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Este material ha sido elaborado por el profesor Alfonso C. Becerril Espinosa durante el trimestre O 2009. UAM-A.
UN RESUMEN DEL CURSO DE TALLER DE MATEMATICAS
ARITMETICA Y ALGEBRA
En los números reales tenemos las siguientes propiedades.
Si a, b, c son números reales, tenemos las siguientes expresiones:
1.- La suma de a con b, a+b, es un número real.
2.- La suma de dos números reales es conmutativa
a+b = b+a
3.- La suma de números reales es asociativa
( a +b)+c=a + (b+c)
4.- El número real 0 se le llama idéntico aditivo, satisface la igualdad
0+a=a
5.- Dado el número real a, al número real que denotamos por –a se le llama inverso aditivo de a y
satisface la siguiente igualdad
a+ (-a) = 0
6.- El producto o multiplicación de números reales a, b, es también un número real, este número
real se representa por a b.
7.- El producto o multiplicación de dos números reales es conmutativo
a b =b a
8.- El producto o multiplicación de números reales es asociativo
( a b)c=a(b c)
9.- El producto de números reales es distributivo sobre la suma
a (b+c)=a b + a c
10.- El número real 1, es llamado uno, satisface que multiplicado por cualquier número real a,
satisface la siguiente igualdad
1 a= a, al número 1 se le llama idéntico multiplicativo.
11.- El número 1 y el número 0 son diferentes, 1≠0.
12.- Si el número real a es diferente de cero, a=0, al número 1/ a se le llama inverso multiplicativo
de a y satisface la igualdad
1
a ( )=1.
a
Números naturales N= {1, 2, 3,…,}
1
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Números enteros E= {,…,-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}
Números racionales Q= {p / q | p y q son números enteros con q diferente de cero }
Números irracionales I= {números reales que no son racionales}
Números reales IR=Q U I
Operaciones de suma, resta, multiplicación, y división de números racionales.
Dados los números enteros p, q, r, s, tenemos los números racionales p/q , r/s (q≠0≠s). Las
siguientes son operaciones entre números racionales
La suma
p
r ps qr
+ =
qs
q
s
La resta
p r
q s
ps qr
qs
p r
La multiplicación ( )( )
q s
pr
qs
p
r
La división ( ) ( )
q
s
ps
qr
Potencias de números reales a, b ≠ 0
am an
am
( a m )n
amn
( a b) n
a n bn
a
)
b
an
bn
(
n
am
an
am-n
an
1
a -n
1
am
a
-m
2
n
, m, n números naturales
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RAÍCES DE NÚMEROS REALES
n
n
ab
n
n
a
b
n
a
n
b,
si n es par, a, b 0
a
b
m
(n a ) m
an
1
1
= 1 =a
n
a an
1
n
Realiza las operaciones siguientes y simplifica las expresiones resultantes.
En cada uno de los siguientes casos, indicar que propiedad o propiedades, de las operaciones
correspondientes fue empleada.
1.- 4 + 3= 3 + 4,
2.- 8 (4 6) = (8 4) 6,
3.- 9 7 = 7 9
5 =3 5 + 2 5
4.- 4(3+5)= 4(3)+4(5), 5.- (9+3)+6= 9 + (3 + 6), 6.- (3+ 2 )
7.-
3 16
16 3
1 , 8.- ( 3 4 ) 5
9.- (
3( 4 5 ) ,
7
9
)(
) 1
21
3
Calcular (si existe) el inverso aditivo y multiplicativo para cada uno de los siguientes números
10 5
2
100
1 1
3
,
, 0, -5,
, - , 100,
,
, de ser posible, represente los números
2
3 2
7
500
10000
dados y los obtenidos sobre una recta numérica
91, -8,
2,
Use el orden correcto de operaciones para resolver los siguientes ejercicios
a. 16 - 8 4 , b. 16 8 4 , c. 24+3-(10 5 )
e. 13
8 +2, d. 24+3- 10 (5 8) +2
7 - 26 5 5 , f. (7-2) – (3+8-7), g. -[5-(8-4)+(3-7)] – (4 – 2)
h. 14 + 3(8-6) + 4 – (9 – 5), i. -2( -7 -4( 8-17) + 9(3- 15)).
POLINOMIOS: DEFINICION, OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA (ADISION),
RESTA (DIFERENCIA), MULTIPLICACION (PRODUCTO); DIVISION: ALGORITMO DE LA
DIVISION, TEOREMA DEL RESIDUO, TEOREMA DEL FACTOR, CEROS O RAICES,
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION.
Polinomio de grado n en la variable x, n número natural
a2 x2
P n (x) a n x n a n -1 x n -1 a n - 2 x n - 2 a n -3 x n -3
a ´ s son números, si a n
a1 x
a 0 , las
0, diremos que n es el grado del polinomio.
3
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b 2 x 2 b1 x b 0 es polinomio de
Sea m número natural. Q m ( x) b m x m b m -1 x m -1 b m - 2 x m - 2
grado m en la variable x, las b ´s son números. A los números a´s y b´s se les llama coeficiente de la
respectiva potencia de x, así por ejemplo a 1 es el coeficiente de x en el polinomio P n (x ) , mientras
que b 2 es el coeficiente de x 2 en el polinomio Q m (x) . La suma o diferencia de los polinomios
Pn ( x) Qm ( x), Pn ( x) - Qm ( x) es otro polinomio. El grado de éste polinomio es menor o igual al
más grande valor entre m y n. El polinomio producto Pn ( x) Qm ( x) se obtiene de multiplicar cada
término de uno de los polinomios por cada uno de los términos del otro polinomio, y se realiza la
suma de todos estos productos. El grado del polinomio producto es la suma n + m.
Si el grado del polinomio Pn ( x) es mayor o igual que el grado del polinomio Qm (x) , podemos
P ( x)
realizar la división del polinomio Pn ( x) entre el polinomio Q m ( x), n
, quedando el siguiente
Q m ( x)
diagrama: Algoritmo de la división.
q n - m ( x) cociente
divisorQm ( x) Pn ( x) dividendo
rk ( x) residuo k m
Tenemos la siguiente igualdad
Pn ( x) q n - m ( x) Qm ( x) rk ( x) , con esta expresión llegamos a la siguiente
igualdad.
Pn ( x)
Q m ( x)
q n - m ( x) Q m ( x) rk ( x)
Q m ( x)
q n - m ( x )Q m ( x )
Q m ( x)
rk ( x)
Q m ( x)
q n - m ( x)
rk ( x)
, más
Q m ( x)
reducida
Pn ( x)
Q m ( x)
q n - m ( x)
rk ( x)
Q m ( x)
Teorema del Residuo: Cuando un polinomio P n ( x) se divide entre el término x-a, el residuo
r k ( x) es Pn (a ), rk ( x) Pn (a ) es un número . Como ejemplo podemos considerar el polinomio
P3 ( x) 5x 3 4x 2 2x - 7 , y el término x- 3, al realizar la división del polinomio
P3 ( x ) 5x 3 - 4x 2
2x - 7 entre el término x-3, obtenemos que el residuo es
r 0 ( x) 98 = P3 (3) .
Teorema del Factor: Si el polinomio P n ( x) es divisible entre x – a, entonces el residuo es cero, es
decir, P n (a) 0 . Como ejemplo podemos considerar la división del polinomio
P 5 ( x) x 5 4 x 3 entre el término x- 1. Podemos comprobar fácilmente que la división es exacta y
obviamente el residuo es cero. También podemos sustituir el valor de x=1 en el polinomio P 3 ( x ) y
obtendremos que r 0 ( x ) = 0 =P 0 (x) , cumpliéndose en este ejemplo lo que de forma general nos
proporciona el Teorema del Residuo.
Teorema del Residuo (Recíproco) Si tenemos que P n (a) 0 , entonces el polinomio P n ( x) es
divisible entre x-a.
Como corolario al recíproco del Teorema del Residuo obtenemos la igualdad
P n ( x) q n -1 ( x) (x - a)
4
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Ceros o Raíces de un polinomio. Dado un polinomio P n ( x) , diremos que un número a es un cero o
raíz de éste polinomio si al evaluarlo en él, el resultado es cero, P n (a) 0 .
El polinomio P 5 (x)
x5
4 x 3 tiene a=1 como una raíz o cero.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
(a+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 , (a-b) 2 = a 2 -2ab +b 2 , (x+a) (x+b)= x 2 + (a+b) x + a b
(a+b) (a-b)= a 2 - b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3 a 2 b+3 a b 2 + b 3 , (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
(a x +b) (c x+d)=a c x 2 + x (b c+a d)+b d
Más sobre factorización: Empleando la operación de división, es fácil poder calcular la siguiente
expresión;
x3 y3
x 2 - xy y 2 , en consecuencia obtenemos
la
x y
factorización
x 3 +y 3 =(x+y) (x 2 -x y+y 2 ), de manera similar obtenemos la siguiente división
x3 y3
x 2 x y y 2 , en consecuencia obtenemos
x y
la factorización
x 3 - y 3 =(x-y) (x 2 +x y + y 2 )
b - b 2 4ac
La fórmula x=
es muy útil para factorizar la ecuación de 20 grado
2a
2
a x + b x+c=0, quedando la siguiente igualdad a x 2 +b x+c=a(x-r 1 )(x-r 2 ), donde r 1 y r 2 son las
raíces de la ecuación de segundo grado, las cuales se calculan por medio de las siguientes fórmulas
b - b 2 4ac
2a
RACIONALIZACION
Ejemplo 1.- Racionalizar el denominador de la siguiente expresión
5
2
.
5
2
Tenemos
r1
b
b2
2a
4ac
,
r2
5- 2
5- 2
5- 2
( 5 )2 - 2 5 2 ( 2 )2 5 2 5 2 2
(
)(
)
5 2
5
2
5
2
5- 2
( 5 )2 - ( 2 )2
expresión ya racionalizada queda así:
5 - 2 7 2 10
3
5
2
Ejemplo 2.- Racionalizar el denominador de la siguiente expresión
2
x 3 y
Tenemos
x -3 y
2( x - 3 y )
2 x 6 y
2
2
(
)(
)
2
2
x 9y
x 3 y
x 3 y
x -3 y
( x ) (3 y )
5
7 2 10
la
3
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la expresión ya racionalizada queda así:
2
x 3 y
2 x -6 y
x - 9y
Ejemplo 3.- Racionalizar el numerador de la siguiente expresión
x 1
, x 0, x 1
x 1
Tenemos
x 1
x 1 x 1
( x )2 1
( x 1)
(
)(
)
x 1
x 1
x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
La expresión ya racionalizada queda así:
x 1
1
x 1
x 1
Ejemplo 4.- Racionalizar el numerador de la siguiente expresión
x h- x
, x 0, h 0, x h 0
h
Tenemos
x h
x
x h
x
x h
x
(
)(
)
h
h
x h
x
( x h )2 ( x )2
=
h( x h
x)
x h-x
=
h( x h
x)
h
=
h( x h
x)
1
=
x h
x
La expresión ya racionalizada queda así:
x h
x
1
h
x h
x
Ejemplo 5.- Racionalizar la expresión
x2 x x
Tenemos
x2
x
x
=
=
( x2
( x2
x
x )2
x)(
x2
x
x
x2
x
x
x2
x2 x x
x2 x - x2
x2
x
x
x
x
x
=
x
2
6
)
1
x 1
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La expresión ya racionalizada queda así:
x
x2 x x
x2 x
x
Problemas a) Racionalizar el numerador de la expresión
w 2
6 w
w-2
b) Racionalizar el denominador y simplificar
2 3 5 2
3 2
3
c) Racionalizar el denominador y simplificar
2m - 5n
2m
5n
d) Racionalizar el denominador y simplificar
7x 2 y - 3xy2
7x 2 y
3xy2
ECUACION (LINEAL) DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
a x+b =c x +d
Ejemplo 1.- Resolver la ecuación lineal
5 x+3= 7
Solución: Tenemos los siguientes pasos
5 x = 7-3
5 x =4
4
x = , comprobemos que este valor de x satisface la ecuación lineal
5
dada
4
5( ) 3 4 3 7
5
Ejemplo 2.- Resolver la ecuación lineal con una incógnita
5 x-5= 2x +7
Solución: Tenemos los siguientes pasos
5 x-5-2x=7
3 x -5 =7
3 x= 7+5
3 x=12
12
x=
=4, comprobemos que este valor de x satisface la ecuación
3
lineal dada
5 (4)-5= 2(4) +7
20 – 5=8 +7
7
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15=15.
Ejemplo 3.- La siguiente ecuación la transformamos en lineal para poder resolverla
2
5
3x 1
Solución: Tenemos los siguientes pasos
2 = 5(3x +1)
2 =15 x +5
2 – 5=15 x
-3=15 x
3
x
15
1
x , comprobemos si este valor de x satisface la ecuación
5
inicial
2
5
1
3( ) 1
5
2
5
2
( )
5
( 2) 5
5
2
5 5
ECUACION LINEAL CON DOS INCOGNITAS x, y (x, y, variables e incógnitas)
y=m x +b, x, y variables, m pendiente, b ordenada al origen.
Ecuación general; a x + b y +c=0, x, y variables, a, b coeficientes de las variables; c término
independiente.
Gráfica: diferentes casos
8
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Observación: si b=0, la gráfica es una recta vertical que pasa por x=
de una recta horizontal que pasa a la altura de y=-
c
; si a=0, tenemos la gráfica
a
c
b
DOS ECUACIONES (LINEALES) DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS x, y
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
x, y, a11, a12 , a 21, a 22 , b1 , b2 números.
a 11 x + a 12 y = b 1
a 21 x + a 22 y = b 2
Métodos de resolución: vr. gr.; suma, resta, sustitución, etc.
Ejemplos:
El sistema
2x + y=1 el sistema
2x +2y=2 el sistema
x + y=2
tiene solución única x – y=2 { tiene infinidad x + y=1 no tiene solución 2x +2y=3
de soluciones
x=1, y=-1,{ ejemplos x=0, y=1
x=1, y=0
x=-1, y=2
las gráficas se cruzan
las gráficas no se cruzan
las gráficas no se cruzan
ECUACION DE SEGUNDO GRADO
A x 2 + B x + C = 0, CON RAÍCES O CEROS X=
B-
B2 4AC
2A
GRAFICA:
Dos raíces o ceros diferentes
dos raíces o ceros reales e iguales
9
sin raíces reales
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A>0
A<0
COMPLETAR CUADRADO: Los siguientes pasos nos permiten completar cuadrado
Para la ecuación de segundo grado
B
C
x
)
A
A
B
C BA 2 BA 2
= A(x 2
x
(
) -(
) )
A
A
2
2
B
BA 2
C
BA 2
=A ( x 2
x (
) ) +A( )-A(
)
A
2
A
2
B
B
C
B
=A (x 2 ( ) x ( ) 2 ) + A
A( ) 2
A
2A
A
2A
2
4A C - B
B 2
A x 2 +B x + C =A(x +
, queda completado el cuadrado. Al
) +
4A
2A
B 4 A C - B2
,
) se le llama vértice.
punto V=(2A
4A
Ax 2
B x C A( x2
Ejemplo: Completar cuadrado para la ecuación 3 x 2 + 2x +5
Tenemos
2
5
3x 2 +2x +5 = 3 (x 2 + x
)
3
3
2
5 23 2 23 2
x
( ) -( ) )
= 3 (x 2
3
3
2
2
2
2
3
5
23
= 3 (x 2
x ( )2 ) 3 - 3 ( )2
3
2
3
2
2
2 2
5
2 2
x (
) ) 3 - 3(
)
= 3 (x 2
3
2 3
3
2 3
1 2 14
1 14
)
3x 2 +2x +5 = 3 (x
, con vértice v= ( - , )
3
3
3 3
Presentamos su gráfica
10
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TECNICA PARA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS
1.- Leer una o varias veces el problema hasta que se entienda y se sepa que se pidió e identifíquese
bien los datos.
2.- Trácense figuras o diagramas o croquis en los que se representen las cantidades conocidas y las
desconocidas.
3.- Búsquense fórmulas o ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas y desconocidas.
4.- De una de las ecuaciones o fórmulas despejar una de las variables y sustitúyala
en alguna de las fórmulas o ecuaciones, la de más interés.
5.- Resuélvase la ecuación de más interés del punto 4 y obténgase los valores de las otras variables
del problema.
6.- Verifíquese que los valores obtenidos de las variables en el punto 5 satisfagan las condiciones
del problema.
7.- Interprétese las soluciones obtenidas en términos de las condiciones del problema y obtenga
conclusiones de las mismas.
Ejemplo.- Se desea cercar un terreno situado al margen o ribera de un río y no se requiere cercar el
lado del mismo. El material para la cerca cuesta 8 dólares por metro (m) para los dos extremos y 12
dólares por metro (m) para el lado paralelo al río, se van a usar 3600 dólares para la cerca total.
a) sea x metros la longitud de un extremo; exprese el número de metros cuadrados del área del
terreno en función de x.
b) ¿cuál es el dominio de la función resultante?
Tenemos el siguiente diagrama
11
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Fórmulas Área= x y; Perímetro P= 2 x +y ; Costos C=8 x + 8 x + 12 y= 3600
3600 16 x
4
De la función de costos tenemos y=
300 - x
12
3
Luego entonces la función de área en términos de x queda así
4
4
A(x)=x y= x (300- x) 300 x - x2 , x 0 ;cuando y=0, tenemos x= 225.
3
3
4
A(x)= 300 x - x2 , Dominio de A(x) = [0, 225].
3
12