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Problemas algebraicos
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PROBLEMAS (SISTEMAS LINEALES)
1.1
PROBLEMAS (SISTEMAS NO LINEALES)
1.- La razón de dos números es tres quintos y si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el
4
. ¿Cuáles son los dos números?
numerador en 2 unidades la nueva razón es
11
2.- En un monedero hay un total de 50 monedas con un valor de 7 euros. Si las monedas son de 5 y 20
céntimos, ¿cuántas hay de cada clase?
3.- Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad de otro y que el tercero es la cuarta
parte de la suma de los dos primeros.
4.- El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta
en una unidad y el nuevo resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor.
5. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 € por 3
días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro.
6. Un inversor compra dos cuadros por 2650 €. Al cabo de dos años, los vende por 3124 € ganando en uno
de ellos un 20% y en el otro un 15%. ¿Cuánto le costó cada cuadro?
7. Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. ¿Cuánto debe fundir
de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza?
8. Un comerciante compra dos motocicletas por 3000 € y las vende por 3330 €. Calcula cuánto pagó por
cada una si en la venta de la primera ganó un 25% y en la de la segunda perdió un 10%.
9. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca he pagado 69 €. Calcula el precio de un
kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el
precio de la mezcla sería 15 €.
10. La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número
resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. ¿Cuál es ese número?
11. Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que
resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,2. ¿Cuál es el número?
Problemas algebraicos
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1.- La razón de dos números es tres quintos y. ¿Cuáles son los dos números?
Sean x e y, ambos números:
La razón entre ambos números es
3
x 3
⇒ =
y 5
5
Si aumentamos y en una unidad y disminuimos x en 2 unidades la nueva razón es
4
x−2 4
⇒
=
11
y + 1 11
Planteamos el siguiente sistema:
x 3
 −20x + 12y = 0
y = 5
5x = 3y
5x − 3y = 0


⇒ 
⇒
⇒  33x − 12y = 78 ⇒ x = 6 ⇒ 30 = 3y ⇒ y = 10

11x − 22 = 4y + 4 11x − 4y = 26
x − 2 = 4
13x = 78
 y + 1 11
Luego, los dos números son 10 y 6.
2.- En un monedero hay un total de 50 monedas con un valor de 7 euros. Si las monedas son de 5 y
20 céntimos, ¿cuántas hay de cada clase?
Definimos como x = nº de monedas de 5 céntimos
y = nº de monedas de 20 céntimos
Hay un total de 50 monedas : x + y = 50
Se tiene 7 € = 700 céntimos : 5x + 20y = 700
Planteamos el siguiente sistema:
 −5x − 5y = −250

 x + y = 50
⇒  5x + 20y = 700 ⇒ y = 30 ⇒ x = 20

5x + 20y = 700
15y = 450
Hay 20 monedas de 5 céntimos y 30 monedas de 20 céntimos
3.- Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad de otro y que el tercero es la
cuarta parte de la suma de los dos primeros.
x

 x = 2y
 y = 2

⇒


2y + y 3y ⇒ La suma de los tres es 180º : x + y + z = 180º
x
+
y
=
z =
 z =
4
4

4
2y + y +
3y
3 · 48
= 180 ⇒ 8y + 4y + 3y = 720 ⇒ 15y = 720 ⇒ y = 48 ⇒ x = 96 , z = z =
= 36
4
4
4.- El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente
aumenta en una unidad y el nuevo resto es 1. Hallar el dividendo y el divisor.
Sea x = dividendo
y = divisor
Sabemos que D = d · c + r
El cociente de una división es 3 y el resto 5 : x = 3y + 5
Si el divisor disminuye en 2 el cociente aumenta en 1 y el nuevo resto es 1: x = 4(y – 2) + 1
x = 3y + 5

 ⇒ 3y + 5 = 4y – 7 ⇒ y = 12 ⇒ x = 36 + 5 = 41
x = 4(y − 2) + 1
Problemas algebraicos
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El dividendo es 41 y el cociente es 12.
5.- Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160
€ por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por
kilómetro.
Sea x = nº días y = nº Km recorridos
Si paga 160 € por 3 días y 400 km: 3x + 400y = 160
Si paga 175 € por 5 días y 300 km: 5x + 300y = 175
Planteamos el sistema:
 15x + 2000y = 800
 3x + 400y = 160

→  −15x − 900y = −525

5x
+
300y
=
175

1100y = 275 → y = 0,25
Si y = 0,25 → 3x + 100 = 160 → 3x = 60 → x = 20
Solución: Cobran 20 € por día y 0,25€ por cada km.
6.- Un inversor compra dos cuadros por 2650 €. Al cabo de dos años, los vende por 3124 € ganando
en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. ¿Cuánto le costó cada cuadro?
Sea x = precio de un cuadro y = precio del 2º cuadro
Compra dos cuadros por 2650 €: x + y = 2650
Vende por 3124 € ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%: 1,2x + 1,15y = 3124
Planteamos el sistema:
 x + y = 2650

 1,2x + 1,15y = 3124
 x = 2650 − y

 1,2 ( 2650 − y ) + 1,15y = 3124 → 3180 − 1,2y + 1,15y = 3124 → 0,05y = 56 → y = 1120
Si y = 1120 → x = 2650 – 1120 = 1530
Solución: Los cuadros costaron 1530 € y 1120 €.
7.- Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. ¿Cuánto debe
fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza?
x = nº kg de lingote con un 80% pureza
y = nº kg de lingote con un 95% pureza
Se obtiene un lingote de 5 kg: x + y = 5
Con los dos lingotes se obtiene uno con un 86% pureza:0,8x + 0,95y = 0,86(x + y)
Planteamos el sistema:
 0,06x + 0,06y = 0,3
x+y =5
x+y =5

→ 
→  −0,06x + 0,09y = 0

0,8x
+
0,95y
=
0,86(x
+
y)
−
0,06x
+
0,09y
=
0


0,15y = 0,3 → y = 2
Si y = 2 → x = 5 – 2 = 3
Solución: Debe fundir 3 kg del de 80% de pureza con 2 kg del lingote que tiene un 95% de pureza.
Problemas algebraicos
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8.- Un comerciante compra dos motocicletas por 3000 € y las vende por 3330 €. Calcula cuánto pagó
por cada una si en la venta de la primera ganó un 25% y en la de la segunda perdió un 10%.
x = precio de la primera moto
y = precio de la segunda moto
Compra dos motocicletas por 3000 €: x + y = 3000
En la venta de la 1ª ganó un 25% y en la de la 2ª perdió un 10%: 1,25x + 0,9y = 3330
Planteamos el sistema:
 − 0,9x − 0,9y = −2700
 x + y = 3000

→  1,25x + 0,9y = 3330

 1,25x + 0,9y = 3330
= 630 → x = 1800
0,35x
Si x = 1800 → y = 3000 – 1800 = 1200
Solución: Por una pagó 1 800 €, y por la otra, 1 200 €.
9.- Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca he pagado 69 €. Calcula el precio
de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de
cada una el precio de la mezcla sería 15 €.
x = precio pintura verde
y = precio pintura blanca
Compra de 5 kg de verde y 3 de blanca por 69 €: 5x + 3y = 69
La mezcla de un kilote cada una cuesta 15 €: x + y = 15
Planteamos el sistema:
 − 3x − 3y = −45
 x + y = 15

→  5x + 3y = 69

5x
+
3y
=
69

= 24
2x
→ x = 12
Si x = 12 → y = 15 – 12 = 3
Solución: La pintura verde cuesta 12 € el kilogramo, y la blanca, 3 €.
10.- La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número
resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. ¿Cuál es ese número?
x = nº decenas
y = nº unidades
Suma de las dos cifras es 8: x + y = 8
Si se añade 18 unidades, se invierte sus cifras: 10x + y + 18 = 10y + x
Planteamos el sistema:
 x + y = 8
 x+y =8

→  x − y = −2

 10x + y + 18 = 10y + x → 9x − 9y = −18
2x = 6 → x = 3 → y = 8 − 3 = 5
Solución: El número es 35
Problemas algebraicos
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11.- Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el
que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,2. ¿Cuál es el número?
x = nº decenas
y = nº unidades
Diferencia de las dos cifras es 1: x – y = 1
División es 1,2:
10x + y
= 1,2
10y + x
Planteamos el sistema:
x − y = 1

→
10x + y
10y + x = 1,2 → 10x + y = 12y + 1,2x → 8,8x − 11y = 0

Solución: El número es 54
 −11x + 11y = −11

 8,8x − 11y = 0
− 2,2x
= −11 → x = 5 → y = 4
Problemas algebraicos
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