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PROPIEDADES DE LOS
NUMEROS REALES
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Departamento de Matemáticas
Prof. Yuitza T. Humarán Martínez
Adaptado por Prof. Caroline Rodriguez
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …}
{0}
{-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Opuestos de fracciones
de naturales
Fracciones de naturales
Racionales,
Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}
Irracionales
Reales, R
Otro diagrama, R
REALES
Racionales
−
0.25
3
5
Irracionales
π
Enteros
3
-2
-7
Naturales
7
0. 3
2
9
0
1
2
4
2
e
Propiedades de los reales
• Clausura
• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva
• Identidad
• Inversos
Clausura
• Propiedad de clausura de la suma
Sean a y b números reales, entonces
a + b es un número real.
Si sumas dos números reales, el total es también un
número real.
Ejemplos:
-10 + 49 = 39
-5 + -100 = -105
½ + ¾ = 5⁄4
2 − 5 2 = −4 2
Clausura
• Propiedad de clausura de la multiplicación
Sean a y b números reales, entonces
ab es un número real.
Si multiplicas dos números reales, el producto es también
un número real.
Ejemplos:
(-10)( 49) = -490
(½) ( ¾) = 3⁄8
(-5)(-100) = 500
2 5 2 =5
2
2
= 5 ∙ 4 = 20
Conjunto cerrado
• Decimos que el conjunto de los reales está cerrado para
las operaciones de suma y multiplicación.
Propiedad conmutativa de la suma
Ejemplo:
(2 + 5) = 7.
(5 + 2) = 7.
Como ambos enunciados son equivalentes a 7
escribimos 2 + 5 = 5 +2.
Propiedad conmutativa de la suma:
• Sean a y b números reales entonces
a + b = b + a.
(si cambias el orden de dos sumandos, el total no cambia.)
Propiedad conmutativa de la
multiplicación
Ejemplo:
(2)(5) =10.
(5)(2) = 10.
Como ambos enunciados son equivalentes a 10,
escribimos
(2)(5) = (5)(2).
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Sean a y b números reales entonces
ab = ba.
(si cambias el orden de dos multiplicandos, el producto no
cambia.)
Nota:
• ¿Son la resta y la división conmutativas?
• Ejemplo
Determine:
a. 5 – 4 = 1
b. 4 – 5 = –1
Como los valores son diferentes, las expresiones
no son equivalentes, por lo tanto la resta NO es
conmutativa.
Nota:
• Ejemplo
Determine:
a. 12 ÷ 4 = 3
b. 4 ÷ 12 =
1
4
ó
3
12
Como los valores son diferentes, las expresiones
NO son equivalentes, por lo tanto la división no es
conmutativa.
Asociativa
Ejemplo:
Par a determinar el total de 2 + 3 + 4 sin utilizar la
propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas:
• Sumando primero el 3 y el 4
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
• Sumando primero el 2 y el 3
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
Como ambos enunciados son equivalentes a 9
podemos decir que los enunciados son equivalentes
y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
Propiedad asociativa de la suma
• Sean a, b y c números reales entonces
a + (b + c) = (a + b) + c.
• Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes
intercambiar las expresiones.
Asociativa
Ejemplo:
Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la
propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas:
• Multiplicando primero el 3 y el 4
2 [(3)(4)] = 2(12) = 24
• Multiplicando primero el 2 y el 3
[(2)(3)]4 = 6(4) = 24
Como ambos enunciados son equivalentes a 24
podemos decir que los enunciados son equivalentes
y escribimos
2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4
Propiedad asociativa de la multiplicación
• Sean a, b y c números reales entonces
a(bc) = (ab)c.
• Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes intercambiar
las expresiones.
Distributiva
• Ejemplo:
Determine el valor de las expresiones:
a. 5 ( 2 + 3)
Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se
quiere hacer primero.
5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25
b. 5 (2) + 5 (3)
5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25
Como ambos enunciados son equivalentes a 25
podemos decir que los enunciados son equivalentes y
escribimos, 5(2+ 3)= 5(2)+5(3)
Propiedad distributiva
En general, para a, b y c números reales,
a(b + c)= a(b)+ a(c)
( b + c) a = (b)a + (c)a = a(b) + a(c)
Identidad aditiva
• Sea a un número real entonces
a + 0 = 0 + a = a.
• Decimos que cero es la identidad aditiva o la identidad de
suma porque cuando se suma no “ocurre nada”.
• Es decir, el número real al cual se le suma cero, no
cambia, no se altera.
Identidad multiplicativa
• Sea a un número real entonces
a(1) = (1)a = a
• Decimos que uno es la identidad multiplicativa o la
identidad de multiplicación porque cuando se multiplica
no “ocurre nada”.
• Es decir, el número real que se multiplica por uno, no
cambia, no se altera.
Inversos aditivos
• Sea a un número real entonces
a + (-a) = -a + a = 0
• Dos números son opuestos o inversos aditivos si al
sumarse el total es cero.
Inversos multiplicativos
• Sea a un número real y a ≠ 0 entonces
1 1
a⋅ = ⋅a = 1
a a
• Dos números son inversos multiplicativos o recíprocos si
al multiplicarlos el producto es uno.
• Ejemplo: El recíproco de 2 es ½ por que
2
1
2
=
2 1
1 2
=
1
1
= 1.
Ejemplos
• Indique la propiedad de los reales que justifica el
enunciado.
(a) 0 + (-5) = -5
(b) -2 ( x + y) = -2x + -2y
(c) (a + b) c = c (a + b)
(d) 5x + 5y = (x + y)5
Recta numérica
• Los números reales se representan geométricamente
mediante una recta llamada, recta numérica o recta de
los números reales.
• Se asocia a cada punto en la recta, un número real.
• Al número asociado a cada punto de la recta se le llama
coordenada del punto.
0.45
−π
− 2
−
14
−
3
1
2
1
2
9
4
2
−0.65
π
Orden
• Los números representados en la recta numérica
aumentan de izquierda a derecha.
• Si el número real a está a la izquierda del número real b
sobre la recta numérica,
a
b
entonces decimos que a es menor que b y escribimos a
< b.
• Esta relación también puede describirse diciendo que b
es mayor que a o escribiendo b > a.
Ejemplos
• La raíz de dos es menor que π.
• El opuesto de la raíz de dos es mayor que -π.
−π
− 2
2
π
Orden
• La relación a ≤ b significa que a es menor
o igual a b.
• La relación b ≥ a significa que b es mayor
o igual que a.
• Los símbolos
<, >, ≤, ≥
se llaman símbolos de desigualdad.
Distancia
• Si a y b son dos números reales tales que a ≤ b,
entonces la distancia entre a y b es b – a.
• Ejemplo:
Determine la distancia entre:
(a) 20 y 5
(b) -4 y 6
(c) -10 y -6
Valor absoluto
• El valor absoluto de un real es la distancia
entre el número y cero en la recta
numérica.
• El valor absoluto de un número a se
escribe | a |.
Ejemplo

Determine el valor de los siguientes números
reales.
a. | 3 | = 3
b. | −8 | = 8
c. | 0 | = 0
d. | −103 | = 103
e. | 5 | = 5
Valor absoluto
• En general, sea a un número real.
• Si a es no negativo, entonces | a | = a.
Es decir, el valor absoluto de un número
no negativo es igual a él mismo.
• Si a es negativo, entonces | a | = − a.
Esto es, el valor absoluto de un número
negativo es igual a su opuesto.
Ejemplo

Determine el valor de las siguientes
expresiones numéricas.
a. | π | = π
b. |−
c.
2
1
2
| =
=
1
2
2