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INICIACIÓN AL ÁLGEBRA ELEMENTAL Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera Primera edición: 2015 2016 © Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera © Ediciones Díaz de Santos, S. A. Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Ediciones D. D. S. México Cuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650 Delegación Benito Juárez, México, D. F. jnicasio@diazdesantosmexico.com http://www.diazdesantosmexico.com.mx/ Ediciones Díaz de Santos C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España jmdiaz@editdiazdesantos.com http:/www.editdiazdesantos.com ISBN: 978-84-9969-758-1 Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco. Impreso en México/Printed in Mexico alge � � Impreso en México/Printed in Mexico � Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco. � ISBN: 978-84-9969-758-1 � � � Ediciones Díaz de Santos C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España jmdiaz@editdiazdesantos.com http:/www.editdiazdesantos.com Contenido� �..................................................................................................................................�13� Ediciones D. D. S. México Cuicuilco 29C, col. Letrán Valle, C. P. 03650 Delegación Benito Juárez, México, D. F. jnicasio@diazdesantosmexico.com http://www.diazdesantosmexico.com.mx/ TEMA�1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR�Y�SUS�OPUESTOS�..........................................................�15� SUBTEMA�1.1.�LOS�NÚMEROS�PARA�CONTAR.�SIGNIFICADO�ORDINAL�Y�CARDINAL�........................................�16� SUBTEMA�1.2.�MÁS�DE�NÚMEROS�NATURALES�.....................................................................................�17� 1.2.1.�PROPIEDADES�DE�LA�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�......................................................................�17� 1.2.2.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�..........................................................�17� 1.2.3.�SOBRE�LA�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES.............................................................................�18� 1.2.4.�SOBRE�LA�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�NATURALES�...................................................................................�19� SUBTEMA�1.3.�OPUESTOS�DE�LOS�NÚMEROS�NATURALES.�LOS�NÚMEROS�ENTEROS�......................................�21� SUBTEMA�1.4.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�........................................�24� 1.4.1.�ADICIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.....................................................................................................�24� 1.4.2.�SUSTRACCIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................................................�25� 1.4.3.�OPERACIONES�COMBINADAS�DE�SUMAS�Y�RESTAS.�SIGNOS�DE�AGRUPACIÓN�...........................................�27� 1.4.4.�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�.........................................................................................�28� 1.4.5.�DIVISIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�....................................................................................................�29� SUBTEMA�1.5.�PROPIEDADES�DE�LAS�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................�31� 1.5.1.�PROPIEDADES�DE�LA�SUMA�DE�NÚMEROS�ENTEROS�............................................................................�31� 1.5.2.�PROPIEDADES�DE�LA�RESTA�NÚMEROS�ENTEROS�.................................................................................�32� 1.5.3.�PROPIEDADES�DE�LA�MULTIPLICACIÓN�DE�NÚMEROS�ENTEROS�..............................................................�33� No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Reservados todos los derechos. © Flor M. Rodríguez Vásquez Catalina Navarro Sandoval Elika S. Maldonado Mejía Jesús Romero Valencia Maribel Vicario Mejía Luis A. Campistrous Pérez Celia R. Rizo Cabrera © Ediciones Díaz de Santos, S. A. TEMA�2.�NÚMEROS�PARA�MEDIR�..............................................................................................�35� SUBTEMA�2.1.�LOS�NÚMEROS�NATURALES�NO�SON�SUFICIENTES...............................................................�36� SUBTEMA�2.2.�OPERACIONES�CON�NÚMEROS�RACIONALES�Y�EXPRESIONES�DECIMALES.�PROPIEDADES�..............�39� 2.2.1.�SUMA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�39� 2.2.2.�SUMA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�40� 2.2.3.�RESTA�DE�FRACCIONES�HOMOGÉNEAS�..............................................................................................�41� 2.2.4.�RESTA�DE�FRACCIONES�HETEROGÉNEAS�............................................................................................�42� Primera edición: 2015 � algebra_FINAL17x23.pdf 7 7� 27/11/2014 10:50:55 a.m. .m. 2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43� 2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44� SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE� MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45� 2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45� 2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45� 2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46� 2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46� TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49� SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50� 3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50� 3.1.2.�OPERACIONES�EN��.....................................................................................................................�51� 3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51� 3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53� SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,� CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56� 3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56� 3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59� PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64� �..................................................................................................................................�69� TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71� SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72� SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74� SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS� SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76� 4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77� 4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77� SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79� 4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79� 4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79� 4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80� TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83� � algebra_FINAL17x23.pdf 8 8� 27/11/2014 10:50:55 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 8 � 27/11/2014 10:50:55 a.m. 8� TEMA�5.�POLINOMIOS�Y�OPERACIONES�.....................................................................................�83� SUBTEMA�4.1.�LENGUAJE�COMÚN�Y�LENGUAJE�ALGEBRAICO�...................................................................�72� SUBTEMA�4.2.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS,�VALORES�INADMISIBLES.�DOMINIO�...........................................�74� SUBTEMA�4.3.�TÉRMINOS,�COEFICIENTES,�PARTE�LITERAL.�TÉRMINOS�SEMEJANTES,�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS� SEMEJANTES�.................................................................................................................................�76� 4.3.1.�REDUCCIÓN�DE�TÉRMINOS�SEMEJANTES�...........................................................................................�77� 4.3.2.�SUSTITUCIÓN,�VALOR�DE�UN�TÉRMINO�.............................................................................................�77� SUBTEMA�4.4.�OPERACIONES�CON�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................�79� 4.4.1�SUMA�Y�RESTA�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�....................................................................................�79� 4.4.2�MULTIPLICACIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�................................................................................�79� 4.4.3�DIVISIÓN�DE�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�...........................................................................................�80� TEMA�4.�EXPRESIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�71� �..................................................................................................................................�69� TEMA�6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................�119� PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�1�.........................................................................................�64� SUBTEMA�6.1.�LA�DESCOMPOSICIÓN�EN�FACTORES�DE�NÚMEROS�ENTEROS�...............................................�120� SUBTEMA�6.2.�EL�USO�DE�UN�FACTOR�COMÚN�PARA�DESCOMPONER�EN�FACTORES�.....................................�121� SUBTEMA�6.3.�FACTORIZACIÓN�DE�BINOMIOS:�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�Y�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�..�124� 6.3.1.�DIFERENCIA�DE�CUADRADOS�........................................................................................................�124� 6.3.2.�SUMA�Y�DIFERENCIA�DE�CUBOS�.....................................................................................................�124� SUBTEMA�6.4.�FACTORIZACIÓN�DE�TRINOMIOS:�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�Y�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..�126� 6.5.1.�TRINOMIO�CUADRADO�PERFECTO�..................................................................................................�126� 6.5.2.�TRINOMIO�CUADRÁTICO�..............................................................................................................�126� SUBTEMA�6.6.�FACTORIZACIÓN�DE�POLINOMIOS�DE�CUATRO�O�MÁS�TÉRMINOS.�USO�DE�LA�REGLA�DE�RUFFINI�.�127� SUBTEMA�3.1.�LOS�NÚMEROS�RACIONALES�NO�SON�SUFICIENTES�..............................................................�50� 3.1.1.�LOS�NÚMEROS�REALES�..................................................................................................................�50� 3.1.2.�OPERACIONES�EN��.....................................................................................................................�51� 3.1.3.�AXIOMAS�DE�CAMPO�....................................................................................................................�51� 3.1.4.�POSTULADOS�DE�ORDEN�................................................................................................................�53� SUBTEMA�3.2.�LA�RADICACIÓN�COMO�OPERACIÓN�INVERSA�DE�LA�POTENCIACIÓN,�PROPIEDADES.�RADICALES,� CÁLCULO�CON�RADICALES�.................................................................................................................�56� 3.2.1.�POTENCIACIÓN�............................................................................................................................�56� 3.2.2.�RADICACIÓN�................................................................................................................................�59� TEMA�7.�FRACCIONES�ALGEBRAICAS�........................................................................................�131� TEMA�3.�MÁS�NÚMEROS�...........................................................................................................�49� SUBTEMA�7.1.�FRACCIÓN�ALGEBRAICA,�NUMERADOR,�DENOMINADOR�Y�SIGNO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA132� SUBTEMA�7.2.�FRACCIONES�EQUIVALENTES,�SIMPLIFICACIÓN�DE�FRACCIONES�............................................�134� SUBTEMA�7.3.�DOMINIO�DE�UNA�FRACCIÓN�ALGEBRAICA.�VALOR�NUMÉRICO�...........................................�135� 2.2.5.�MULTIPLICACIÓN��DE�FRACCIONES�...................................................................................................�43� 2.2.6.�DIVISIÓN�DE�FRACCIONES�..............................................................................................................�44� SUBTEMA�2.3.�IGUALDAD�DE�RAZONES.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES,�PROPORCIONALIDAD�ENTRE� MAGNITUDES.�PORCENTAJES�............................................................................................................�45� 2.3.1.�IGUALDAD�DE�RAZONES�.................................................................................................................�45� 2.3.2.�PROPIEDADES�DE�LAS�PROPORCIONES�..............................................................................................�45� 2.3.3.�PROPORCIONALIDAD�ENTRE�MAGNITUDES�........................................................................................�46� 2.3.4.�PORCENTAJES�..............................................................................................................................�46� alge a.m. SUBTEMA�5.1.�MONOMIOS�Y�POLINOMIOS.�GRADO�DE�UN�MONOMIO�Y�DE�UN�POLINOMIO�..........................�84� SUBTEMA�5.2.�OPERACIONES�CON�POLINOMIOS�...................................................................................�86� 5.2.1.�SUMA�Y�RESTA�DE�POLINOMIOS�......................................................................................................�87� 5.2.2.�MULTIPLICACIÓN�DE�POLINOMIOS�...................................................................................................�90� 5.2.3.�DIVISIÓN�DE�POLINOMIOS�..............................................................................................................�93� SUBTEMA�5.3.�PRODUCTOS�NOTABLES�...............................................................................................�96� 5.3.1.�CUADRADO�DE�UN�BINOMIO�..........................................................................................................�97� 5.3.2.�CUADRADO�DE�LA�DIFERENCIA�DE�UN�BINOMIO�.................................................................................�99� 5.3.3.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CON�UN�TÉRMINO�COMÚN�.................................................................�102� 5.3.4.�PRODUCTO�DE�DOS�BINOMIOS�CONJUGADOS�..................................................................................�104� 5.3.5.�BINOMIOS�CON�TÉRMINO�SEMEJANTE�............................................................................................�106� 5.3.6.�TRINOMIO�AL�CUADRADO�............................................................................................................�108� 5.3.7.�CUBO�DE�UN�BINOMIO�................................................................................................................�109� 5.3.7.�SUMA�DE��DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�...............................................................................................�112� 5.3.8.�RESTA�DE�DOS�TÉRMINOS�AL�CUBO�................................................................................................�112� 5.3.9.�MULTIPLICACIÓN�DE�DOS�BINOMIOS�CUALESQUIERA�........................................................................�113� SUBTEMA�5.4.�DIVISIÓN�SINTÉTICA�DE�POLINOMIOS.�REGLA�DE�RUFFINI�..................................................�115� PROBLEMAS�Y�EJERCICIOS�BLOQUE�2�................................................................................�139� ALGO�QUE�DEBES�SABER.�TÉCNICAS�DE�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.....................................�143� ALGUNOS�CONSEJOS�PARA�RESOLVER�PROBLEMAS�...............................................................................�143� � algebra_FINAL17x23.pdf 9 9� 27/11/2014 10:50:56 a.m. .m. ¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144� ¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145� ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146� DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147� ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150� ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151� LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152� � � � � algebra_FINAL17x23.pdf 10 � 10� 27/11/2014 10:50:56 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 10 27/11/2014 10:50:56 a.m. � 10� Prólogo� El�presente�libro�está�especialmente�dedicado�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que�quieren� iniciar�sus�estudios�en�álgebra�elemental,�así�como�a�aquellos�estudiantes�de�bachillerato�que� deben�fortalecer�sus�conocimientos�en�dicha�área�de�la�matemática.� Hemos�considerado�diferentes�estilos�de�enseñanza�que�deben�ser�suscitados�en�el�proceso� educativo�y,�asimismo,�acudimos�a��investigaciones�en�didáctica�sobre�álgebra�elemental.� La�obra�se�ha�organizado�en�dos�bloques,�de�tal�forma�que�pueda�orientar�y�reforzar�sobre:� Bloque�1.�Estructuras�numéricas:�naturales,�enteros,�racionales,�reales.�� Bloque�2.�Estructuras�algebraicas�básicas:�productos�notables,�factorización�y�operaciones� con�polinomios.�� Cada��bloque�está�estructurado�por�temas�y�subtemas,�y�al�final�se�presenta�una�sección�dedicada� a�las�técnicas�para�resolver�problemas�con�la�finalidad�de�que�ayuden�a�obtener�éxito�en�las� actividades�sugeridas.�El�principal�objetivo�es�proveer�al�lector�de�una�estructura�organizada�para� estimular�el�gusto�por�la�iniciación�en�el�estudio�del�álgebra�elemental,�así�como�coadyuvar�en�la� comprensión�de�los�temas.�� Por�último,�queremos�externar�nuestro�agradecimiento�total�por�el�trabajo�y�esfuerzo�al�Cuerpo� Académico�Educación�Matemática�UAGRO�CA�154,�así�como�a�los�colaboradores:�Yanet�Tejada,� Gustavo�Antero,�Miguel�Cervantes,�Javier�García,�Martha�Rivera,�Florida�Pastrana�y�Yadira�Villareal,� quienes�con�sus�conocimientos,�propuestas�y�dedicación�enriquecieron�el�texto.��� Esta�obra�fue�auspiciada�por�el�proyecto�Fortalecimiento�del�Cuerpo�Académico�“Educación� Matemática”�aprobado�por�el�Programa�de�Mejoramiento�del�Profesorado.�Subsecretaría�de� Educación�Superior.�Secretaría�de�Educación�Pública.� � � � ¿SABÍAS�QUÉ…�HAY�DIFERENCIAS�ENTRE�LOS�EJERCICIOS�Y�LOS�PROBLEMAS?�............................................�144� ¿CÓMO�ENFRENTARSE�A�UN�PROBLEMA?�..........................................................................................�145� ETAPAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�.......................................................................................�146� DESCRIPCIÓN�DE�TÉCNICAS�EN�LA�RESOLUCIÓN�DE�PROBLEMAS�...............................................................�147� ANÁLISIS�DE�ALGUNAS�ESTRATEGIAS�.................................................................................................�150� ALGUNOS�CONSEJOS�QUE�TE�AYUDARÁN�A�PENSAR�MEJOR�....................................................................�151� LOS�AUTORES�..............................................................................................................................�152� � alge a.m. � � algebra_FINAL17x23.pdf 11 11� 27/11/2014 10:50:56 a.m. alge � � algebra_FINAL17x23.pdf 13 13� 27/11/2014 10:50:56 a.m. alge TEMA�1 1.�LOS�NÚ ÚMEROS�P PARA�CON NTAR�Y�SU US�OPUES STOS� � Sabías�que…� ( ))� Numeración�en�tablilla�cuneiforme�babilónica�� Los� números� naturalles� son� los� p primeros� que e� surgen� en� las� eas� de� contar� y� distintas� civilizacionees,� debido� a� que� las� tare nar�son�las�m más�elementaales�que�se�p pueden�realizzar� de�orden en� el� trratamiento� de� las� canttidades.� La� necesidad� de� efectuar� conteos,� desde� la� antigüedad,,� tuvo� com mo� consecue encia� que� el� hombree� inventara� sistemas� de� numeración� para� reepresentarloss.� Los� prim meros� númerros� fueron� ,� y� muccho� más� tarrde� apareció�� el� cero.� Los� números� nnaturales� fueron� creado os� para� conttar� objetos� presentes� p en n� la� naturaleeza,� de� ahí� su� nombre.� A Así,� cuando�d decimos�“ten ngo�herm manos”,�“un� mes�tiene� �o� �días”,,� “tengo��aaños”,� “el� esstado� de� Gue errero� tiene�� municipio os”,� estamo os� utilizando o� números� n naturales� paara� determin nar�cuántos�o objetos�hay.� Los�números�naturalees,�además�d de�ayudarnos�a�contar,�n nos� sirven� para� ordena ar.� Por� ejemplo:� decimoss� que� mayo� es� el� quinto o� mes� del� añ ño,� que� eress� el� tercer�hijo�en�tu�fam milia,�entre�o otros�casos.� Por�otro�lado,�en�ccuanto�a�los� números�enteros,�de�acu uerdo�con�daatos�históricos,�durante� los� siglos� I� y� II� a.� C.� en� China� yaa� se� utilizaban� los� númeeros� negativvos� (como� ccoeficientes� de� ecuaciones)� y� se� usaban� u las� reglas� r operativas� de� los� signos;� en� Europa� esto os� números� no� llegaro on�a�ser�cono ocidos�sino�haasta�la�alta�Ed dad�Media,�aa�través�de�los�textos�árab bes.� En�un�principio,�a�lo os�números� negativos�no o�se�les�recon nocía�como�n números�verd daderos,�porr�lo� que�se e�les�denomin naba�como�ffalsos,�ficticio os,�absurdos ,�imposibles..�Todavía�durrante�los�siglos� XVII� y� XVIII X � tanto�su u� concepto� co omo�fundam mentación�lóg gica� no� estab ban� claros,� aasí� que� algun nos� matem máticos�siguie eron�inventando�justificacciones,�mien tras�que�otro os�seguían�prrotestando�p por� su� uso o� hasta� principios� del� XIX.�. Su� construccción� formal�� a� partir� de� los� númeross� naturales,� ffue� realiza ada�por�Weierstrass�a�med diados�del�sig glo�XIX.�� A�pesa ar�de�las�dificultades�que�representó�e el�reconocimiiento�de�los�n números�neg gativos�a�travvés� de�la�h historia,�hoy� día�nadie�du uda�de�su�existencia�como o�modelo�maatemático,�y�menos�aún� de� su� neccesidad� para� interpretar� y� representaar� diversas� ssituaciones� cotidianas� (so obre� todo� paara� repressentar�deudas,�temperatu uras�por�debaajo�de�cero,�eentre�otras).� Situa ación� prob blema� � algebra_FINAL17x23.pdf 15 ele� a� un� compañero� que� lance� l 3� dado os� y� no� te� diga� el� resultado.� Ahora� paara� Píde “adivinar”�los�núm meros�pídele�q que�realice�lo� siguiente:�1)�m multiplicar�porr��el�número� de� mar�al� resul tado� anteriorr;� 3)� multiplicaar� por��la� sum ma� punttos� del� primer� dado;� 2)� sum ante erior;� 4)� sumaar��al� produccto� anterior;� 5)� sumar� los� puntos� del� se egundo� dado� al� últim mo�resultado;� 6)�multiplicarr�por��la�sum ma�anterior;�7))�sumar�los�puntos�del�terccer� dado o� al� producto o� anterior;� 8)� restar�.� E l� resultado� qu ue� se� obtiene e� es� un� núme ero� cuya as� centenas� so on� los� puntoss� del� primer� d dado,� las� deceenas� se� corressponden� con� llos� punttos�del�segund do�dado,�y�las�unidades�son� los�puntos�deel�tercer�dado.�Compruébalo o.� 15� 27/11/2014 10:50:56 a.m. .m. Subte ema�1.1.�Los�número os�para�co ontar.�Sign nificado�orrdinal�y�ca ardinal� Los�nú úmeros� �aparecen�como�núme eros�ordinaless�(primero,�ssegundo,�terccero…)�y�com mo� númerros� cardinales� (número� natural� n correspondiente� aal� total� de� eelementos� de e� un� conjunto).�� Una� fo orma� de� con nstruir� los� nú úmeros� naturrales� queda� definida� porr� los� siguienttes� Axiomas� de� Peano::� 1) �es�un�núm mero�natural.� 2) Cada�núme ero�natural��posee�un�succesor��(��ees�� ).� 3) �no�posee�antecesor,�e es�decir,�en�lo os�naturales�n no�hay�un��ttal�que� �sea�.�� 4) Si� ,�e entonces� .� 5) Si��pertenece�a�un�con njunto�de�núm meros�naturaales�y�siemprre�que��está�en�el�conjun nto�� su� sucesor��está� en� el� conjunto,� entonces� e est e� conjunto� ees� el� conjuntto� de� todos� los� números�na aturales.�� Por�lo�general,�el�co onjunto�de�lo os�números�n naturales�se�rrepresenta�por�el�símbolo o�.� Regula armente�los�n números�naturales�se�ord denan�y�se�re presentan�so obre�la�semirrrecta�numérrica� como�sse�muestra�a a�continuación:� � Orige en�o�punto�de� referencia� � � Para�la a�construcció ón�de�ésta,�partimos�de�u un�punto,�al�q que�le�llamam mos�origen,� y�un�segmen nto� de�unidad.�Para�iniciar�la�constrrucción�coloccamos�un�exttremo�en�el� origen�y�en�d donde�llegue e�la� mero�.� otra�orrilla�derecha�del�segmentto�lo�marcamos�con�el�núm Después�se�transporta�el�segm mento�unidad�en�el��y�a�p partir�del�uno o�se�marca�e el�otro�extrem mo� con� el�,� repitiendo o� esta� operaación� se� marrcan� los� núm meros� naturalles� sucesivoss� hasta� llegar� a� tener�la�semirrecta�de�los�núme eros�naturales.�� � Así,�el�conjunto�de�números�natturales�es�inffinito�y�podem mos�represen ntarlo�como::�� ����� � � algebra_FINAL17x23.pdf 16 �� 16� 27/11/2014 10:50:56 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 17 27/11/2014 10:50:56 a.m. 17� Subte ema�1.1.�Los�número os�para�co ontar.�Sign nificado�orrdinal�y�ca ardinal� � Los�nú úmeros� �aparecen�como�núme eros�ordinaless�(primero,�ssegundo,�terccero…)�y�com mo� númerros� cardinales� (número� natural� n correspondiente� aal� total� de� eelementos� de e� un� conjunto).�� Una� fo orma� de� con nstruir� los� nú úmeros� naturrales� queda� definida� porr� los� siguienttes� Axiomas� de� Peano::� 1) �es�un�núm mero�natural.� 2) Cada�núme ero�natural��posee�un�succesor��(��ees�� ).� 3) �no�posee�antecesor,�e es�decir,�en�lo os�naturales�n no�hay�un��ttal�que� �sea�.�� 4) Si� ,�e entonces� .� � Por�ejemplo:� 5) Si��pertenece�a�un�con njunto�de�núm meros�naturaales�y�siemprre�que��está�en�el�conjun nto�� su� sucesor��está� en� el� conjunto,� entonces� e est e� conjunto� ees� el� conjuntto� de� todos� los� números�na aturales.�� Por�lo�general,�el�co onjunto�de�lo os�números�n naturales�se�rrepresenta�por�el�símbolo o�.� Regula armente�los�n números�naturales�se�ord denan�y�se�re presentan�so obre�la�semirrrecta�numérrica� como�sse�muestra�a a�continuación:� Comprobación:�� � Orige en�o�punto�de� referencia� Por�ejemplo:� � � Para�la a�construcció ón�de�ésta,�partimos�de�u un�punto,�al�q que�le�llamam mos�origen,� y�un�segmen nto� de�unidad.�Para�iniciar�la�constrrucción�coloccamos�un�exttremo�en�el� origen�y�en�d donde�llegue e�la� mero�.� otra�orrilla�derecha�del�segmentto�lo�marcamos�con�el�núm Comprobación:�� Por�ejemplo:� Después�se�transporta�el�segm mento�unidad�en�el��y�a�p partir�del�uno o�se�marca�e el�otro�extrem mo� con� el�,� repitiendo o� esta� operaación� se� marrcan� los� núm meros� naturalles� sucesivoss� hasta� llegar� a� tener�la�semirrecta�de�los�núme eros�naturales.�� � � Así,�el�conjunto�de�números�natturales�es�inffinito�y�podem mos�represen ntarlo�como::�� ����� �� � 16� � algebra_FINAL17x23.pdf 16 27/11/2014 10:50:56 a.m. a.m. � Propiedad� asociativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que� �� La� multiplicación� de� números� naturales� cumple� las� propiedades� asociativa,� conmutativa,� elemento�neutro�y�distributiva�del�producto�respecto�de�la�suma.� 1.2.2.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�naturales� .� Elemento�neutro:�el��es�el�elemento�neutro�de�la�suma�de�enteros�porque,�cualquiera�que�sea� el�número�natural�,�se�cumple�que� .�� y�además� ,�por�lo�que�se�verifica�la�propiedad�conmutativa.��� .��� Propiedad� conmutativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que������������������ .� � .� .� .� Propiedad� asociativa:� si� �son� números� naturales� cualesquiera,� se� cumple� que� .� La�adición�de�números�naturales�cumple�las�siguientes�propiedades:�� 1.2.1.�Propiedades�de�la�adición�de�números�naturales�� � Multiplicación� Suma� � En� los� números� naturales� sólo� están� definidas� las� operaciones� de� adición� y� multiplicación.� Cuando�se�suman�o�se�multiplican�dos�números�naturales,�el�resultado�es�otro�número�natural,� esto�significa�que�la�operación�es�cerrada,�por�ejemplo:� Subtema�1.2.�Más�de�números�naturales� alge .m. emplo:� Por�eje .�� Comprrobación:� .��� � .�� Los�ressultados�coin nciden,�de�mo odo�que�la�prropiedad�se�ccomprueba.�� Propiedad� conmutativa:� si� �son� núm meros� natu urales� cualesquiera,� se� cumple� q que������������������ .� Por�eje emplo:� .� Elemen nto�neutro:�e el��es�el�elem mento�neutro o�de�la�multiiplicación�porque,�cualqu uiera�que�seaa�el� númerro�natural�,�sse�cumple�qu ue� .�� Por�eje emplo:� � Distrib butiva� del� pro oducto� respeccto� de� la� sum ma:� si� �sson� númeross� naturales� cualesquiera,� se� cumple e�que� .�� Por�eje emplo:� .� Para�co omprobar�la�igualdad,�ressolveremos�ccada�miembrro�de�la�ecuacción:�� .� .� Como�los�resultado os�coinciden,�la�propiedad d�se�cumple.� � � 1.2.3.�Sobre�la�susstracción�de e�números�n naturales�� al� que� la� sum ma,� la� resta� es� e una� operaación� que� see� deriva� de� laa� operación� de� contar.� P Por� Al� igua ejemplo,�si�tenemo os��gallinass�y�los�coyote es�se�comen� , ¿cuántas�g gallinas�nos�quedan?�� Es�imp portante�sabe er�que�los�térrminos�de�la�resta�se�llam man�minuendo o�(las�gallinass�que�tenemo os)� y�sustrraendo�(las�ga allinas�que�se e�comieron�lo os�coyotes).�� � � � � algebra_FINAL17x23.pdf 18 Minuendo o Resultado� Su ustraendo 18� 27/11/2014 10:50:56 a.m. ������ Esto� corresponde� a� realizar� un na� operación n� llamada� suustracción� o� rresta,� y� se� p puede� expressar� como:� .� algebra_FINAL17x23.pdf 19 � 27/11/2014 10:50:56 a.m. 19� emplo:� Por�eje .�� Comprrobación:� � .��� � .�� ଷ ସ Los�ressultados�coin nciden,�de�mo odo�que�la�prropiedad�se�ccomprueba.�� � � ସ erente�que�� .�. es�dife ଷ ple�con�la�pro opiedad�conm mutativa.�No o�es�lo�mismo o� ��que�� ,��por�ejemplo,� �� La�división�no�cump Propiedad� conmutativa:� si� �son� núm meros� natu urales� cualesquiera,� se� cumple� q que������������������ .� ݀ ݀ሻ �� ܿܿሻ ଵଷ ଵହ ଵ ଵଶହ Por�eje emplo:� ଵ ଵହ ହ ହ ଵ �� .� � ݀ሻ ܿሻ Elemen nto�neutro:�e el��es�el�elem mento�neutro o�de�la�multiiplicación�porque,�cualqu uiera�que�seaa�el� númerro�natural�,�sse�cumple�qu ue� .�� �� ܾ ܾሻ �� ଽ ଵ � ܽ ܽሻ ଵଶ ଶହ ସ ଵ Por�eje emplo:� ଷ ହ � �� � ܾሻ ܽሻ ����� División�exacta� Distrib butiva� del� pro oducto� respeccto� de� la� sum ma:� si� �sson� númeross� naturales� cualesquiera,� se� cumple e�que� .�� Divissión�inexactaa� � Por�eje emplo:� La�división�también n�se�puede�re epresentar�co omo:�� �,�ܦǣ ݀ ݀,ܦൗ݀ Ǥ� ௗ Si�el�re esto�es�cero,�la�división�se�llama�exactaa,�y�en�caso�ccontrario,�es�inexacta.�� .� Para�co omprobar�la�igualdad,�ressolveremos�ccada�miembrro�de�la�ecuacción:�� .� .� ������ݍ ݍ �݀���ܦ �ܦ ��������ݎݎ � Como�los�resultado os�coinciden,�la�propiedad d�se�cumple.� � ������� D Dividendo� � Divissor� 1.2.3.�Sobre�la�susstracción�de e�números�n naturales�� � Resid duo�� � Cocieente� � al� que� la� sum ma,� la� resta� es� e una� operaación� que� see� deriva� de� laa� operación� de� contar.� P Por� Al� igua ejemplo,�si�tenemo os��gallinass�y�los�coyote es�se�comen� , ¿cuántas�g gallinas�nos�quedan?�� Los�términos�de�la a�división�se� llaman�divideendo�(el�núm mero�de� objeetos),�divisor� (el�número� de� sujetoss),�cociente�((el�número�que�le�corresp ponde�a�lo�q ue�se�repartiió)�y�resto�o� residuo�(lo�q que� sobra)).�� Esto� corresponde� a� realizar� un na� operación n� llamada� suustracción� o� rresta,� y� se� p puede� expressar� como:� .� La�división�es�la�operación�que�permite�repaartir�un�deterrminado�núm mero�de�objettos�(dividend do)� entre�o otro�determinado�número�de�objetos�o�sujetos�(d ivisor�que�tieene�que�ser�diistinto�de�cerro).� En�otra as�palabras,�lla�división�consiste�de�calcular�cuántass�veces�el�divvidendo�conttiene�al�diviso or.�� Es�imp portante�sabe er�que�los�térrminos�de�la�resta�se�llam man�minuendo o�(las�gallinass�que�tenemo os)� y�sustrraendo�(las�ga allinas�que�se e�comieron�lo os�coyotes).�� Minuendo o � Resultado� � � Por�eje emplo:� Su ustraendo � 18� � algebra_FINAL17x23.pdf 18 27/11/2014 10:50:56 a.m. a.m. ������� 1.2.4.�Sobre�la�div visión�de�nú úmeros�natu urales� �ͺ െ Ͷ ൌ Ͷ,�pero�Ͷ െ ͺ ൌ െͶ.�Y�obviamente,,�Ͷ�es�diferen nte�de�െͶ.� e�con�la�propiiedad�conmu utativa,�es�de cir,�ܽ െ ܾ ് ܾ െ ܽ.� La�restta�no�cumple alge .m. EJERCICIOS�RESUELTOS� 1. Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo� siguiente�según�corresponda:� Ejercicio� Solución� � ��������������������� � ������������������ ��� � � �������� � � � �� � ����������������������������� � � � ���������������������� �� � � � 2. El� fin� de� semana� la� mamá� de� Juanito� compró��kg� de� naranjas� por�,��kg� de� fresa� por� �y��kg�de�manzana�por�.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto� gastó�en�las�frutas?� Solución:� Si� por��kg� de� naranjas� pagó�,� entonces� basta� con� dividir��por��kg,� por� lo� que� el� kilogramo�de�naranja�costó�.� Ahora,�si�por��kg�de�fresa�se�pagó�,�entonces�el�kg�costó�.� Y�si�por��kg�de�manzanas�se�pagó�,�por�lo�que�el�kilo�costó�.� En�total�se�gastó:� � � � algebra_FINAL17x23.pdf 20 � 20� 27/11/2014 10:50:56 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 20 27/11/2014 10:50:56 a.m. � 20� � � 1. Usa ando� las� pro opiedades� disstributiva,� associativa� y� cconmutativa� y� la� propied dad� del� neuttro� resu uelve�las�sigu uientes�operaaciones:��� b) � f) � d) h) � j) � l) � En�total�se�gastó:� k) i) g) e) � c) � a) � � Y�si�por��kg�de�manzanas�se�pagó�,�por�lo�que�el�kilo�costó�.� � Ahora,�si�por��kg�de�fresa�se�pagó�,�entonces�el�kg�costó�.� Si� por��kg� de� naranjas� pagó�,� entonces� basta� con� dividir��por��kg,� por� lo� que� el� kilogramo�de�naranja�costó�.� 2. Mi� amigo� José� nos� invitó� a� una� reunión n� para� celebrrar� su� cumplleaños.� Comp pró��pizzas� de� �c/u,��reffrescos� de� �c/u,��paquetes� de� va sos� de��c/u u,��paquetes� de� platos� de� �c/u�y��e en�diversos�aartículos.�José é�cuenta�con n�.� Solución:� 2. El� fin� de� semana� la� mamá� de� Juanito� compró��kg� de� naranjas� por�,��kg� de� fresa� por� �y��kg�de�manzana�por�.�¿Cuál�fue�el�costo�de�cada�tipo�de�fruta�por�kilo?�¿Cuánto� gastó�en�las�frutas?� ¿Cuántto�dinero�llevva�gastado�Jo osé?�� ¿Le�alccanzará�para�comprar�el�p pastel�(que�cu uesta�ccon�el�resto�d del�dinero?�� ¿Qué�o operaciones�ttiene�que�reaalizar�para�haacer�el�cálculo o�total?�� � 3. Un�número�natu ural�de�tres�cifras�es��ve eces�la�suma� de�sus�cifrass.�¿Cuál�es�el�n número?� � � ���������������������� �� � � �� Subte ema�1.3.�O Opuestos�d de�los�núm meros�natu urales.�Loss�números�enteros� � En�el�p primer�subtema�de�este�b bloque�trabaajamos�los�nú úmeros�natu urales,�los�cuales�se�pued den� repressentar�sobre�la�recta�de�la�manera�sigu uiente:� � �������� � ����������������������������� � Origen�o�punto�de� re eferencia� � � � � � � � �Ahora a� bien,� en� esste� subtema� interesa� pre esentar� los� o opuestos� dee� los� número os� naturales..� A� partir� de� los�núme eros� naturales�que�ya�con nocemos,� a� llo�cuales�tam mbién� se�les� llama� númerros� entero os� positivos� y� se� distingu uen� por� ser� mayores� qu ue� el� cero,� sse� construyen� los� númerros� entero os�negativos,�que�son�los� opuestos�de e�los�número os�naturales�yy�además�son�menores�q que� cero.�P Para�expresar�el�sentido�d de�un�número o�se�utilizan� los�signos��y�,�los�cuales�se�colocan n�a� la�izquierda�del�núm mero�natural.� � � ������������������ ��� ��������������������� Ejercicio� Usando�las�propiedades�distributiva,�asociativa,�elemento�neutro�y�conmutativa,�resuelve�lo� siguiente�según�corresponda:� � 1. Solución� EJERCICIOS�RESUELTOS� alge a.m. EJERCICCIOS�PROPUESTTOS� � algebra_FINAL17x23.pdf 21 21� 27/11/2014 10:50:56 a.m. .m. o�de�referenccia,�y�ubicam mos� Entoncces,�para�ubicarlos�en�la�rrecta�numérica�partimos� de�un�punto los�núm meros��negattivos�y�positivvos�como�se�muestra�en�lla�siguiente�ffigura:� � El�número�de�referencia�� � � � � � A�la�izquierda a�del�cero�ubicamo os�a�los� núm meros�negativos� � A�la�derecha�deel�cero�ubicamos�aa�los� númerros�positivos� � � � Por� ta anto,� a� los� números� n entteros� positivvos� los� podeemos� denotaar� por� �y� a� los� númerros� entero os�negativos�como� ,�de e�modo�que�la�unión�de� ,� �y� rep presenta�el�cconjunto�de�llos� númerros�enteros�yy�es�representado�por�.�� ���������������� � � Los�nú úmeros�enterros,�al�igual�q que�los�núme eros�naturale s,�están�ordeenados,�por�lo�que�cumpllen� lo�siguiente:�� 1) Todo�núme ero�positivo�e es�mayor�que e�.� quier�número�negativo.�� 2) El��es�mayyor�que�cualq 3) Si� un� núme ero� es� positiivo,� es� mayo or� cuanto� maayor� sea�su�símb bolo�numérico.� 4) Si� un� núme ero� entero�ess� negativo,� es� e mayor� cuaanto� menor�sea�su�símbolo�n numérico.� Así� como� podemos� repreesentar� y� ubicaar� a� los� númeeros� naturales� en n� la� recta,� tamb bién� podemos� ub bicar� a� los� númeeros� enteros� po ositivos� y� negativos,� observando� su� orden n�y�posición.�� � Por�últtimo,�para�po oder�expresar�que�un�núm mero�es�mayo or�que�otro,�sse�utiliza�el�síímbolo�.� Así:� .��� � EJERCICCIOS�PROPUESTTOS� 1. Loccaliza�en�la�re ecta�los�siguie entes�número os:� � � � algebra_FINAL17x23.pdf 22 22� 27/11/2014 10:50:56 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 22 27/11/2014 10:50:56 a.m. � 22� 1. Loccaliza�en�la�re ecta�los�siguie entes�número os:� � � � 2. Obsserva� el� dibu ujo� y� completa� las� oracciones� con� laas� distanciass� a� que� se� e encuentran� los� ob bjetos�represe entados,�del�nivel�del�marr.� EJERCICCIOS�PROPUESTTOS� Así:� .��� � Por�últtimo,�para�po oder�expresar�que�un�núm mero�es�mayo or�que�otro,�sse�utiliza�el�síímbolo�.� � 4) Si� un� núme ero� entero�ess� negativo,� es� e mayor� cuaanto� menor�sea�su�símbolo�n numérico.� Así� como� podemos� repreesentar� y� ubicaar� a� los� númeeros� naturales� en n� la� recta,� tamb bién� podemos� ub bicar� a� los� númeeros� enteros� po ositivos� y� negativos,� observando� su� orden n�y�posición.�� 3) Si� un� núme ero� es� positiivo,� es� mayo or� cuanto� maayor� sea�su�símb bolo�numérico.� � La�base�del�helicóp ptero�está��a���m��sobre��el�nivel�del�m mar.� 1) Todo�núme ero�positivo�e es�mayor�que e�.� quier�número�negativo.�� 2) El��es�mayyor�que�cualq El�faro�está�a�_____ ___�m�______ __��el�nivel�de el�mar.� Los�nú úmeros�enterros,�al�igual�q que�los�núme eros�naturale s,�están�ordeenados,�por�lo�que�cumpllen� lo�siguiente:�� El�ancla�del�barco�e está�a��______ ____�m�_____ _��el�nivel�dell�mar.� La�estrrella�está�a��_ _________�m,,�o�bien,�a�___ _____�m�bajo o�el�nivel�del�mar.� � La�torttuga�que�va�h hacia�la�dereccha�se�encuentra�a�________m�de�profundidad�del�mar.� � La�torttuga�que�va�e en�dirección�aal�faro�se�enccuentra��a�___ ________�mettros.� Por� ta anto,� a� los� números� n entteros� positivvos� los� podeemos� denotaar� por� �y� a� los� númerros� entero os�negativos�como� ,�de e�modo�que�la�unión�de� ,� �y� rep presenta�el�cconjunto�de�llos� númerros�enteros�yy�es�representado�por�.�� ���������������� 3. En�lla�lista�de�loss��principales,�el�disco�favorito�de�Jaanet�estaba�ttres�lugares�m más�abajo�de e�lo� qu ue� había� esta ado� la� semaana� anterior..� La� antigua� posición� erra� la�.� ¿Cuál� es� la� nue eva� po osición?� 4. En�lla�tabla�de�la�liga�de�futbo ol�mexicano, el�equipo�dee�las�Chivas�subió�cuatro�p posiciones�essta� sem mana.�Anteriiormente�esttaba�en�la�possición�.�¿En n�qué�posició ón�se�encuentra�ahora?� � � 5. En� la� lista� de� lo os��principales,� el� disco o� favorito� dee� Susana� pasó� del� lugar� r��al� lugar� .� ubió�o�bajó?�¿¿Cuántos�pue estos?� ¿Su � � A�la�derecha�deel�cero�ubicamos�aa�los� númerros�positivos� A�la�izquierda a�del�cero�ubicamo os�a�los� núm meros�negativos� 6. Un� día,�en�la�región�Montañ ña�del�estado o�de�Guerrerro,�la�temperratura�ascend dió�entre e�la� sallida�del�sol�y�el�mediodía..�A�la�salida�d del�sol�se�reg gistraban�.�¿Cuál�era� la�temperatu ura� al�m mediodía?� � � 7. En� el�estado�de� Guerrero,�laa�temperaturra�es�de��een�la�montañ ña�alta�y�de� �en�la�sierra� de�Atoyac.�Si�allguien�hubiesse�viajado�de e�la�montaña� a�la�sierra�dee�Atoyac,�¿haabría�notado�un� mperatura?� asccenso�o��desccenso�de�tem � � � 8. La� computadora� de� Pedrro� costó� �más� q que� la� de� Mariana.� Si� Pedro� paagó������������� �por�su u�computadora,�¿cuánto�ccostó�la�de�M Mariana?� � El�número�de�referencia�� � o�de�referenccia,�y�ubicam mos� Entoncces,�para�ubicarlos�en�la�rrecta�numérica�partimos� de�un�punto los�núm meros��negattivos�y�positivvos�como�se�muestra�en�lla�siguiente�ffigura:� alge a.m. � es�mayor:���o�?�_____ _�������������������������������������¿Quéé�es�mayor:� �o�?�______� ¿Qué�e � algebra_FINAL17x23.pdf 23 23� 27/11/2014 10:50:56 a.m. .m. Subte ema�1.4.�O Operacione es�con�núm meros�ente eros.�� Signo os�de�agrupación� 1.4.1.�Adición�de�n números�en nteros� ma�en�los�núm meros�entero os�tiene�vario os�significado os,�entre�ello os:�añadir,�ag gregar,�avanzzar,�� La�sum al�igual�que�en�los�n números�naturales.� Veamo os�el�siguiente�ejemplo�ussando�la�representación�een�la�recta�nu umérica:�� Sea� �y� .��Calcula� .� � � � A�partiir�de��se�avvanza��unidades�hacia�laa�derecha,�pu uesto�que��tiene�signo�po ositivo.�El� resulta ado�es�el�núm mero�,�lo�q que�algebraicamente�corrresponde�a:� � � Casos�de�la�suma�de�números�enteros.� 1. Si�lo os�dos�núme eros�que�se�suman�son�po ositivos,�el� resu ultado�es�otrro�número�po ositivo.� Porr�ejemplo:� .� Cuando� sumaas� números� con� ssignos� iguales,� ya� sean� posittivos� o� negativoss,� el� resultado� conserva�el�sig gno.� � mas� números� con� signos� Cuando� sum diferentes,� ell� resultado� conserva� el� signo� del� número� mayor� en� valor� absoluto.� En� este�caso,�las� cantidades�se�resstan.� 2. Aná álogamente,� cuando� los� dos� númeross� que� se� sum man� son� negativos,�el� ressultado� es�ottro� núm mero�negativvo.� �����Porr�ejemplo:� 3. En� el� caso� en� que� q los� sum mandos� tengaan� distinto� no,�el�resultado�puede�ser�positivo�o�n negativo.� sign Porr�ejemplo:� � �y� .� � algebra_FINAL17x23.pdf 24 VALOR�ABSO OLUTO�DE�UN�NÚ ÚMERO.� Se� llama� vaalor� absoluto� de e� un� número� entero� al� nú úmero� natural� q que� resulta� de� eliminar�el�signo�del�número�e entero.�� do� el� número� Y� se� repressenta� escribiend entero�entree�dos�barras�verticcales�� � bsoluto� de� �e es� el� número� El� valor� ab natural�:� .� � 24� 27/11/2014 10:50:56 a.m. 27/11/2014 10:50:56 a.m. 25� Subte ema�1.4.�O Operacione es�con�núm meros�ente eros.�� Signo os�de�agrupación� algebra_FINAL17x23.pdf 25 1.4.1.�Adición�de�n números�en nteros� � ma�en�los�núm meros�entero os�tiene�vario os�significado os,�entre�ello os:�añadir,�ag gregar,�avanzzar,�� La�sum al�igual�que�en�los�n números�naturales.� Veamo os�el�siguiente�ejemplo�ussando�la�representación�een�la�recta�nu umérica:�� Sea� �y� .��Calcula� .� � � A�partiir�de��se�avvanza��unidades�hacia�laa�derecha,�pu uesto�que��tiene�signo�po ositivo.�El� resulta ado�es�el�núm mero�,�lo�q que�algebraicamente�corrresponde�a:� � � Casos�de�la�suma�de�números�enteros.� 1. Si�lo os�dos�núme eros�que�se�suman�son�po ositivos,�el� resu ultado�es�otrro�número�po ositivo.� Porr�ejemplo:� .� Cuando� sumaas� números� con� ssignos� iguales,� ya� sean� posittivos� o� negativoss,� el� resultado� conserva�el�sig gno.� � mas� números� con� signos� Cuando� sum diferentes,� ell� resultado� conserva� el� signo� del� número� mayor� en� valor� absoluto.� En� este�caso,�las� cantidades�se�resstan.� � � 2. Aná álogamente,� cuando� los� dos� númeross� que� se� sum man� son� negativos,�el� ressultado� es�ottro� núm mero�negativvo.� �����Porr�ejemplo:� C C C C 3. En� el� caso� en� que� q los� sum mandos� tengaan� distinto� no,�el�resultado�puede�ser�positivo�o�n negativo.� sign � � � � Porr�ejemplo:� VALOR�ABSO OLUTO�DE�UN�NÚ ÚMERO.� Se� llama� vaalor� absoluto� de e� un� número� entero� al� nú úmero� natural� q que� resulta� de� eliminar�el�signo�del�número�e entero.�� do� el� número� Y� se� repressenta� escribiend entero�entree�dos�barras�verticcales�� � bsoluto� de� �e es� el� número� El� valor� ab natural�:� .� C C � � �y� .� C� � � 24� � algebra_FINAL17x23.pdf 24 27/11/2014 10:50:56 a.m. a.m. � � Esto�se e�expresa�asíí:� .� La�dife erencia�es�de��grados,�pe ero�en�sentido�negativo,�l uego�la�variaación�es�de� .� � mómetro�ha�p pasado�de� C�a�marcar��Celssius.� El�term Cambio�:�registro� .� � El�cambio,�por�tantto,�es�de�,�yy�como�adem más�ha�aumen ntado,�enton nces�es�positivva,�luego�la� diferen ncia�es�de� �Esto�se�expresa�numé éricamente�m mediante�unaa�resta:� � El�term mómetro�ha�p pasado�de�maarcar�C C�a�marcar� �Celsius.� Cambio�:�registro� .� � ¿Cuáles�son�los�cam mbios�sucesivvos�que�se�haan�ido�experim mentando?� � Temperatura� Registro� � gistros�de�tem mperatura�to omados�en�una�estación�m meteorológicca�en�un�ciertto�periodo�de e� Los�reg tiempo o�son:� on�el�siguiente�ejemplo:� Para�este�subtema�iniciemos�co n�de�número os�enteros� 1.4.2.�Sustracción alge .m. Cambio�:�registro� .� mómetro�ha�p pasado�de� C�a��Celsius.� El�term � � La�dife erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo,�es�deciir,�� Numérricamente�se e�expresa�así � � Cambio�:�registro� .� El�term mómetro�ha�p pasado�de� C�a��Celsius.� � � La�dife erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo:�.� Numérricamente�se e�expresa�así:� .� � Cambio�:�registro� .� El�term mómetro�varíía�de�C�a��Celssius.� � � Es�una�variación�po ositiva�de��grados,�es�deccir:�.� Se�exp presa�así:� .� Al� igua al�que� en�loss� números�naaturales,� algu unos�signific ados� de� resttar� en� los� nú úmeros� enterros� son�qu uitar,�eliminarr,�retrocederr,�entre�otros.� � � algebra_FINAL17x23.pdf 26 26� 27/11/2014 10:50:56 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 26 27/11/2014 10:50:56 a.m. � 26� � � Al� igua al�que� en�loss� números�naaturales,� algu unos�signific ados� de� resttar� en� los� nú úmeros� enterros� son�qu uitar,�eliminarr,�retrocederr,�entre�otros.� � Se�exp presa�así:� .� Minuendo � Resultado� � Es�una�variación�po ositiva�de��grados,�es�deccir:�.� � � Sustrraendo � � 1.4.3.�Operacione es�combinad das�de�sumas�y�restas.�SSignos�de�agrrupación� Las� op peraciones� combinadas� c y restas� pueeden� tener� ttantos� núme eros� como� ssea� de� sumas� y� posible e.� Por� tal� razzón,� es� convveniente� agru upar� algunass� cantidades� para� indicarr� que� éstas� sson� consid deradas� como� una� sola.� Los� símbolo os� usados� p para� este� propósito� son:� el� parénte esis� circula ar�u�ordinario� ,�el�paré éntesis�rectan ngular�o�corcchete� �y�laas�llaves� .���� � Cambio�:�registro� .� El�term mómetro�varíía�de�C�a��Celssius.� Ejemp plo� La�dife erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo:�.� Re eglas�para�ssuprimir�los� síímbolos�de�a agrupación� Numérricamente�se e�expresa�así:� .� � � 1. Cua ando� una� expresión� � compuesta�de�va arias�cantidaades� � está� encerrada� e por� p un� símb bolo� ��������������� � de� agrupación� prrecedido� po or� el� � signo�,�el�símb bolo�se�suprrime� sin� ca ambiar� los� signos� de� las� cantid dades�de�la�e expresión.� � El�term mómetro�ha�p pasado�de� C�a��Celsius.� � Cambio�:�registro� .� 2. Cua ando� una� expresión� � compuesta�de�va arias�cantidaades� � está� encerrada� e por� p un� símb bolo� � de� agrupación� prrecedido� po or� el� � � signo�,�el�símb bolo�se�suprrime� cambiiando�el�signo�de�cada� una� de� las� l cantid dades� de� la� expresión.� Numérricamente�se e�expresa�así � � La�dife erencia�es�de��grados�en�sentido�negaativo,�es�deciir,�� � mómetro�ha�p pasado�de� C�a��Celsius.� El�term � Cambio�:�registro� .� alge a.m. estar�número os�enteros�se e�suma�al�min nuendo�el�opu uesto�del�susstraendo.�� Para�re � algebra_FINAL17x23.pdf 27 27� 27/11/2014 10:50:56 a.m. .m. 3. Una� cantidad� que� esté� e multip plicando� a� una� expresión� � encerrrada� en� un� u símbolo� de� � agrupación� multtiplica� a� cada� c � una�de�las�cantidades�que�esstán� � o�del�símbolo.� dentro � 4. Cua ando� los� símbolos� de� agrupación� está án� contenidos� unos� dentro� de� d otros,� es� conve suprimirlos� eniente� empezando� po or� el� o� los� símbo olos� que� están� más� adentro,� sin� qu ue� esto� qu uiera� decir� que� los� símbolos� no� an�ser�suprim midos�en�fo orma� pueda distintta.��� � � � � � � � 5. En�cualquier�ca aso,�se�agru upan� � los� términos� positivos� y� uman.� negativos,�y�se�su � � eros�enteros� 1.4.4.�Multiplicaciión�de�núme Para� multiplicar� m do os� números� enteros� se� multiplican� sus� valores� absolutos;� ssi� los� númerros� tienen�el�mismo�sig gno,�el�producto�será�po ositivo;�si�tien nen�signos�d diferentes,�el�producto�se erá� negativo.� � �����Ejem mplos:� � � � � � algebra_FINAL17x23.pdf 28 � � 28� 27/11/2014 10:50:57 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 28 27/11/2014 10:50:57 a.m. � 28� � � � � plicación� Regla�de�los�signoss�para�multip � � El�producto o�de�dos�núm meros�enteross�positivos�ess�otro�númerro�entero�possitivo.� El� producto o� de� un� núm mero� entero� positivo� po or� otro� negaativo� es� un� n número� ente ero� negativo.� El�producto o�de�dos�núm meros�enteross�negativos�ees�un�número o�entero�posiitivo.� �����Ejem mplos:� � 1.4.5.�División�de�números�en nteros� Para� multiplicar� m do os� números� enteros� se� multiplican� sus� valores� absolutos;� ssi� los� númerros� tienen�el�mismo�sig gno,�el�producto�será�po ositivo;�si�tien nen�signos�d diferentes,�el�producto�se erá� negativo.� La�división�puede�cconsiderarse�como�la�ope eración�inverssa�de�la�multiplicación,�ess�decir,�si�dad dos� �en n��tales� que� � �y� �entoncces� ,� sin n� embargo,� esto� no� siem mpre� se� pue ede� realiza ar� en� los� entteros,� por� ejemplo� �no� podría� p realiz arse� en� los� enteros� ya� q que� no� hay� un� entero o�que�al�multiiplicarlo�por��nos�de�com mo�resultado��.��Pero�estaa�operación�sse�realiza�com mo� sigue:��al�dividir��p por��obtenem mos�como�re esultado��y�ccomo�residuo o�,�en�símbo olos� .�En�g general,�divid dir�un�númerro�entero�llam mado�dividen ndo�entre�ottro�número�e entero�llamado� divisorr�es�encontra ar�un�tercer� número�ente ero,�llamado �cociente,�dee�tal�forma�q que�el�cocien nte� por�el�divisor�más�e el�resto�sea�ig gual�al�dividendo.� eros�enteros� 1.4.4.�Multiplicaciión�de�núme � � � � Simbólicamente:� ,�donde� .� 5. En�cualquier�ca aso,�se�agru upan� � los� términos� positivos� y� negativos,�y�se�su uman.� �� ��� ���� � �� ����� � � � ����������Ejemplos:� � � �������� ����������asíí�� � � �������� ���������� � � � � � 4. Cua ando� los� símbolos� de� agrupación� está án� contenidos� unos� dentro� de� d otros,� es� conve suprimirlos� eniente� empezando� po or� el� o� los� símbo olos� que� están� más� adentro,� sin� qu ue� esto� qu uiera� decir� que� los� símbolos� no� an�ser�suprim midos�en�fo orma� pueda distintta.��� 3. Una� cantidad� que� esté� e multip plicando� a� una� expresión� � encerrrada� en� un� u símbolo� de� � agrupación� multtiplica� a� cada� c � una�de�las�cantidades�que�esstán� � o�del�símbolo.� dentro � alge a.m. � Regla�de�los�signoss�para�divisió ón� Si��es�positivo,�por�la�rregla�de�la�m multiplicación n,�el�divisor�y� el�cociente�h han�de�tenerr�el� mismo�sign no.�Por�tanto:� Si��es�p positivo,��es�positivo.� Si��es�n negativo,��ess�negativo.� Si��es� neg gativo,� por� la� l regla� de� multiplicació ón,� los� facto ores��y��tien nen� que� ten ner� distinto�sig gno.�Por�tanto o:� � algebra_FINAL17x23.pdf 29 29� 27/11/2014 10:50:57 a.m. .m. Si��es�positivo,��es�negativo.� Si��es�negativo,��es�positivo.� � Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el� cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.� �� EJERCICIOS�PROPUESTOS�� 1. Sean� .�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:� a) � b) � c) � d) � � 2. Resuelve�lo�siguiente:� a) � b) � c) � d) � e) � f) � � 3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.� a) � b) � � 4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones� algebraicas�siguientes:� a) � b) � c) � d) � � algebra_FINAL17x23.pdf 30 30� 27/11/2014 10:50:57 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 31 27/11/2014 10:50:57 a.m. 31� Si��es�positivo,��es�negativo.� Si��es�negativo,��es�positivo.� � � Si� el� dividendo� y� el� divisor� de� una� división� de� números� enteros� tienen� el� mismo� signo,� el� cociente�es�positivo,�y�si�el�dividendo�y�el�divisor�tienen�distinto�signo,�el�cociente�es�negativo.� Por�ejemplo:� �� � EJERCICIOS�PROPUESTOS�� 1. Sean� .�Apoyándote�en�la�recta�numérica,�calcula:� a) � Para�comprobar:� b) � Por�ejemplo:� c) � d) � � � 2. Resuelve�lo�siguiente:� a) � Puedes�comprobar�esto�resolviendo�de�la�siguiente�manera:�� b) � Por�ejemplo:� c) � d) � e) � f) � � � 3. Calcula�el�valor�de�cada�expresión�utilizando�la�propiedad�distributiva�de�la�multiplicación.� a) � b) � � 4. Suprime�los�símbolos�de�agrupación�y�reduce�términos�semejantes�en�las�expresiones� algebraicas�siguientes:� a) � b) � c) � d) � 30� � algebra_FINAL17x23.pdf 30 27/11/2014 10:50:57 a.m. a.m. � ሺെ͵ሻ Ͳ ൌ Ͳ ሺെ͵ሻ ൌ െ͵.� El�cero�es�el�elemento�neutro:�si�ܽ אԺǡ ܽ Ͳ ൌ Ͳ ܽ ൌ ܽ.� ሺെሻ ሺെ͵ሻ ൌ െͻ.� ሺെ͵ሻ ሺെሻ ൌ െͻ.� ሺെ͵ሻ ሺെሻ ൌ ሺെሻ ሺെ͵ሻ.� Conmutativa:�Si��ܽǡ ܾ אԺǡ ܽ ܾ ൌ ܾ ܽ.� ሺെͷ െ Ͷሻ ሺെ͵ሻ ൌ ሺെͻሻ ሺെ͵ሻ ൌ െͳʹ.� െͷ ሺെͶ െ ͵ሻ ൌ െͷ ሺെሻ ൌ െͳʹ.� െͷ ሺെͶ െ ͵ሻ ൌ ሺെͷ െ Ͷሻ ሺെ͵ሻ.� Asociativa:�si��ܽǡ ܾǡ ܿ אԺǡ ܽ ሺܾ ܿሻ ൌ ሺܽ ܾሻ ܿ.� � Es�cerrada:al�sumar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número�entero.� 1.5.1.�Propiedades�de�la�suma�de�números�enteros� Subtema�1.5.�Propiedades�de�las�operaciones�con�números�enteros� ሻ Ͷͷ ሺെͳͺሻ ൌ ሻ ሺെͻͻሻ ʹͶ ൌ ሻ ͺ ൊ ሺെʹͳሻ ൌ ሻ ሺെ͵ͻሻ ൊ ͳ͵ ൌ b) ሺെͺͺሻ ൊ ሺെ͵ʹሻ ൌ� a) ͵ͷ ൊ ʹͻ ൌ� 5. Resuelve�lo�siguiente� alge .m. entero��tien ne�asociado� a�él�un�númeero�entero� ,�de�tal�form ma� Inverso�aditivo:�todo�número�e que� .�� El�inve erso�aditivo�d de�un�número o�entero�es�o otro�número� entero,�tal�que� sumad do� con� él� se e� obtiene� el� cero.� Así,� ssi��es� un� n número� ente ero� cualqu uiera,�su�inverrso�aditivo�se e�representa� por��.� � emplo:�� Por�eje .� �es�el�opuesto�de�,�porque� �es�e el�opuesto�de e�,�porqu ue� .� � 1.5.2.�Propiedade es�de�la�resta a�números�e enteros� Es�cerrrada:�la�difere encia�de�dos�números�enteros�es�un�n número�entero.� � No�es�a asociativa:�en�general,�si�� � Por�eje emplo:�� . . , ya que . Por tanto: � No�es�cconmutativa a:�en�general,�si . Por tanto: , ya que . � No�tien ne�elemento o�neutro:�en�g general,�si� .� Por�eje emplo:� � � � Inverso�aditivo:�si� .� Ejemplos:� .� .� .� � algebra_FINAL17x23.pdf 32 32� 27/11/2014 10:50:57 a.m. algebra_FINAL17x23.pdf 33 27/11/2014 10:50:57 a.m. 33� entero��tien ne�asociado� a�él�un�númeero�entero� ,�de�tal�form ma� Inverso�aditivo:�todo�número�e que� .�� � El�inve erso�aditivo�d de�un�número o�entero�es�o otro�número� entero,�tal�que� sumad do� con� él� se e� obtiene� el� cero.� Así,� ssi��es� un� n número� ente ero� cualqu uiera,�su�inverrso�aditivo�se e�representa� por��.� Para�comprobar�resultados:� � emplo:�� Por�eje Por�ejemplo:� .� �es�el�opuesto�de�,�porque� �es�e el�opuesto�de e�,�porqu ue� .� � 1.5.2.�Propiedade es�de�la�resta a�números�e enteros� Por�ejemplo:� Es�cerrrada:�la�difere encia�de�dos�números�enteros�es�un�n número�entero.� � � No�es�a asociativa:�en�general,�si�� � Por�eje emplo:�� . . Para�comprobar:� , ya que . Por tanto: � Por�ejemplo:�� No�es�cconmutativa a:�en�general,�si . � Por tanto: , ya que . � No�tien ne�elemento o�neutro:�en�g general,�si� .� Por�eje emplo:� � � � Para�comprobar:�� Por�ejemplo:�� Inverso�aditivo:�si� .� � Ejemplos:� .� .� .� � 32� algebra_FINAL17x23.pdf 32 27/11/2014 10:50:57 a.m. a.m. � .� .� .� Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� suma:� para� todo� .������� .� Elemento�neutro,�el�:�para�todo� .����� Por�tanto:� �ya�que� .� .��� .� .��� Conmutativa:�si�para�todo� .��� Por�tanto:� �ya�que� .� .� .� .� Asociativa:�si�para�todo� .� Ley�de�composición�interna:�al�multiplicar�dos�números�enteros,�siempre�se�obtiene�un�número� entero.�Simbólicamente:�si� .�� 1.5.3.�Propiedades�de�la�multiplicación�de�números�enteros� � alge .m. Distributiva� de� la� multiplicación� respecto� de� la� sustracción:� para� todo� .� Por�ejemplo:� .� Para�comprobar�resultados:� .� .� � � � algebra_FINAL17x23.pdf 34 � 34� 27/11/2014 10:50:57 a.m.