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Algebra universitaria
UNIDAD III. POLINOMIOS
3.3. Raíces polinomios
Definición de raíz
Un polinomio P(x) tiene una raíz “r” si y solo si P(r) = 0.
Ejemplo: El polinomio P(x)= x2 - 5x + 6 tiene las siguientes raíces:
r1 = 2 y r2 = 3
Dado que:
P(2)= 22 – 5(2) + 6 = 0
P(3)= 32 – 5(3) + 6 = 0
Antes de revisar el teorema fundamental del álgebra es necesario
recordar que un número complejo tiene la forma z = a + bi; donde a es
la parte real y bi la imaginaria.
Cuando b = 0 el número complejo z se simplifica a z = a; lo cual es un
número real; todos los números reales son un caso especial de los
números complejos, es decir, el conjunto de los complejos contiene a
los números reales.
Teorema fundamental del álgebra
Un polinomio P(x) de grado “n” no constante (es decir con un grado
mayor a cero, n>0) y con coeficientes complejos (por lo tanto también
para coeficientes reales) tiene tantas raíces como su grado “n” lo
indica.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Teorema de factorización lineal
Si p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
Donde: an ≠ 0 y n ≥ 1.
El polinomio puede factorizarse a la forma:
p( x) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) ... ( x − rn )
Donde: an es el coeficiente principal y r1 a rn son las raíces complejas
del polinomio, nótese que la cantidad de raíces “n” es igual al grado del
polinomio de acuerdo al teorema fundamental del álgebra.
Las raíces se consideran complejas según los teoremas pero recuerde
que si la parte imaginaria de la raíz compleja b = 0 entonces la raíz
pertenece a los números reales (los reales son un subconjunto de los
números complejos).
Ejemplo: El polinomio P(x)= x2 - 5x + 6 debe tener dos raíces, ya que
su grado es 2.
Otro ejemplo: los polinomios:
p ( x ) = x 3 − 6 x 2 − 16 x
f ( x ) = 2 x 4 + 8 x 3 + 10 x 2
q ( x ) = 3 x 2 − 10 x + 8
p(x) debe tener 3 raíces complejas (pueden ser imaginarias, reales o
una combinación de ambas, pero en total deben ser 3).
f(x) debe tener 4 raíces complejas.
q(x) debe tener 2 raíces complejas.
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