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π, ¿Número Irracional?
Π ¿NÚMERO IRRACIONAL?
1.- Sistemas de numeración
El concepto de número va asociado al proceso de contar objetos. Nosotros utilizamos los llamados
números naturales para expresar una cantidad. Decimos; tengo 4 corderos, tú tienes 5 vacas, etc. Los símbolos gráficos utilizados para representar esas cantidades varía a lo largo de la historia y de los pueblos.
La forma más simple de representar objetos es colocando un signo asociado a una unidad, dos
signos asociados a dos unidades, etc, este proceso puede ser un inconveniente al llegar a cantidades ele vadas, así al llegar a diez unidades empleamos un signo distinto para representar la decena.
Este sistema fue usado por los babilonios
EQUIVALENCIAS NUMÉRICAS Y GRÁFICAS
'
''
'''
''''
'''''
''''''
'''''''
''''''''
'''''''''
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
·
··
···
····
·····
······
·······
········
·········
+
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
+
++
+++
++++
+++++
++++++
+++++++
++++++++
+++++++++
=
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Así, por ejemplo; para representar la cantidad 4675 utilizaban la siguiente escritura.
==+++····'''
==+++··· ''
Los griegos y los hebreos usaban las letras de su alfabeto para representar cantidades.
EQUIVALENCIA NUMÉRICA CON EL ALFABETO
A (α)
B (β)
C (γ)
D (δ)
E
F
G
H
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
10
20
30
40
50
60
70
80
90
S
T
U
V
W
X
Y
Z
&
100
200
300
400
500
600
700
800
900
NOTA: Los signos aquí utilizados así como las letras del alfabeto griego y hebreo están cambiados
para facilitar la comprensión del método.
 Vicente Viana Martínez
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Este sistema tiene el grave
inconveniente de tener que memorizar
veintitantos signos, mientras que el sistema
babilonio tan solo usaba 4 signos diferentes.
Además y mucho más grave puede dar lugar
a frecuentes errores al poder confundirse
palabras y cantidades.
Esta implicación entre el lenguaje y
los números ha dado lugar a distintas interpretaciones esotéricas basadas en esa equivalencia; en la Biblia uno de sus libros se
llama "Números" y existe una pseudociencia
llamada numerología. En el Apocalipsis de
San Juan se puede leer; " ...el número de la
bestia es 666". Escrito en caracteres hebreos
y aplicando las equivalencias anteriores
"Nerón Caesar" coincide con esa profecía,
posteriormente se hicieron juegos de números que asignaban a Martin Lutero el número de la bestia y los protestantes obtuvie ron el nombre de varios Papas que también
encajaban en esa interpretación.
Los romanos también utilizaron le tras para representar números pero ellos
utilizaron un sistema que agrupaba las cantidades en grupos de 5, al igual como los
ábacos orientales. Sin embargo, su innovación más importante fue el principio sustractivo que permitía
restar las cifras situadas a la izquierda y sumatorio que permitía sumar las cifras situadas a la derecha.
NUMERACIÓN ROMANA
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
C
D
M
50
100
500
1000
Para cantidades más grandes colocaban una rayita horizontal sobre la cifra en cuestión, la cual quedaba multiplicada por 1.000.
Por ejemplo; V = 5.000
En sociedades primitivas cuyos pobladores vayan descalzos pueden utilizar un sistema de numeración basado en el 20 (10 dedos de las manos y 10 de los pies). Los franceses al número 80 lo nombran
quatrevingt y el 90 como quatrevingtdix. Los sumerios para permitir la divisibilidad usaban un sistema de
numeración basado en el 60 que admite multitud de divisores; el 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 y 60. Todavía
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hoy usamos para la medida de tiempos y de ángulos un sistema en base 60 heredero del sistema de numeración sumerio.
Pero la renovación más espectacular tuvo lugar en la India con la invención del cero y un sistema
de numeración que asignaba a cada cifra un valor en función de la posición que ocupa.
Así el número 576 significa que tenemos
5 centenas
7 decenas
6 unidades
Y el número 2001 significa que tenemos
2 unidades de
millar
ninguna centena
ninguna decena
Los hindúes llamaron al cero “sunya” que quiere decir vacío. Los árabes lo adoptaron, lo extendie ron por Europa y lo denominaron cefer (vacío), de ahí derivan los nombres cero y cifra.
La introducción del cero y del sistema de numeración basado en la posición y el orden de las cifras
supuso un avance espectacular en el Cálculo, haciendo muchísimo más sencillas las operaciones y las
transacciones comerciales al tiempo que se internacionalizaba su uso. En la actualidad TODOS los países
del mundo utilizan el mismo sistema de numeración aunque hablen centenares de lenguas diferentes.
2.- Categorías de números
Pero ahí no termina la historia, cuando queremos representar situaciones de deuda o de déficit usamos los llamados números negativos, llamados, junto con los positivos, números enteros por los matemáticos. Para señalar por ejemplo que una persona debe a otra 200.000 ptas. Utilizamos el símbolo –
200.000. Los números negativos comenzaron a usarse en Europa a partir del siglo XV. La contabilidad,
método de cómputo comercial de origen medieval, es la respuesta de una sociedad que desconocía los
números negativos a los procesos de compra y venta. La utilización, todavía hoy, del DEBE y del
HABER, tiene su origen en el desconocimiento de los números negativos.
Cuando queremos representar una parte de una cantidad total, usamos los llamados números
fraccionarios, también llamados números racionales por los matemáticos. Así, al repartir un pastel, por
ejemplo, decimos; “a Juan le corresponden los 2/5, a Pedro 1/5 y a Carlos los 2/5 de pastel”. Para representar estas situaciones prácticas utilizamos los números racionales. Cada número racional equivale a un
2
1
número decimal. Así, = 0,4 = 0,2 .
5
5
Pero el número de cifras decimales no siempre es finito, por ejemplo al dividir 1/3, obtenemos un
)
número con infinitos decimales; 0,3333333...., abreviadamente escribimos 0,3 . Sin embargo, esas cifras
aunque infinitas son periódicas, van repitiéndose como por ejem667
plo
= 0,134747 ... = 0,1347 . La característica de los números
4950
decimales es que sus decimales son finitos y caso de ser infinitos
poseen un período.
Los pitagóricos, en el siglo V a.C. descubrieron la existencia de cantidades reales que no podían representarse por una fracción. Son los llamados números irracionales.
En un triángulo rectángulo de catetos unitarios, la longitud
de la hipotenusa no puede representarse por ningún número ra Vicente Viana Martínez
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cional. Tenemos el ejemplo de una longitud real que no puede expresarse con total precisión con un número finito de decimales, para representarlo usamos la notación; 2 . A este tipo de números se les llama
números reales.
La introducción de raíces cuadradas provoca un problema cuando el radicando es negativo.
Así; − 4 = ...?? no tiene solución en el campo real, precisamos introducir un nuevo conjunto de
números; los llamados números complejos. Para trabajar con ellos asignamos.
−1 = i
Con lo cual;
− 4 = 2i
Nos podemos plantear la siguiente pregunta; ¿qué representan los números complejos?, ¿qué significado tiene decir que esa regla mide 3i metros?
Para comprender el significado de los números complejos tenemos que pensar en dos direcciones perpendiculares en el plano.
En general, un número complejo está formado por una parte real y
otra imaginaria; es decir; es del tipo (a + bi). Un número complejo
no representa una distancia sino una orientación; a + bi indica que
nos desplazamos a metros en dirección horizontal y b metros en dirección vertical.
Estos números se usan mucho en Física para representar
magnitudes vectoriales donde la orientación es fundamental para
conocer su significado.
3.- ¿Qué es el número π?
Hasta aquí un breve repaso de los sistemas de numeración y de la s distintas categorías de números,
comencemos a hablar ahora del protagonista de nuestra historia.
El número π es un número muy popular en la Matemática, todos lo hemos estudiado y recordamos
su valor aproximado; 3,14159...., pero ¿de dónde le viene esa popularidad y esa fascinación que ha ejercido en la mente de todos los hombres de ciencia a lo largo de los años?
El número π nace de una pregunta sin solución. Al igual como atribuimos al poder o a la voluntad
de Dios aquello que no podemos explicarnos, así atribuimos al número π la rectificación de una circunferencia, esto es su longitud recta equivalente y también aparece como respuesta a una pregunta sin solución; la cuadratura del círculo.
Pregunta: ¿Qué relación existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro?. Respuesta:
NO lo sabemos, no existe cantidad alguna, ya sea número entero, racional o real, equivalente.
Pregunta: ¿Qué longitud ha de tener el radio de un círculo con un área igual a la de un cuadrado de
lado conocido?. Respuesta: Imposible, no existe cantidad alguna, ni siquiera un número irracional que nos
dé la solución a ese dilema.
Bien, pues esas preguntas tienen solución si asignamos a esa imposibilidad numérica una cantidad
nueva e imponderable a la cual representamos con la letra griega π.
Ahora ya tenemos respuesta a nuestras dudas.
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Una circunferencia mide π veces su diámetro.
l
Un círculo tiene de radio r =
para que su área mida igual a la del cuadrado de lado l.
π
Al igual como Dios responde a nuestras dudas; ¿cuál es mi origen, mi destino final?, así π responde
a esas otras incógnitas creando un ente de imposible realidad pero que sirve para tapar el hueco de la
duda, el temor al vacío sin justificación.
4.- Historia del número π
En las tablillas babilonias se le asigna de una forma aproximada el valor 3 a la relación entre la
longitud de una circunferencia y su diámetro.
En la Biblia, en el libro de las Crónicas, se describe un recipiente circular que formaba parte del
templo de Salomón. Allí se especifica su tamaño; “diez codos de ancho y un cordón de 30 codos lo ceñía
a su alrededor”. Es decir, asignaba el valor 3 a nuestro número π al igual como la cultura babilonia. Si recordamos el largo cautiverio de los judíos no debemos extrañarnos de la gran influencia que la cultura babilonia junto con sus mitos, costumbre y religión ejercieron sobre el pueblo hebreo.
Afortunadamente, nadie tomó esas palabras de la Biblia como parte fundamental del dogma judío o
cristiano, pues de lo contrario, todas las ruedas de la cristiandad debieran transformarse en bonitos pero
incómodos exágonos regulares.
Esa aproximación grosera fue mejorada posteriormente. Los arquitectos fenicios y egipcios usaban
el valor.
22
π=
= 3,142857143 ....
7
Este valor aproximado difiere del real en
poco más del 0,04%,, valor suficientemente bueno a
efectos de cálculos técnicos pero los griegos sabían
que ese valor no era correcto e intentaron descubrir
su secreto.
Arquímedes de Siracusa puso cerco a la circunferencia, inscribió un polígono regular dentro del
círculo y circunscribió otro del mismo número de
lados por fuera. Conociendo los perímetros de los
polígonos inscrito y circunscrito, sabemos que el perímetro de la circunferencia se encontrará entre esos
dos valores. Cuanto mayor sea el número de lados de los polígonos más precisión obtendremos.
Perímetroinscrito < Circunferencia < Perímetrocircunscrito
Empezamos primero con un triangulo, luego un cuadrado, pentágono, exágono, etc..., al ir aumentando el número de lados los polígonos van aproximándose a la circunferencia y consecuentemente el
número π podemos aproximarlo cuanto deseemos sin más que aumentar el número de lados. Arquímedes
llegó a usar un polígono de 96 lados con lo cual obtuvo para π el valor.
π=
 Vicente Viana Martínez
3123
= 3,141851107 ....
994
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Que difiere del valor verdadero en 1 parte por 12.000
Hasta el siglo XVI no se mejoró el método de Arquímedes cuando se descubrió la mejor aproximación a π en forma de número racional.
π=
355
= 3,14159292 ...
113
Esta fracción tiene un error de 1 parte cada 12.500.000. Eso supone un error de 3 metros al medir la
circunferencia terrestre, un valor despreciable e insignificante para todos menos para los matemáticos que
al igual como los teólogos buscan conocer la naturaleza del Creador, así los matemáticos sentían la necesidad de conocer la esencia del número π. ¿Tenía infinitos decimales?, ¿en algún punto se producía un ciclo, un período?
François Viete, el mejor matemático de todo el siglo XVI descubrió una expresión basada en el
número irracional 2 para aproximarse a su valor.
2
π=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
·
+
·
+
+
·.........
2 2 2 2 2 2 2 2 2
En 1.596 el matemático holandés Ludolf Van Ceulen dedicó toda su vida a calcular los decimales
de π, obteniendo 35 decimales, los cuales figuran en el epitafio de su tumba, e incluso sus compatriotas
quisieron llamar en su honor número “ludolfiano” al número π.
En 1673, el matemático alemán Leibniz, descubridor junto con Newton del cálculo diferencial, dedujo la serie.
1
1 1 1 1 1 1

π = 4· − + − + −
+
− ...
1
3
5
7
9
11
13


Y John Wallis, contemporáneo del anterior dedujo el productorio.
2 2 4 4 6 6 8 8 
π = 2 ·  · · · · · · · ·...
1 3 3 5 5 7 7 9 
Lord Bouncker (1.620 – 1.684) obtuvo π como una serie de fracciones sucesivas.
4
12
π=
1+
2+
32
52
2+
72
2+
......
Estas series, de todas formas convergen muy lentamente. En definitiva, lo que todos los matemáticos buscaban era una progresión geométrica decreciente que permitiera calcular el número π. Es decir, se
buscaba una serie cuyos términos pudieran sumarse y así expresar π en forma de fracción. Todavía existía
la esperanza de que π fuera un número racional.
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Abraham Sharp calculó en 1.699 las 71 primeras cifras decimales de π.
Pero en 1.761 el matemático alemán Lambert demostró que π es irracional, no existía esperanza alguna de encontrar regularidad alguna a lo largo de todos sus decimales.
Aún así, el matemático inglés Shanks dedicó 20 años de su vida al cálculo de las 707 cifras decimales de π, pero cometió un error en el decimal 528 y posteriores, circunstancia que sólo pudo ponerse de
manifiesto en el año 1.949 con el empleo de cerebros electrónicos.
Shanks usó una serie ideada por Machin que es la diferencia del desarrollo en serie de dos arcos
tangentes.
π = 16 arc tg
1
1
− 4 arctg
5
239
1
1
1
1
1
1
1

 1

π = 16 ·  − 2 + 5 − 7 + ... − 4 · 
−
+
−
+ ...
3
5
7
5 3·5 5·5 7·5

 239 3·239 5·239 7·239

Pero en 1.882 su colega Lindermann demostró que π además de ser irracional es trascendente. Es
decir, no puede ser solución de ninguna ecuación polinómica de cualquier grado de coeficientes reales.
Lindermann puso punto final al problema de la cuadratura del círculo demostrando matemáticamente su
imposibilidad.
En 1.949 la computadora ENIAC trabajando 70 horas ininterrumpidamente con la serie de Machin
obtuvo 2.037 decimales de π, descubriendo el error cometido por Shranks dos siglos y medio atrás.
A partir de ese momento la búsqueda de los infinitos decimales de π se convierte en un algoritmo
de prueba de la velocidad de una computadora.
A título de curiosidad, un ordenador Cray-2 obtuvo 29 millones de decimales en 28 horas de trabajo y continuamente aparecen noticias más propias del libro Guinnes de los records que de una actualidad científica.
Pero el estudio de π no está finalizado, Emile Borel en 1.909 formalizó la normalidad de un número irracional cuando sus cifras se repiten por igual en cualquier sistema de numeración. El análisis de
la frecuencia de sus cifras no ha detectado ninguna fluctuación importante, al menos en los primeros diez
millones de decimales. A pesar de ello no se ha demostrado la normalidad de π.
La frecuencia de la aparición de las cifras en los primeros diez millones de decimales viene indicado en la siguiente tabla.
Cifras
 Vicente Viana Martínez
Frecuencia
0
1
999.440
999.333
2
1.000.306
3
4
999.964
1.001.043
5
1.000.466
6
7
999.337
1.000.207
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8
9
999.814
1.000.004
Se observa que la cifra 4 aparece 1.760 veces más que la cifra 1 en ese intervalo.
¿Están buscando los matemáticos alguna asimetría en su frecuencia?, ¿existe algún mensaje oculto
en forma de alguna anisotropía en su estructura de número trascendente?. Sospechamos que no, pero sus
cifras aparentemente aleatorias ¿encierran alguna ley física o matemátic a todavía desconocida?.
Considerando, como decía Newcomb, que 30 cifras decimales de π son suficientes para medir la
circunferencia de todo el Universo conocido con un error microscópico, esa inútil y absurda búsqueda de
los decimales de π sólo es comparable a los radiotelescopios que exploran el cielo intentando recibir algún mensaje desde lo desconocido.
5.- Algunas curiosidades de π
Al ser π la relación entre una longitud curva (la circunferencia) y una longitud recta (el diámetro),
este valor aparecerá en todas las expresiones geométricas que describen longitudes, áreas y volúmenes de
figuras y sólidos de revolución.
C = D·π
A = π·r2
4
V = · π· r 3
3
......
etc
b) Cuadratura del círculo
l2 = πr2
l=r· π
c) Radianes y estereorradianes
El radián es una unidad de medida de ángulos. Un radián es el
ángulo que abarca sobre la circunferencia un arco de longitud igual a
su radio.
α = 1 radián
si, l = R
La equivalencia del radián en el sistema sexagesimal es inmediata, recordando que la circunferencia tiene 360º y abarca un arco de
valor 2·π·R
360ª
α
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2·π·R
R
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α=
180 º
= 57 º17 ' 44,8"
π
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Para pasar de grados a radianes; multiplicamos por π y dividimos por 180º.
Para pasar de radianes a grados multiplicamos por 180º y dividimos por π
De igual forma definimos el estereorradián como el ángulo sólido que abarca sobre una superficie
esférica un área de R2 .
En las fórmulas de la Física los ángulos se miden siempre en radianes y el número π aparece como
un factor de conversión.
c) El cordón que ciñe a la Tierra
Imaginemos un cordel inelástico que circunscribe exactamente a la Tierra (unos 40.000.000 metros) y añadamos a ese
cordel 1 metro. Ahora volvamos a situar ese cordón rodeando a
la Tierra, manteniendo el mismo centro, con lo cual existirá
cierta holgura entre el cordón y la superficie de la Tierra; ¿cuál
es el valor de dicha holgura?; es decir, ¿qué distancia hay entre
el cordón y la Tierra?.
Segunda cuestión: Tomemos un hilo y rodeemos exactamente una bola de billar. Añadimos un metro a esa longitud y
volvamos a circunscribir a la bola. ¿Qué distancia separa el hilo
de la bola de billar?.
Sorprendentemente las distancias en ambos casos son
1
iguales a
metros, aproximadamente 16 cm de holgura,
2· π
pues la respuesta es totalmente independiente del radio del círculo. No importa que rodeemos todo el Universo o bien un
protón. La deducción es fácil de justificar.
L1 = 2·π·R
L2 = 2·π·R + 1
2· π · R + 1
1
=R+
2· π
2·π
1
R' − R =
= 15,9 cm
2· π
R' =
d) Lanzando agujas obtenemos π
Un naturalista del siglo XVIII, el conde Buffon
popularizó el llamado método de la aguja para obtener π. Sea
una superficie plana dividida en líneas parale las separadas una
distancia constante H. Tomamos agujas de longitud = H y las
dejamos caer al azar sobre esa superficie; consideramos caídas
favorables cuando la aguja toca alguna de las rayas horizontales
y caídas desfavorables cuando la aguja no toca a ninguna de las
rayas. Buffon justificó que, dividiendo los casos favorables
2
entre el total de lanzamientos se obtenía el valor .
π
 Vicente Viana Martínez
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En el año 1.901 el matemático italiano Lazzerini dejando caer la aguja 3.408 veces obtuvo para π el
valor; 3,1415929 con un error de sólo 0,0000003.
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