
Se aplicaron las relaciones tensión- corriente en forma fasorial en los elementos de circuito, al
igual que las leyes de Ohm y las de Kirchhoff con fasores. Se introdujeron y aplicaron los
conceptos de impedancia y admitancia.
Se trabajó con Ley de Ohm para un dipolo pasivo arbitrario, con circuitos equivalentes serie,
paralelo y su dependencia con la frecuencia y se realizaron diagramas fasoriales.
Importante el uso con números complejos.
Orientaciones para el trabajo independiente
Capítulo 10. Utilice la bibliografía señalada en las actividades 1 y 2. Termine de estudiar con
mucho detenimiento el Epígrafe 10.7 (puntualice lo señalado en el texto en la página 346),
10.8 y 10.11 (diagramas fasoriales), Ejemplos 10.5 (impedancia equivalente), 10.6 (cálculo de
corriente instantánea en circuito serie-paralelo) y 10.12 (DF). Prácticas 10.9 (Z equivalente),
10.10 (corrientes en circuito serie-paralelo), 10.11 (cálculo de Y a partir de Z), 10.17 (DF serieparalelo).
Resuelva los problemas de las tareas que a continuación se dejan.
1- Construya el diagrama fasorial cualitativo del circuito mostrado.
2- Encuentre el defasaje entre la tensión y la corriente totales, diciendo cual magnitud avanza
a la otra y en cuantos grados (sexagesimales).
Sugerencia: calcule la impedancia equivalente entre los terminales A y B
Respuesta: la corriente total avanza en 56,30 la tensión total
3-Trace el diagrama fasorial cualitativo del circuito. Si la fem eficaz (E) es de 30√2 ∠450 V,
calcule las lecturas de los instrumentos. Respuesta: 10 A 60 V
Se continuarán aplicando estos conocimientos a cualquier dipolo pasivo en corriente alterna,
ampliando al trabajo con instrumentos.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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