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IES IGNACIO ALDECOA
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
CURSO 12/13
TEMA 1: NÚMEROS COMBINATORIOS. BINOMIO DE NEWTON
3.1 Factorial de un número. Número combinatorio
El factorial de un número natural n, n!, es el producto de ese número por todos los números
menores que él hasta el 1.
n! = n · (n-1) · (n-2) · ···· · 3 · 2 · 1
Por convenio se toma como 0! = 1
Ejemplo: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
El número combinatorio n sobre p (n ≥ p), se representa por
siguiente cociente:

n
p
y se define como el
n!
n =
p ! n − p  !
p

Ejemplo:
7 = 7 ! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7 · 6 =7 · 3=21
5· 4 · 3 · 2 · 1 · 2
2
5 5 ! · 2!

Propiedades:
1.
 
n = n
p
n−p
2.
  
n = n −1  n −1
p
p −1
p
3.2. Triángulo de Pascal
•
Es un triángulo de números naturales, infinito y simétrico.
•
El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de
1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.
•
Todas la filas empiezan y acaban en 1.
•
Todas las filas son simétricas.
•
Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.
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Calculando los números combinatorios nos queda el triángulo de Pascal como:
El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coeficientes del
binomio de Newton.
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de
Newton.
Podemos observar que:
• El número de términos es n+1.
•
2
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del
triángulo de Tartaglia.
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En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero;
y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma
de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y
negativos.
Ejercicios resueltos del binomio de Newton
1.
2.
Cálculo del término que ocupa el lugar k
Ejemplos
1.El término quinto del desarrollo de
es:
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2.El término cuarto del desarrollo de
es:
3.Hallar el término octavo del desarrollo de
:
EJERCICIOS:
1. Calcula el factorial de los 10 primeros números naturales.
2. Simplifica las siguientes expresiones con factoriales:
a)
6!
3!
b)
7!
8!
c)
10 !
6 ! · 5!
d)
8! · 3!
7 ! · 4!
c)

d)

d)
 
3. Calcula los siguientes números combinatorios:
a)

5
2
b)

9
4
7
3
4. Comprueba alguna propiedad de los números combinatorios con:
a)

8
0
b)

11
1

17
16
c)
15
10
20
20
5. Escribir un número combinatorio que sea igual a la suma de los dos que aparecen y
comprobar después el resultado:
a)

7  7
3
4
b)
  
10  10
7
8
c)
6. Escribe el desarrollo de los siguientes binomios:
a) (a + b)7
c) (m + 2n)4
b) (2a – b)5
d) (a – 1)8
e) (a2b + c)6
7. Halla el noveno término del desarrollo (x – y)12
8. Halla el quinto término del desarrollo de
15
 
1
a
− 2
9. Halla el término central del desarrollo de (x – y)8
10.Halla el término sexto del desarrollo
15
 x  y 
  
14  14
10
11