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POTENCIACIÓN RADICACIÓN Y
LOGARITMACIÓN
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Potenciación
n veces
Se define la potencia de exponente "n" como la
multiplicación sucesiva de la base "a" por sí misma un total
de "n" veces.
Exponente par
Exponente impar
Exponente par
Base negativa
Exponente impar
Base positiva
Potencia +
Potencia +
Potencia +
Potencia -
Propiedades
Sean a y b números reales y m, n números enteros.
( )
Ejercicios:
Ahora, vamos a aplicar éstas propiedades aprendidas a los siguientes ejercicios:
1)
2)
3)
4)
5)
a6  a3 
a 5  a 
a x  y  a 2 x 3 y 
b bx 
23  2 2 
7)
p  
b  
8)
 3a  4 a

x
x
6)
9)
5 6
13)
14)
3 2
2 4
3a 1
w
m
 w
16) 



3 m
n
3a 1 3

 x 2 a b  x b  2 a
20) 
2a
3b
 x x



 n5x n 2x
21)  3 x 1  3
n
n
x2
1
 p 2 x 1 
17)  3 2 x 
p

10

 


 

3



 k 3t  2
18)  2 3t
k
 a 3m1  a 2 m2
19) 
a 4 m 3

3
3 2
2
 a 2x
3
a
1 6
    
 3  5
10) 3x  
12)
 2 p  =
3mn  
3x  5x   
m  m  
15) 
2 8
2
11)




4 a  3b


6

1
Note que:
( )
Notación científica
Un número se escribe en notación científica si está escrito de la forma:
número entero.
donde
y n es un
Ejercicios:
1. Los siguientes números están escritos en notación científica. Escríbalos en notación estándar (normal).
a) 7,65 x 10
d)
5
b) 6,8 x 10
5 x 10 4
3
e) 2,5 x 10
g) 4,7 x 10
5
c) 9,3 x 10
1
h) 2,61 x 10
7
f) 7,2 x 10
2
6
2. Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 93.000.000
b) 68.000
c) 160.723,4
d) 7.281,3
e) 0,08
f) 0,7
g) 0,000047
h) 0,00022
3. Usando una calculadora científica, realiza las siguientes operaciones y luego el resultado lo escribes en
una hoja.
a) 9.800.000 x 4.500.000
b) 2.540.000 x 1.900.000
c) 8.100.000 x 6.500.000
d) 5.260.420 x 2.682.521
e) 2 / 5.687.945.122
f) 6 / 6.897.254.211
4. Realiza las siguientes operaciones y el resultado lo escribes en notación científica.
a) (2,52 x 10
4
2
) / (4,2 x 10
3
c) (6 x 10 ) · (2,2 x 10 )
3
)
2
3
b) (4,1 x 10 ) · (2 x 10 )
d) (3,2 x 10
2
4
) / (0,16 x 10 )
2
Radicación
La radicación es una operación inversa a la potenciación. Y
consiste en que dados dos números, llamados radicando e
índice, hallar un tercero, llamado raíz (a), tal que, elevado al
índice (n), sea igual al radicando (b).
√
Ejemplos:
1. √
2. √
3. √
no está definido porque el cuadrado de cualquier número real no es -8.
Cálculo de una raíz
Índice Par
Una raíz de índice par existe si la cantidad subradical es un número mayor o igual a cero.
n
a  b  b es positivo o cero y b n  a
Índice Impar
Una raíz de índice impar existe si la cantidad subradical es un número real
n
a  b  bn  a
Propiedades
Sean a y b números reales y m, n números enteros.
1.
2.
n
n
ab  n a n b
a na

b nb
3.
m n
4.
√
(√ )
a  mn a
⁄
(√ )
(√ )
si n es impar
| | si n es par
Ejercicios:
1. Calcule las siguientes raíces.
a)
16
9
b)
25
4
c)
9
100
3
d)
3
8
27
e)
4
625
16
f)
5
1
32
1. En cada caso, calcule el valor de la expresión.
a)
d)
3
4  25  49
b)
64  5  3  8  3  1
e)
5
9  2  16  100
c)
1  3 0  7 1
f)
3
8  3 27  3 1
121  3  64  4 16
2. En cada caso, reduzca al máximo.
a) 2  7  5  7 
7
b)
3
2  6 5  63 2  2 5
c)
54  24
d)
80  20
e)
75  12  147
f)
12  75  100  2  27
3. Simplifique las siguientes expresiones
a)
√
c)
√
e)
√
b)
√
d) √
f)
√
Nota: Para evitar valores absolutos, supondremos que todos los radicandos representan números reales positivos,
a menos que se indique lo contrario.
4. Simplifique las siguientes expresiones
a) √
b) √
√
4
Logaritmación
La logaritmación es una operación inversa a la potenciación.
Y consiste en que dado un número real a positivo, no nulo y
distinto de 1, (a > 0; a  0; a  1), y un número b positivo y
no nulo (b> 0; b  0), se llama logaritmo en base a de b al
exponente n al que hay que elevar dicha base para obtener el
número.
Ejemplos:
1.
2.
=0 porque
=3 porque
3.
.
.
=-2 porque ( )
⁄
.
Observación:
Se denominan logaritmos decimales, vulgares o comunes a aquellos logaritmos cuya base es 10 y suele notarse
como
también logaritmos naturales o neperianos a aquellos cuya base es el número
y suele
notarse como ln. (Identifíquelos en su calculadora).
Propiedades
Sean a, x e y números reales no negativos y
1.
2.
. Entonces
3.
Cambio de base
Para un mismo número existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.
Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... Según que la base considerada sea 8, 1/8, 2,
1/2, 10, e ...
Es posible pasar del logaritmo de un número en una base x determinada al logaritmo de ese mismo número en
otra base z,
Log x y =
Ejemplo:
log z y
log z x
log 2 15 =
log 3 15
log 3 2
5
Ejercicios
1) Calcular:
a) log 2 8 =
g) log 0,5 16 =
R: 3
R: 4
m) log 5 + log 20 =
R: 2
n) log 2  log 0,2 =
R: 1
b) log 3 9 =
R: 2
h) log 0,1 100 =
c) log 4 2 =
i) log 3 27 + log 3 1 =
R: 3
ñ) log 32 / log 2 =
R: 5
d) log 27 3 =
R: 1/3
j) log 5 25  log 5 5 =
o) log 3 / log 81 =
R : 0,25
e) log 5 0,2 =
k) log 4 64 + log 8 64 =
R: 2
R : 0,5
R: 1
R: 1
p) log 2 3  log 3 4 =
R: 2
R: 5
l) log 0,1  log 0,01 =
R: 1
f) log 2 0,25 =
R: 2
q) log 9 25  log 3 5 =
R: 1
2. Calcular:
√
a)
b)
3. Toma logaritmos de las siguientes expresiones:
a)
b)
√ √
c)
4. Use las propiedades de los logaritmos y finalmente su calculadora para determinar:
√ √ √
6