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Operaciones
Combinadas
2.1.1. Definiciones fundamentales
2.1.1A. Adición
La adición de dos números naturales a y b, llamados sumandos, es la operación matemática
que les hace corresponder un tercer número llamado suma denotado como
A + B, y cuyo valor se obtiene aplicando la regla de formación de los números naturales.
Ejemplo.- Determinar la suma de:
1 + 2 + 3 + ... + 50
Sea «S» el valor de la suma, luego:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 50
Escribiendo al revés:
S = 50 + 49 + 48 + ... + 1
Sumando miembro a miembro:
2S = 51 + 51 + 51 + ... 51
Puesto que se trata de 50 sumandos, se concluye que:
2S = 50· 51
 S = 1 275
2.1.1B. Sustracción
La sustracción de dos números naturales a y b, con a  b llamados minuendo y sustraendo,
respectivamente, es la operación que les hace corresponder un tercer número llamado diferencia, denotado como a – b, y cuyo valor es tal que al sumarle el sustraendo se obtiene el
minuendo.
a–b=d  a=b+d
Ejemplo.- Juan y Pedro deciden juntar su dinero para comprar un play station, que vale
$ 420. Ocurre que el dinero les alcanza justamente, aunque Pedro aporta $ 80 más que Juan.
Calcular:
a) ¿Cuánto aportó cada uno?
b) ¿Cuanto prestó Pedro a Juan para que los aportes fueran iguales?
a) Sean J y P los aportes de Juan y Pedro respectivamente. Para visualizar los datos elaboramos los siguientes esquemas:
Und. 2 Razonamiento Aritmético
47
De la figura 1 observamos que:
Y de la figura 2 se cumple que:
Ejemplo.- Miguel ha cosechado 17 562 kg de papas; la mitad las vende para hacer chuño, el
resto las vende en sacos de 48 kg, y lo que le sobra lo regala a los comedores comunales.
¿Cuántos kilogramos regaló?
P = J + 80
J + 80 + J = 420
Luego:
2J = 340
Esto significa que:
P = 170 + 80  P = 250

J = 170
Total disponible = 17 562 kg
b) Según la figura 1, se observa que lo que prestó Pedro a Juan es la mitad de la diferencia
de sus aportes:
x  250  170  80  x  $ 40
2
2
a) Para chuño usa «la mitad» es decir: 17562  8781 kg , entonces queda aún 8 781 kg.
2
b) Vende en sacos de 48 kg:
 # de sacos
Observación: Si S y D son la suma y diferencia de dos naturales «x» e «y» respectivamente,
se cumple que:
mayor: x  S  D ; menor: y  S  D
2
2
2.1.1C. Multiplicación
La multiplicación de dos números naturales a y b, llamados multiplicando y multiplicador,
respectivamente, es la operación que les hace corresponder un tercer número llamado producto, denotado como a· b, y cuyo valor se determina mediante la siguiente regla de correspondencia:
«
b»
veces

 a  a  ...  a , si : b  2

ab   a
, si : b  1
 0
, si : b  0
Ejemplo.- Con S/. 936 se han comprado igual cantidad de chocolates de S/. 1, S/. 2 y S/. 3
respectivamente. ¿Cuántas docenas se han comprado?
De esta operación podemos reconocer que los 8 781 kilogramos se han distribuido en 182
sacos de 48 kilogramos cada uno, quedando un remanente de 45 kilogramos.
 Lo que le sobra y lo que regala es 45 kilogramos.
2.1.1E. Potenciación
Si a y b son números naturales, llamados base y exponente, respectivamente, la potenciación
de «a» elevado a la «b» es la operación matemática que les hace corresponder un tercer
número, denotado como ab, llamado potencia, cuyo valor se determina mediante la siguiente regla de correspondencia:
«
b»
veces


 a  a  ...  a , si : b  2

ab   a
, si : b  1
 1
, si : b  0

Capital disponible = S/. 936
Sea «x» el número de docenas de cada clase de chocolate. Puesto que cada docena está
compuesta de 12 unidades, entonces el gasto en cada clase estará dado así:
 1  (12 x )  12 x
12 x  24 x  36 x  936
 2  (12 x )  24 x
72 x  936
 3  (12 x )  36 x

x  13
2.1.1D. División
Si a y b son números naturales, con b  0, la división exacta de a entre b, denotada como a 
b, llamados dividendo y divisor, respectivamente, es una operación matemática que les hace
corresponder un tercer número q, llamado cociente, tal que se verifica la siguiente regla de
correspondencia:
a  b = q  a = b· q
Ejemplo.- Una bacteria duplica su número al cabo de 10 minutos. Se coloca una de estas a
las 10:00 a.m., ¿cuántas habrán a las 12 del medio día?
Considerando que la acción de duplicar es multiplicar por dos, se tiene:
Inicio:
10:00 a.m. 
1
1er intervalo:
10:10 a.m. 
1· 2 = 21
2do intervalo:
10:20 a.m. 
1· 2· 2 = 2
3er intervalo:
10:30 a.m. 
· . . . . .· = 23
2
Cuando la división no es exacta se cumple que: a  b· q  r (División Euclidiana)
Observamos que el exponente final en cada operación coincide con el número de intervalos
de 10 minutos. Si hasta las 12:00 hay 12 intervalos se tendrá:
Donde «r» se llama resto.
12do intervalo:
48
Razonamiento Matemático
12:00 m
 1· 2· 2· ...· 2 = 212 = 4 096
Und. 2 Razonamiento Aritmético
49
2.1.1F. Radicación
Sean a y n dos números naturales, con n  1, llamados radicando e índice, respectivamente.
La radicación de «a» con índice «n» es la operación matemática denotada como n a , que les
hace corresponder un tercer número «b», llamado raíz, cuyo valor se determina mediante
la siguiente regla de correspondencia:
n
a b

n
b a
Ejemplo.- Tadeo tiene 12 años menos que Jorge. Si la suma de sus edades es 80, ¿cuántos
años tendrá Tadeo dentro de 7 años?
Sean T y J las edades de Tadeo y Jorge, respectivamente. De acuerdo con las condiciones se
debe cumplir que:
J + T = 80
. . . (1)
J – T = 12
J  80  12  46 ;
2
T  80  12  34
2
Ejemplo.- Calcular el valor de «E» y «T» en:
Resolviendo se tiene que:
a) E  3 120  3 120  3 120  ...
Finalmente la edad de Tadeo dentro de 7 años será:
b) T  3 60  3 60  3 60  ...
a) En la expresión se observa que los términos se repiten secuencialmente así:
E  3 120  3 120  3 120  ...



E  3 120  E

E
3
Si elevamos al cubo a ambos miembros, se obtiene:
3
E = 120 + E  E – E = 120
Para que la igualdad se verifique, el valor de «E» debe ser 5 porque:
53 – 5 = 125 – 5 = 120
 E=5
b) Haciendo uso de la misma estrategia del ejercicio anterior, se tiene que:
T  3 60  3 60  3 60  ...


T  3 60  T
Elevando al cubo: T = 60 + T

T 3 – T = 60

(T – 1)T(T + 1) = 3· 4· 5
3
Siendo T = 4, el único valor que verifica la igualdad; porque: 4 = 60 + 4  64 = 64
2.1.2. Situaciones aritméticas
2.1.2A. Definición
Llamaremos situaciones aritméticas al conjunto de casos problémicos en los que se requiere determinar una o más cantidades desconocidas a partir de relaciones establecidas que
involucran a las operaciones básicas.
2.1.2B. Suma y diferencia
Sean a y b dos números, con a > b, de los cuales se sabe su suma S y diferencia D. En este
caso se cumple que:
 Mayor: a  S  D
a  b  S 
2

  
a  b  D 
 Menor: b  S  D

2
50
Razonamiento Matemático
T’ = T + 7 = 34 + 7
 T’ = 41
2.1.2C. Suma y cociente
Sean S y q la suma y cociente, respectivamente, de dos números desconocidos a y b, con a >
b, entonces se cumple que:
ab S 

aq 

b
qS

 Mayor: a  q  1


 Menor: b  S

q1

Ejemplo.- Una herencia de 90 mil soles debe repartirse entre dos hermanos. Si el menor
recibe la cuarta parte de lo que recibe el mayor, ¿cuánto recibe cada uno?
Sean M y m las cantidades recibidas por el mayor y menor de los hermanos respectivamente. De acuerdo con las condiciones del problema se debe cumplir que:
T
3
. . . (2)
M + m = 90
m M  M 4
4
m
. . . (1)
Resolviendo (1) y (2), se obtiene: M  4  90  72 mil soles ;
41
. . . (2)
m  90  18 mil soles
41
2.2.1D. Diferencia y cociente
Sean D y q la diferencia y cociente, respectivamente, de dos números desconocidos a y b,
con a > b, entonces se cumple que:
qD

ab  D 
 Mayor: a  q  1


aq   

 Menor: b  D
b

q1
Ejemplo.- La edad de un hijo es 20 años y la de su padre 47 años ¿Dentro de cuántos años la
edad del padre doblará la de su hijo?
Sean P y H las edades futuras del padre e hijo respectivamente. Como se sabe, la diferencia
de edades entre cualquier par de personas siempre es la misma, por ello planteamos que:
P – H = 47 – 20
Und. 2 Razonamiento Aritmético

P – H = 27
. . . (1)
51
Asimismo:
P = 2H
P 2
H

Resolviendo (1) y (2), encontramos que:
. . . (2)
P  2  27  54 años
21
2.1.3. Método de falsa suposición
H  27  27 años
21
;
Finalmente deben transcurrir: 27 – 20 = 7 años
Este método, o algoritmo, de resolución es válido para
una situación problémica en la que participan dos objetos de valores diferentes y para lo cual se dispone de la
información dada en el recuadro:
2.2.1E. Operaciones sucesivas
Se define como aquel caso en el que, a partir de un número dado, se conoce una sucesión de
operaciones efectuadas con él y su resultado final.
La estrategia para determinar el valor inicial consiste en repetir el proceso pero aplicando
las operaciones inversas, a saber:
Suma  Diferencia ;
Producto  Cociente ;
Potencia  Raíz
Este algoritmo suele llamarse, el Método del Cangrejo por la similitud del proceso con el
andar de este crustáceo.
Ejemplo.- Elige un número, sácale la raíz cúbica. Luego al resultado elévalo al cuadrado, a
este resultado súmale 5, a continuación réstale 6 y lo que obtienes divídelo entre 4. Si el
último resultado es 6, ¿qué número elegiste?
Problemas con esta característica pueden resolverse siguiendo la secuencia indicada en el
enunciado y con seguridad encontraremos lo que buscamos aunque la experiencia nos aconseja efectuar las operaciones en un sentido invertido.
Si se conoce el valor «T» del total y la cantidad total «N» de objetos, entonces se cumple
que:
 N  T  N b
N1  N2  N 
1
ab


  
N 1  a  N 2  b  T 
 N  NaT
 2
ab
El método se llama Falsa Suposición, porque si suponemos que todos tienen el mismo valor
y resolvemos a partir de los errores cometidos se concluye en las mismas fórmulas planteadas aquí.
Existe una difundida estrategia llamada Método del Rombo, que consiste en ordenar los datos según el esquema mostrado y resolver
como se indica según las flechas:
N2  N  a  T
ab
El cuidado que debemos tener es el de sustituir cada operación por su correspondiente
operación inversa.
Obsérvese que el esquema es válido para determinar N2.
Sea «x» el número elegido. Luego, utilizando un esquema presentamos todas las operaciones realizadas:
Ejemplo.- Un comerciante compró 100 prendas entre camisas de $ 4 y pantalones de $ 6
desembolsando por ellos $ 440. ¿Cuántas camisas y pantalones compró?
Identificando los datos se tiene:
N = 100 , T = $ 440 , a = $ 6 , b = $ 4
Organizando los datos, según el método del rombo, obtenemos:


Ahora, poniendo atención en las operaciones inversas que se indican en la parte inferior, el
número que buscamos se obtiene así:
x    6  4  6   5
Efectuando operaciones se obtiene:
52
Razonamiento Matemático
3

3
x   25  5
x = 125
3
 N  100  6  440  80
 2
64

 N  N  N  100  80  20
 1
2
 Se compró 80 camisas y 20 pantalones.
Comprobación:
80· 4 + 20· 6 = 440
Obsérvese que se ha comprado una cantidad mayor de objetos de menor valor.
Und. 2 Razonamiento Aritmético
53
2.1.4. Regla conjunta
«Cuando se conocen las equivalencias de distintos objetos, dados en forma de igualdades,
es posible determinar uno de ellos igualando el producto de los primeros miembros con el
producto de sus segundos miembros»
Ejemplo.- En un centro de abastos se observa que 4 duraznos cuestan lo mismo que 15
plátanos, 10 plátanos lo mismo que 3 manzanas, 12 manzanas lo mismo que un melón.
¿Cuántos duraznos cuestan lo mismo que 3 melones?
Sea «x» la cantidad de duraznos que equivalen a 3 melones. La Regla conjunta consiste en
escribir las equivalencias en forma de igualdades en donde los objetos de un mismo tipo se
intercalen en ambos miembros, es decir, en una igualdad cada objeto debe aparecer en un
miembro y en la siguiente en el segundo miembro. Veamos:
x duraznos  3 melones


1 melón  12 manzanas 

3 manzanas  10 plátanos


15 plátanos  4 duraznos


x  1  3  15  3  12  10  4
 x  32
Obsérvese que las igualdades las hemos ordenado de modo que los duraznos aparezcan en
el 1er miembro, en la primera igualdad, y en el 2do miembro, en la última igualdad.
Prob. 01
(UNFV 2008)
Al multiplicar un número por 50 olvidé poner
el cero a la derecha, calculando así un producto que se diferencia del verdadero en
10 530. ¿Cuál era el número?
Sea «N» el número buscado. Entonces plantemos:
i) Multiplicamos por 50:
50N
ii) Nos olvidamos del cero:
5N
Prob. 03
En un corral hay pollos y cuyes. El número de
patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿Cuántos cuyes hay?
Planteamos el siguiente esquema:
Por condición del problema, tenemos:
50N – 5N = 10 530

Prob. 02
N = 234
Por condición del problema tendremos:
2x + 4y = 14 + 2(x + y)  y = 7
 Hay 7 cuyes
(UNFV 2001)
Si voy desde mi casa (en Lima) a la de mi hermano (en Arequipa) gasto S/. 35 y de regreso
gasto S/. 60. Si luego de ir y venir varias veces, llevo ya gastados S/. 1460, ¿dónde estoy?
Saliendo de Lima, en ir y venir a Arequipa,
gasto 35 + 60 = 95 soles. Para determinar
dónde estoy efectuaré una división euclidiana en donde el resto servirá como indicador
del lugar donde me encuentro:
Prob. 04
(UNT-CD 2001)
Si se abre un libro al azar observamos que la
suma de los números de las páginas da 145.
¿Cuál es el producto de los números de dichas páginas?
Si al abrir el libro, «x» es el número de la
página izquierda, entonces el de la derecha
será «x + 1». Luego por condición del problema se cumple:
x + (x + 1) = 145  x = 72
54
Razonamiento Matemático
El resto, S/. 35, sirvió para viajar hacia Arequipa.
Luego los números de las páginas son 72 y
73, cuyo producto es:
 Estoy en casa de mi hermano
72· 73 = 5 256
Und. 2 Razonamiento Aritmético
55
Prob. 05
(UNALM 2007)
Una persona gasta la mitad de su dinero más
20 soles en cuadernos, luego gasta la cuarta
parte de lo que le queda más 30 soles en libros. Si al final gastó todo su dinero, ¿cuánto
gastó en libros?
Prob. 07
(UNFV 1998)
Cierta persona gasta todo su dinero en cuatro
días, cada día gasta la mitad de lo que tiene
más cinco soles. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?
iii) Si descendió la mitad, tuvo el doble:
2(x + 15)
Por condición del problema:
Y ahora elaboramos el siguiente esquema
para aplicar el proceso inverso:
i) P· Q = C
. . . ()
ii) (P + Z)(Q – x) = C
. . . ()
Igualando () y (), tendremos:
Sea «x» la cantidad de dinero que tenía al
inicio. Si al comprar los libros la persona gasta la cuarta parte de su dinero más S/. 30 y
se quedó sin dinero, esto significa que los
S/. 30 equivalen a los tres cuartos de su dinero. Por lo tanto antes de comprar los libros tenía:
3 x  30
4

Analicemos el proceso de gasto en forma inversa: Si «x» es lo que tiene al empezar un
día cualquiera, entonces lo que tenía al empezar el día anterior lo obtendremos así:
i) Tenía:
x
ii) Le devolvemos S/. 5:
x+5
iii) Si gastó la mitad, tuvo el doble:
2(x + 5)
x = S/. 40
P· Q = (P + Z)(Q – x)
 Altura = 450 cm
Operando adecuadamente, obtenemos:
Si reparto tantos caramelos como niños hay,
me faltan 2; pero si doy un caramelo a cada
niño me sobran 70 caramelos. ¿Cuántos caramelos tengo?
Y ahora elaboramos un esquema para aplicar el proceso inverso en la parte inferior:
(UNAC 2001)
Si extraemos la raíz cuadrada a un número,
al resultado le agregamos 6 y lo dividimos por
3, al número así obtenido lo multiplicamos por
4 y extraemos la raíz cuarta después de aumentarle 3 al resultado lo elevamos al cuadrado obteniéndose entonces 25, ¿cuál es el
número?
Planteamos el siguiente esquema en donde
las operaciones directas se muestran en la
parte superior y las operaciones recíprocas
en la parte inferior:
 El número es 36
56
Razonamiento Matemático
i) Si reparto «x» caramelos el total de éstos
viene dado por:
 Tenía S/. 150
x· x – 2 = x2 – 2
ii) Si reparto 1 caramelo, el total de caramelos viene dado por:
Prob. 08
En cada hora el nivel de agua de un tanque
inicialmente lleno, desciende 15 cm, más la
mitad del líquido existente en ese momento.
Al cabo de 4 horas el tanque queda vacío.
¿Cuál es la altura del tanque?
1· x + 70 = x + 70
Igualando ambas expresiones, se tiene:
2
i) Había un nivel:
x
ii) Lo elevamos 15 cm:
x + 15
 x

x=9
9· 9 – 2 = 79
Prob. 10
El producto de P y Q es igual a «C». Si se
agrega «Z» unidades a «P», ¿cuánto se le debe
restar a «Q» para que el producto no varíe?
Und. 2 Razonamiento Aritmético
ZQ
PZ
Prob. 11
Sean a, b y c números enteros positivos tales
que c = 4a y b + 3c = 48. Determinar los
posibles valores de «c».
Por condiciones del problema:
i) c = 4a
. . . ()
ii) b + 3c = 48
. . . ()
Reemplazando () en (), obtenemos:
b  12 a  48
  
º
x – x = 72
Finalmente el total de caramelos viene dado
por:
Analicemos el proceso de descenso en forma inversa. Si «x» es la altura del nivel que
tiene el tanque al empezar una hora cualquiera, entonces lo que tenía al empezar la
hora anterior lo obtendremos así:
PQ = (P + Z)Q – x(P + Z)
Prob. 09
Sea «x» el número de niños. Luego:
Prob. 06

12

º
12
º
12
º
b  12
Puesto que b < 48, concluimos que:
b  {12; 24; 36} ;
a  {3; 2; 1}
Y como los valores de «c», según (), están
definidos por los valores de «a».
 «c» posee 3 posibles valores
57
Prob. 12
ii) Precio de venta de un polo:
Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de básquet. Si
cada uno colaborase con 3 soles, les faltaría
20 soles; entonces ellos deciden aumentar la
colaboración a 3,50 soles y ahora les alcanza
y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?
Sea «x» el número de alumnos. Luego:
i) Si cada uno colabora con S/. 3, faltaría
S/. 20, luego el costo de la pelota viene dado
por:
3· x + 20
ii) Si cada uno colabora con S/. 3,5; sobraría
S/. 5, luego el costo de la pelota viene dado
por:
3,5· x – 5
Igualando ambas expresiones se tiene:
3x + 20 = 3,5x – 5

x = 50
De este modo el costo de la pelota es:
S/. 24
 S/. 2
12
Ahora deducimos lo que se gana al vender
un polo:
Venta:
1 polo  S/. 2
Compra:
1 polo  S/. 1,8
Ganancia: 1 polo  S/. 0, 2
Para determinar los «x» polos que permiten
ganar S/. 600, aplicamos la siguiente regla
de tres:
1 polo
x polos
gano
 S/. 0, 2
gano
 S/. 600
Prob. 15
Un tigre persigue a un venado que lleva 60
saltos de adelanto. Sabiendo que el tigre da 7
saltos, mientras que el venado da 6 y que además 4 saltos del venado equivalen a 3 del tigre, ¿cuántos saltos deberá dar el tigre para
alcanzar al venado?
La organizadora de una fiesta observa que si
se sentasen los invitados en mesas de tres sillas quedarían 20 invitados sin silla. Usando
el mismo número de mesas con cuatro sillas
en vez de tres sobrarían 3 invitados, ¿cuál es
el número de invitados?
50· 3 + 20 = 170
Sea V: salto del venado, T: salto del tigre.
Según las condiciones del problema, planteamos:
7T   6V

3
21T   18V
3T   4V
7
21T   28V

21T   10V

Ventaja
De estas relaciones se deduce que por 21 saltos del tigre éste descuenta 10 saltos del venado. Luego para descontar 60 saltos del
venado, el tigre debe dar «x» saltos, cuyo
valor lo determinamos aplicando una regla
de tres:
21T  10V 

x  60V 

x  21T  60V
10V
 x = 126T
Prob. 13
Compré un lote de polos a 180 soles el ciento
y vendí a 24 soles la docena, ganando en el
negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos tenía el
lote?
Sea «x» el número de mesas. Para determinar el número de invitados, las condiciones
del problema establecen que:
i) Mesas de 3:
3x + 20
ii) Mesas de 4:
4x + 3
Tratándose de las mismas cantidades, igualamos:
Empezaremos identificando los datos:
i) Precio de costo de un polo:
S/. 180
 S/. 1,8
100
58
Razonamiento Matemático
Prob. 16
Compré cierto número de libros a razón de 4
por 3 dólares y un número de libros igual a
los 3/4 del número de libros anterior, a 10 por
7 dólares. Si vendí todos a 2 por 3 dólares, y
gané 54 dólares, ¿cuántos libros compré?
3x + 20 = 4x + 3  x = 17
Finalmente el número de invitados viene
dado por:
 3· 17 + 20 = 71 ó 4· 17 + 3 = 71
7  5,1k
i) Inversión  (4 k )  $ 34   (3 k )  $ 10

ii)
 x = 3 000 = 30 cientos
Prob. 14
y 2da compra respectivamente. Además, según las condiciones del problema, el costo
de cada libro es $ 3/4 y $ 7/10 en el 1er y
2do lote de libros respectivamente. Si el precio de venta, por libro, es $ 3/2, y la utilidad
es de $ 54, planteamos el problema así:
Venta  (4 k  3 k )  $ 23   10,5k
iii) Utilidad = Venta – Inversión
54 = 10,5k – 5,1k
 k = 10
 Total de libros = 7k = 7(10) = 70
Prob. 17
Para ganar 500 soles en la rifa de una moto
se hicieron 900 boletos, pero no se vendieron
más que 750 boletos y se originó una pérdida
de 100 soles. ¿Cuánto vale la moto en soles?
Sea «x» el costo de un boleto que, totalmente vendidos, generan un ingreso igual al valor de la moto.
Planteamos el siguiente esquema en el que
los valores que figuran en los lados representan las variaciones de las cantidades que
a su vez deberán ser iguales:


150x = 600
x = S/. 4
Luego el valor de la moto viene dado por:
Para concordar con la modalidad de las compras asumiremos que 4k y 3k son las cantidades de libros que se adquirieron en la 1ra
Und. 2 Razonamiento Aritmético
 900· 4 – 500 = 3 100
750· 4 + 100 = 3 100
59
Prob. 18
i)
Un artesano vende jarras en un pueblo a «M»
soles cada una, con los cuales puede comprar
una carreta, quedándole «3a» soles. Si vende
cada jarra a «N» soles, comprando la carreta
sólo le quedaría «b» soles. ¿Cuántas jarras
tenía en total?
 Caballeros – Damas = p – 1
Caballeros – Damas = [p + (n – 1) – n]
. . . (1)
ii) Por condición del problema:
Caballeros + Damas = m
. . . (2)
Teniendo en cuenta que las diferencias son
iguales, se tiene:
(M – N)x = 3a – b

x  3a  b
MN
A un baile asistieron «m» personas. Una primera dama bailó con «p» caballeros, una segunda dama bailó con «p + 1», una tercera
persona bailó con «p + 2» y así sucesivamente hasta que la última bailó con todos los caballeros. ¿Cuántas damas asistieron?
Elaboramos el siguiente esquema:
Damas
1ra
baila con
Caballeros
p
2da
3ra

n-ma
baila con
baila con

baila con
p1
p2

p  (n  1)
Luego, se plantea que:
60
Prob. 20
A una fiesta asistieron 156 personas. En un
momento determinado, bailaban algunas parejas (hombre y mujer) y se observó que 31
mujeres y 11 hombres no bailaban. ¿Cuántos
hombres asistieron a la fiesta?
En total hay 156 personas. Luego, para determinar el total «x» de parejas que bailan
planteamos que:
 Personas   Personas 
Total  


 que no bailan   que bailan 
Prob. 19
Razonamiento Matemático
Sea «P» el número de palomas, «L» el número de loros y «G» el número de gallinas.
Por condiciones del problema se plantea:
I.
Sin contar las palomas hay 6 aves:
Resolviendo (1) y (2) encontramos que:
mp1
Damas 
2
Sea «x» el número de jarras. Aplicando la
estrategia de presentar las diferencias de las
cantidades involucradas, se tiene:
Planteamos el siguiente esquema:
156 = (31 + 11) + x

x = 114
Luego el número de hombres viene dado
por:
hombres que bailan  114  57
2
Y como 11 hombres no bailan, se tiene que
el total de hombres que asistieron a la fiesta
es:
57 + 11 = 68
Prob. 21
En un micro llegaron 53 pasajeros ocurriendo que por cada pasajero que bajaba, subían
3. Si el precio de cada pasaje es 0,6 soles, y
en total se recaudó 39 soles, ¿cuál es la cantidad de pasajeros que había en el micro en el
paradero inicial?

L+G=6
. . . ()
II. Sin contar los loros hay 9 aves:
 Pasajeros  
 Pasajeros 
 al inicio   Total    que subieron 





P+G=9
. . . ()
III. Sin contar gallinas hay 7 aves:
 65 – 36 = 29

L+G=7
. . . ()
Sumando (), () y () :
Prob. 22
L + P + G = 11 . . . ()
En un almacén hay 10 cajas grandes; en cada
una de ellas hay 4 cajas medianas; en cada
una de estas cajas hay 3 cajas pequeñas y en
cada una de éstas hay 2 cajas aún más pequeñas. ¿Cuál es el número total de cajas?
Reemplazando () en () se obtiene:
P=4  L=2 y G=5

Hay 4 palomas
Prob. 24
Sea «N» el número total de cajas, entonces
se cumple que:
 muy 
N  grandes  medianas  pequeñas  

pequeñas
Reemplazando datos y teniendo en cuenta
el contenido de cada caja, se tiene:

Si el mes de febrero, en un determinado año,
tiene cinco domingos, ¿qué día de la semana
es el día de San Valentín?
La única posibilidad de que febrero tenga 5
domingos es que el mes posea 29 días y se
trate de un año bisiesto. Anotando las fechas
de los días domingos, elaboramos el calendario:
N = 410
Prob. 23
En una granja se tiene: palomas, loros y gallinas. Sin contar las palomas tenemos 6 aves,
sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el
número de palomas en dicha granja?
Und. 2 Razonamiento Aritmético
Obsérvese que el día anterior a 15 fue el sábado 14.
 Día de San Valentín = sábado
61
Prob. 25
Reemplazando (1) en (2), se tiene:
Juan acostumbra ir al cine tres días consecutivos de la semana y al mes tres semanas consecutivas. Si el primer día que asistió en cierto mes fue martes y la suma de las fechas de
los días que fue al cine ese mes es 189, ¿qué
fecha fue la sexta vez que asistió al cine dicho
mes, si asiste siempre los mismos días?
30(4)  80
x
8
4  (-1)
n2 + n – 2n – 1 = 1
240  8 horas
30
2
n –n=1+1
En este tiempo el 2do habrá resuelto:

Se equivocó en 8
Prob. 27

Javier ha sido contratado en una empresa, por
45 días en la siguiente condición: por cada
día que trabaja la empresa le paga 32 dólares
y por cada día que no trabaja Javier paga a
la empresa 40 dólares. ¿Cuántos días ha trabajado si no ha recibido nada?
Utilizando el esquema del método del cangrejo, tendremos:
n(n – 1) = 2· 1
Por comparación deducimos que:
24· 8 = 192
Al 2do le falta resolver:
Sea «x» la fecha en que asistió por 6ta vez al
cine el cual corresponde a un día jueves de
la 2da semana consecutiva. La ubicación de
los demás días que fue al cine lo visualizamos en el siguiente calendario:
n(n + 1) – (2n + 1) = 1
Tiempo que emplea el 1er alumno será:
n=2
Luego el menor es n = 2 y el mayor n + 1 = 3
240 – 192
Y nos piden:
48
(2 + 2· 3)2 = 64
Prob. 31
Prob. 29
Un tren, en cada estación por cada tres pasajeros que recibe deja uno. Si al final del recorrido hay 300 pasajeros, ¿cuántos pasajeros
bajaron en la última estación?
En cualquiera de las estaciones baja 1 pasajero.
 1
(UNFV 2004)
La suma de dos números es 74 y su diferencia
dividida entre el menor da 3 de cociente y 4 de
residuo. Calcule el producto de los números.
Sean «a» y «b» los números cuyo producto
buscamos tal que: a > b.
Según condición se tiene que:
a + b = 74
. . . (1)
Además se tiene la división: a  b b
Por condición del problema:
 ( x  9)  ( x  8)  ( x  7)  ( x  2)  

  189
 ( x  1)  x  ( x  5)  ( x  6)  ( x  7) 

x = 22
Prob. 30
Finalmente, el número «N» de días que trabajó está dado por:
N
Prob. 26

0  45(-40)
32  (-40)
N = 25
En un examen, cada respuesta correcta vale 4
puntos y cada incorrecta vale -1 punto. Si un
alumno, luego de responder 30 preguntas, obtuvo 80 puntos, ¿en cuántas se equivocó?
Prob. 28
Sea «x» el número de preguntas equivocadas, entonces aplicando el siguiente esquema, se tiene:
Dos alumnos tienen que resolver 240 problemas cada uno. Si el primero resuelve 30 por
hora y el segundo 24 por hora entonces, ¿cuál
es el número de problemas que falta resolver al
segundo, cuando el primero haya terminado?
62
Razonamiento Matemático
(UNMSM 2005)
Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y producto son también números consecutivos. Calcular el cuadrado de
la suma del menor con el duplo del mayor.
Sea n  , entonces los números consecutivos son n y (n + 1). Luego:
4
Y del algoritmo de la división, se plantea que:
D = dq + r

a – b = 3b + 4

a = 4b + 4
Reemplazando (2) en (1):
. . . (2)
(4b + 4) + b = 74
Suma = 2n + 1
Producto = n(n + 1)
. . . (1)
Según condición del problema se debe cumplir que la suma y el producto también son
consecutivos, luego:
Producto – Suma = 1
Und. 2 Razonamiento Aritmético
. . . (2)
3
Sustituyendo en (2), se tiene:

5b = 70

b = 14
a = 4b + 4

a = 4(14) + 4

a = 60
Finalmente nos piden: a· b = 60· 14

a· b = 840
63
A) 70
B) 60
C) 80
D) 50
E) 21
(Cepre UNALM 2010)
01.- La edad de Magaly se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la
raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3, obteniéndose 12 de cociente. Calcule la edad de Magaly
dentro de 8 años.
05.- Sebastián gasta su dinero del modo siguiente: las 2/5 partes de su dinero más 2 soles en chocolates, las 3/4 partes del dinero que
le queda más 1 sol en galletas; la tercera parte
del dinero que le queda más 3 soles en caramelos. Si al final le quedó 1 sol, son ciertas:
A) 15
B) 18
C) 23
D) 21
E) 27
(Cepre UNALM 2010)
02.- Cada día, de un reservorio de agua, se consume la mitad del contenido más 20 litros. Si
después de 3 días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua
se consumieron?
A) 350 B) 360 C) 370 D) 200 E) 400
(Cepre UNALM 2010)
03.- Tres jugadores de naipes A, B y C acordaron que el perdedor de cada partida duplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno de ellos en orden alfabético, quedando al final de las tres partidas cada uno con
240 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente el que
ganó más?
A) 210 B) 120 C) 180 D) 160 E) 390
E) 144
(Cepre UNALM 2010)
64
Razonamiento Matemático
D) 15
E) 8
(UNAC 2001)
14.- Un alumno en el mes de abril hace la siguiente operación: resta a los meses que ha
vivido, los años que tiene y obtiene 442. ¿En
qué mes nació dicho alumno?
D) Junio
E) Febrero
II. Gastó 12 soles en chocolates.
III. Gastó 5 soles en caramelos.
10.- Cierto campesino tiene en su granja ciento setenta animales entre gallinas, pavos y conejos. Si el número de gallinas es tres veces
más que el número de pavos y en total se pueden contar 420 patas, ¿cuál es el número de
conejos?
A) Sólo I
B) Sólo III
A) 100 B) 120 C) 40
D) I y III
E) I y II
I. Tenía al inicio 50 soles.
C) Todas
(Cepre UNALM 2010)
06.- El costo de cada pasaje en un micro es de
S/. 5, y por cada pasajero que baja suben dos.
Si al final se ha recaudado S/. 300, ¿con cuántos pasajeros partió al inicio, si al final llegó
con 50 pasajeros?
A) 20
B) 40
C) 30
D) 15
E) 25
07.- En un zoológico, entre todas las jirafas y
avestruces, se pueden contar 30 ojos y 44 patas. Determine la cantidad de alas.
B) 28
C) 16
E) 18
11.- Un padre le da a su hijo 20 problemas,
con la condición de que por cada problema resuelto correctamente ganará 25 soles y por problema mal resuelto perderá 10 soles. Si gana
360 soles, ¿cuántos problemas resolvió correctamente?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 12
E) 30
D) 18
E) 19
(Cepre UNI 2010)
(Cepre UNALM 2010)
A) 14
D) 24
(Cepre UNALM 2010)
08.- En un simulacro que tiene 200 preguntas,
cada respuesta correcta vale un punto y cada
incorrecta un puntaje en contra de un cuarto
de punto. Un alumno ha obtenido en dicha
prueba 100 puntos. Habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas, ¿en cuántas
preguntas se equivocó?
D) 36
C) 13
B) Diciembre C) Julio
04.- Cada vez que sale al recreo un alumno,
gasta la mitad de su dinero y 3 soles más. Si
luego del tercer recreo se quedó sin dinero,
¿cuánto soles tenía inicialmente?
C) 42
B) 14
A) Enero
(CEPREVI 2009)
B) 52
A) 160 B) 110 C) 100 D) 120 E) 180
A) 12
(Cepre UNALM 2010)
(Cepre UNALM 2010)
A) 60
09.- En un establo, el depósito de leche que
contiene 154 litros, debe ser envasado en 280
botellas, unas de 0,75 litros y otras de 0,40
litros. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se van a
necesitar?
litros, ¿cuántas botellas de 3 litros se van a
necesitar?
12.- En un examen, la pregunta correcta vale 4
puntos, la respuesta incorrecta vale -1 punto y
la pregunta sin contestar 0 puntos. Si la cantidad de respuestas malas es igual a la cuarta
parte de las respuestas correctas, y el puntaje
obtenido fue de 165 puntos, que es igual a los
11/16 del máximo posible, ¿cuántas preguntas
se contestaron mal?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
(UNFV 2009)
13.- Un barril contiene 69 litros de vino. Si
este volumen debe ser envasado en 27 botellas las cuales son unas de 2 litros y otras de 3
Und. 2 Razonamiento Aritmético
(UNAC 2001)
15.- Asuma que una pareja de conejos da una
vez por mes una camada de dos conejitos macho y hembra, y que al cabo de dos meses de
nacimiento los conejitos ya dan crías. Si inicialmente hay sólo una pareja de conejos, ¿en
cuántos meses habrá 16 conejos?
A) 6
B) 7
C) 4
D) 3
E) 5
(UNAC 2000)
16.- Se compra 120 dulces a 5 por un sol, y
luego se compra 120 dulces a 3 por un sol, se
vende los 240 dulces a 4 por un sol. ¿Cuánto
se gana o se pierde?
A) Se pierde S/. 50
B) Se pierde S/. 4
C) Se gana S/. 4
D) No se gana ni pierde.
E) Se pierde S/. 5
(UNAC 1997)
17.- Se quiere cercar un terreno cuadrado de
15 876 m2 con una cerca de 4 hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra,
si el metro de alambre cuesta 3 soles y la mano
de obra total 200 soles?
A) S/. 6 234
B) S/. 6 428
D) S/. 6 336
E) S/. 6 420
C) S/. 6 248
(Cepre UNALM 2010)
65
18.- Para comprar 12 lapiceros me faltan 19
soles. Pero si compro 8 me sobrarían 9 soles.
¿Cuánto cuesta cada lapicero?
A) 7
B) 10
C) 11
D) 8
E) 6
(Cepre UNALM 2010)
23.- Un alumno de CEPREVI que vive en Villa El Salvador diariamente gasta en movilidad de su casa al centro pre S/. 3,00 y de regreso S/. 8,00. En un determinado día, al bajar
de la movilidad, observa que en lo que va del
ciclo ya gastó S/. 256, ¿dónde se encuentra?
19.- Cierto número de gorriones están volando y se posan en postes con travesaños. Cuando hay 6 gorriones en cada poste, quedan 4
gorriones volando; pero cuando en cada poste
hay 8 gorriones, quedan 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay?
A) En su casa
A) 16
24.- Si 4 camotes pesan tanto como 7 cebollas; 5 cebollas tanto como 12 tomates; 2 tomates tanto como 7 caiguas y 18 caiguas pesan tanto como 3 papas y además que 3 camotes
pesan 1 kg, ¿cuántas papas pesarán igual que
20 kg de camote?
B) 14
C) 20
D) 18
E) 22
(UNMSM 2007)
20.- A un trabajador se le ha prometido la suma
de $ 1000 más un TV como pago anual. Al
cabo de 7 meses el trabajador renuncia y recibe como pago el TV y $ 200. ¿Cuánto cuesta,
en $, el TV?
C) No se sabe
(CEPREVI 2009)
21.- Para pintar su edificio el propietario pensó cobrar 32 soles a c/u de sus inquilinos, pero
le faltarían 440 soles, entonces les cobra 44
soles y le sobran 520 soles. ¿Cuántos son sus
inquilinos y a cuántos soles asciende el costo
de pintar el edificio?
A) 90 y 3320 B) 80 y 3320 C) 80 y 3000
B) 125 C) 86
25.- En una feria venden 8 plátanos al mismo
precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo
que 10 nísperos y una docena de nísperos al
mismo precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan
S/. 320, ¿cuánto pagará por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña?
A) S/. 90
B) S/. 91
D) S/. 93
E) S/. 94
22.- Un padre va con sus hijos al cine y al querer comprar entradas de 65 soles observa que
le falta para 4 de ellas y tiene que comprar entradas de 35 soles, es así que entran todos y le
sobran 10 soles. ¿Cuántos hijos lleva al cine?
C) 8
D) 9
E) 10
(CEPREVI 2009)
66
Razonamiento Matemático
C) S/. 92
(Cepre UNALM 2010)
(CEPREVI 2009)
B) 7
D) 150 E) 147
(Cepre UNALM 2010)
D) 10 y 3000 E) 80 y 4000
A) 6
D) No se puede determinar.
(UNFV 2004)
A) 780 B) 800 C) 920 D) 720 E) 1200
A) MATE
B) ETMA
D) AEMT
E) EATM
26.- Siete panes pesan lo mismo que cuatro
bizcochos, cinco empanadas pesan lo mismo
que 6 bizcochos. Si p, b y e son los pesos, en
gramos, de un pan, un bizcocho y una empanada, respectivamente, entonces:
A) p < e < b
B) e < p < b
D) p < b < e
E) b < p < e
C) e < b < p
(Cepre UNALM 2010)
C) TMEA
(UNMSM 2007)
B) En CEPREVI
E) Entre su casa y CEPREVI
A) 96
27.- Sean M, A, T y E números positivos tales
que 9T = 2E, 5M = 3A y 10E = 9A. Ordenar,
de menor a mayor M, A, T y E.
28.- ¿Qué suma necesitará el gobierno para pagar a 4 coroneles, si el sueldo de 6 coroneles
equivalen al de 10 comandantes; el de 5 comandantes al de 12 tenientes; el de 6 tenientes
al de 9 sargentos, si además 4 sargentos ganan
S/. 2 400 al mes?
A) 13400
B) 14400
D) 16600
E) 14300
C) 15500
(UNFV 2009)
29.- En una librería, el costo de 4 lapiceros
equivalen a 10 reglas, 9 reglas equivale a 3
crayolas del mismo modo que 8 crayolas equivalen a 6 cuadernos. Si por S/. 160 dan 4 cuadernos, ¿cuántos lapiceros dan por S/. 150?
A) 12
B) 6
C) 4
D) 8
E) 10
(CEPREVI 2009)
30.- Si 3 envases de «A» equivalen a 2 envases de «B», del mismo modo que 4 envases de
«B» equivalen a 3 envases de «C»; 10 envases
de «C» equivalen a 8 envases de «D» y 40 litros de agua entran en 4 envases de «D», ¿cuántos envases de «A» se necesitan para envasar
60 litros?
A) 10
B) 11
C) 13
D) 14
31.- En una ciudad se observa que existen 5
gatos por cada 2 ratones, pero un virus elimina 5 ratones por cada 2 gatos, sobreviviendo
84 gatos y ningún ratón. ¿Cuántos ratones había al inicio?
B) 42
C) 48
D) 50
E) 62
(UNFV 2004)
Und. 2 Razonamiento Aritmético
A) 8
B) 6
C) 5
D) 9
E) 7
(UNMSM 2009)
33.- 3 personas que recorrerán 65 km se ponen de acuerdo con otras 2 personas que tienen que ir a un punto ubicado a 23 km en la
misma carretera para pagar un taxi el cual les
cuesta S/. 241. ¿Cuántos soles le corresponde
pagar a cada persona de cada grupo en relación a la distancia recorrida?
A) 17; 25
B) 31; 22
D) 91; 30
E) 45; 17
C) 65; 23
34.- Un tren al final de su trayecto llega con
40 adultos y 30 niños, con una recaudación de
S/. 200. Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de S/. 2 y S/. 1 respectivamente.
¿Con cuántos pasajeros salió de su punto inicial si en cada paradero por cada 3 adultos que
subían, también subían 2 niños y bajan 2 adultos junto con 5 niños?
A) 64
B) 72
E) 15
(CEPREVI 2009)
A) 40
32.- En un restaurante, 24 personas consumen
por una suma de S/. 3600 para pagar en partes
iguales. Como algunos no tienen dinero, cada
uno de los que asumen la cuenta paga 1/3 más
de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas
no tienen dinero?
C) 90
D) 80
E) 45
01
C
02
A
03
B
04
C
05
D
06
B
07
C
08
C
09
D
10
C
11
B
12
D
13
D
14
E
15
E
16
B
17
C
18
A
19
D
20
C
21
C
22
C
23
B
24
E
25
C
26
D
27
C
28
B
29
B
30
E
31
A
32
B
33
C
34
C
67