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55000006 FISICA GENERAL II GITI
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RESOLUCIÓN POSIBLE
Examen de junio 2 015-06-08
Segunda Parte
No Matrícula:
Nombre:
Escriba el resultado final en el recuadro utilizando el espacio disponible para justificar su respuesta
Primer Problema
Un conductor esférico hueco descargado posee un radio interno R2 y un radio externo R3 .
En el centro de la cavidad esférica hay otro conductor esférico de radio R1 , cargado con una
carga Q.
Se definen por tanto cuatro regiones en el espacio: I) 0 < r < R1 ; II) R1 < r < R2 , III)
R2 < r < R3 y IV) r > R3 .
Se pide, expresando los resultados en función de los datos del enunciado y constantes universales:
R3
R2
R1
Q
1. Calcular las densidades de carga superficiales en el conductor interior σ1 (r = R1 ) y en las superficies interior σ2 (r = R2 ) y exterior
σ3 (r = R3 ) del conductor hueco. (1 punto)
En el conductor interior, toda la carga está en su superficie. Para conseguir que en
el interior del conductor hueco el campo sea nulo, se induce una carga −Q en su
superficie interior y +Q en la exterior.
σ1 =
Q
Q
Q
;
σ
=
−
;
σ
=
2
3
4πR12
4πR22
4πR32
2. Obtener el campo eléctrico en cada una de las regiones antes definidas. (1 punto)
En el interior de los conductores el campo es nulo. Aplicando el teorema de Gauss
a las regiones II) y IV) se obtiene el campo en esas regiones.
E I = E III = 0
E II = E IV =
Q
ur
4πε0 r2
3. Determinar el potencial eléctrico en cada una de las regiones del espacio, imponiendo la continuidad del potencial y suponiendo que
el mismo se anula cuando r → ∞ .(1 punto)
Z
Q
Q
Como V (r) = − E dr, se tiene VI = c1 , VII =
+ c2 , VIII = c3 y VIV =
+ c4 . Imponiendo
4πε0 r
4πε0 r
las condiciones del enunciado, se determinan las constantes de integración y resulta:
Q
1
1
1
1
Q
1
1
Q
Q
VI =
+
+
−
; VII =
−
; VIII =
; VIV =
4πε0 R1
R3
R2
4πε0 r
R3
R2
4πε0 R3
4πε0 r
E.T.S.I.I.
Departamento de
Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial
4. Determinar la energía electrostática de la distribución en todo el espacio. (1 punto)
1
ε0 E 2 . Utilizando el resultado del
2
Z
Z R2
1
2
apartado 2., la energı́a en todo el espacio es: Eelec = E dV =
ε0 EII
4πr2 dr+
2
R
1
Z ∞
1 Q2
1
1
1
1
2
2
E
=
+
−
elec
ε0 EIV 4πr dr que resulta:
2 4πε0 R1
R3
R2
R3 2
La densidad de energı́a electrostática es E =
5. Si el conductor cargado interior se extrae del hueco, sin ponerse en contacto con el conductor exterior, y se sitúa suficientemente
alejado en la región IV), conectándose mediante un hilo conductor ideal al conductor hueco, determinar la carga Q0 que se transfiere
del conductor cargado al conductor hueco. [Ind.: Considerar despreciable la carga del hilo.] (1 punto)
Cuando el conductor cargado de radio R1 se sitúa en el exterior, el potencial de
Q
su superficie es V1 =
. Para el conductor descargado, el potencial de su
4πε0 R1
superficie es V2 = 0. Al conectar ambos entre sı́, la situación final de equilibrio
electrostático es aquella en la que se igualan potenciales V10 = V20 :
Q − Q0
Q0
=
. Por tanto:
4πε0 R1
4πε0 R3
SE PERMITE el uso de calculadora.
Q0 =
R3
Q
R1 + R3
Duración: 90 minutos
Calificación: 50% del total del examen
Segundo Problema
Un circuito de corriente alterna está formado por una resistencia ideal R y una bobina ideal
de autoinducción L, conectadas en serie a una fuente de tensión alterna de valor eficaz Ve f
y frecuencia f , como se muestra en la figura.
Cuando el circuito está en régimen permanente, el amperímetro A mide una intensidad de
corriente de valor eficaz Ie f . Además se miden mediante un voltímetro los valores eficaces
de la tensión entre los puntos a y b (VR ) y entre b y c (VL ). Se recuerda que los valores
I0
V0
eficaces de tensión e intensidad se definen como: Ve f = √ , Ie f = √ .
2
2
En función de estos datos experimentales (VR , VL , Ie f ) y los datos de la fuente de tensión
(Ve f y f ) se pide:
R
a
L
b
c
Ve f , f
A
1. Determinar el módulo de la impedancia del circuito y los valores de R y L. (1 punto)
Vef
. Como
Ief
la corriente que pasa por cada elemento es la misma: VR = Ief R en la
resistencia y VL = Ief XL = 2πf LIef en la bobina. Por tanto:
Por la ley de Ohm para circuitos de corriente alterna, Z =
R=
VR
VL
;L =
Ief
2πf Ief
2. Obtener el desfase, ψ, entre la tensión y la intensidad de corriente y el factor de potencia, cos ψ. (1 punto)
El desfase es tan ψ = −
VL
VR
X
R
= − . El factor de potencia: cos ψ =
=
R
VR
Z
Vef
tan ψ = −
VR
VL
; cos ψ =
VR
Vef
3. Determinar la potencia media consumida en cada elemento del circuito y la potencia total. (1 punto)
La potencia consumida en el circuito es P = Vef Ief cos ψ = VR Ief , que coincide
con la potencia disipada en la resistencia. La potencia consumida en la bobina es
PL = 0.
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Física Aplicada
a la Ingeniería
Industrial
P = PR = VR Ief
PL = 0
4. Obtener los valores numéricos de las cantidades pedidas en los apartados anteriores, si Ve f = 220 V, f = 50 Hz, Ie f = 440 mA,
VR =120 V y VL = 170 V. (1 punto)
Sustituyendo datos:
Z = 500 Ω , R = 273 Ω , L = 1, 23 H
ψ = −54.8 ◦ , cos ψ = 0, 577 , P = 52, 8 W
5. Determinar la capacidad de un condensador que se conecte en serie con la resistencia y la bobina para que el factor de potencia del
circuito sea 1. (1 punto)
Para conseguir que el factor de potencia sea 1, el circuito debe estar en resonancia,
1
1
Ief
ψ = 0 y X = 0. Entonces, 2πf = √
yC=
=
2
(2πf ) L
2πf VL
LC
C = 8, 24 µF