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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Universidad de Antioquia SEMILLERO INTEGRADO Grado 6 Comuna 5 Taller # 5 Matemáticas Técnicas Básicas de Conteo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) Desde sus primeros escritos manifiesta su interés por las matemáticas y por la aplicación de las mismas al conocimiento en todos los niveles. Su Dissertatio de Arte Combinatoria, editada en 1666, aparece como consecuencia de sus estudios en la universidad de Leipzig en las áreas de filosofía, historia, matemáticas y derecho, y en ese escrito se encuentran buena parte de sus ideas fundamentales sobre combinatoria y algunas de sus reglas básicas o método de investigación científica, que él llamó el Arte de Inventar. Leibniz ya había desarrollado los principales aspectos del cálculo infinitesimal hacia 1676, al final de su estancia en París, y publicara en 1684 su primer artículo sobre el tema, en las Acta Eruditorum: “Nova methodus pro maximis et minimis”, donde proponía un método nuevo para calcular las tangentes a una curva y también los máximos y mínimos de la misma. Hay dos principios básicos en conteo, ilustraremos mediante ejemplos claros. Una señora compró un pescado fresco para cocinarlo. En su manual de recetas encuentra tres recetas diferentes para hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y cuatro para prepararlo cocido. ¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado? Solución: En este caso los métodos para prepararlo, claramente no pueden realizarse juntos, así que en total, solo hay 3 + 2 + 4 = 9 maneras diferentes de prepararlo. Este ejemplo nos da paso a definir el PRINCIPIO DE LA ADICIÓN y en general se enuncia de la siguiente manera: Si una operación consiste de n pasos distintos y otra de m pasos distintos, y si ambas operaciones en cuestión no pueden realizarse juntas o ni en sucesión, entonces el número total de maneras en las que pueden realizarse ambas operaciones es m + n. razonamos de igual forma para los calcetines y los zapatos concluimos que tiene 4 × 6 × 5 × 2 = 240 formas distintas de vestirse. De igual forma que en el caso anterior podemos definir de una manera formal el PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN, en general se enuncia de la siguiente manera: Si una operación consta de n pasos distintos y otra de m pasos distintos, y si las operaciones en cuestión tienen que realizarse juntas o en sucesión, entonces el número total de maneras en las que pueden realizarse ambas operaciones es m × n. Es hora de introducir un nuevo concepto matemático muy interesante, llamado el factorial de un número. Se denota como n! donde n es un número natural y este símbolo significa el producto en orden de n y todos los números naturales menores que el hasta la unidad, es decir, n! = n × (n-1) × (n-2) ×…× 4 × 3 × 2 × 1 Por ejemplo: 3! = 3 × 2 × 1, por tanto 3! = 6 y 7!= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, o sea 7! = 5040 y además se define 0! = 1. Ahora pensemos en la siguiente situación: Si una persona tiene en su armario 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces ¿Cuantas opciones distintas tiene para escoger cómo vestirse? Otros dos métodos de conteo muy importantes son: la PERMUTACION y la COMBINATORIA igual que en el caso anterior introduzcamos estos conceptos mediante ejemplos: Solución: Dado que para vestirse la persona deberá utilizar una camisa, un pantalón, un par de calcetines y un par de zapatos a la vez, podemos contar las formas de vestirse de la siguiente manera: Si escoge un pantalón, un par de calcetines y un par de zapatos, entonces tendrá cuatro formas de vestirse, teniendo en cuenta que tiene cuatro camisas. Pero si solo escoge un par de calcetines y un par zapatos, tendrá 24 formas de vestirse ya que tiene seis pantalones y cuatro camisas, y si Como bien sabemos los anagramas son palabras o frases que se forman por la reorganización o transposición de letras de otra palabra o frase, para construir otra u otras de distinto significado. Por ejemplo los anagramas de la palabra ROMA, son AMOR, OMAR, RAMO, MORA, puedes encontrar mas… si le asignáramos a la letras A el número 1, a la letra M el 2, a la letra R el 3 y a la letra O el 4, entonces los anagramas se convertirían en las 4túplas (4 3 2 1), (1 2 3 4), (3 2 1 4), (4 1 2 3) y (2 3 4 1), si ahora nos olvidamos de su significado y de lo que puedan representar; estos reordenamientos de los números 1, 2, 3 y 4 se denominan PERMUTACIONES en el conjunto {1,2,3,4}. Las preguntas que surgen enseguida son ¿cuántas permutaciones se pueden hacer con este conjunto? ¿Y si sólo permutáramos algunos elementos del conjunto cuantas serían? La respuesta a la primera pregunta la podemos contestar de la siguiente manera: Utilicemos el principio de la multiplicación, es decir, la primera operación es escoger cualquiera de los cuatro números para ubicar en la primera posición, luego la segunda operación es escoger uno de los tres restantes para que ocupe la segunda posición, ahora solo nos quedan dos números para ubicar en la tercera posición y por ultimo tendremos una única opción para la cuarta posición, esto es: 4posibilidades×3posibilidades×2posibilidades×1posibilidad o lo que es lo mismo 4! = 24 formas distintas para organizar los cuatro números. Ahora bien, si nuestra intención es solo permutar dos de esos cuatro números, entonces los restantes van a estar fijos por tanto no los tendremos en cuenta a la hora de hacer el conten, esto es: 4 × 3 × 2 ×1 4! = 2 ×1 (4 − 2)! Esto es como si dispusiéramos de dos sillas para ser ocupadas por cuatro personas, en una de ellas podemos ubicar cualquiera de las cuatro personas y en la otra cualquiera de las tres restantes, por lo que en total hay doce formas distintas de ocupar las dos sillas vacías. Y en general lo denotáremos por el símbolo nPk y se lee n permutados de a k n Pk = n! (n − k )! Como a la permutación no le importa el orden entonces debemos definir un método que nos ayude a contar teniendo en cuenta el orden, este es la COMBINATORIA y lo podemos deducir del caso anterior así: Si deseamos saber de cuantas maneras puedo formar un grupo de tres personas escogiéndolas de un grupo de diez entonces podemos utilizar el resultado pero quitando las repeticiones, es decir: P3 10! 10 × 9 × 8 × 7! = = = 10 × 4 × 3 = 120 3! 3!(10 − 3)! 3!×7! 10 en general se denota por n C k = n tomados de a k. n! y se lee k!(n − k )! ACTIVIDAD: Resuelva los siguientes problemas utilizando los resultados anteriores. 1. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra. Para hacerlo puede optar por viajar en avión, camión ó tren. Y en cada uno de estos transportes puede elegir en primera o en clase turista. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? 2. En una fiesta se encuentran 10 hombres y ocho mujeres. ¿De cuántas formas pueden integrarse en parejas para bailar una pieza? 3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir tres números enteros distintos, entre los números del uno al quince, de modo que su suma sea un múltiplo de 3? (El orden no importa). 4. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante. 5. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS? 6. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? 7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3, 4, 5 y 6? 8. ¿De cuántos modos distintos pueden presentarse diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota? 9. Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden sentarse 7 personas? 10. Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen? 11. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas de un total de 12? 12. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 4 personas, de un total de 8, si una de ellas debe estar siempre incluida? 13. ¿Cuántos balotos distintos es posible llenar, si la condición del juego es sellar un tiquete con seis números distintos, de cuarenta y cinco posibles números distintos? Páginas de Internet: http://docencia.udea.edu.co/cen/semillero http://matematicas.udea.edu.co/~olimpic e-mail: semiller@matematicas.udea.edu.co Teléfonos: 2105648 - 2105649