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Grupo Fénix
Matemática 10; Un Enfoque con base en la
Resolución de Problemas
-4. Ed.- San José, C.R.: Grupo Fénix., 2013. 150p.
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ISBN: 9768-14-754-0
1. Matemáticas – Estudio y Enseñanza.
2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc.
Copyright 2013
Grupo Fénix
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del Grupo Fénix.
Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 ó 8855-1678
Correo electrónico: grupofenixdecostarica@gmail.com
Diseño y armado
Grupo Fénix
Diseño de portada
Grupo Fénix
INTRODUCCIÓN
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Primero, es conveniente hacer una breve aclaración sobre nuestro nombre y símbolo (Ave Fénix Tribal),
se tiene como referente histórico-ideológico el mito del Ave Fénix que alimentó varias doctrinas y concepciones
religiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fénix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba de
un ave fabulosa que se consumía por acción del fuego cada 500 años, para luego resurgir de sus cenizas. Es
decir, el GRUPO FÉNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, es
por esta razón que es nuestro emblema.
Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, exponiendo de forma pragmática y didáctica todos los Conocimientos,
Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio en
Matemáticas (Transición 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemática aprobados por el
Consejo Superior de Educación el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodológico el enfoque
con base en la resolución de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.
Después de muchos años de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseñanza de la Matemática nos
propusimos elaborar una propuesta pragmática y didáctica basada en la resolución de problemas que propicie
el desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a los
docentes en servicio, es así que, agradecemos en las siguientes páginas las sugerencias, los aportes, los
comentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemática de todo el país, quienes de
una u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada año.
Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,
desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llámese
estos, Conocimientos, Habilidades Específicas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aula
contenidos que no están en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles de
profundización de temas que no se consideran “importantes” para las habilidades generales previstas para el
educando en cada año de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichos
elementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las Indicaciones
Puntuales, nunca con el afán de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos que
tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemáticas del Ministerio de Educación de Costa
Rica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediación que el docente proponga.
Tercero, esta nueva edición 2013 contempla una situación problema al inicio de cada tema, permitiendo
al docente y al estudiante incursionar en la nueva temática partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando
aprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosófico que
consideramos eje transversal de la educación en general –los problemas son para resolverlos–
Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en las
aulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases sólidas en los principales contenidos
de esta disciplina, hemos mejorado esta versión 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios de
profundización para cada trabajo cotidiano propuesto.
El material está constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teoría, los ejemplos y los trabajos
cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo más elemental a lo más complejo, además toda la obra se
desarrolla en fichas didácticas para una mejor comprensión de los educandos.
Cuarto y último, en una investigación previa realizada por el Grupo Fénix con un grupo focal de
docentes de una Región Educativa, nos dicta que en la mayoría de los casos los estudiantes buscan primero las
respuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidad
del docente cuando las respuestas de este último no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que en
muchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitales
antes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros libros
ofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrónico para que
las utilice según considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para el
docente de matemática, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombros
cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jóvenes estudiantes que participan en sus
lecciones.
“El estudio de la matemática debe ser el comienzo del conocimiento depurado” (Los autores, 2009)
RECONOCIMIENTOS
Sra. Ana Cristina Herrera V.
Profesora de Matemática
I.E.G.B. Andrés Bello
Sr. Benjamín Rodríguez
Profesor de Matemática
Liceo del Pacífico
Sra. Cindy Marín S.
Profesora de Matemática
Virtual Marco Tulio Salazar
Sra. Adriana Marín
Profesora de Matemática
I.E.G.B. América Central
Sra. Ana Grace Arias
Profesora de Matemática
Liceo Rural de Cabeceras
Tilarán
Sr. Bernal Luna
Profesor de Matemática
Liceo Salvador Umaña
Sra. Cindy Ovando G.
Profesora de Matemática
I.P.E.C. Sindea Arabela Jiménez
de Bolio
Sr. Alberto Rodríguez Jirón
Profesor de Matemática
Parrita
Sra. Ana Grace Carranza
Profesora de Matemática
Liceo Purral de Cabeceras
Sr. Bryan Aguilar Álvarez
Profesor de Matemática
Jorgue Bolio de la Lucha
Sabalito
Sr. Cristhian Calderón
Profesor de Matemática
Liceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alex Canales Benavides
Profesor de Matemática
Sindea 28 Millas
Sra. Ana Isabel Noguera E.
Profesora de Matemática
Liceo Santa Cruz
Sr. Carlos Cordero Cordero
Profesor de Matemática
C.T.P. Mansión de Nicoya
Sr. Cristian Barrientos Q.
Profesor de Matemática
Liceo de Chomes
Sr. Alexander López
Profesor de Matemática
Itskatzu Educación Integral
Sra. Ana Margarita Angulo C.
Profesora de Matemática
C.T.P. 27 de Abril
Sr. Carlos Edo Gómez García
Profesor de Matemática
Sindea Jícara
Sr. Cristian Calderón
Profesor de Matemática
Liceo Julio Fonseca Gutiérrez
Sr. Alexander Solano G.
Profesor de Matemática
Liceo Unesco
Sra. Andrea Arias
Profesora de Matemática
C.T.P. de Heredia
Sr. Carlos Gónzalez A.
Profesor de Matemática
Liceo de Cervantes
Sr. Cristian Chávez Z.
Profesor de Matemática
Liceo Alejandro Aguilar Machado
Sra. Alexandra Mata Delgado
Profesora de Matemática
C.T.P. General de Pérez
Zeledón
Sra. Andrea Jiménez Jiménez
Profesora de Matemática
Liceo Sta. Ana
Sr. Carlos Mora
Profesor de Matemática
Colegio de los Ángeles
Sr. Cristian Peralta Cruz
Profesor de Matemática
Liceo El Carmen de Nandayure
Sr. Alexis Torres Ortega
Profesor de Matemática
Liceo San Diego Tres Ríos
Sra. Andrea Madrigal
Profesora de Matemática
Liceo León Cortez Castro
Sr. Carlos Retana
Profesor de Matemática
Green Valley
Sr. Cristian Rojas Carrillo
Profesor de Matemáticas
Liceo Experimental Bilingüe Los
Ángeles.
Sr. Alfonso Mora Fallas
Profesor de Matemática
John F. Kennedy High School
Sra. Andrea Venegas
Profesora de Matemática
Deportivo Santo Domingo
Sra. Carmen Liley Montero
Profesora de Matemática
Liceo Experimental Bilingüe
Grecia, Alajuela
Sra. Cristina Sánchez Larios
Profesora de Matemática
Rincón Grande de Pavas
Sr. Alfonso Rojas
Profesor de Matemática
Colegio Sta. Gertrudis
Sra. Andreina Vásquez Rojas
Profesora de Matemática
C.T.P. Bolívar
Sra. Carmen Quesada V.
Profesora de Matemática
Liceo Escazú
Sr. Daniel Céspedes
Profesor de Matemática
Liceo Coronado
Sr. Allan Chanto Toleiva
Profesor de Matemática
Liceo Nocturno San Pedro
Pérez Zeledón
Sr. Andrés Cubillo
Profesor de Matemática
San Enrique de Osso
Sra. Carmen Rodríguez
Profesora de Matemática
San Paul College
Sr. Daniel León
Profesor de Matemática
C.T.P. Platanales
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Sr. Adolfo Méndez Corrales
Profesor de Matemática
C.T.P. Santa Elena
Sr. Ariel Gómez
Profesor de Matemática
Colegio Talamanca
Sra. Carolina Flores
Profesora de Matemática
Saint Benedicto
Sr. Danny Gaitán Rodríguez
Profesor de Matemática
Liceo Francisco Amigutti
Sr. Álvaro Barbosa Salas
Profesor de Matemática
Liceo Pacto del Jocote
Sra. Beatriz Montero
Profesora de Matemática
Esc. Internacionales Cristianas
Sra. Cecilia Pérez Salas
Profesora de Matemática
Liceo Poasito
Sr. David Alexis Alfaro Alfaro
Profesor de Matemática
Liceo Sta. Gertrudis Norte
Sr. David Alfaro Víquez
Profesor de Matemática
Liceo Nocturno Nuevas
Oportunidades
Sr. Eliecer Madrigal Delgado
Profesor de Matemática
Bilingüe Naciones Unidas
Sr. Francisco Quesada S.
Profesor de Matemática
Inst. Pedagógico Caminante
Sra. Hannia Leiva Fallas
Profesora de Matemática
Liceo Sinaí Diurno
Sr. David Solano
Profesor de Matemática
Enrique Malavassi Vargas
Sr. Emanuel Alvarado R.
Profesor de Matemática
Colegio Telesecundaria María
Drake
Sra. Gabriela Bonilla
Profesora de Matemática
Instituto Centroamericano
Adventista
Sr. Harold Campos
Profesor de Matemática
Centro Educativo Católico
San José
Sra. Denia Rodríguez
Profesora de Matemática
Bilingüe del Caribe
Sr. Erick Araya Urtado
Profesor de Matemática
Liceo las Delicias
Sra. Gabriela Zúñiga
Profesora de Matemática
Liceo Experimental Moravia
Héctor Castro Castillo
Profesor de Matemática
Colegio Marco Tulio Salazar
Sra. Denia Salas Nuñes
Profesora de Matemática
Colegio Patriarca San José
Sr. Erick Gómez U.
Profesor de Matemática
C.T.P. Ambientalista Isaías Ret.
Arias
Sr. Gerardo Arroyo Brenes
Profesor de Matemática
Liceo Ambientalista
Sra. Heilyn Vargas C.
Profesora de Matemática
C.T.P Platanales
Sr. Diego Gómez Chavarría
Profesor de Matemática
Liceo Costa Rica
Sra. Erika Ureña Fallas
Profesora de Matemática
C.T.P. Pérez Zeledón San Isidro
Sr. Gerardo Ramírez
Profesor de Matemática
Liceo regional de Flores
Sr. Henrry Villarreal
Profesor de Matemática
Colegio Los Delfines
Sra. Dilsia Navarro Durán
Profesora de Matemática
I.E.G.B. Limón
Sr. Ernesto Villareal Barrantes
Profesor de Matemática
C.T.P. Cartagena
Sr. Gerardo Rodríguez Barrios
Profesor de Matemática
Liceo Turrúcares
Sra. Mariela Solano
Profesora de Matemática
Colegio Los Delfines
Sra. Doriana Quirós Arias
Profesora de Matemática
Liceo Coronado
Sra. Estefannie Barbosa
Profesora de Matemática
Colegio Nocturno Hernán López
Hernández
Sr. Gilberto Montero
Profesor de Matemática
Liceo Samuel Sáenz Flores
Sr. Helbert Jiménez Chinchilla
Profesor de Matemática
Liceo Costa Rica
Sr. Edgar Campos
Profesor de Matemática
Liceo Diurno de Ciudad Colón
Sra. Estrella León Hernández
Profesora de Matemática
Liceo Santa Cruz
Sra. Gloria Badilla
Profesora de Matemática
Colegio Pacto del Jocote
Sr. Hubert Monge
Profesor de Matemática
Liceo Nocturno Monseñor
Rubén Odio
Sr. Eduardo Robles Ureña
Profesor de Matemática
Sindea Upala
Sra. Ethilma Jiménez R.
Profesora de Matemática
Instituto Guanacaste
Sra. Gloria Badilla
Profesora de Matemática
Liceo Sabanilla
Sra. Ileana Cascante V.
Profesora de Matemática
Liceo Nocturno Juan Santamaría
Sr. Eduardo Rodríguez
Profesor de Matemática
Liceo Edgar Cervantes Villalta
Sra. Eva Arevalo Porras
Profesora de Matemática
I.P.E.C. de Barva de Heredia
Sra. Grettel Guitiérrez Ruiz
Profesora de Matemática
Liceo Utilio Ulate Blanco
Sra. Ileana Lescano R.
Profesora de Matemática
C.T.P Talamanca Bribri Limón
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Sr. Allan Mairena
Profesor de Matemática
Liceo San José
Sra. Evelin Urbina Guzmán
Profesora de Matemática
Liceo San Carlos
Sra. Grettel León
Profesora de Matemática
Colegio Nacional Virtual
Sra. Isabel Vásquez
Profesora de Matemática
Colegio Francis J. Orlich
Sr. Eitel Vega Rodríguez
Profesor de Matemática
Redentorista San Alfonso
Sr. Francisco Cortez
Profesor de Matemática
Liceo de Sta. Ana
Sra. Guisella Trejos
Profesora de Matemática
Colegio Vicente Laghner
Sr. Iván Parra Venegas
Profesor de Matemática
Liceo Platanillo Barú de Quepos
Sr. Eliécer Madrigal
Profesor de Matemática
Abelardo Bonilla
Sr. Francisco Cortez
Profesor de Matemática
U.P. José Rafael Araya
Sra. Hannia Ceciliano
Profesora de Matemática
Liceo de Cot Cartago
Sr. Javier Calvo Cordero
Profesor de Matemática
Liceo Julio Fonseca
Sr. Jeffrey Álvarez Pérez
Profesor de Matemática
Colegio Nuevo Mundo
Sr. Jose Luis Masís
Profesor de Matemática
Liceo José Fidel Tristán
Sr. Kenneth Morera
Profesor de Matemática
Escuela República de Nicaragua
Sr. Luis Ángel Ríos
Profesor de Matemática
C.T.P Valle de la Estrella
Sr. Jeremy Chacón Céspedes
Profesor de Matemática
Colegio Talamanca Cahuita
Sr. Jose Rolando Cascante R.
Profesor de Matemática
Colegio Cindea Lomas de
Cocorí
Sra. Kerlyn Esquivel
Profesora de Matemática
Colegio Puente de Piedra
Sr. Luis Castillo
Profesor de Matemática
Liceo de Santa Ana
Sra. Jéssica Gómez
Profesora de Matemática
Colegio San Vicente
Sr. Juan Carlos G
Profesor de Matemática
Liceo de Orosi
Sra. Laura Arroyo Rojas
Profesora de Matemática
Liceo Santo Domingo
Sr. Luis Diego Araya
Profesor de Matemática
Corporación Educativa
Sagrado Corazón de Jesús
Sra. Jéssica Villalobos Rojas
Profesora de Matemática
Telesecundaria el Llano
Sr. Juan Carlos Quesada
Profesor de Matemática
Liceo Mauro Fernández
Sra. Laura Quesada
Profesora de Matemática
Colegio Claretiano
Sr. Luis Diego Salazar V.
Profesor de Matemática
Colegio Nuevas Oportunidades
Grecia
Sr. Jesús Gutiérrez
Profesor de Matemática
Liceo de Nicoya
Sr. Juan Morgan Moreno
Profesor de Matemática
Colegio Humanístico
Costarricense
Sra. Ligia Jiménez Gómez
Profesora de Matemática
C.T.P Nicoya
Sr. Luis Martínez González
Profesor de Matemática
Cindea Alberto Manuel Brenes
Sr. Jesús Hidalgo
Profesor de Matemática
Colegio Snta Josefina
Sr. Juan Pablo Rodríguez A.
Profesor de Matemática
C.T.P. Ulloa
Sra. Lilliana Villalobos
Profesora de Matemática
Liceo de San Carlos
Sr. Luis Rodríguez Jhonson
Profesor de Matemática
C.T.P Nandayure Guanacaste
Sr. Jonathan Granados
Profesor de Matemática
Liceo Nocturno Pérez Zeledón
Sra. Karen Camacho Espinoza
Profesora de Matemática
Centro Educativo Pasos de
Juventud
Sra. Lineth Quesada M.
Profesora de Matemática
Liceo de Tucurrique
Sr. Luis Ruiz Torres
Profesor de Matemática
C.T.P Carrillo
Sr. Jonathan Rodríguez
Profesor de Matemática
Liceo Jorge Volio
Sra. Karen Vindas Monestel
Profesora de Matemática
Colegio Cristiano Reformado
Sra. Lisbeth Allen Dailey
Profesora de Matemática
Cindea de Heredia Limón
Sr. Luis Salazar Castro
Profesor de Matemática
Liceo Alfaro Ruiz
Sr. Jonny Fernández S.
Profesor de Matemática
Liceo Dulce Nombre
Sra. Karina Brenes
Profesora de Matemática
Colegio Agropecuario de
San Carlos
Sra. Lissette Fallas
Profesora de Matemática
Liceo de Curridabat
Sr. Maikel Carbajal
Profesor de Matemática
Colegio Santa Marta
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Sr. Edwin Alfaro Arce
Profesor de Matemática
Liceo Sto. Domingo
Sra. Karla Guevara Villegas
Profesora de Matemática
Liceo de Colorado de Abangares
Sra. Lissette Ulate
Profesora de Matemática
Liceo Pacto del Jocote
Sr. Mainor Abarca Cordero
Profesor de Matemática
Liceo de Curridabat
Sr. José Ángel Ampie
Profesor de Matemática
Cristian Génesis School
Sra. Karla Venegas Valverde
Profesora de Matemática
Liceo Experimental Bilingüe
Augusto Briseño
Sra. Lorena Masis Torres
Profesora de Matemática
Liceo Francisca Carrasco
Sr. Manrique Barrientos Q.
Profesor de Matemática
Liceo de Miramar de Puntarenas
Sr. José Ángel Ampie
Profesor de Matemática
Liceo Nuevo de Hatillo
Sra. Katherine Sandí
Profesora de Matemática
Liceo de Mata de Plátano
Sra. Lorena Rojas Donato
Profesora de Matemática
Liceo de Coronado
Sr. Manuel Artavia
Profesor de Matemática
Liceo Técnico de Purral
Sr. José Carlos Calvo
Profesor de Matemática
Liceo Nocturno Monseñor
Rubén Odio
Sr. Kenneth Álvarez
Profesor de Matemática
Liceo de Moravia
Sra. Lucia Mata Vindas
Profesora de Matemática
Liceo Hernán Zamora Elizondo
Sr. Manuel Quirós
Profesor de Matemática
Instituto Educativo San Gerardo
Sr. Manuel Villegas
Profesor de Matemática
Liceo de San Roque
Sra. María Rojas
Profesora de Matemática
Liceo Braulio Carrillo
Sr. Marvin Muñoz
Profesor de Matemática
Liceo La Guácima
Sr. Norberto Oviedo U
Profesor de Matemática
Liceo de Heredia
Sra. Marcela Arce Soto
Profesora de Matemática
Liceo San Nicolás
Sra. Maricela Alfaro
Profesora de Matemática
Liceo de San Roque
Sra. Maureen Castro Mesén
Profesora de Matemática
Colegio Laboratorio San José
Sra. Olga Segura Alfaro
Profesora de Matemática
U.P. José María Zeledón
Sr. Marcial Cordero
Profesor de Matemática
Liceo San Gabriel
Sra. Mariela Jiménez
Profesora de Matemática
Liceo de San Carlos
Sra. Maureen Mora Badilla
Profesora de Matemática
Liceo Rincón Grande de Pavas
Sra. Olga Vargas Cortez
Profesora de Matemática
Centro Educativo Mi Patria
Sr. Marco Guevara
Profesor de Matemática
Colegio Santa Inés
Sra Marilú Ballesteros
Profesora de Matemática
Colegio Valle del Sol
Sra. Maureen Rojas
Profesora de Matemática
Liceo de Santa Ana
Sra. Olga Vargas Cortez
Profesora de Matemática
Colegio Rodrigo Hernández
Sr. Marco Solís
Profesor de Matemática
Colegio Científico y Artístico del
Pacífico
Sr. Mario Cartacho
Profesor de Matemática
Colegio Adventista Paso Canoas
Sr. Mauricio Muñoz Jiménez
Profesor de Matemática
Liceo Brasilia de Upala
Sr. Omar Quesada González
Profesor de Matemática
Liceo de Poás
Sr. Marcos Angulo Cisneros
Profesor de Matemática
C.T.P. 27 de abril
Sra. Marisol Benel Alama
Profesora de Matemática
Liceo La Aurora
Sr. Mauricio Peñaranda Fallas
Profesor de Matemática
Liceo San Gabriel
Sr. Oscar Cruz Montano
Profesor de Matemática
Liceo de Pavas
Sr. Marcos Chacón
Profesor de Matemática
Liceo Bolívar de Grecia
Sra. Marisol Ramos Flores
Profesora de Matemática
Instituto de Alajuel
Sra. Mayela Abarca Cordero
Profesora de Matemática
Liceo de Curridabat
Sr. Oscar Marín González
Profesor de Matemática
C.T.P. Carrisal de Alajuela
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Sr. Jorge Brenes
Profesor de Matemática
Liceo Braulio Carrillo
Sra. Marisol Ramos Flores
Profesora de Matemática
Liceo del Carmen
Sr. Michael Chávez Madrigal
Profesor de Matemática
C.T.P Cartagena Guanacaste
Sr. Oscar Mario Castillo
Profesor de Matemática
C.T.P. Liberia
Sra. Margot Castro R.
Profesora de Matemática
Instituto Educativo San Gerardo
Sra. Marjorie Navarro Núñez
Profesora de Matemática
Colegio de Turrialba
Sr. Miguel Ángel Sánchez
Profesor de Matemática
Colegio La Aurora
Sr. Oscar Reyes Peñasco
Profesor de Matemática
I.P.E.C.
Sra. María Amelia
Profesora de Matemática
I.P.F La Pradera
Sra. Marta Mata
Profesora de Matemática
Colegio María Auxiliadora
Sra. Mirta Brito
Profesora de Matemática
Colegio Educativo Royal
Sr. Pablo Leandro Jiménez
Profesor de Matemática
Colegio Nocturno de Siquirres
Sra. María Hernández H.
Profesora de Matemática
Liceo del Este
Sra. Martha E Ulate Quesada
Profesora de Matemática
Liceo San Marcos de Tarrazú
Sra. Mónica Blanco
Profesora de Matemática
Colegio Ilpal
Sr. Pablo Leandro Jiménez
Profesor de Matemática
Colegio San Judes
Sra. María Mayela González G.
Profesora de Matemática
Liceo Rural Coope-Silencio
Sr. Martín Martínez Chávez
Profesor de Matemática
C.T.P. Tronadora
Sra. Nasly Giraldo G.
Profesora de Matemática
Liceo de San José
Sr. Pedro Morera
Profesor de Matemática
Liceo de Atenas
Sra. María Oviedo
Profesora de Matemática
Colegio Castella
Sr. Martín Martínez Chávez
Profesor de Matemática
Colegio Nocturno de Tilarán
Sr. Nestor Cerdas
Profesor de Matemática
Colegio Ambientalista El Roble
Sr. Rafael Arce López
Profesor de Matemática
C.T.P. Puntarenas
Sr. Randall Villalobos
Profesor de Matemática
Colegio Ambientalista El Roble
Sra. Ruth Bent Castro
Profesora de Matemática
Liceo de Curridabat
Sra. Tania Córdoba
Profesora de Matemática
Colegio San Rafael
Sr. William Guillén
Profesor de Matemática
Colegio Virtual
Sr. Raúl Badilla Ramírez
Profesor de Matemática
Liceo San Miguel
Sr. Samuel Arevalo Vásquez
Profesor de Matemática
C.T.P. Acosta
Sra. Tatiana Quesada C.
Profesora de Matemática
Liceo de Tarrazú
Sr. Willy Torres
Profesor de Matemática
Liceo Sinaí Pérez Zeledón
Diurno
Sra. Rebeca Monge Mora
Profesora de Matemática
C.T.P. Acosta
Sra. Sandra Rodríguez Herrera
Profesora de Matemática
C.T.P. Sabanilla
Sra. Thais Sandi Mena
Profesora de Matemática
Liceo San Rafael Arriba
Sra. Xenia Parker
Profesora de Matemática
Liceo Centro Educativo
Adventista de C.R.
Sr. Ricardo Chávez Sánchez
Profesor de Matemática
C.T.P. Corralillo
Sr. Santiago Bustos C.
Profesor de Matemática
C.T.P. Cartagena Guanacaste
Sr. Víctor Retana
Profesor de Matemática
Liceo del Sur
Sra. Xinia Acuña
Profesora de Matemática
Liceo Purral
Sr. Ricardo Venegas
Profesor de Matemática
Liceo de Curridabat
Sr. Santiago Zamora Castillo
Profesor de Matemática
C.T.P. Valle la Estrella
Sra. Victoria Matarrita
Profesora de Matemática
Colegio Virtual Alajuela
Sra. Xinia Espinosa
Profesora de Matemática
Liceo San Francisco de Asís
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Sra. Margel Valverde S.
Profesora de Matemática
Liceo de Sabanilla
Sra. Seidy Parajeles Granados
Profesora de Matemática
C.T.P. Tronadora Tilarán
Guanacaste
Sra. Vivian Lizano Arroyo
Profesora de Matemática
Liceo Luis Noble Segreda
Sra. Xinia Román
Profesora de Matemática
Colegio Campestre
Sr. Roberto Rojas Badilla
Profesor de Matemática
Colegio Madre del Divino Pastor
Sr. Sergio Morales Rosales
Profesor de Matemática
Colegio Técnico Regional
Santa Cruz
Sra. Viviana Guevara Esquivel
Profesora de Matemática
C.T.P. Nicoya
Sra. Yajaira Rodríguez Villegas
Profesora de Matemática
Liceo Rural de Manzanillo
Sr. Rodolfo Bustos Marchena
Profesor de Matemática
Liceo Maurilio Alvarado
Sra. Shirley González A.
Profesora de Matemática
C.T.P. Quepos
Sra. Viviana Guevara Esquivel
Profesora de Matemática
Liceo de Nicoya
Sra. Yamileth Zumbado
Profesora de Matemática
Liceo de Heredia
Sr. Román Ruiz C.
Profesor de Matemática
Liceo Experimental Bilingüe
Santa Cruz
Sra. Silvia Fonseca
Profesora de Matemática
Saint Gabriel High School
Sra. Viviana Solís
Profesora de Matemática
Saint Gregory School
Sra. Yanin Gutiérrez Solís
Profesora de Matemática
Colegio María Inmaculada de
San Carlos
Sr. Ronald Ríos Rodríguez
Profesor de Matemática
C.T.P. Cardinal de Carrillo
Sra. Silvia Paniagua
Profesora de Matemática
Formación Integral Montecarlo
Sra. Wendy Herrera Morales
Profesora de Matemática
INA. Orotina
Sra. Yasmín Orozco Sancho
Profesora de Matemática
C.T.P. La Mansión
Sra. Rosibell Castro Rodríguez
Profesora de Matemática
C.T.P. Liceo de Coronado
Sra. Sonia Miranda
Profesora de Matemática
Colegio San Lorenzo
Sra. Wendy Tijerino
Profesora de Matemática
C.T.P. Ulloa
Sra. Yeini Barrantes N
Profesora de Matemática
Liceo Manuel Benavides
Sra. Rosibell Vallejos
Profesora de Matemática
Liceo Mauro Fernández
Sra. Susan Jiménez
Profesora de Matemática
C.T.P. Mercedes Norte
Sr. Werner Juárez
Profesor de Matemática
Liceo Anastasio
Sra. Yelba Gutiérrez
Profesora de Matemática
Liceo Teodoro Picado
Sr. Roy Lauren Sanabria
Profesor de Matemática
C.T.P. Humberto Melloni
Sra. Susan Morales
Profesora de Matemática
Colegio Marista Alajuela
Sr. Wilbert Vargas
Profesor de Matemática
Samuel Sáenz Flores
Sra. Yendri Salas Valverde
Profesora de Matemática
Liceo Regional de Flores
Sra. Yendri Sandoval
Profesora de Matemática
Liceo San Diego
Sra. Yendri Soto
Profesora de Matemática
Unidad Pedagógica San Diego
Sra. Yessenia Rodríguez
Profesora de Matemática
Liceo el Ambientalista El Roble
Sr. Yoahan Gómez Garro
Profesor de Matemática
C.T.P. Jícara
Sra. Yolanda Elizondo G.
Profesora de Matemática
Unidad Pedagógica
Calderón Guardia
Sra. Yorleni Gómez
Profesora de Matemática
Liceo Sucre
Sra. Yuri Lobo Hernández
Profesora de Matemática
Colegio La Aurora
Sra. Yuri Quintanilla
Profesora de Matemática
Colegio Adventista Limón
Sra. Zeidy Chávez
Profesora de Matemática
Liceo Castro Madriz
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Fé ica
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Sr. Ricardo Zúñiga
Profesor de Matemática
Instituto de Educación Integral
ÍNDICE
UNIDAD I: RELACIONES Y ÁLGEBRA
1. Ecuaciones cuadráticas con una incógnita.
13
2. Problemas que involucran, en su solución, ecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
3. Factorización de polinomios en forma completa, mediante la combinación de
22
30
métodos.
4. Concepto de relación.
48
5. Concepto de
49
variable dependiente y de variable independiente en las
relaciones.
6. Relaciones que corresponden a funciones.
52
7. Relaciones que corresponden a funciones, cuyo criterio está modelado por
59
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expresiones algebraicas sencillas.
8. Dominio, codominio, ámbito, imagen y preimagen de funciones.
62
9. Dominio máximo de funciones
73
10. Representación gráfica de una función.
79
11. Régimen de variación de una función.
84
12. Magnitudes directamente proporcionales.
87
13. Concepto de función lineal.
88
14. Concepto de pendiente y de intersección de funciones lineales.
90
15. Problemas relacionados con la ecuación de la recta.
96
16. Ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta dada.
100
17. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables.
105
18. Problemas con sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables.
110
19. Función cuadrática.
113
20. Concepto de la función inversa.
124
21. Función exponencial.
133
22. Ecuaciones exponenciales.
136
23. Función logarítmica.
138
24. Ecuaciones logarítmicas.
141
25. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de los
143
logaritmos.
26. Ecuaciones exponenciales de la forma a
P x
b
Q x
146
UNIDAD I
RELACIONES Y
ÁLGEBRA
Habilidades específicas
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Conocimientos
Ecuaciones
Ecuaciones de segundo grado con
una incógnita
Raíces
Discriminante
Conjunto solución
1.
Analizar el número de raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a partir
del discriminante.
2.
Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma
despeje.
3.
Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma
el método del despeje.
Expresiones algebraicas
Polinomios
Factorización
4.
Funciones
Cantidades constantes
Cantidades variables
Dependencia
Independencia
Elementos para el análisis de una
función
Dominio
Ámbito
Codominio
Imagen
Preimagen
Función lineal
Representación algebraica
Representación tabular
Representación gráfica
La recta
Pendiente
Intersección
Creciente
Decreciente
Sistema de ecuaciones
lineales
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ax 2 c ,
utilizando el método del
ax 2 bx 0 , utilizando factorización y
Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma ax bx c 0 , utilizando la fórmula
general.
Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes métodos:
inspección, fórmula notable, fórmula general.
Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro términos con una o dos variables
mediante los siguientes métodos: Factor común y fórmula notable, grupos y factor común,
grupos y diferencia de cuadrados.
Distinguir entre cantidades constantes y variables.
Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresión matemática.
Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una
función.
Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su
dominio
Interpretar hechos y fenómenos mediante relaciones que corresponden a funciones.
Identificar el dominio, codominio, ámbito, imágenes y preimágenes de una función a partir de
su representación gráfica.
Determinar el dominio máximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas
sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales con
denominador de la forma
subradical de la forma
ax b, a, b
ax b, a, b
2
reales; expresiones radicales de índice par con
reales.
16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma
y ax b .
17. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función lineal (incluidas la identidad y
la constante).
18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una función
lineal dada en forma gráfica o algebraica.
19. Analizar la monotonía de una función lineal dada en forma tabular, gráfica o algebraica.
20. Determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la
recta.
12 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Conocimientos
Habilidades específicas
21.
22.
23.
24.
25.
Determinar la ecuación de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.
Determinar la ecuación de una recta paralela a otra recta dada.
Determinar la ecuación de una recta perpendicular a otra recta dada.
Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.
Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos
variables.
26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de
ecuaciones lineales con dos variables.
27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una función cuadrática.
28. Representar gráficamente una función con criterio
y ax 2 bx c .
29. Determinar el dominio, ámbito, concavidad, simetrías, vértice y las intersecciones con los
ejes de coordenadas de una función cuadrática dada en forma gráfica o algebraica.
30. Analizar la monotonía de una función cuadrática dada en forma tabular, gráfica o algebraica.
31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones
cuadráticas.
32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.
33. Identificar las condiciones para que una función tenga inversa.
34. Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa, considerando el concepto
de eje de simetría.
35. Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa.
36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de
la forma:
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Función cuadrática
Representación algebraica
Representación tabular
Representación gráfica
La parábola: Concavidad,
simetría, vértice
Intersección
Creciente
Decreciente
La función inversa
Inyectividad
Sobreyectividad
Gráfica de la función inversa
Inversa de una función lineal
Inversa de una función
cuadrática
La función exponencial y la
ecuación exponencial
La función logarítmica y la
ecuación logarítmica
f x mx b, m 0, g x ax 2 c, a 0 h x x b c a, b, c, m reales.
37.
38.
39.
40.
Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.
Caracterizar la función exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.
Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función exponencial.
Analizar la monotonía de una función exponencial dada en forma tabular, gráfica o
algebraica.
41. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma
b P x bQ x , P x , Q x polinomios de grado menor que 3.
42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una función
exponencial.
43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logarítmicas.
44. Caracterizar la función logarítmica de acuerdo a su criterio, dominio, ámbito.
45. Representar en forma tabular, algebraica y gráfica una función logarítmica.
46. Analizar la monotonía de una función logarítmica dada en forma tabular, gráfica o algebraica.
47. Aplicar las propiedades de la función logarítmica.
48. Determinar el conjunto solución de una ecuación logarítmica que se reduce a la forma
log a f x log a g x .
49. Determinar el conjunto solución de una ecuación exponencial que se reduce a la forma
a P x bQ x , P x , Q x polinomios de grado menor que 3.
50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una función
logarítmica.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es una
2
ecuación que puede escribirse como ax bx c 0 donde a, b, c son constantes
reales, con a 0 .
I Caso: ax c
2
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma ax c con a, c constantes reales,
se resuelven simplemente despejando la variable “x” y luego, calculando la raíz cuadrada
en ambos lados de la igualdad.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
2
Resolver la ecuación 8 x 512
Resolver la ecuación 6 x 246 0
2
2
8 x 2 512
512
x
8
6 x 2 246 0
6 x 2 246
x 64
2
x 64 8
S : 8,8
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
Ejemplo 3
2
Resolver la ecuación x 5 x 4 5 x
x2
246
6
x 2 41
x 41
S : 41, 41
Ejemplo 4
Resolver la ecuación 3 x 2 3 x 2 0
x2 5x 4 5x
3x 2 3 x 2 0
9 x2 4
x 5x 5x 4
2
9 x2 4 0
0
x2 4
9 x2 4
x 4
x2
S : 2,2
4
9
x
4
2
9
3
2 2
S : ,
3 3
GRUPO FÉNIX
13
14 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 1
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 2 x 8
w) x 100 0
b) 3 x 27
x) x 121 0
c) 4 x 64
2
y) 2 x 10 x 8 10 x
d) 5 x 125
z) 3 x 7 x 27 7 x
e) 6 x 216
aa) 4 x 13 x 64 13 x
2
2
2
2
f)
2 x 2 8
2
2
2
2
2
bb) 5 x 42 x 125 42 x
2
g) 3 x 27
cc) 6 x 101x 216 101x
h) 4 x 64
dd) x 3 x 9 40 3 x
2
i)
5 x 2 125
j)
6 x 2 216
k) x 49
2
l)
x 2 64
2
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
ee) x 5 x 4 60 5 x
2
ff) x 3 x 10 91 3 x
2
gg) x x 15 115 x
2
hh) x 11x 14 135 11x
2
ii)
x 2 x 2 0
n) x 100
jj)
2 x 3 2 x 3 0
o) x 121
kk) 3 x 4 3 x 4 0
p) 2 x 8 0
ll)
q) 3 x 27 0
mm)
r) 4 x 64 0
nn) x 2 x 2 5 x 5 x
s) 5 x 125 0
oo) 2 x 3 2 x 3 13 x 13 x
m) x 81
2
2
2
2
2
2
2
t)
6 x 2 216 0
5x 6 5x 6 0
7 x 10 7 x 10 0
pp) 3 x 4 3 x 4 11x 11x
u) x 64 0
qq) 5 x 6 5 x 6 12 x 12 x
v) x 81 0
rr)
2
2
7 x 10 7 x 10 2 x
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: ax bx c 0
2
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma
ax 2 bx c 0
con
constantes reales, se pueden resolver por Fórmula General.
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
b2 4ac
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del
Interpretación
0
La ecuación tiene dos soluciones
0
La ecuación tiene una soluciones
0
La ecuación NO tiene soluciones reales
3. Se calculan las soluciones con la Fórmula General:
Fórmula general para ecuaciones
cuadráticas
x
b
2a
Forma alternativa
x1
b
2a
x2
GRUPO FÉNIX
b
2a
a, b, c
15
16 RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: ax bx c 0
2
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 2 x 5 x 3 0
2
1. Se calcula el discriminante ( )
Resolver la ecuación m 16m 63
2
1. Se calcula el discriminante ( )
b 2 4ac
b 2 4ac
5 4 2 3 49
16 4 1 63 4
2
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. El discriminante es positivo ( 0 ), 2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solución
b
2a
57
x1
3
22
x1
3. Se calculan las soluciones:
Segunda solución
b
2a
5 7 1
x2
22
2
x2
entonces la ecuación tiene dos soluciones
Primera solución
b
2a
16 2
m1
9
2 1
m1
1
S : 3,
2
Segunda solución
b
2a
16 2
m2
7
2 1
m2
S : 9,7
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
II Caso: ax bx c 0
2
Ejemplo 4
Ejemplo 3
Resolver la ecuación 3 x
x 2 11x 2
1. Ordenamos la ecuación de la forma
3x
Resolver la ecuación 2 x 2 4
1. Ordenamos la ecuación de la forma
4 x x 3
1
2
8 x x 3
2 x2
2
2
4 x 8 x x 3
x 2 11x 2
2 x2
3x 2 6 x 11x 2
3x 2 6 x 11x 2 0
3x 2 17 x 2 0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Se calcula el discriminante ( )
a 3 , b 17 , c 2
265
4 x 2 8 x 2 3x
4 x 2 x 2 8 3x 0
17 4 3 2
2
x x 3
2
5 x 2 3x 8 0
2. Se calcula el discriminante ( )
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
a 5 , b 3 , c 8
3 4 5 8
2
169
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
4. Se calculan las soluciones:
entonces la ecuación tiene dos soluciones
Primera solución
Segunda solución
b
2a
x2
x1
17 265
23
x2
17 265
23
x1
17 265
6
x2
17 265
6
x1
Primera solución
b
2a
17 265 17 265
S :
,
6
6
4. Se calculan las soluciones:
b
2a
3 13
x1
25
10
x1 1
10
x1
Segunda solución
b
2a
3 13
x2
25
16 8
x2
10
5
x2
8
S : 1 ,
5
GRUPO FÉNIX
17
18 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 2
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 2 x 3 x 1 0
v) x 4 x 3
qq) 5 x 3x 2
b) 3 x 2 x 1 0
w) x 5 x 4
rr) 6 x
2x 5 12
c) 2 x 5 x 2 0
x) x 6 x 5
ss) 7 x
4x 3 7
d) 4 x 3 x 1 0
y) x 7 x 6
tt) 8 x
e) 2 x 7 x 3 0
z) x x 2
2x 7 24
f) 5 x 4 x 1 0
aa) x 2 x 3
g) 2 x 9 x 4 0
bb) x 3x 4
h) 6 x 7 x 1 0
cc) x 4 x 5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x 2 11x 5 0
dd) x 5 x 6
j)
7 x2 8x 1 0
ee) 3x 2 x 1
2
l)
4 x2 4 x 1 0
2
2
jj) 4 x 4 x 1
p) 16 x 8 x 1 0
kk) 9 x 6 x 1
q) 2 x 7 x 4 0
ll) 16 x 8 x 1
r) 25 x 10 x 1 0
mm)
s) 2 x 9 x 5 0
nn) 36 x 12 x 1
2
2
t)
36 x 2 12 x 1 0
u) x 3x 2
2
4 x 7 10 x 4
xx) 3 x 9 9 x 4 x 8
yy) 7 x 10 10 x
9x 1
aaa)
o) 2 x 5 x 3 0
2
4 x
2
ii) 7 x 8 x 1
2
ww)
gg) 5 x 4 x 1
n) 9 x 6 x 1 0
2
12x 9 10 x 12
zz) 15 x 11 44 x 16 x 1
2
hh) 6 x 7 x 1
2
8x 11 6 x 5
ff) 4 x 3x 1
m) 2 x 3x 2 0
2
5
vv) 3 x
2
i)
k) 2 x x 1 0
uu) x
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
x2 2
2
2
7 x x 3
4
bbb) 14 x 2 28
2
2
ccc)
3x 2 5
x x 4
3
ddd)
4x2 6
x x 5
4
eee)
5 x 2 2
2
25 x 2 10 x 1
2
oo) 3 x
pp) 4 x
2x 3 3
x 2 1
GRUPO FÉNIX
7 x x 3
2
fff) x 2 1
3 x x 1
5
3 x x 1
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
III Caso: ax bx 0
2
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma ax bx 0 con a, b constantes
2
reales, se pueden resolver por Fórmula General. Es importante señalar que este es un caso
particular del II Caso porque c 0 .
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Resolver la ecuación 3 x 2 x 2 x 12 x
2
2
1. Ordenamos la ecuación de la forma
Resolver la ecuación x 1 2 x 1 0
2
1. Ordenamos la ecuación de la forma
x 1 2 x 1
2
3x 2 2 x 2 x 2 12 x
5 x 2 10 x 0
2
0
x 2 2 x 1 4 x 2 4 x 1 0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3x 2 2 x 2 2 x 12 x 0
2
2. Se calcula el discriminante ( )
x 2 2 x 1 4 x 2 4 x 1 0
a 5 , b 10, c 0
3x 2 6 x 0
2. Se calcula el discriminante ( )
a 3 , b 6, c 0
10 4 5 0
2
100
6 4 3 0
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
2
36
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuación tiene dos soluciones
4. Se calculan las soluciones:
4. Se calculan las soluciones:
Primera solución
Segunda solución
b
x1
2a
10 10
x1
25
0
x1 0
10
b
x2
2a
10 10
x2
25
20
x2
2
10
Primera solución
b
2a
66
x1
2 3
12
x1
2
6
x1
Segunda solución
b
2a
66
x2
2 3
0
x2
0
6
x2
S : 2,0
S : 0, 2
GRUPO FÉNIX
19
20 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 3
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 3 x 3 x 4 x x
r)
b) 2 x x 4 x 3 x
s) 6 x x 0
c) 4 x 4 6 x
t)
x 3
u)
5x 2
v)
x 2 2x 1
2
2
2
2
2
2
d) 3 x 6 x 11 2 x
2
e) 2 x 5 x 3 3 x
2 x 2 10 x 8 8 11x
g) 3 x 6 x 27 27 7 x
2
h) 4 x 13 x 64 x 13 x
2
2
i)
5 x 42 x 125 x 42 x
j)
6 x 111x 216 x 101x
2
2
2
2
k) x 23 x 9 x 40 x 31x
2
l)
2
2
x 2 2 x 4 x 2 60 x 2 5 x
m) x 13 x 10 x 91x 3 x
2
2
2
n) x x 15 x 115 x x
2
2
2
o) x 11x 14 x 135 x 11x
2
p) x 5 x 6 6
2
q) x 4 x
2
2
2
2
3 x 3 0
2
2
2 x x 2 x x 3 4
2
3 x 1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
f)
x 3x 2 0
w)
x 4 x 4 x 4
x)
7 x 2 x 4 x 1 2 x 8
y)
2 x 5 6 x 1 3 x 1 2 x 5
z)
4 x 1 2 x 3 5 x 2 x 3 x 2 7
aa)
x 6
3x x 1 3
2
x 1 x 2 2 1
bb)
2
3
6
x2 x x x2
3x
cc)
3
2
x2 1 x 3 5
dd)
2
4
4
x 2 1
1
x1 1
ee)
3
3
GRUPO FÉNIX
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) 1 x(2 x) ( x 1)
2x 13 x 3
c) x
2 x2 0
d) 3 x 2 x 2 x 2
e)
s) x
2
3x
16
4
x2
x2
g)
1
2
x2 1 x 1
h)
2
3
1
2
2
x
4 x
x
i)
x
1
3x 5 3x
2
2
j)
4 x3 x6
k)
3x 2 x 3 2 x 3
l)
1 1 5x x
2x 1 2 x
u)
x 5
2 x
x 1 x 2
x3
x
8
26 14 x
x 2 x 3 x 2 x 3
1 2x x 5
2
2x 5 4 x
32
x3
3
x 3x 2
x 1
2
7
x 2 2k 4 2k
x2
y)
z)
5
4
14 x 3
2
2x 3 2x 3 4x 9
aa) 4 x
4
13x2 9 0
bb)
1 2
1
x2 x
cc)
5
3
2
2
x 4 x 2x 8
2 x 2 7 x 16
2
x
dd)
2
x x6
x2 x3
ee) x 4 x 5 0
4
2
2
p) 1 2 2 x 2 x 1
r)
2 x x 2 2 5 3x
x)
o) 6 x a 5ax
q)
x x3 x x 2
t)
w)
m) x 1 2 x 3
2
2
3
2
n)
x
v) x 3 x 2 x 4 0
1
1 2 x
2
x
x
f)
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
b)
2
2
3
1
3
ff) 3 x 4 x 4 0
10
1
1
gg) 2 x 7 5 x
2
2
hh) x 3 x 3
GRUPO FÉNIX
2
4
5
2 x 2 3 x 3 3
2
21
22 RELACIONES Y ÁLGEBRA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 1
Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectángulo que tiene las siguientes
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
características: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.
Plan de solución:
Suponiendo un caso particular
100
92
Caso general
x8
99
x1
Ejecución del plan de solución:
x 1
2
Respuesta: Celeste calculó que la medida
x 8 x2
del ancho del rectángulo mide 5, porque al
2
sustituir los valores en x 8 se obtiene un
x 2 2 x 1 x 2 16 x 64 x 2
número positivo, siendo éste la medida del
x 2 18 x 65 0
x1 13
x
x2 5
ancho.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 2
Gustavo Adolfo desea calcular el perímetro de un cuadrado que tiene las siguientes
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
características: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el
área del cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original.
Plan de solución:
Cuadrado original
Cuadrado aumentado
x
x 6
x
x
x
x 6
Ejecución del plan de solución:
x 6
2
4 x2
Respuesta: Gustavo Adolfo calculó que el
perímetro del cuadrado original mide 24.
x 2 12 x 36 4 x 2
3 x 2 12 x 36 0
x1 6
x 6
x 6
x2 2
GRUPO FÉNIX
23
24 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 4
1. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadráticas
a) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. ¿Cuál es
la medida del ancho del rectángulo?
b) La medida de la diagonal de un rectángulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho. ¿Cuál
es la medida del largo del rectángulo?
c) La medida del ancho de un rectángulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que la
diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
d) La medida del ancho de un rectángulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que la
diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo?
e) La medida del largo de un rectángulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que el
ancho. ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo?
f)
La medida del largo de un rectángulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor que
el ancho. ¿Cuál es la medida del ancho del rectángulo?
g) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el área del
cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original.
¿Cuál es el
perímetro del cuadrado original?
h) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el área del
cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original.
¿Cuál es el
perímetro del cuadrado original?
i)
Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el área del
cuadrado que se forma es nueve veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área
del cuadrado original?
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
j)
Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el área del
cuadrado que se forma es dieciséis veces el área del cuadrado original. ¿Cuál es el área
del cuadrado aumentado?
k) Si el área de un terreno rectangular mide 672m 2 y el largo excede al ancho en 4m,
entonces determine la longitud del largo del rectángulo.
l)
Si en un rectángulo, el perímetro mide 34cm y el área es de 72cm 2, entonces determine
las dimensiones del rectángulo.
m) El área de un rectángulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho,
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
entonces determine la longitud del largo del rectángulo.
n) Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado también en
9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectángulo de área 144 cm 2.
Determine los lados del rectángulo.
o) Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla, excepto
un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deberá tener la
alfombra si su área es de 80m2
p) Si la suma de dos números es 36 y su producto 323, entonces determine cuáles son esos
números.
q) La suma de dos números es 42 y su producto es 432. Determine los dos números.
r) La suma de dos números es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los
números.
s) Considere dos números pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al
menor equivale a 810. Determine cuáles son los números.
GRUPO FÉNIX
25
26 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
a) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla
2
la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m .
b) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de
2
arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m .
c) Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
d) Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es
26
.
5
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
e) Dos caídas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo
en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
f) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números
pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
g) Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de
840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.
Halla las dimensiones de la caja.
h) Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se
llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
i) La suma de las áreas de dos círculos es 276 y la diferencia entre las medidas de sus
respectivos radios es 8. ¿Cuál es la medida del radio del círculo menor?
j) Un trozo de alambre de 100 cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla para
2
2
que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las áreas formadas es 397 cm ,
encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
3
k) Un hombre desea usar 6 m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si
la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,
encuentre las dimensiones del patio.
l) Se quiere construir un barril de petróleo cilíndrico y cerrado con una altura de 4 metros,
de manera que el área superficial total sea de 10 m . Determine el diámetro del barril.
2
m) Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dólares) por
unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en
$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. ¿Qué precio de venta
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dólares)?
n) Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de
ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. ¿Cuánto
tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?
Trabajo extraclase # 1
1. Considere las siguientes ecuaciones
I. x 4 0
II. x 2 x 1 0
¿Cuáles de ellas no tienen soluciones reales?
A) Ambas
C) Solo la I
B) Ninguna
D) Solo la II
2
2. El conjunto solución de
A)
B)
6
2
x 5 2x 1 x x 9 es
5,5
D)
3. El conjunto solución de 2 x 2 x 20 x 2
2
A)
B)
5, 5
1 6,1 6
C)
2
8 , 2
C)
6 , 4
D) 2 ,
es
6, 4
GRUPO FÉNIX
8
3
27
28 RELACIONES Y ÁLGEBRA
1 4x
es
4
3
1 2 2
A)
C)
2
2
7
1 73
B)
D)
6
12
2
2
5. El conjunto de la solución de 2 x 3 x x 1 es
4. Una solución de 3 x 2 x 5
2
1 5 1 5
,
2
2
C)
3 21 3 21
,
6
6
3 5 3 5
,
2
2
D)
A)
5 13 5 13
,
6
6
B)
2
A)
3
3
2
7. Una solución de 4 x x 2 1 es
B)
es
3
, 3
2
3
D)
,3
2
C)
B)
A)
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
6. El conjunto solución de 3 x 9 x x 3
1
4
3
2
5
D) 1
2
C) 1
3
2
8. Considere el siguiente enunciado: “La diferencia de los cuadrados de dos números
naturales consecutivos es –17. Hallar los números”. Si x representa el mayor de los
números, una ecuación que permite resolver el problema anterior es
A)
B)
x 2 17
2
x 1 x 2 17
x 1
2
C)
D)
x2 x 1
17
2
x 2 x 1 17
2
9. Si el área de un terreno rectangular mide 896m 2 y el largo excede al ancho en 4m,
entonces ¿cuál es la longitud en metros del largo del rectángulo?
A)
B)
28
30
C)
D)
GRUPO FÉNIX
32
34
RELACIONES Y ÁLGEBRA
10. El producto de dos números positivos es 2. Si el número mayor excede en
17
al menor,
10
entonces ¿cuál es el número mayor?
A)
5
2
C)
B)
4
5
D)
2
5
3
10
11. El área de un rectángulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,
entonces ¿cuál es la longitud del largo del rectángulo?
A)
B)
13
7
8
C)
3
5
9
A)
B)
17 y 6
7 y 30
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
D)
12. La suma de dos números es 23 y su producto 102. ¿Cuáles son esos números?
C)
D)
11 y 12
6 y 17
13. Si el área de un rombo es 6, 4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cuádruplo de
la longitud de la otra diagonal, entonces ¿cuál es la medida de la diagonal de mayor
longitud?
A)
B)
16
5
16
9
C)
4
D)
2
14. El producto de dos números negativos es 90. El número mayor excede en siete a un
tercio del número menor. ¿Cuál es el número menor?
A)
B)
3
9
C)
D)
GRUPO FÉNIX
30
10
29
30 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
La fórmula general además es útil para la factorización de un polinomio de la forma
ax 2 bx c con a, b, c constantes reales y c 0
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
b2 4ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del
0
0
0
Interpretación
El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores distintos
El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores iguales
El polinomio NO es factorizable
3. Se calculan los valores de x con la Fórmula General:
Fórmula general
x
b
2a
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Factorice el polinomio 4 x 12 x 9
2
1. Se calcula el discriminante ( )
Factorice el polinomio 5 2x x
2
1. Ordenamos el polinomio de la forma
2 x2 x 5
b 2 4ac
12 4 4 9 0
2
discriminante
es
cero
( 0 ), 2. Se calcula el discriminante ( )
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. El
entonces el polinomio es factorizable
b 2 4ac
como el producto de dos factores iguales.
1 4 2 5 39
2
3. El discriminante es negativo ( 0 ),
3. Se calculan los valores de x :
entonces el polinomio NO es factorizable.
Primer factor
b
2a
12 0 3
x1
24
2
2 x1 3
x1
Segundo factor
b
2a
12 0 3
x2
24
2
2 x2 3
x2
R / : 4 x 2 12 x 9 2 x 3 2 x 3
4 x 2 12 x 9 2 x 3
2
GRUPO FÉNIX
31
32 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
I Método: Fórmula General
Ejemplo 4
Ejemplo 3
Factorice el polinomio 2 x 5 x 3
2
Factorice el polinomio 16 y y 63
2
1. Se calcula el discriminante ( )
a 2 , b 5, c 3
1. Ordenamos el polinomio de la forma
y 2 16 y 63
b 4ac
2
2. Se calcula el discriminante ( )
5 4 2 3
2
a 1 , b 16, c 63
49
b 2 4ac
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
16 4 1 63
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
2
4
como el producto de dos factores distintos
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor
b
x1
2a
57
x1
22
12
x1
4
x1 3
x1 3
entonces el polinomio es factorizable
Segundo factor
b
2a
57
x2
22
2
x2
4
1
x2
2
2 x2 1
x2
R / : 2 x 2 5 x 3 x 3 2 x 1
como el producto de dos factores distintos
4. Se calculan los valores de y :
Primer factor
b
2a
16 2
y1
2 1
18
y1
2
y1 9
y1 9
y1
Segundo factor
b
2a
16 2
y2
2 1
14
y2
2
y2 7
y1 7
y2
R / : y 2 16 y 63 y 9 y 7
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 5
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Fórmula General.
a) 2 x 3 x 1
o) 2 x 5 x 3
cc) 4 x x 5
b) 3 x 2 x 1
p) 16 x 8 x 1
2
dd) 5x x 6
c) 2 x 5 x 2
q) 2 x 7 x 4
ee) 3 y 18 y
2
d) 4 x 3 x 1
r) 25 x 10 x 1
ff) 2 y 15 y
2
e) 2 x 7 x 3
s) 2 x 9 x 5
gg) 2 y 1 y
2
2
2
2
2
f) 5 x 4 x 1
2
g) 2 x 9 x 4
2
h) 6 x 7 x 1
2
2
2
2
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
t)
36 x 2 12 x 1
u) 3x 2 x
2
v) 4 x 3 x
2
i)
2 x 2 11x 5
w) 5 x 4 x
2
j)
7 x2 8x 1
x) 6 x 5 x
2
k) 2 x x 1
2
l)
4 x2 4 x 1
y) 7 x 6 x
z) x x 2
2
aa) 2 x x 3
n) 9 x 6 x 1
bb) 3x x 4
2
2
hh) a 7a 60
2
ii) 10a 3 11a
2
jj) 9a 25 30a
2
kk) 40m 100 4m
2
2
GRUPO FÉNIX
2
ll) 9m 4 12m
2
2
m) 2 x 3x 2
2
2
mm)
m2 169 26m
nn) 24m 144 m
oo) 10n 15n 20
2
pp) 13m 90 m
2
2
33
34 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
II Método: Inspección
ax 2 bx c , con
Se utiliza para polinomios de la forma
a, b, c
y
a 0 . La
factorización de dicho polinomio debe ser de la forma ax 2 bx c Ax B Cx D ,
donde A, B, C son números enteros con AC a,
B D c,
A D BC b .
Ejemplo 1
Caso general
Factorice el polinomio 2 x 5 x 3
2
1. Se buscan los factores para
ax 2 y c 1. Se buscan los factores para 2 y
D
A D B C b
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
B
Cx
2x
1
x 1 2 x 3 5 x
2. Se expresa la factorización
2. Se expresa la factorización
ax 2 bx c Ax B Cx D
2 x 2 5 x 3 x 3 2 x 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Factorice el polinomio 6 x 23x 10
2
1. Se
6 y
buscan
10
los
factores
Factorice el polinomio 4 x 12 x 9
2
para 1. Se buscan los factores para
6 x 2 23 x 10
3x
10
4 x 2 12 x 9
2x
3
2 x
2x
1
2. Se expresa la factorización
4 y 9
3
2 x 3 2 x 3 12 x
3 x 1 2 x 10 23 x
6 x 23 x 10 3 x 10 2 x 1
2
3
2x2 5x 3
x
3
ax 2 bx c
Ax
y
2. Se expresa la factorización de
4 x 2 12 x 9 2 x 3 2 x 3 2 x 3
GRUPO FÉNIX
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 6
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspección.
a) 2 x 3 x 1
o) 2 x 5 x 3
cc) 4 x x 5
b) 3 x 2 x 1
p) 16 x 8 x 1
dd) 5x x 6
c) 2 x 5 x 2
q) 2 x 7 x 4
ee) 3 y 18 y
d) 4 x 3 x 1
r) 25 x 10 x 1
ff) 2 y 15 y
e) 2 x 7 x 3
s) 2 x 9 x 5
gg) 2 y 1 y
f) 5 x 4 x 1
t)
g) 2 x 9 x 4
u) 3x 2 x
2
h) 6 x 7 x 1
v) 4 x 3 x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36 x 2 12 x 1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
i)
2 x 2 11x 5
w) 5 x 4 x
2
j)
7 x2 8x 1
x) 6 x 5 x
2
k) 2 x x 1
2
l)
4 x2 4 x 1
y) 7 x 6 x
z) x x 2
2
aa) 2 x x 3
n) 9 x 6 x 1
bb) 3x x 4
2
2
2
2
GRUPO FÉNIX
2
2
2
hh) a 7a 60
2
ii) 10a 3 11a
2
jj) 9a 25 30a
2
kk) 40m 100 4m
2
ll) 9m 4 12m
2
2
m) 2 x 3x 2
2
2
mm)
m2 169 26m
nn) 24m 144 m
oo) 4 x 2 x 6
2
pp) 6 x 3x 9
2
2
35
36 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
III Método: Fórmula Notable
Se utiliza para polinomios de la forma ax bx c , con a, b, c
2
ax 2
1. Se calcula
c
y
2. Se determina si 2
y a 0.
ax 2 c bx
3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa ax 2 bx c
2
25 x 2 5 x
y
y2 y
100 10
y
2. Se determina si
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2 5 x 7 70 x
3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
25 x 70 x 49 5 x 7
2
1. Se calcula
49 7
2. Se determina si
2
Ejemplo 2
2
Factorice el polinomio 20 y y 100
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 25 x 70 x 49
1. Se calcula
ax 2 c
2 y 10 20 y
3. El procedimiento # 2 es cierto, entonces
20 y y 2 100 y 2 20 y 100 y 10
2
Trabajo cotidiano # 7
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Fórmulas Notables.
a) x 2 x 1
p) 4 x 4 x 1
ee) 49 28b 4b
b) 4 x 4 x 1
q) 9 x 6 x 1
ff) w 1 2 w
c) 9 x 6 x 1
r) 16 x 8 x 1
gg) 25 9 x 30 x
d) 16 x 8 x 1
s) 25 x 10 x 1
hh) 16 x 4 16 x
e) 25 x 10 x 1
t)
2
2
2
2
2
x2 4 x 4
2
g) 4 x 12 x 9
2
h) 9 x 24 x 16
2
i) 16 x 40 x 25
2
j) 25 x 60 x 36
2
k) x 6 x 9
2
l) 4 x 20 x 25
2
m) 9 x 42 x 49
2
n) 25 x 40 x 16
2
o) x 2 x 1
f)
2
2
2
2
x2 4 x 4
2
u) 4 x 12 x 9
2
v) 9 x 24 x 16
2
w) 16 x 40 x 25
2
x) 25 x 60 x 36
2
y) x 6 x 9
2
z) 4 x 20 x 25
2
aa) 9 x 42 x 49
2
bb) 36 x 60 x 25
2
cc) 25 x 40 x 16
2
dd) 36 x 60 x 25
GRUPO FÉNIX
2
2
2
2
a2
1 a
4
b2
jj)
1 b
4
n2
kk)
2n 9
9
b 2 2b
ll) 1
9
3
4 x2 x 1
mm)
9
3 16
ii)
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Método: Teorema del factor
Un polinomio
f x tiene un factor
x d
f d 0 . En nuestro caso, un
si y sólo si
polinomio de la forma ax bx c , con a, b, c
2
y a 0 , tiene un factor
x d
si y
sólo si f d 0 .
Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de “ c ”
Divisores : d1 , d 2 , d3 ,...d n
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que f d 0 .
ax 2 bx c
y
x d
para determinar el
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3. Se realiza la división sintética entre
cociente, es decir el segundo factor del polinomio.
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 2 x 5 x 3
2
Procedimiento:
1. Se determinan los divisores de “ 3 ”
Divisores : 1, 3
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que f d 0 .
f 3 2 3 5 3 3 0
2
3. Se realiza la división sintética entre 2 x 5 x 3 y
2
x 3
es decir el segundo factor del polinomio.
2
2
5
3
6
3
1
0
3
Cociente: 2 x 1
4. La factorización del polinomio 2 x 5 x 3 x 3 2 x 1
2
GRUPO FÉNIX
para determinar el cociente,
37
38 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE
IV Método: Teorema del factor
Ejemplo 2
Factorice el polinomio x 4 x 4
1. Se determinan los divisores de “ 4 ”
2
Divisores : 1, 2, 4
2. Se determina uno de los divisores que cumpla que f d 0 .
f 2 2 4 2 4 0
2
3. Se realiza la división sintética entre x 4 x 4 y
es decir el segundo factor del polinomio.
2
4
4
2
4
2
0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
1
x 2
1
para determinar el cociente,
2
Cociente: x 2
4. La factorización del polinomio
x2 4 x 4 x 2 x 2
x 2
2
Trabajo cotidiano # 8
1. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando el teorema del factor.
a) 2 x 3 x 1
l)
b) 3 x 2 x 1
m) 2 x 3x 2
x) 2 x x 3
c) 2 x 5 x 2
n) 9 x 6 x 1
y) 3x x 4
d) 4 x 3 x 1
o) 2 x 5 x 3
z) 4 x x 5
e) 2 x 7 x 3
p) 2 x 7 x 4
aa) 5x x 6
f) 5 x 4 x 1
q) 2 x 9 x 5
bb) 3 y 18 y
2
g) 2 x 9 x 4
r) 3x 2 x
2
cc) 2 y 15 y
2
h) 6 x 7 x 1
s) 4 x 3 x
2
dd) 2 y 1 y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 x2 4 x 1
2
2
2
2
2
i)
2 x 2 11x 5
t) 5 x 4 x
2
j)
7 x2 8x 1
u) 6 x 5 x
2
k) 2 x x 1
2
v) 7 x 6 x
2
GRUPO FÉNIX
w) x x 2
2
2
2
2
2
ee) a 7a 60
2
ff) m 169 26m
2
gg) 24m 144 m
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CON
UNA O DOS VARIABLES
Factor Común y Fórmula Notable
Ejemplo 2
Factorice de forma completa el polinomio
Ejemplo 1
Factorice de forma completa el polinomio
8 3 2 40 2 2 50 2
x y
x y xy
7
7
7
28 x 2 y 28 xy 7 y
1. Se determina
polinomio
el
factor
común
del 1. Se determina
polinomio
7 y 4 x 2 4 x 1
común
del
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
7 y 4 x 2 4 x 1
2 2
xy 4 x 2 20 x 25
7
2 2
2
xy 2 x 5
7
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado
2
factor
2 2
xy 4 x 2 20 x 25
7
28 x 2 y 28 xy 7 y
7 y 2 x 1
el
Ejemplo 3
Factorice de forma completa el polinomio x x x 2 x 1
3
2
1. Se determina el factor común del polinomio
x 3 x x 2 2 x 1
x x 2 x 2 2 x 1
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:
x x 2 x 2 2 x 1
2
x x 2 x 1
3. Se factoriza la expresión que está dentro del paréntesis cuadrado utilizando diferencia de
cuadrados:
2
x x 2 x 1
x x x 1 x x 1
4. Se simplifican los factores
x x x 1 x x 1
x x x 1 x x 1
x 2 x 1 1
x 2 x 1
GRUPO FÉNIX
39
40 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 9
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a)
18x3 y 12 x2 y 2 xy
p) 2 x 9 x 24 x 16 8 x
b)
48x4 y 24 x3 y 3x2 y
q) 16 x
c)
4 x3 y3 16 x2 y3 16 xy3
d)
45x4 y 2 120 x3 y 2 80 x2 y 2
9x
7
84 2 2 147 2 12 3 2
x y
xy x y
11
11
11
h)
i)
36 2 3 16 4 3 48 3 3
x y x y x y
7
7
7
125 3 4 120 4 4 45 5 4
x y
x y x y
j)
3
3
3
k) x x x 10 x 25
3
l)
2
x x x 4x 4
3
4
n) x x
5
o) x x
6
2
3
4
x
2
6x 9
4x
2
9x
2
4 x 1
12 x 4
2
s)
8
18
x 25x2 20 x 4 x3
3
3
t)
4
9
x3 25x2 30 x 9 x5
5
80
2
v) xy xy
2
x
2
4 xy 4 y 2
w) xy xy
3
x
2
6 xy 9 y 2
u) xy xy x 2 xy y
4
5
2
2
2
9x
2
2
3
2
2
y) x y x y 9 x 12 xy 4 y
3
3
3
z) x y x y
3
4
3
2
2
2
bb) x y x y
4
2
cc) xy xy
4
4
dd) x y xy
3
GRUPO FÉNIX
4
25x
25x
5
9x
24 xy 16 y 2
aa) xy xy 16 x 40 xy 25 y
2
9
x) x y x y 4 x 4 xy y
2
m) x x
30 x 25 36 x8
2
3
64 3
64
16
x y x 2 y xy
g)
5
5
5
7
r) 125 x 16 x 40 x 25 80 x
150 x3 y 4 54 x5 y 4 180 x4 y 4
50 2 80
32
x y xy y
f)
3
3
3
6
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
e)
5
2
2
20 xy 4 y 2
2
30 xy 9 y 2
2
30 xy 25 y 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CON
UNA O DOS VARIABLES
Grupos y Factor Común
Ejemplo 1
Factorice de forma completa el polinomio
Ejemplo 2
Factorice de forma completa el polinomio
3 x 2 8 y 6 xy 4 x
3 xy 4 x 6 y 2 x 2
1. Se agrupan los términos de dos en dos 1. Se agrupan los términos de dos en dos
tomando
como
criterio
que
3 x 2 8 y 6 xy 4 x
3x
2
tomando
como
criterio
que
cada
agrupación tenga factor común
3 xy 4 x 6 y 2 x 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
agrupación tenga factor común
cada
6 xy 8 y 4 x
3xy 6 y 4 x 2 x 2
2. Se determina el factor común de cada 2. Se determina el factor común de cada
agrupación
3x
2
agrupación
6 xy 8 y 4 x
3xy 6 y 4 x 2 x 2
3 y x 2 2 x 2 x
3 x x 2 y 4 2 y x
3. Se determina el factor común entre los 3. Se determina el factor común entre los
dos grupos
dos grupos
3x x 2 y 4 2 y x
3 y x 2 2 x 2 x
x 2 y 3x 4
x 2 3 y 2 x
x 2 2 x 3 y
3x x 2 y 4 x 2 y
3 y x 2 2 x x 2
GRUPO FÉNIX
41
42 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 10
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
x x 2 1 x3
o)
ab a2b2 1 a3b3
b)
1 x 2x 2x2
p)
3mx4 2 3m 2 x4
c)
4x3 1 x2 4x
q)
3a 9ab2 b 3b3
d)
3x3 2x2 12x 8
r)
9n2 1 a2 6an
e)
3x 9 xy 2 y 3 y3
s) 6mn 8n 4m 3m
f)
4 x 6 y 3xy 2 x2
g) 1 3x 2 y 6 xy
h)
4 x 3xy 6 y 2 x
2
k)
l)
n ym m yn
a2 a ax x
yz z y 2 y
n)
by 2 1 y 2 b
9ax2 x 3a 3x3
u)
3x2a2 4 3x2 4a2
v)
2bx2 6b 3 x2
x)
x z 2 2x 2z 2
y)
2b2 b2 6a 3a
z) 4 w 3m 4nw 3mn
3ab 1 3b a
m)
t)
w) 21x 9 14mx 6m
2
2
i) 8 y 4 x 5x y 10 xy
j)
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a)
aa) 3n
GRUPO FÉNIX
2
12mn2 nm2 4m3n
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN COMPLETA DE POLINOMIOS DE TRES Y CUATRO TÉRMINOS CON
UNA O DOS VARIABLES
Grupos y Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1
Factorice de forma completa el polinomio
Ejemplo 2
Factorice de forma completa el polinomio
10 x x 2 16 y 2 25
x 3 x y xy 2
1. Se agrupan los términos tres a uno,
1. Se agrupan los términos de dos en dos,
10 x x 2 16 y 2 25
2
10 x 25 16 y 2
x
3
xy 2 x y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
x
x3 x y xy 2
2. Se factoriza el trinomio por Fórmula 2. Se factoriza uno de los binomios por
Notable
factor común
x 5
2
16 y 2
x x2 y2 x y
3. Se factoriza por diferencia de cuadrados
x 5 4 y x 5 4 y
3. Se factoriza uno de los binomios por
diferencia de cuadrados
x x y x y x y
4. Se simplifican los factores
x 5 4 y x 5 4 y
4. Se factoriza toda la expresión por factor
común y se simplifica
x y x x y 1
x y x 2 xy 1
GRUPO FÉNIX
43
44 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 11
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a)
2ab a2 b2 c2
q)
b)
n2 6n 9 c2
r) 2 x 3 x 3 y 2 xy
c)
2ac a2 c2 b2
s) xy 5 x 5 x y x
d)
2xz x2 z 2 y 2
t)
4 x4 1 x2 4 x2
e)
2ax 1 a2 x2
u)
12x3 4x2 27 x 9
f)
x2 4 y 2 4 xy 1
v)
8x3 12x2 18x 27
g)
a 2ab b x
h)
a 2a 1 b
j)
k)
l)
m)
2
2
3
2
2
2a 1 a 2 c2
a2 25m2 1 2a
4
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
i)
2
x2 y 2 x4 x2 xy
x)
90x 8x2 40x3 18
y)
18x 4 x2 y 8x3 9 y
z)
36a 4ab2 9 b2
bb) 4a b
a2 b2 9c2 6bc
cc)
9x2 4m2 4am a2
2
x3 x2 y xy 2 y3
3
2
ee) 2 y 3 y 2 y 3 y
9 x2 116a2 24ax
3
2
ff) xy y x y y
3
p)
4 9 b2
1 4ab2
4
o)
2
dd) y y y y
24xy 9 x2 116 y 2
9 y 2 4 x2 6ay a2
GRUPO FÉNIX
2
36x 4x2 9 16x3
aa) 16a 36ab
25 10n n2 9
2
w)
4
n)
2
2
3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
1. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
a)
x 6 8 x3
n) a
p) s
z 3
y3 3 y 2 2 y 6
q) x
7x
8x 2 9
2 2
d)
b
2
r)
b
6 x 1 3 x 1
a
a2
g) 4a 9b b 10a 15b
2
h)
4m 12ab 4a 9b
i)
15 m mp 12 mp p
2
2 m
2 m
2
2
2
a b a b
2
j)
a 1
k) 8q 10q
3
2
l) 15 y 4 y
3
3
2
2
b a 2 b2
a 1
2
2
m
a b
u)
x 1
v)
m 2
w)
a b
x)
y 2
2 m 1
a 11
x j 2
z
a b 4 n
5 x 1
2 m 4
a 1
m 2
3 x 1
a b
2 m 1
3 a 1
3 x2
y 2
1 2 m 1
x
x y
2 n 3
x
3
2
2 m 1 2
x y
2 n 3 2
2
aa) 15 2 x 5 2 x
2
2
ba b a b
bb)
4a
8a 2
n
2x 3y 4 y 2x 3y
2
j 2
x
5 z
z)
2
m) q p q q p q p p q p p q
2
a 1 2
t)
y) x
p q 3q p q
2
x
s) m
x 2 2 3 x 4 3 x 2
12
18
2
x n 3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
f)
2n
s 2 z 1
2
2
e)
a 2 b 3
o) 10m3 m 2 a 4
5 2
3
x x3 x
b)
2
2
c)
b 4
2
2
GRUPO FÉNIX
cc)
k
2 x 1
4
k
n 1
3 2 x 11
8
2 4 m
45
46 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 2
1. Al factorizar a a a 1 un factor es
A) a 1
C) a 1
3
2
B) a 1
2
D)
2. Un factor del polinomio 49 2 3x
A)
B)
5 3x
5 3x
2
a
2
1
2
2
corresponde a
C) 5 x
D) 2 x 1
2
3. Al factorizar x ax 6a uno de los factores es
A) x 3a
C)
B) x 2a
D)
2
2x 5
2
x 6a
x 2a
4. Al factorizar 6 x 2 x uno de los factores es
2x 2
3x 2
C)
D)
5. La factorización de 16
1
5 x
2
1
B)
5 x
2
A)
3 x
11 x
11 x
6. Un factor de x 1 y 2 y
2
A) x 1
B) 2 y
2
es
4
2x 2
3x 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
A)
B)
2
1
5 x
4
1
D)
5 x
4
C)
es
C) x y 1
D) x y 1
7. Un factor de 4 x x 1 1 y es
2
A) x 1
B) y 1
C) 2 x y 1
D) 2 x y 1
8. Un factor de 6 y 3 x 6 x 3 y es
A) x y
B) x y
2
2
C) x y 2
D) x y 2
9. Al factorizar a b 4 4b uno de los factores es
A) 1 b
C) a b 2
B) a b
D) a b 2
2
2
GRUPO FÉNIX
11 x
11 x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
10. La expresión 2 x y x 1 factorizada corresponde a
2
A)
B)
2
y x 1 y x 1
y x 1 y x 1
C)
D)
2
11. En la factorización completa de x
x
2
1
y x 1 y x 1
y x 1 y x 1
uno de los factores es
2
1
2
1
B) 2 x 1
D) x
2
3
2
2
12. En la factorización completa de 8 x 4 x y 8 x 4 xy uno de los factores es
A) x y
C) 2x y
A)
2x 1
C) x
B)
x 1
D)
2x 1
13. En la factorización completa de x 8 x uno de los factores es
2
A) x 2
C) x 4 x 4
3
2
B) x 2
D) x 2 x 4
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
6
14. En la factorización completa de 16 x 4 x uno de los factores es
2
A) 2 x 1
C) 4 x 2 x 1
2
2
B) 2 x 1
D) 4 x 2 x 1
3
15. Una factorización de 4 x 12 x y 9 y
4
A) 4 x 6 y
4
B)
2x
x4
x2
D)
2
2x
2x
2
2
3y2
2
3 y 2 2 x2 3 y 2
2 3 x 4 3 x 2 es
C)
3x 2
D) x 4
2
2
B) 2 p
es
2
17. Uno de los factores de k p k p
A) 2 p
4
C)
16. Uno de los factores de x
A)
B)
2
4
3y2
2
2
2
2
es
C) k p
2
2
D)
2
k p
2
18. En la factorización completa de y 4 x 4 x uno de los factores es
2
A) x 4
B) y 2
2
C) y x 2
D) y x 2
GRUPO FÉNIX
47
48 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE RELACIÓN
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Analicemos mediante un diagrama el Analicemos el siguiente caso donde existe
siguiente caso donde existe una relación una relación entre estudiantes y el número
entre estudiantes y su edad.
de miembros de su familia.
A
R
B
17
Celeste
R
A
B
3
Celeste
Gustavo
4
13
Rosy
5
14
Mary
6
Gustavo
15
Rosy
Mary
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
16
Ejemplo 3
Analicemos el siguiente caso donde la relación o correspondencia es comprar.
Cuatro estudiantes, Carlos, María, José y Laura, ingresan a la librería, que entre otras
cosas ofrece: lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores, hojas blancas,
fólder, clips, grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía:
Carlos compró lapiceros, un cuaderno y un borrador;
María compró dos borradores y una regla;
José compró un lápiz;
Laura no compró.
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería un
conjunto B para representarlo de la siguiente forma:
B
A
lápiz
plumas
cuadernos
reglas
borradores
hojas
fólder
Carlos
María
José
Laura
lapiceros
En este caso Laura fue a la librería pero no compró nada, por lo tanto en una relación
pueden sobrar elementos en ambos conjuntos.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Variables
Variable independiente
Es todo aquello que puede Es aquella propiedad de un
asumir diferentes valores.
fenómeno a la que se le va a
evaluar su capacidad para
influir, incidir o afectar a otras
variables.
Variable dependiente
Es la característica que
aparece o cambia cuando se
aplica, suprime o modifica la
variable independiente.
Ejemplo 1
Podemos decir que los estudiantes son la variable independiente (conjunto A) y los útiles
que ofrece la librería son la variable dependiente (conjunto B):
B
A
María
José
Laura
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Carlos
lápiz
plumas
cuadernos
reglas
borradores
hojas
fólder
lapiceros
Ejemplo 2
Si se paga a 350 colones la hora. El salario de un trabajador depende de las horas que
trabaje. El salario será igual a 350 por el número de horas trabajadas.
Si S : salario y
h : horas trabajadas entonces
S 350 h
var ia b le d ep en d ien te
Esto significa que el valor de la variable S
entre más horas trabaje mayor es su salario.
v ar iable independiente
depende del valor del variable h . Es decir,
Ejemplo 3
Un ciclista viaja a una velocidad constante durante cierto tiempo, recorre una distancia igual
al producto de la velocidad por el tiempo transcurrido, es decir, d v t
Esto significa que si el cuerpo viaja a 5 m / s se puede determinar cuál es la distancia
recorrida con solo saber el tiempo trascurrido.
La distancia depende de la duración (tiempo) del recorrido.
Si d : distancia y
t : tiempo de recorrido, entonces
d 5t
var ia b le d ep en d ien te
v ar iable independiente
GRUPO FÉNIX
49
50 RELACIONES Y ÁLGEBRA
VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE
Ejemplos de variables
Variables dependientes
Número de fotocopias
Precio total de las fotocopias
Tiempo
Distancia
Velocidad
Distancia
Medida del radio
Longitud de la circunferencia
Medida del radio
Área de la circunferencia
Medida del ancho de un rectángulo
Perímetro del rectángulo
Medida del largo de un rectángulo
Perímetro del rectángulo
Velocidad inicial de un objeto lanzado hacia
arriba
Altura
Tiempo
Altura
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Variables independientes
Trabajo cotidiano # 1
1. A continuación se presentan relaciones de variables que son comunes en nuestra vida.
Determine cuál es variable dependiente y cual es independiente.
a) El salario de un constructor depende de la cantidad de horas trabajadas por semana.
b) La producción de azúcar en un ingenio es proporcional a la cantidad de caña que se
produce.
c) El salario de un peón en una finca depende de la cantidad de horas trabajadas por
semana.
d) La cantidad de diputados por partido político es proporcional a la cantidad de votos que
obtenga en una elección.
e) Que un equipo de fútbol quede campeón depende de la cantidad de juegos que gane en
todo el torneo.
f) La cantidad de vacunas contra la gripe AH1N1 es proporcional a la cantidad de personas
en riesgo.
g) Que un estudiante apruebe el curso lectivo depende del promedio de sus notas en los
tres trimestres.
h) La pobreza de un país depende de la cantidad de impuestos que se cobran se destinen
para brindar nuevas oportunidades a los ciudadanos.
i) La capacidad de procesar información de una computadora depende de la velocidad de
su procesador.
j) La capacidad de una computadora para almacenar información depende de la capacidad
de almacenamiento de su disco duro.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓN
DESPEJE DE VARIABLE
Consiste en resolver una ecuación para una determinada variable, pero en términos de las
otras variables. De una fórmula original se puede derivar al menos otra más.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
La fórmula del movimiento lineal casi siempre El área de un triángulo es igual al producto
se escribe
de la base por la altura dividido por 2.
d v t
A
bh
2
v ar iable
Si la variable dependiente fuese h, quedaría
dependiente
independiente
la fórmula así:
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
v ar iable
Supongamos que un determinado problema
nos plantea como variable dependiente la
velocidad
v,
entonces
despejamos
d
t
v
bh
2
2 A bh
A
2A
h
b
2A
h
b
simplemente
Si la variable dependiente fuera b, quedaría
la fórmula así
b
2A
h
Trabajo cotidiano # 2
1. De las fórmulas que se presentan a continuación obtenga nuevas fórmulas despejando
las variables indicadas.
a)
a
V f Vi
t
despejar Vi
b) V f Vi at despejar t
c) g
V f Vi
V
d) 2 gh V f
f) tv 2
despejar V f
t
2
i
2
2h
despejar h
g
e) tb
2h
despejar g
g
g) D
n n 3
despejar n
2
h) A
Dd
despejar d
2
despejar Vi
GRUPO FÉNIX
51
52 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
En el primer objetivo de esta unidad hemos analizado el concepto de relación o
correspondencia entre dos conjuntos, en los cuales basta con que exista una conexión o un
criterio que los relacione.
Para entender mejor el concepto de función analicemos los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Tres estudiantes, Carlos, María y José, ingresan a la librería, que entre otras cosas ofrece:
lápices, lapiceros, plumas, cuadernos, reglas, borradores,
hojas blancas, fólder, clips,
grapas, etc. Luego de observar lo que la librería les ofrecía:
Carlos compró un borrador;
José compró un lápiz.
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
María compró dos borradores;
Podemos decir que los estudiantes forman un conjunto A y los útiles que ofrece la librería un
conjunto B para representarlo de la siguiente forma:
A
B
Lápiz
Carlos
Plumas
Cuadernos
Maria
Reglas
Borradores
José
Hojas
¿Cuáles son las diferencias entre este ejemplo y el que se planteó en el objetivo estudiado
anteriormente en la página 68?
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 2
Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y su edad.
En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con
un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único
número que representa su edad.
Mediante un diagrama podemos representar la información.
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
R
A
B
17
Pedro
Juan
Rosy
15
13
14
16
Mary
Podemos observar lo siguiente:
1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,
o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).
2) Contrario al Conjunto A, notamos que existen elementos del Conjunto B que no fueron
“seleccionados” por elementos del Conjunto A.
Conjunto B (Conjunto de llegada).
GRUPO FÉNIX
Es decir, sobraron elementos en el
53
54 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 3
Analicemos el siguiente caso donde existe una relación entre estudiantes y el número de
miembros de su familia.
En este caso encontramos que cada uno de los elementos del Conjunto A se relaciona con
un único elemento del Conjunto B. Es decir, cada estudiante se relaciona con un único
número que representa los miembros de su familia.
Mediante un diagrama podemos representar la información.
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
R
A
B
3
4
Pedro
Juan
Rosy
5
6
Mary
Podemos observar lo siguiente:
1) Todos los elementos del Conjunto A se relacionaron con algún elemento del Conjunto B,
o sea, no sobraron elementos en el Conjunto A (Conjunto de Salida).
2) Al igual todos los elementos del Conjunto B se relacionaron con algún elemento del
Conjunto A, o sea, no sobraron elementos en el Conjunto B (Conjunto de llegada).
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 4
Un grupo de 25 estudiantes de undécimo año, realiza una prueba escrita. Supongamos que
el conjunto A está formado por los 25 estudiantes del grupo, y el conjunto B por las posibles
notas que se pueden obtener en una escala de 1a 100.
A = {Rosy, Beatriz, Carmen, Denia, Estefany,
Francini, Gretel, Hazle, Ileana, Jeannet,
B = {1,2,3,4,…,98,99,100} (números entre el
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Karol, Lorena, María, Alvaro, Bolivar, Carlos,
Dagoberto, Eduardo, Francisco,
1 y el 100 inclusive)
Geovanny, Harol, Ignacio, José, Kenneth,
Luis}
La relación de correspondencia = Nota obtenida en la prueba.
De acuerdo con lo anterior hagamos un análisis de las siguientes situaciones:
Todo alumno debe tener una y solo una nota.
Un alumno no puede tener más de una nota.
Pueden haber notas, que ningún alumno haya obtenido.
Pueden haber varios alumnos, o todos, que hayan obtenido la misma nota.
Bajo estas condiciones diremos que se ha establecido una correspondencia entre el
conjunto de los alumnos y el conjunto de las notas, esta correspondencia se le llama
función.
GRUPO FÉNIX
55
56 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para
todo elemento que pertenece al conjunto A , existe un solo elemento y solo uno, que
pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.
Dicho de otro modo, una función es una relación entre dos conjuntos, que cumple dos
condiciones:
1. Todo elemento del conjunto de partida o Dominio está relacionado con un elemento en el
conjunto de llegada o Codominio.
2. No es posible que un elemento del conjunto de partida o dominio esté asociado con dos
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
o más elementos del conjunto de llegada o Codominio
Para simbolizar que se ha establecido una función f de un conjunto A en un conjunto B
usaremos la siguiente notación:
f :A B
Diagramas de Venn
La información anterior la podemos representar mediante un diagrama de Venn.
f
Conjunto B
Conjunto A
y1
x1
y2
x2
y3
x3
y4
x4
y5
y6
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Ejemplo 1
Por medio de diagramas de Venn analicemos las siguientes correspondencias y
determinemos cuales corresponden a una función.
B
A
B
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
A
NO corresponde a una función ya que a un SI corresponde a una función, a cada
elemento en A no le corresponde un elemento del conjunto A le corresponde un
elemento en B.
elemento en B.
A
B
A
B
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
NO corresponde a una función ya que un SI corresponde a una función, a cada
elemento
en
elementos en B.
A
le
corresponde
dos elemento del conjunto A le corresponde un
elemento en B.
GRUPO FÉNIX
57
58 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 3
1. Determine cual correspondencia en cada uno de los siguientes casos corresponde a una
función.
a)
b)
c)
A
B
A
a
b
c
1
2
3
a
b
c
A
B
1
2
3
a
b
c
1
2
3
A
B
a
b
c
1
2
3
e)
A
B
a
b
c
1
2
3
g)
f)
A
B
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
d)
B
a
b
c
1
2
3
h)
A
B
a
b
c
1
2
3
j)
i)
A
B
A
B
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
k)
l)
A
B
A
B
A
B
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYO
CRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una relación se establece por medio de la correspondencia entre dos conjuntos y una regla
de asociación que permita relacionar los elementos de un conjunto con los del otro conjunto,
en este objetivo trabajaremos con reglas de asociación compuestas por expresiones
algebraicas.
Ejemplo 1
Si el criterio de la función es
f ( x) 2 x 1
Para encontrar los valores del conjunto B, sustituimos cada valor del conjunto A en el criterio.
f
2
3
4
a)
f (2) 2(2) 1
B
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
A
b)
c)
f (3) 2(3) 1
f (4) 2(4) 1
f (2) 4 1
f (3) 6 1
f (4) 8 1
f (2) 5
f (3) 7
f (4) 9
f ( x) 2 x 1
A
B
2
5
3
7
4
9
GRUPO FÉNIX
59
60 RELACIONES Y ÁLGEBRA
RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE CONJUNTOS NUMÉRICOS, CUYO
CRITERIO ESTÁ FORMULADO MEDIANTE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 2
En el ejemplo
anterior representamos los conjuntos con diagramas de Venn, ahora los
denotaremos con llaves, veamos:
Si A 2,3,4,5 y el criterio es f ( x) 4 x 2 determine el conjunto B.
f (2) 4(2) 2
b)
f (3) 4(3) 2
c)
f (4) 4(4) 2
d)
f (5) 4(5) 2
f (2) 8 2
f (3) 12 2
f (4) 16 2
f (5) 20 2
f (2) 6
f (3) 10
f (4) 14
f (5) 18
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a)
Concluinos que Si A 2,3,4,5 entonces
B 6,10,14,18
Ejemplo 3
Analicemos un problema de aplicación.
Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir
cintas está dado por la función C ( x ) 20 x 100
1. Calcule el costo de producir 50 unidades
2. Calcule el costo de producir 75 unidades
C (50) 20(50) 100
C (50) 1000 100
C (50) 1100
C (75) 20(75) 100
C (75) 1500 100
C (75) 1600
R/ El costo de producir 50 cintas es de
R/ El costo de producir 50 cintas es de
₡ 1100
₡ 1600
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 4
1. De acuerdo al criterio de la función indicado determine los elementos del conjunto B
Conjunto de salida A
Criterio
Conjunto de llegada B
a) A 3, 4, 5, 6
f ( x) 3x 1
B _____________
b) A 1, 3, 4, 6
f ( x) 3 x 2
B _____________
f ( x) 5 x 6
B _____________
d) A 6, 4, 0, 3
f ( x ) 3 x 2 1
B _____________
e) A 7, 4, 2, 5, 8
f ( x) 5 x 2 7
B _____________
4x 2
7
B _____________
8x2 2
f ( x)
5
B _____________
f ( x) 4 x 2
B _____________
f ( x) x 2
B _____________
f)
A 9, 8, 1, 8, 9
3 5
2
g) A , 0, , , 3
7 2
7
3 1
, 11
5 3
h) A 7, 3, ,
i)
3 2
A 0, ,
5 7
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
c) A 3, 2, 4, 5, 6
f ( x)
2. Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
a) El costo de producción de una empresa que produce periódicos está dado por la función
C ( x) 400 x 200 ¿Cuál es el costo de producir 20 000 periódicos? ¿Cuál es el costo
de producir 15 000 periódicos?
b) Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadora el
costo en colones está dado por la función
C ( x)
3
x 200 . Calcule el costo de
4
producir 700 unidades. Calcule el costo de producir 5000 unidades.
c) Un fabricante de computadoras determina que el ingreso obtenido por la producción y
venta de las mismas esta dado por la función I ( x ) 350 x 0.25 x . Calcule el ingreso
2
si se venden 500 computadoras. Calcule el ingreso si se venden 1500 computadoras.
GRUPO FÉNIX
61
62 RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
Para entender mejor el concepto de función es importante tener claro los siguientes
componentes que satisfacen una relación que corresponde a una función.
Componentes
Ejemplos
Dominio
A
El dominio de una función son todos los
f
x1
x2
x3
elementos que puede tomar el conjunto de
salida.
Preimágenes
Dominio : x1 , x2 , x3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Son todos los elementos del dominio.
Codominio
El codominio de una función son todos los
valores que puede tomar el conjunto de
llegada.
B
y1
y2
y3
y4
A
f
x1
x2
x3
B
y1
y2
y3
y4
Codominio : y1 , y2 , y3 , y4
Ámbito
A
El ámbito de una función son los únicos
elementos del codominio que tienen relación
con los elementos del dominio.
Imágenes
x1
x2
x3
f
B
y1
y2
y3
y4
Ámbito : y1 , y2 , y3
Son todos los elementos del ámbito.
Notación de funciones
Para denotar una función utilizaremos la siguiente simbología
f
indica que existe una función.
A
determina el conjunto de salida, o dominio.
B
determina el conjunto de llegada o codominio.
Nota: la expresión f ( x) y ó y f ( x )
GRUPO FÉNIX
f :A B ,
RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 1
Considere la función f , tal que f : ; con f ( x) 5 x 7
Determine
Solución
a) El dominio de f es 0 ,
a) Dominio de f
b) Codominio de f es
b) Codominio de f
c) Criterio de f es f x 5 x 7
c) Criterio de f
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
lugar de “x” :
f (4) 5(4) 7
d) La imagen de 4
f (4) 20 7
e) La preimagen de 10
La imagen de 4 es 27
f (4) 27
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
f) Ámbito de f
en lugar de f ( x) :
f x 5 x 7
10 5 x 7
10 7 5 x
3 5 x
3
x
5
f)
El ámbito de
f
0 ,
La preimagen de 10 es
3
5
, 7 porque el dominio
f 0 7 y " f "
es
,
es
Concluimos que f : con f ( x) 5 x 7 tiene las siguientes características
Dominio
Codominio
Criterio
f x 5 x 7
Imagen de 4 Preimagen de -10
27
GRUPO FÉNIX
3
5
Ámbito
, 7
63
64 RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 2
Considere la función f , tal que f : ; con f ( x) 5 x 7
Determine
Solución
a) El dominio de f es , 0
a) Dominio de f
b) Codominio de f es
b) Codominio de f
c) Criterio de f es f x 5 x 7
c) Criterio de f
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
lugar de “x” :
d) La imagen de 4
f (4) 5(4) 7
f (4) 20 7
e) La preimagen de 12
f) Ámbito de f
La imagen de 4 es 27
f (4) 27
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
en lugar de f ( x) :
f x 5 x 7
12 5 x 7
12 7 5 x
La preimagen de 12 es 1
5 5 x
5
x
5
1 x
f)
El ámbito de
f
es
7,
, 0 , f 0 7
y
porque el dominio es
" f "
Concluimos que f : ; con f ( x) 5 x 7 tiene las siguientes características
Dominio
Codominio
Criterio
Imagen de - 4
Preimagen de 12
Ámbito
f x 5 x 7
27
1
7,
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 3
Considere la función f , tal que f : 2 ,10 ; con f ( x)
Determine
b) Codominio de f
c) Criterio de f
Solución
a) El dominio de f es
2 ,10
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es f ( x)
5 x
3
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a) Dominio de f
5 x
3
1
d) La imagen de
2
1
5
1
2
f
3
2
e) La preimagen de 2
1 11
f
2 6
f) Ámbito de f
La imagen de
1
11
es
2
6
e) Para calcular una preimagen se debe sustituir el valor dado
en lugar de f ( x) :
5 x
3
5 x
2
3
23 5 x
f ( x)
La preimagen de 2 es 1
65 x
6 5 x
1 x
1 x
f)
5 7
3 , 3 porque
7
5
, f 2
y f 10
3
3
El ámbito de
2 ,10
f
es
GRUPO FÉNIX
el dominio es
65
66 RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 4
Considere la función f , tal que f : 3, 1, 0 , 5 ; con f x x x 1
2
Determine
Solución
3, 1, 0 , 5
a) Dominio de f
a) El dominio de f es
b) Codominio de f
b) Codominio de f es
c) Criterio de f es f x x x 1
2
c) Criterio de f
d) Para calcular una imagen se debe sustituir el valor dado en
lugar de “x” :
e) Las preimágenes de 1
f 1 1 1 1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
d) La imagen de 1
2
f 1 1
f) Ámbito de f
La imagen de 1 es 1
e) Para calcular las preimágenes se debe sustituir el valor
dado en lugar de f ( x) :
f x x2 x 1
1 x2 x 1
x2 x 1 1 0
x2 x 0
La preimágenes de 1 son 1 y 0
x1 0 x2 1
f)
f es 5 , 1 , 29 porque el dominio es
3, 1, 0 , 5 , f 3 5 , f 1 1 , f 0 1 y
f 5 29
El ámbito de
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 5
1. De las siguientes funciones determine el Df (dominio), Cf (codominio), Af (ámbito), el
criterio y la preimagen e imagen que se solicita en cada una.
a) f x 2 x 5; f : y preimagen de 8 e imagen de 8 .
7
1
e imagen de
.
2
2
5
x x 6; f : y preimagen de 0 e imagen de .
3
23
e imagen de 123 .
x x 5; f : y preimagen de
4
x 2
; f : y preimagen de 19 e imagen de 81 .
x
7
1 2x
31
2
e imagen de
.
; f : y preimagen de
x
3
7
5
b) f x 4 x 3; f : y preimagen de
c)
f
d) f
e) f
f)
f
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
g) f x 2 x 5; f : 7 , 15 y preimagen de
h) f x 4 x 3; f : 10 , 1 y preimagen de
4
2.
50 e imagen de 3 7 .
15
x 2
1
8
; f : 15 ,
y
preimagen
de
e
imagen
de
.
4
7
7
7
1 2x
27 27
; f :
,
y preimagen de 0 e imagen de 3 .
x
3
5 5
3
x 2 x x 2 ; f : 0,2, 1, y preimágenes de 0 e imagen de 1 .
5
7
7
x x 2 3; f : 2, , 3 y preimagen de 1 e imagen de .
3
3
1
18
x 2 x 1; f : , 100 y preimagen de 3 e imagen de .
7
2
i)
f x
j)
f
k)
f
l)
f
m) f
5 e imagen de
n) f x
3
2 x 3 1; f : 9 , 1 y preimagen de
3
15 e imagen de 5 .
1
2 x
3
; f : 1,0, y preimagen de
e imagen de 0 .
2
2
2
4
4
4
p) f x 4 3 x ; f : 4, y preimagen de
e imagen de 4 .
5
3
5
o) f x 1
GRUPO FÉNIX
67
68 RELACIONES Y ÁLGEBRA
EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓN
DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN, PREIMAGEN
Y NOTACIÓN DE FUNCIONES
1 si x 0
determine la imagen de –3.
-x si x 0
1. Para la función f : , con f x
f x
2. Si
2 x
, entonces determine f 1 .
3
f x
3. Para la función f dada por
1
, determine:
x2
b)
f 5 f 4
f 3
c)
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a) f 5 f 4 f 3
f 0 f 1 f 3 f 4
f 2
f 5
4. Para la función
f
dada por
determine f 0 f 1 .
f x 3a 5 , si a es una constante, entonces
5. Si f x 2 x y la preimagen de 3 es 4k 1 , entonces determine el valor de k .
6. Si para f : G IR con f x x 1 el ámbito es
3
7. Si G f
1,0 , 2,1 , 3, 2 , 4,3 , 5, 4
3,5 , entonces determine G.
es el gráfico de la función
f , entonces
determine el ámbito de esa función.
8. Sea la función f : P . Si el dominio de f tiene 7 elementos, entonces ¿cuál es el
menor número posible de elementos del ámbito de f
9. Sea
f x
?
1
con dominio 2 entonces determine el ámbito de f .
x2
10. Para la función f : dada por f x x , determine el ámbito de f .
2
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
IDENTIFICACIÓN DEL DOMINIO, EL CODOMINIO, EL ÁMBITO, IMÁGENES Y
PREIMÁGENES DE UNA FUNCIÓN, A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1
Ejemplo 2
y
y
1
4
2
1
2
-2
2
-4
x
6
4
1
x
2
-1
4,
Dominio
,1
Codominio
Codominio
Ámbito
, 4
Ámbito
,1
Imagen de 0
2
Imagen de 1
no existe
6
Preimagen de 1
0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Dominio
Preimagen de 0
Ejemplo 3
Ejemplo 4
y
y
4
-2
3
1
-1
2
x
2
-4
x
-3
-4
Dominio
,
Dominio
4, 2
Codominio
Codominio
Ámbito
,
Ámbito
3, 3
Imagen de 1
4
Imagen de 0
3
Preimagen de 4
1
Preimagen de 0
4
GRUPO FÉNIX
69
70 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 6
De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito y
preimagen e imagen que se solicita en cada una.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
y
4
3
2
1
y
3
1
1 2 3 4
x
-4 -3 -2 -1
-1
0
1
3
4
x
Preimagen de 0 , Imagen de 0
Preimágenes de 0 , Imagen de 1
Ejercicio 3
Ejercicio 4
y
y
3
∙
-2∙
x
2∙
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3
-1
-2
x
2
1
-2
Preimagen de 3 , Imagen de 2
Preimagen de 0 , Imagen de 2
Ejercicio 5
Ejercicio 6
y
-4
3
4
-3
∙
x
y
4
2
∙
∙
2
-4
6∙
4
x
Preimagen de 0 , Imagen de 4
Preimagen de 0 , Imagen de 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
y
y
4
1
3
-3
x
-4
-2
f
2
-4
5
Preimágenes de 0 , Imagen de 2
Preimagen de 4 , Imagen de 1
GRUPO FÉNIX
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
De las siguientes gráficas de funciones determine el dominio, codominio, ámbito, preimagen
e imagen.
Ejercicio 9
Ejercicio 10
y
y
4
3
1
-4
-1
1
3
2
-2
x
4
x
3
2
-3
Preimagen de 4 , Imagen de 3
Preimágenes de 0 , Imagen de 0
Ejercicio 11
Ejercicio 12
y
y
3
1
-2
2
-1 -1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
f
x
1
-2
-1
1
2
x
-1
Preimagen de 3 , Imagen de 1
Preimagen de 2 , Imagen de 1
Ejercicio 13
Ejercicio 14
y
4
2
1
2
-1
x
2
1
Preimágenes de 2 , Imagen de 2
Una preimagen de 2 , Imagen de 1
Ejercicio 15
Ejercicio 16
y
y
3
3
1
1
-3 -2 -1
1
-1
-1
2
x
2
3 4
x
-2
Preimagen de 3 , Imagen de 1
Preimagen de 3 , Imagen de 1
GRUPO FÉNIX
71
72 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
Determine el dominio, el codominio, el ámbito, f 1 , f 2 , intervalo para x si f x 0 ,
intervalo para x si f x 0 , el número de preimágenes de 2 .
Ejercicio 17
Ejercicio 18
y
2
3
1
2
-4
1
-1
-3
1
-1
5
2
x
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
-3
Ejercicio 19
y
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1
2 3
4
-1
-2
5
x
-5
Ejercicio 20
y
-4
1
2
4
-1
-3
-3
Ejercicio 19
Ejercicio 20
2
3
1
2
1
-3
-2
-1
-1
1
2
-3
3
-2
-1
1
-2
-2
GRUPO FÉNIX
2
3
5
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS SENCILLAS
f , por medio de una fórmula algebraica y un
Si se describe la imagen bajo una función
codominio B sin especificar el dominio, esta función tendrá un dominio implícito que
corresponde a todos los valores “x” tal que f ( x) pertenezca al codominio; al conjunto de
estos valores se le llama Dominio Máximo y lo denotamos con D f .
I Caso: Expresiones polinomiales de una variable.
Ejemplo 1
2
Determine el dominio máximo de f x 3 x 4 x 1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Para expresiones polinomiales de una variable, el dominio máximo es , cualquier número
real tiene imagen. Simbólicamente se representa: D f =
II Caso: Expresiones racionales con denominador de la forma x b , con b IR
Ejemplo 2
Determine el dominio máximo de f x
5
x6
1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos: x 6 0
x 6
2. El dominio máximo es:
Df = 6
III Caso: Expresiones radicales de índice par, con subradical de la forma x b , con
b IR
Ejemplo 3
Determine el dominio máximo de f x
1. Resolvemos la inecuación: x 4 0
x 4
2. El dominio máximo es: D f 4 ,
GRUPO FÉNIX
x4
73
74 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 7
1. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones
a) f x 3 x 2 x 3
2
b) f x 3 x 2 x 3
t)
f x
2
f x 3x 2 2 x 3
d) f x
2 2
x 2x 3
3
2 2 x
e) f x x 3
3
5
f)
f x
2 2 x
x 3
3
5
g) f x 2 x 5
h) f x 2 x 5
i)
f x 2 x 5
j)
5
f x x 5
3
k)
l)
f x 4 3 x
2
p) f x x
f x
x
x7
x
w) f x
x7
x)
f x
2
2
2
q) f x x
r)
f x 1
s)
f x 4 x3 7 x 2 6 x
hh) f x
x9
ii)
f x x 15
jj)
f x x 7
kk) f x
ll)
x7
f x 7 x
mm) f x
7 x
x
7 x
nn) f x
4
x 10
6
7
y)
f x
x
7 x
oo) f x
4
x
f x
11x 2
x 2
pp) f x
4
z)
x3
qq) f x
4
x
rr) f x
6
3 x
ss) f x
6
3 x
tt) f x
6
8
x
3
4 x 2 3x 1
dd) f x
x4
uu) f x
6
10 x 6 x 2
ee) f x
2 x
vv) f x
8
x 3
x4
aa) f x
x 3
cc) f x
m) f x 4 x 3
o) f x 7 x
v)
x 10
bb) f x
5x
1
f x 3x
5
n) f x 3 4 x
10
u) f x
x 15
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
c)
1
x9
9x 1
7x
2x
ff) f x
x 3 4
x 1
gg) f x
4 9 x
GRUPO FÉNIX
1
4
1
x
6
ww) f x
8
xx) f x
5x
yy) f x
8
x
2x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓN
DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES CUYO CRITERIO SE ENUNCIA CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
II Caso (profundización): Expresiones racionales
Ejemplo 1
5 x 2 7 x 13
Determine el dominio máximo de f x
3x 2 5 x 2
1. Igualamos a cero el denominador y resolvemos:
3x 2 5 x 2 0
x1 2 y
1
3
1
D f = 2 ,
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. El dominio máximo es:
x2
III Caso (profundización): Expresiones radicales de índice par
Ejemplo 2
Determine el dominio máximo de f x
4 x 5
1. Resolvemos la inecuación: 4 x 5 0
5
4
x
5
2. El dominio máximo es: D f ,
4
IV Caso: Expresiones racionales con radicales de índice par en el denominador
Ejemplo 3
2 x3 5 x 2 7 x 3
Determine el dominio máximo de f x
4
9 7x
1. Resolvemos la inecuación: 9 7 x 0
x
9
7
9
2. El dominio máximo es: D f ,
7
GRUPO FÉNIX
75
76 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 8
1. Determine el dominio máximo de las siguientes funciones
2x 3
a) f x 2
x 2x 3
x
2
k) f x
3x 5 x 1
1 3x 4 x 2
b) f x
28 x 8 12 x 2
l)
f x
d) f x
m) f x
x 1
4 x2 9
1 x
x x2
f x
g) f x
h) f x
i)
f x
o) f x 1 x
j) f x
p) f x
4 x2 1
x 2 16
q) f x
11x 2
6 x3 2 x
r)
4x 8
x 2 x 3
2x 1
3x x 2
5 x 2
4
f x
2 x
2
x 1
3
x 1
2 4
1
x)
f x
y)
f x
1
5x
3 x
2x 5
z)
f x
12
3
x4 x4
2 x 6
n) f x
2
3x 2 6 x 3
e) f x
x2 x
f)
5
x
4 2x 3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
c)
f x
x2 4
w) f x
5 x
2
1
x
3
2
aa) f x
5x 3
5 x
bb) f x
2 x
3 x 1
cc) f x
x3
x 1
s)
f x 5 2 x 4 x 13
t)
f x 3 5x 1 4 x 1
dd) f x
2x 1
9 2x
2
x 2
ee) f x
4x
4x 5
x 5 1 x
u) f x
4
x 1
x 5 7x 1
2
v)
f x
7x 1
5x
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 1
1. Sea la función dada por
f : 1, 7 2 , 3, 5 , ¿cuál de los siguientes conjuntos
puede corresponder a un gráfico de f ?
1, 3 , 7 , 5
2 , 3 , 3 , 5
A)
B)
C)
D)
2. Si g es una función con g ( x )
A) 5
9
2
3
3. La imagen de
4
A)
2 x 3 1 entonces la preimagen de 2 es
3
8
3
D)
3
7
2
15
1
1 x
en la función f ( x) 2
corresponde a
4
3
C)
4
D) 3
B) 3
4. Para la función f dada por f x
I.
f 3 f 1
II .
f 1 f 0
1
, considere las siguientes proposiciones.
x2
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Solo la I.
B) Solo la II.
5. Sea
C)
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
B)
1, 2 , 1, 3 , 7 , 5
2 ,1 , 3 ,1 , 5 , 7
C) Ambas.
D) Ninguna.
f x 3 2x 1 con dominio , 1
A)
0
B)
, 0
entonces el ámbito de f
2
f : A 0 , , con
1 , 4 , 9 , entonces, el dominio de f es
6. Para la función
A)
B) 1 , 2 , 3
C)
D)
C)
0,
D)
1
IR
2
f x x , si el ámbito de
1, 4 , 9
1 , 16 , 81
7. Considere las siguientes relaciones:
I.
f : con f x x 4
II. g : con g x x 3
De ellas, ¿Cuáles corresponden a una función?
A) Ambas
C) Solo la I
B) Ninguna
D) Solo la II
es
2
GRUPO FÉNIX
f
es
77
78 RELACIONES Y ÁLGEBRA
8. El ámbito def es
A)
B) , 5
C) , 2 5
D)
y
5
2
,2 5,
1
x
2
y
9. El ámbito de f es
A)
B) 1
C) 0,1
D) 0
x
-2
1
-2
C) 0 , 4
D) 0 , 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
10. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, el ámbito de f es
y
A) 2
B) 2 , 4
2
11. En la función f cuyo criterio es f x
A)
B)
0,
0
f
C) 1
D) 0 , 2
C)
1
D)
13. El máximo dominio de la función H x
A)
B)
, 3 1,
3 ,1
x
1 x
el dominio máximo es
2 x
12. El dominio máximo de la función f dada por f x
A)
B)
4
3
1
es
x 1
,1
1,
x3
es
1 x
C)
D)
3 ,1
, 3 1,
14. Considere las funciones cuyo criterio se da a continuación.
f x
x2
x2
g x x 2
1
¿Cuáles de ellas tienen por dominio máximo 2 ?
A) Solo f y g.
C) Solo h y g.
B) Solo f y h.
D) f , g y h.
GRUPO FÉNIX
h x x 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función
f x corresponde al conjunto de puntos de la forma
x , f x
ó x , y en el Sistema de Coordenadas Cartesianas, donde “x” es la preimagen y f x
ó “y” es la imagen.
Si trazamos una recta perpendicular a la recta horizontal en el punto que corresponde al
número real “x” y trazamos una recta perpendicular a la recta vertical en el punto que
corresponde al número real f x ó “y”, entonces el punto de intersección de estas dos
rectas se identifica con el par ordenado
x , f x
ó
x, y .
eje y
x , f x
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
ó
x, y
eje x
De acuerdo a lo anterior, significa que el eje “x” estará representando el dominio de la
función, el eje “y” el codominio, y la regla de asociación quedará determinada por los
puntos de la gráfica.
Ejemplo 1
Ubique en el siguiente sistema de coordenadas los pares ordenados que se presentan a
continuación. 2, 1 ; 2 , 1 ; 0, 2 ; 1 , 2 y 2, 3
y
1 , 2
2, 1
x
2, 1
0, 2
GRUPO FÉNIX
2, 3
79
80 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 9
Ubique los pares ordenados en el siguiente sistema de coordenadas
4,3 ; 3,3 ; 1, 1 ; 2, 1 ; 3, 2 ; 3,0
b)
1,0 ; 1,3 ; 0,2 ; 2,3 ; 3,2 ; 3,3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a)
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 2
Dada la función f ( x) 2 x 2 ,
con f : determine su gráfica.
Ejemplo 3
2
Dada la función f ( x ) x 2 ,
con f : determine su gráfica.
1. Escogemos algunos valores del dominio y
calculamos sus respectivas imágenes.
1. Escogemos algunos valores del dominio y
calculamos sus respectivas imágenes.
x
2
1
0
1
2
x
2
1
0
1
2
f ( x)
6
4
2
0
2
f ( x)
2
1
2
1
2
2. Es este caso obtenemos los siguientes
pares ordenados:
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Es este caso obtenemos los siguientes
pares ordenados:
2, 6 ; 1, 4 ; 0, 2 ;
1, 0 y 2,2
y
2,2 ; 1, 1 ; 0, 2 ;
1, 1 y 2,2
f
2, 2
y
2,2
2, 2
1, 0
x
x
0,2
1,1
1,4
1,1
2,6
GRUPO FÉNIX
0,2
81
82 RELACIONES Y ÁLGEBRA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Dada la función f ( x) x 2 ,
Dada la función f ( x ) x 1 ,
con f : determine su gráfica.
con f : determine su gráfica.
1. Escogemos algunos valores del dominio y
calculamos sus respectivas imágenes.
1. Escogemos algunos valores del dominio y
calculamos sus respectivas imágenes.
2
3
x
2
1
0
1
2
x
2
1
0
1
2
f ( x)
2
1
2
1
2
f ( x)
7
0
1
2
9
pares ordenados:
pares ordenados:
2, 2 ; 1,1 ; 0,2 ;
1,1 y 2, 2
1,1
2. Es este caso obtenemos los siguientes
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Es este caso obtenemos los siguientes
0,2
2, 7 ; 1, 0 ; 0,1 ;
1, 2 y 2,9
f ( x)
y
1,1
2, 2
2, 2
GRUPO FÉNIX
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 10
Represente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones (se
recomienda el uso del Software Geogebra en http://www.geogebra.org/cms/ ):
a) f ( x) 2 x 1 , con f :
l)
b) f ( x) 2 x 2 , con f :
m) f ( x) x 2 , con f :
c)
f ( x) 2 x 3 , con f :
d) f ( x) 2 x 4 , con f :
e) f ( x) 2 x 1 , con f :
f)
f ( x) 2 x 2 , con f :
f ( x) x 2 1 , con f :
2
n) f ( x) x 3 , con f :
2
o) f ( x) x 4 , con f :
2
p) f ( x ) x , con f :
3
q) f ( x ) x 2 , con f :
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
g) f ( x) 2 x 3 , con f :
h) f ( x) 2 x 4 , con f :
r)
f ( x) x 3 3 , con f :
f ( x) x 3 , con f :
f ( x) x 3 2 , con f :
i)
f ( x) x 1 , con f :
s)
j)
f ( x) x 2 , con f :
t)
k)
f ( x) x 3 , con f :
2
2
2
u) f ( x) x 3 , con f :
3
Ejercicios de profundización
Represente gráficamente en el sistema de coordenadas las siguientes funciones:
a) f ( x) 2 x 1 , con f :
b) f ( x) 2 x 1 , con f :
c)
f ( x) 2 x 1 , con f :
d) f ( x) x 1 , con f :
2
2
f)
2
f ( x) x 2 1 , con f :
h) f ( x ) x 1 , con f :
2
i)
f ( x) x 3 , con f : 1 , 5
j)
f ( x) x 3 , con f : 2 , 4 , 6 , 8
k)
f ( x) x 3 , con f : 10 , 5
l)
f ( x) x 3 , con f : 1 , 3 , 5 , 7
e) f ( x) x 1 , con f :
g) f ( x ) x 1 , con f :
GRUPO FÉNIX
83
84 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONTENIDOS DE PROFUNDIZACIÓN
RÉGIMEN DE VARIACIÓN
Estrictamente creciente (EC)
Estrictamente decreciente (ED)
Se dice que f es una función estrictamente Se dice que f es una función estrictamente
creciente si
f ( x1 ) < f ( x2 )
siempre que decreciente si f ( x1 ) > f ( x2 ) siempre que
x1 < x2 .
x1 < x2 .
Creciente (C)
Se dice que
f
Decreciente (D)
es una función creciente si Se dice que f
f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 < x2 .
es una función decreciente
si f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 < x2 .
Constante (CO)
f es una función constante si f x b , con b , para todo “x” que
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Se dice que
pertenece al dominio. Es decir, los puntos de la gráfica están en una recta horizontal que
pasa por
0,b
Ejemplo 1
Estrictamente Creciente
5 , 3 1, 2
y
Estrictamente Decreciente
1 , 1 2 ,
Creciente
5 , 1
x
f
Decreciente
3 ,1
Constante
3 , 1
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 11
De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es
decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
y
4
3
2
1
y
3
1
1 2 3 4
x
-4 -3 -2 -1
-1
0
4
3
x
Ejercicio 4
Ejercicio 3
∙
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
y
y
3
1
3
-1
-2
-2∙
x
2∙
Ejercicio 5
x
2
1
-2
Ejercicio 6
y
y
4
-4
3
4
-3
∙
x
2
∙
∙
2
-4
y
y
4
f
1
3
-3
x
-2
2
x
Ejercicio 8
Ejercicio 7
-4
6∙
4
5
GRUPO FÉNIX
-4
x
85
86 RELACIONES Y ÁLGEBRA
De las siguientes gráficas de funciones determine su respectivo régimen de variación, es
decir, intervalo(s) donde la función es EC, ED, C, D, CO.
Ejercicio 9
Ejercicio 10
y
y
4
3
1
-4
-1
1
f
1
-2
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3
x
-1 -1
Ejercicio 13
x
4
Ejercicio 12
Ejercicio 11
y
3
2
-2
x
3
2
-3
y
2
1
-2
-1
1
2
x
-1
Ejercicio 14
y
4
2
2
1
-1
2
x
1
Ejercicio 15
Ejercicio 16
y
y
3
3
1
1
-3 -2 -1
-1
-1 2
x
1
-2
GRUPO FÉNIX
2
3 4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES QUE SE EXPRESAN
MEDIANTE LA ECUACIÓN y k • x, k 0
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas
por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
a) A más corresponde más.
b) A menos corresponde menos.
Ejemplo 1
Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.
Si 1 kg de tomates cuesta ₡ 500, 2 kg costarán ₡ 1000, 3kg costaran ₡ 1500 y así a más
kilogramos de tomates más colones. Y a menos kilógramos de tomate menos colones.
y : total por pagar
₡150
₡300
₡450
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Ejemplo 2
En un autobús la tarifa fija de cada pasajero está dada por la función
y k•x
k : tarifa
x : número de pasajeros
₡150
₡150
₡150
1
2
3
En este caso
a) “ y “ Representa la variable dependiente (imágenes)
b) “ x ” La variable independiente (preimágenes)
c) “ k ” La constante de proporcionalidad
Trabajo cotidiano # 12
1.- ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales?
Justifica cada una de las respuestas.
a) La velocidad de un automóvil y el tiempo que tarda en realizar un mismo recorrido.
b) La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado, manteniendo la misma
velocidad.
c) La longitud del lado de un cuadrado y la superficie del mismo.
d) La edad de un niño y su estatura.
e) Las horas trabajadas por semana y el salario mensual.
f) La tarifa que cobra un taxi y la cantidad de kilómetros recorridos.
g) La tarifa fija que cobra un taxi por kilometro recorrido y el dinero obtenido.
h) La cantidad de nutrientes que se le echan a un árbol y su altura.
i) El número de llamadas por teléfono y la tarifa a pagar.
j) El número de minutos que se hablan por teléfono y la tarifa a pagar.
k) La producción en una empresa y el salario de los trabajadores.
l) La cantidad de libros leídos y el conocimiento adquirido.
m) La producción de azúcar y el ingreso en colones del ingenio.
n) La producción de azúcar y el ingreso en colones de los trabajadores.
GRUPO FÉNIX
87
88 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIÓN LINEAL: CONCEPTO
Es una función
f : ,
tal que
representación gráfica es una recta, a
f ( x) mx b
“m”
donde m y b y su
se le denomina pendiente de la recta, es
decir, el grado de inclinación de dicha recta con respecto al eje x .
Notación simbólica
Dominio
Codominio
Ámbito
f ( x) mx b
ó
Excepto en la función
y mx b
constante.
Creciente
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Representación gráfica de la función lineal
Decreciente
f
m0
f
Constante
Identidad
f
f
m0
m0
f x x
Trabajo cotidiano # 13
1. Grafique las siguientes funciones (se recomienda el uso del Software Geogebra en
http://www.geogebra.org/cms/) y determine en cada caso: el dominio, codominio y ámbito,
además, si la función es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante.
a) f ( x ) 2 x 3
f)
b) f ( x) 2 x 0
g) y x
l)
h) y 9 x 9
m) g ( x ) 10 x 7
c)
f ( x) x
y 2 x 0
k) g ( x ) 2 x 3
g ( x) x 8
d) f ( x ) 6
i)
y x 4
n) g ( x ) 9 x 1
e) f ( x ) x 9
j)
y 9
o) g ( x) 7
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
2. Determine para cada una de las siguientes funciones lineales si son crecientes,
decrecientes, constantes o corresponden a la identidad.
a) La función dada por f x mx b, con m 0 .
b) Si f x mx b es una función tal que f 1 4 y f -3 4 .
c) Si f x mx b es una función tal que f 6 1 y f 11 1 .
d) Si f x mx b es una función tal que f 1 4 y f 3 6 .
e) Si f x mx b es una función tal que f 10 8 y f 4 5 .
f) Si f x mx b es una función tal que f 10 5 y f 4 8 .
g) Si f x mx b es una función tal que f 1 6 y f 3 4 .
h) Si f x mx b es una función tal que f 1 1 y f 3 3 .
i) Si f x mx b es una función tal que f 6 6 y f 11 11 .
y
D f 3, 4 entonces determine el ámbito de f .
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3. Si f x 3 x 2
4. Si el dominio de la función f x 3x 1 es , 3 entonces determine su ámbito.
5. Si el ámbito de la función f x 2 x 5 es
6. Si el ámbito de la función f x 4 x 1
es
2,5 entonces determine su dominio.
1,21 entonces determine su dominio.
x
1
es ,1 , entonces determine su dominio.
2
2
8. Si el ámbito de la función f x 2 x 5 es 1, entonces determine su dominio.
7. Si el ámbito de la función f x 1
9. Si el ámbito de f x 4 x 1
es
11,
entonces determine su dominio.
10. Si f x 3k 9 x 8 es una función creciente entonces determine el valor de k .
11. Si f x 3k 9 x 8 es una función decreciente entonces determine el valor de k .
12. Si f x 3k 9 x 8 es una función constante entonces determine el valor de k .
13. Si f es una función lineal dada por f x 5 p 4 x q.
constante, entonces determine el valor de p .
14. Si f es una función lineal dada por f x 5 p 4 x q.
creciente, entonces determine el valor de p .
15. Si f es una función lineal dada por f x 5 p 4 x q.
decreciente, entonces determine el valor de p .
16. Si f es una función lineal dada por f x mx 10
Si f es una función
Si f es una función
Si f es una función
f 2 3 , calcule f 2 .
17. Si f es una función lineal dada por f x ax 10 y f 3 2 , calcule f 2 .
GRUPO FÉNIX
y
89
90 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE PENDIENTE Y DE INTERSECCIÓN EN LA FUNCIÓN LINEAL
Sea f una función de la forma f ( x ) mx b , con f :
Estudio de la pendiente
Intersección con los ejes de coordenadas
a) Si m 0 , entonces la
estrictamente creciente.
función
b) Si m 0 , entonces la
estrictamente decreciente.
función
c) Si m 0 ,
constante.
función
entonces
la
es a) La intersección con el
eje y
es en el
eje x
es en el
punto (0, b)
es
b) La intersección con el
b
,0
m
punto
es
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE DOS PUNTOS DE SU GRÁFICO
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Ejemplo1
Determinar el criterio de una función lineal y la intersección con los ejes,
si f (2) 8
y f (3) 7 .
Para determinar el criterio de una función lineal, debemos calcular el valor “ m ” y de “ b ”.
1. La pendiente se calcula con la fórmula:
m
y2 y1
x2 x1
En este caso los pares ordenados son;
( 2 , 8 ) y (
3 , 7 )
x1
Sustituyendo: m
y1
x2
y2
y2 y1 7 8 15
3
x2 x1 3 2 5
2. Para calcular b se utiliza la fórmula:
b y1 mx1
b 8 3 2
b 2
3. Por lo tanto, el criterio de la función lineal es f ( x) 3 x 2
4. La intersección con el eje y es en el punto
0,b 0, 2
b
2
2
, 0
, 0
,0
m
3
3
5. La intersección con el eje x es en el punto
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 14
1. En cada caso determine el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes que
cumple con las condiciones dadas.
a) f 2 4 y f 1 5
e) f 2 3 y f 3 18
g 2 6 y g 1 3
b)
g 2 3 y g 2 4
f)
c)
h 6 3 y h 8 12
g) h 2 1 y h 0 5
d)
p 2 2 y p 3
1 3
3 7
y p
2 4
4 5
h) p
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
4
3
i)
f 1 3 y f 2 1
j)
g 4 0 y g 3 2
k) h 1 1 y h 2 5
l)
3 14
3 2
p
y p
4 13
2 3
2. A continuación se presentan dos pares ordenados, determine el criterio de la función lineal y
la intersección con los ejes.
a)
2,3 , 4,1
e)
b)
1,7 , 7,6
f)
c)
3,4 , 5,2
g)
d)
7,2 , 6, 2
h)
3,4 , 2, 2
i)
1 5 7 2
, ,
5 4 5 3
j)
5 3
,
6 2
(6 7) , 3,5
9,5 , 6, 5
1,2 , 4, 7
5 11
,
2 4
k)
7 21
,
2 3
,
5 9
,
2 4
,
3. A continuación se presenta el valor de la pendiente y un par ordenado determine en cada
caso el criterio de la función lineal y la intersección con los ejes.
a) m = 2
2,3
e) m = 6
2, 3
b) m = 3
5,2
f) m = -1
5, 1
c) m =
2
3
d) m = 2
i) m =
1
2
1, 5
g) m = 1
3, 5
j) m = -1
2,6
1
h) m =
2
4,2
k) m =
GRUPO FÉNIX
2
4
,
3
3
7 4
,
3 3
5 1 3
,
4 2 4
91
92 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
4. A continuación se presentan ecuaciones de diferentes rectas, determine en cada caso el
valor de “ m ” y de “ b ”, la intersección con los ejes y el régimen de variación.
a)
2 y 3x 2
b) 4 y 5 x 4
i)
3 y x 1
2 2 4
c)
3 y 3x 2
j)
5x 2 y 3 0
d)
6 y 3x 4
k)
4x 6 y 6 0
e)
4x
7
5y
3
4
l)
3y x 1
0
8 4 2
f)
y
x
1
2
4
g)
2 y 3x 4
5 10 5
h)
4 x
1y
3 2
4x 7 y 3
0
3
4 2
n)
x y 1
0
2 4 2
o)
y 1
x 0
3 9
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
m)
5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen de las coordenadas y tiene
pendiente
3
5
?
6. Si la variable dependiente de
f x 4x 5
se aumenta en 12 unidades, entonces en
¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
7. Si la variable dependiente de
f x 7 3x
se disminuye en 9 unidades, entonces en
¿cuántas unidades se incrementa la variable independiente?
8. Si
f
es una función lineal, tal que
pendiente de la recta que representa a
9. Si
f
f x 2 f x 14 ,
f.
f x 2 f x 8 ,
es una función lineal, tal que
pendiente de la recta que representa a
entonces determine la
f.
GRUPO FÉNIX
entonces determine la
RELACIONES Y ÁLGEBRA
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1
Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
y
Intersección eje x
b
,0
m
2 , 0
f
x
Intersección eje y
0 , 3 0 , b
m
y2 y1 3 0 3 3
x2 x1 0 2 2 2
Criterio de la función
f x mx b
3
f x x 3
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Pendiente
Ejemplo 2
Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
Intersección eje x
b
,0
m
f
1, 0
y
Intersección eje y
0, 5 0, b
Pendiente
m
y2 y1 5 0 5
5
x2 x1 0 1 1
Criterio de la función
f x mx b
x
f x 5x 5
GRUPO FÉNIX
93
94 RELACIONES Y ÁLGEBRA
PENDIENTE E INTERSECCIÓN A PARTIR DE LOS DATOS QUE PROPORCIONA LA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 3
Determinar la pendiente y la intersección con los ejes de la siguiente gráfica de una función
Intersección eje x
y
No interseca
x
f
Intersección eje y
0, 3 0, b
Pendiente
Criterio de la función
f x mx b
f x 0x 3
f x 3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
m0
x
Trabajo cotidiano #15
De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones, determine la intersección con los ejes, la
pendiente y el criterio de la función.
1.
2.
y
2
y
2
x
2
3.
y
x
3
x
1
3
y
4.
5.
y
6.
2
2
3
y
2
1
x
x
4
GRUPO FÉNIX
2
3
2
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
Complete el espacio indicado con el símbolo >, <, = según corresponda.
1.
2.
y
3.
y
x
x
b
____ 0
m
b ____ 0
4.
x
b
____ 0
m
m ____ 0
b ____ 0
7.
b ____ 0
5.
y
y
b ____ 0
b
____ 0
m
b ____ 0
6.
y
x
b
____ 0
m
m ____ 0
b ____ 0
b ____ 0
y
x
m ____ 0
b ____ 0
b
____ 0
m
GRUPO FÉNIX
b
____ 0
m
m ____ 0
9.
y
x
m ____ 0
b
____ 0
m
m ____ 0
x
8.
y
x
b
____ 0
m
m ____ 0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
m ____ 0
y
x
m ____ 0
b ____ 0
b
____ 0
m
95
96 RELACIONES Y ÁLGEBRA
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo
Celeste y Gustavo Adolfo tienen una empresa donde se produce chips de computadoras, el
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
costo de la producción en colones está dado por la función
C ( x)
3
x 200 . Calcule el
4
costo de producir 5000 unidades. Calcule la cantidad de chips producidos si el costo fue de
1736 colones.
Costo de producir 5000 unidades
Cantidad de chips producidos
3
x 200
4
3
C (5000) 5000 200
4
C (5000) 3950
3
x 200
4
3
1736 x 200
4
2048 x
C ( x)
C ( x)
R/ El costo de producir 5000 unidades es R/ La cantidad de chips producidos es de
de ₵ 3950.
2048.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano #16
1. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir
cintas está dado por la función
C ( x ) 200 x 100 . Calcule el costo en colones de
producir 50 unidades. Calcule la cantidad de cintas de audio producidas si el costo en
colones fue de 24 500 .
2. El costo semanal “C” en dólares por producir “x” unidades de un producto está dado por
C ( x ) 5 x 200 . Si en una semana se produjeron 1250 unidades de ese producto,
entonces, ¿cuál será el costo por dicha producción? Si en una semana el costo por
producir cierta cantidad de ese producto es 825 dólares, entonces ¿cuántas unidades se
produjeron esa semana?
3. El precio “p” en colones y la cantidad vendida “x” de cierto producto está dado por
x
100 con 0 x 400 . ¿Cuál es el precio en colones si se venden 120
4
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
p( x)
unidades de ese producto? ¿Cuántas unidades de ese producto se vendieron si el precio
fue un colón?
4. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la
fórmula L 1,53t 6,7 ; donde
L
es la longitud (en cm) y
t es el tiempo (en
semanas). La longitud prenatal se puede determinar por ultrasonido. Calcule la longitud
de un feto de 24 semanas de gestación. Calcule la edad de un feto cuya longitud es 28
centímetros.
5. Se ha calculado que 1000 curies de una sustancia radioactiva, introducidos en un punto
del mar abierto, se extendería por una superficie de 40000km 2 en 40 días. Suponiendo
que la superficie cubierta por la sustancia radiactiva sea una función lineal del tiempo t y
sea siempre circular se tiene que r t 1000 t . Calcule la superficie contaminada en
60 días.
Calcule los días transcurridos para que la superficie contaminada sea de
90 000 km2.
6. El fenómeno de la isla de calor urbano se ha observado en Tokio.
temperatura era 13,5 °C
El promedio de
en 1915, y desde entonces ha subido 0,032 °C por año.
Considere que la temperatura T (en °C) está linealmente relacionada con el tiempo t (en
años) y que t = 0 corresponde a 1915.
año 2004.
Pronostique el promedio de temperatura para el
Pronostique el año en el que el promedio de temperatura será
aproximadamente 17,82 °C.
GRUPO FÉNIX
97
98 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 2
1. Si la pendiente de gráfica de una función lineal f es
pertenece a ella, entonces f 1 es igual a
3
2
7
B)
2
3
y
2
2,0
es un punto que
9
2
3
D)
2
A)
C)
2. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, considere las siguientes proposiciones
II.
La función f es creciente
f x 0 , con x 1
I.
y
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
f
A) Ambas
2
B) Ninguna
C) Solo la I
1 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
D) Solo la II
x
2 1
2
3. De acuerdo con los datos de la gráfica, el criterio de la función g corresponde a
A) g x 2 x 2
x
B) g x
1
2
C) g x 2 x 2
x
D) g x 1
2
y
2
g
1
2
-2
x
4. Si el dominio de la función f x 3 x 1 es , 3 entonces su ámbito es
A)
B)
,10
10,
5. Si el ámbito de f x 4 x 1
A)
B)
,3
3,
C)
D)
es
11,
C)
D)
6. Si el ámbito de la función f dada por
, 10
10,
entonces el dominio de f
,3
, 45
f x 1
1
x
es ,1 , entonces el dominio
2
2
de f es
A)
0,3
B)
0,3
es
1 5
2 , 4
1 5
D) ,
2 4
C)
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
7. Sean l1 y l2 rectas cuyos criterios forman un sistema de ecuaciones dependientes. Si
l1
está definida por
constante r es
A) 0
B) 1
3x y 6 y
l2 por 6 x 2 y 12r , entonces el valor de la
C) 2
D) 3
8. Si f x 3k 9 x 8 es una función decreciente entonces se cumple con certeza
que k pertenece al conjunto
A) ,3
C)
B)
D)
3,
3,
, 3
f es una función lineal dada por f x 5 p 4 x q. Si f es una función
creciente, entonces se cumple con certeza que p pertenece al conjunto
9. Si
4
,
5
4
B) ,
5
4
,
C)
5
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
A)
4
D) ,
5
10. Si f es una función lineal dada por f x mx 10. Si f 2 3 entonces f 2 es
A) 3
C) 23
B) 10
D) 25
11. Si 2, 1 y 4, 1 pertenecen al gráfico de una función lineal f , considere las
siguientes proposiciones.
I.
f es estrictamente creciente.
II.
El ámbito de f es 1, 1 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
12. El costo en dólares “ C ” por producir “ x ” de un producto está dado por
C 4 x 850 . Si se han producido 190 unidades de producto, entonces, ¿cuál es el
costo de tal producción?
A) 90
C) 660
B) 165
D) 850
13. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en colones) al producir
cintas está dado por la función C ( x ) 200 x 100 . Calcule la cantidad de cintas de
audio producidas si el costo en colones fue de 24 500 .
C)
4 900 000
A)
100
B)
122
D)
4 900100
GRUPO FÉNIX
99
100 RELACIONES Y ÁLGEBRA
RECTAS PARALELAS
Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si m1 m2 .
Ejemplo 1
Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto
1,4
y es paralela a la
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto
recta 2 : 12 x 4 y 32 0
2,5
y es paralela a la
recta 2 : 5 y 2 x 1 0
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 : y m2 x b
1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 : y m2 x b
2 : y 3x 8
2 x 1
5
2
m2
5
2 : y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
m2 3
2. Sabemos que 1 : y m1 x b entonces
determinamos los valores de m1 y b .
2. Sabemos que 1 : y m1 x b entonces
determinamos los valores de m1 y b .
3. Tenemos que
m1 3 , por ser rectas
paralelas, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con
3. Tenemos que
1,4
b y1 m1 x1
m1
2
, por ser rectas
5
paralelas, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con
b 4 3 1
b 1
2,5
b y1 m1 x1
b 5
5. Entonces la ecuación de la recta es
b
1 : y 3 x 1
2
2
5
21
5
5. Entonces la ecuación de la recta es
1 : y
GRUPO FÉNIX
2
21
x
5
5
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano #17
1. Determine la ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el punto
indicado.
5, 3
a) 2 x 3 y 0 ; pasa por
b) 3 x 10 y 0 ; pasa por
g) 2 y
4, 2
c) y 3 x 1 0 ; pasa por
1, 1
d) 2 y x 1 0 ; pasa por
5,0
h) y
3 4
,
2
5
e) 2 x 3 y 6 0 ; pasa por
3
x 1 ; pasa por 1,2
4
2x 3
; pasa por 1,0
4
6 x 2
; pasa por 1,5
3
i)
y
j)
8 y 4 x 2 ; pasa por 2,3
k) y 5 x 3 ; pasa por
y 2x
f)
3 0 ; pasa por 3, 6
2
3
y x 0 ; pasa por 0,2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
l)
2,1
Ejercicios de profundización
2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea paralela a una
recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.
3. Determine la ecuación de la recta que sea paralela a una recta que contiene los puntos
4,1
y
2,5 y que contenga el punto 4,2 .
4. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea paralela a una
recta que pasa por los puntos 2, 1 y
5, 3 .
5. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto
2, 5
y que es paralela a la
recta y 1 .
14. Determine el valor de k para que la recta k x 3 y 10 sea paralela a la recta
2 x 3 y 6.
15. Si las rectas definidas por 5 x 3 y 4 y 7 x ky 1 son paralelas entonces,
determine el valor de k .
16. ¿Cuál es el valor de k para que la recta cuya ecuación es y 2k 1 x 6 sea
paralela a la recta determinada por 2 y 4 x 5 ?
17. Si las rectas definidas por y
5 x
7
4
y 5 x 2ky y 1 son paralelas entonces,
determine el valor de k .
18. Si la recta definida por 5 a x 3 2 a y 2 a 1 es paralela a la recta definida por
y x 12 entonces, determine el valor de “ a ”.
GRUPO FÉNIX
101
102 RELACIONES Y ÁLGEBRA
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si m1 m2 1.
Ejemplo 1
Determine la ecuación de la recta 1 que
pasa por el punto
1,4
Ejemplo 2
Determine la ecuación de la recta 1 que
y es perpendicular
a la recta 2 : 12 x 4 y 32 0
pasa por el punto
2,5
y es
perpendicular a la recta 2 : 5 y 2 x 1 0
1. Expresamos la ecuación de la recta dada 1. Expresamos la ecuación de la recta dada
de la forma 2 : y m2 x b
de la forma 2 : y m2 x b
2 : y 3x 8
2 x 1
5
2
m2
5
2 : y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
m2 3
2. Sabemos que 1 : y m1 x b entonces
determinamos los valores de m1 y b .
2. Sabemos que 1 : y m1 x b entonces
determinamos los valores de m1 y b .
3. Tenemos que
m1
1
, por ser rectas
3
3. Tenemos que
perpendiculares, es decir 1 2 .
5
m1 , por ser rectas
2
perpendiculares, es decir 1 2 .
4. Calculamos el valor de b con
1,4
b y1 m1 x1
b4
b
4. Calculamos el valor de b con
b y1 m1 x1
1
1
3
5
b 5 2
2
b 10
13
3
5. Entonces la ecuación de la recta es
1 : y
2,5
5. Entonces la ecuación de la recta es
1
13
x
3
3
1 : y
GRUPO FÉNIX
5
x 10
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano #18
1. Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto
indicado.
5, 3
a) 2 x 3 y 0 ; pasa por
b) 3 x 10 y 0 ; pasa por
g) 2 y
4, 2
c) y 3 x 1 0 ; pasa por
1, 1
d) 2 y x 1 0 ; pasa por
5,0
h) y
3 4
,
2
5
e) 2 x 3 y 6 0 ; pasa por
3
x 1 ; pasa por 1,2
4
2x 3
; pasa por 1,0
4
6 x 2
; pasa por 1,5
3
i)
y
j)
8 y 4 x 2 ; pasa por 2,3
k) y 5 x 3 ; pasa por
y 2x
f)
3 0 ; pasa por 3, 6
2
3
y x 0 ; pasa por 0,2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
l)
2,1
Ejercicios de profundización
2. Determine la ecuación de la recta que contenga el punto 7,6 y que sea perpendicular a
una recta que interseca el eje “y” en 4 e interseca el eje “x” en -3.
3. Determine la ecuación de la recta que interseca el eje “y” en 3 y que sea perpendicular a
una recta que pasa por los puntos 2, 1 y
5, 3 .
4. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto
a la recta y 1 .
2, 5
y que es perpendicular
5. Determine el valor de k para que la recta k x 3 y 10 sea perpendicular a la recta
2 x 3 y 6.
6. Si las rectas definidas por 5 x 3 y 4
y
7 x ky 1 son perpendicular entonces,
determine el valor de k .
7. ¿Cuál es el valor de
k
para que la recta cuya ecuación es
y 2k 1 x 6 sea
perpendicular a la recta determinada por 2 y 4 x 5 ?
8. Si las rectas definidas por
y
5 x
7
4
y 5 x 2ky y 1
son perpendicular
entonces, determine el valor de k .
9. Si la recta definida por
5 a x 3 2 a y 2 a 1
es perpendicular a la recta
definida por y x 12 entonces, determine el valor de “ a ”.
10. Si 5 x 2ky 3 0
y 4k 2 x 3 y 1 0 son las ecuaciones que definen dos rectas
perpendiculares entonces, determine el valor de k .
GRUPO FÉNIX
103
104 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 3
1. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, la ecuación a una recta paralela a 1
y
es
1
x
2
C) y
2
D) y 2 x 2
x
A) y 2
2
B) y 2 x 2
3
3
2
2. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 4 x 5 y 6 0 es
A) y
4x
2
5
C) y
B) y
5x
2
4
D) y
3. Si los puntos
3 , 2
y
4,0
5 x
1
4
4 x
7
5
pertenecen a la recta l entonces la pendiente
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
de una recta perpendicular a l es
1
2
1
D)
2
C)
A) 2
B) 1
1 y 2 dos rectas perpendiculares entre sí. Si la recta 1 está dada por
y 3x 2 , entonces, el valor de la pendiente de 2 es
4. Sean
C) 3
A) 3
1
3
5. La ecuación de la recta que contiene el punto 3 , 0
B)
1
3
D)
y es perpendicular a la recta
x 2 y 6 está definida por
A) y 2 x 6
C) y x 3
B) y 2 x 3
D) y
x
3
2
6. El valor de k para que la recta kx 3 y 10 sea paralela a la recta 2 x 3 y 6 es
A) 2
C) 2
B)
2
3
7. ¿Cuál es el valor de k
D)
3
2
para que la recta cuya ecuación es
paralela a la recta determinada por 2 y 4 x 5
A)
B)
1
4
5
2
1
2
3
D)
2
C)
GRUPO FÉNIX
y 2 k 1 x 6 sea
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es
donde a, b, c, d , e, f
un par ordenado
son constantes; x, y
x, y
ax by c
dx ey f
son incógnitas. Una solución del sistema es
que es solución simultáneamente de ambas ecuaciones. Si un
sistema no tiene soluciones se dice que es inconsistente.
Ejemplo 2
x 2 y 3
4 x 5 y 6
2 x 3 y 4
3x 5 y 6
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Ejemplo 1
Sistemas de ecuaciones incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
x 2 y 4
2 x 4 y 7
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente.
Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga
a la vez ambas ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones indeterminados
De un sistema se dice que es indeterminado cuando presenta infinitas soluciones.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
x 2 y 1
2 x 4 y 2
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente
5 y que pasan por el punto
1 , 1 , por lo que ambas se intersecan en todos los puntos
de dicha recta.
GRUPO FÉNIX
105
106 RELACIONES Y ÁLGEBRA
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POR
EL MÉTODO DE SUMA Y RESTA
Consiste en multiplicar cada ecuación por un número adecuado de modo que, al sumar
ambas ecuaciones, una de las incógnitas desaparezca obteniéndose así una ecuación con
una incógnita cuyo valor se determina y se usa para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
Determine la intersección de las rectas
10 x 7 y 24 0
2x 4
y
3
1. Se ordena el sistema de la forma general
1. Se ordena el sistema de la forma general
10 x 2 y 2
4 x y 5
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
10 x 2 y 2 0
y 5 4 x
10 x 7 y 24
2 x 3 y 4
2. Se multiplica la segunda ecuación por 2 y 2. Se multiplica la segunda ecuación por 5
se suma con la primera para obtener el
y se suma con la primera para obtener el
valor de x
valor de y
10 x 2 y 2
8 x 2 y 10
2 x 0 y 12
10 x 7 y 24
10 x 15 y 20
0 x 22 y 44
2 x 12
x
3. Se sustituye en la
ecuación
22 y 44
12
6
2
“x”
10 x 2 y 2
y
de la primera 3. Se sustituye en la
ecuación
“y”
44
2
22
de la primera
10 x 7 y 24
10 6 2 y 2
10 x 72 24
60 2 y 2
10 x 14 24
2 y 2 60
10 x 24 14
2 y 58
10 x 10
y
58
29
2
4. El punto de intersección es
6,
x
29
10
1
10
4. El punto de intersección es
GRUPO FÉNIX
1, 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POR
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir en la otra ecuación.
De esta forma se obtiene una ecuación en una sola incógnita; se determina el valor de ésta y
se utiliza para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
Determine la intersección de las rectas
10 x 7 y 24 0
2x 4
y 3
10 x 2 y 2 0
y 5 4x
10 x 2 y 2
4 x y 5
1.
Se ordena el sistema de la forma general
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
1. Se ordena el sistema de la forma general
10 x 7 y 24
2 x 3 y 4
2. Se despeja una de las incógnitas en la 2. Se despeja una de las incógnitas en la
primera ecuación
primera ecuación
10 x 2 y 2
10 x 2 2 y
2 2y
x
10
2 x 3 y 4
2 x 4 3 y
4 3 y
x
2
3. Se sustituye el valor “x” en la segunda 3. Se sustituye el valor “x” en la segunda
ecuación
ecuación
4x y 5
2 2y
4
y 5
10
8 8 y
y5
10
8 8 y 10 y
5
10
8 2 y 50
50 8
y
29
2
10 x 7 y 24
4 3 y
10
7 y 24
2
40 30 y
7 y 24
2
40 30 y 14 y
24
2
40 44 y 242
48 40
y
2
44
4. Se sustituye el valor “y” en la primera 4. Se sustituye el valor “y” en la primera
ecuación y se obtiene x 6 .
ecuación y se obtiene x 1 .
5. El punto de intersección es 6 , 29
5. El punto de intersección es 1 , 2
GRUPO FÉNIX
107
108 RELACIONES Y ÁLGEBRA
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE POR
EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar los resultados
para obtener el valor de una de las incógnitas. Dicho valor se utiliza para encontrar el valor
de la otra incógnita.
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
Determine la intersección de las rectas
10 x 7 y 24 0
2x 4
y
3
1. Se ordena el sistema de la forma general
1. Se ordena el sistema de la forma general
10 x 2 y 2
4 x y 5
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
10 x 2 y 2 0
y 5 4x
10 x 2 y 2
4 x y 5
2. Se despeja la misma incógnita en las dos 2. Se despeja la misma incógnita en las dos
ecuaciones
ecuaciones
Primera ecuación
Segunda ecuación
Primera ecuación
10 x 2 y 2
10 x 2 2 y
2 2y
x
10
4 x y 5
4x 5 y
5 y
x
4
y 5
x
4
10 x 7 y 24
7 y 24 10 x
24 10 x
y
7
Segunda ecuación
2 x 3 y 4
3 y 4 2 x
4 2 x
3
2x 4
y
3
y
3. Se iguala el resultado de x y calculamos 3. Se iguala el resultado de y y calculamos
el valor de y
el valor de x
2 2y y 5
10
4
4 2 2 y 10 y 5
24 10 x 2 x 4
7
3
3 24 10 x 7 2 x 4
8 8 y 10 y 50
8 50 10 y 8 y
58 2 y
29 y
72 30 x 14 x 28
72 28 14 x 30 x
44 44 x
1 x
4. Se sustituye el valor “y” en cualquiera 4. Se sustituye el valor “x” en cualquiera
de las ecuaciones y se obtiene x 6 .
de las ecuaciones y se obtiene y 2 .
5. El punto de intersección es 6 , 29
5. El punto de intersección es 1 , 2
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 19
1. Determine la intersección de cada par de rectas que se presentan a continuación.
(Sugerencia: utilizar los tres métodos estudiados anteriormente para cada ejercicio)
x y 5 0
y 3 3 x
a)
k)
6 x y 3 0
3 y 13 4 x
b)
2 x 15 y
x 11 y
d)
x 3 2 y 3
y 4 x 2 41
e)
x 2 y 0
f)
5
3
y
4
x
4
17
5
x
y
6
g)
2 x 2 y 7
3
22
10 x 2 y 5
h)
3
3x 2 y 6 11
7
2 x 3 y 2
i)
6 x 1 y 9
2
1
3
x
4
y
3
j)
6 x 8 2 y 50
3
l)
m)
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
4 x 5 y 11 0
c)
3 y 11 2 x
3 x 2 y 8
4 x 6 y 14
3 3
3x 2 y 5
3 3
2 x y 2
4
4 x 8 y 44
3 3
3y 2x 3
6
4x 2 y 2 4
3
3
6 x 3 y 5 10
2
2 x 3 y 23
2 2
x 2 y 2
3 5
3
4 x 3 y 73
3 2 3
2 x y 4
3
3
2 x 6 y 18
5
5
4 x y 29
3 6
x 2 29
3
y
3
3
2 x 1 y 9
2
3 2
n)
o)
p)
q)
r)
GRUPO FÉNIX
109
110 RELACIONES Y ÁLGEBRA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
DOS VARIABLES
En la solución de problemas es importante considerar el método que planteó George Polya
(Matemático Húngaro), sugiriendo cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan de solución.
3. Ejecutar el plan de solución.
4. Mirar hacia atrás (¿la respuesta satisface lo establecido en el problema?)
Ejemplo 1
Celeste y Gustavo Adolfo tienen juntos 89 millones de colones. Si Gustavo Adolfo tiene 4
millones de colones más que el doble de los que tiene Celeste. ¿Cuántos millones de
Plan de solución:
Paso #1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
colones tiene cada uno?
Paso #2
Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
Se definen las variables
x : dinero que tiene Celeste
x y 89
y : dinero que tiene Gustavo Adolfo
x 4 2y
Ejecución del plan de solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados
x y 89
x 2 y 4
Respuesta: Celeste tiene
Adolfo tiene
182
millones de colones (un poco más de 60 millones) y Gustavo
3
85
millones de colones (un poco más de 28 millones).
3
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
DOS VARIABLES
Ejemplo 2
Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 4 , y el
doble del mayor menos el triple del menor es igual a
2
, entonces ¿cuál es el número
15
menor?
Plan de solución:
Paso #2
Se definen las variables
Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Paso #1
x : el número menor
y : el número mayor
3x 5 y 4
2 y 3x
2
15
Ejecución del plan de solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos estudiados
5x 3 y 4
2
3x 2 y
15
Respuesta: El número menor es
2
.
5
GRUPO FÉNIX
111
112 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 20
Resuelva los siguientes problemas utilizando cualesquiera de los tres métodos estudiados
anteriormente para sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
1. Dos personas A y B tienen juntas ochenta y nueve colones. Si B tiene cuatro colones
menos que el doble de lo que tiene A, entonces ¿cuántos colones tiene B?
2. Manuel y José tienen entre los dos ¢1.200. Manuel tiene ¢400 menos que José. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno de ellos?
3. La edad de Daniel excede en 4 años a la edad de Paulo y ambas suman 32 años. ¿Cuál
es la edad de cada uno de ellos?
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
4. La edad de María excede en 5 años a la edad de Carlos y la suma de sus edades es 40
años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
5. María compra 5 cuadernos y 3 lapiceros en ¢3400. Noelia compra, a los mismos precios,
8 cuadernos y 9 lapiceros en ¢6700. ¿Cuál es el precio en colones de un cuaderno?
¿Cuál es el precio en colones de un lapicero?
6. La suma de dos números es 30 y la quinta parte de la diferencia de esos números es 4.
¿Cuáles son los números?
7. Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 5 , y el
doble del mayor menos el triple del menor es igual a
3
, entonces ¿cuál es el número
7
mayor?
8. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si el triple del primero se le
resta al duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?
9. La suma de un número más el triple de otro es igual a 14. Si al triple del primero se le
resta el duplo del segundo, se obtiene 9. ¿Cuáles son los números?
10. La suma de un número más el cuádruplo de otro es igual a 21. Si el quíntuplo del primero
se le resta al triple del segundo, se obtiene 12. ¿Cuáles son los números?
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función polinómica real de variable real que tiene grado dos recibe el nombre de
función cuadrática. Se representa por f ( x) ax bx c con a, b, c, ; a 0 .
2
Su
gráfica es una parábola cuyo eje es paralelo al eje “ y ”.
Análisis de una función cuadrática
Discriminante
b 2 4ac
Si 0 interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
Si 0 no interseca al eje “x”.
Si 0 interseca al eje “x” en un solo punto.
Si a 0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba
y el vértice se llama punto mínimo.
Concavidad
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Punto mínimo o vértice =
b
,
2a 4a
Si a 0 entonces la parábola es cóncava hacia abajo
y el vértice se llama punto máximo.
Punto máximo o vértice =
b
,
2a 4a
Se resuelve la ecuación cuadrática 0 ax bx c .
Los pares ordenados serían:
Intersección con el eje “ y ”
En el punto
Eje de simetría
Es la recta x
Intersección con el eje “ x ”
2
x
1
, 0
y
x
2
0, c
b
2a
a0
a0
Ámbito
4a ,
a0
, 4a
a0
Creciente
b
2a ,
a0
b
,
2a
a0
Decreciente
b
,
2a
b
2a ,
GRUPO FÉNIX
, 0 .
113
114 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 1
Realice el estudio completo de la función f : , tal que f ( x) x 6 x 5 .
2
Análisis de una función cuadrática
b 2 4ac
Discriminante
b 4ac
2
(6) 2 4(1)(5) 16
Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
a 1 , es decir, a 0
entonces la parábola es cóncava hacia arriba
b (6) (16) 6 16
V
,
,
3 , 4
,
2a 4a 2(1) 4(1) 2 4
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Concavidad
Se resuelve la ecuación cuadrática x 6 x 5 0
Intersección con el eje
“x”
x1 5
,
2
x2 1
Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:
( 5 , 0 ) y (1, 0 )
Intersección con el eje
“y”
Eje de simetría
En el punto
Es la recta x
a 1 , es decir, a 0
Ámbito
Creciente
Decreciente
0 , c 0 , 5
4a , 4,
a 1 , es decir, a 0
b
2a , 3,
a 1 , es decir, a 0
b
,
, 3
2a
Dominio:
b (6)
3
2a
2(1)
a0
No aplica
a0
No aplica
a0
No aplica
Codominio:
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 1
Realice el estudio completo de la función f : , tal que f ( x) x 6 x 5 .
2
y
intersección eje x 1,0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
intersección eje y 0,5
intersección eje x 5,0
x
eje de simetría x 3
vértice 3, 4
GRUPO FÉNIX
115
116 RELACIONES Y ÁLGEBRA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 2
Realice el estudio completo de la función f : , tal que f ( x) x 6 x 5 .
2
Análisis de una función cuadrática
b 2 4ac
Discriminante
(6) 2 4(1)(5) 16
b 4ac
2
Interseca al eje “x” en dos puntos diferentes.
a 1 , es decir, a 0
entonces la parábola es cóncava hacia abajo
b (6) (16) 6 16
V
,
,
3 , 4
,
2a 4a 2(1) 4(1) 2 4
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Concavidad
Se resuelve la ecuación cuadrática x 6 x 5 0
Intersección con el eje
“x”
x1 5
2
,
x2 1
Los pares ordenados donde se interseca al eje x son:
( 5 , 0 ) y (1, 0 )
Intersección con el eje
“y”
Eje de simetría
En el punto
Es la recta x
a0
Ámbito
No aplica
a0
Creciente
No aplica
a0
Decreciente
0 , c 0 ,
No aplica
Dominio:
5
b (6)
3
2a 2(1)
a 1 , es decir, a 0
,
, 4
4a
a 1 , es decir, a 0
b
,
, 3
2a
a 1 , es decir, a 0
b
,
2a
3,
Codominio:
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Ejemplo 2
Realice el estudio completo de la función f : , tal que f ( x) x 6 x 5 .
2
y
vértice 3,4
intersección eje x 1,0
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
eje de simetría x 3
intersección eje y 0,5
GRUPO FÉNIX
intersección eje x 5,0
x
117
118 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 21
1. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.
a) f x x 5 x 6 , f :
f)
b) f x x 5 x 6 , f :
g) f x 3 x 6 x , f :
2
2
c)
f x 2 x 2 2 , f :
2
f x 4 x2 8x 4 , f :
h) f x 3 x 6 x , f :
2
d) f x 4 x 8 x 4 , f :
i)
e) f x 2 x 2 , f :
f x x 1 , f :
j)
f x x 1 x 1 , f :
2
2
2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas realice el estudio completo.
Puede utilizar valores aproximados según la gráfica.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Ejercicios de profundización
3. Realice el estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas incluyendo su gráfica.
a) f x x 5 x 6 , f : ,4
g) f x 4 x 8 x 4 , f : ,3
b) f x x 5 x 6 , f : 4,
h) f x 4 x 8 x 4 , f : 3,
2
2
2
i)
f x 4 x 2 8 x 4 , f : 4,4
d) f x x 5 x 6 , f : ,4
j)
f x 4 x 2 8 x 4 , f : ,3
e) f x x 5 x 6 , f : 4,
k)
f x 4 x 2 8 x 4 , f : 2,
l)
f x 4 x 2 8 x 4 , f : 4,0
c)
f x x 2 5 x 6 , f : 5,5
2
2
2
f)
f x x 2 5 x 6 , f : 5,5
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
4. De acuerdo a las siguientes gráficas de funciones cuadráticas determine su criterio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
GRUPO FÉNIX
119
120 RELACIONES Y ÁLGEBRA
5. Si la gráfica de la función dada por f ( x ) 2 m x 3 x 3 es una parábola cóncava
2
hacia arriba, entonces determine el valor de
m.
f x a 2 x 2 3 x 6 es una parábola cóncava hacia abajo,
6. Si la gráfica de
entonces determine el valor de “ a ”.
f x 2 x 2 4mx m 1 pasa por el punto
7. Si la gráfica de
2,18
entonces
determine la intersección con el eje de las ordenadas.
8. Si
f x 2 x 2 4mx 2 y la coordenada en x del vértice es 16 entonces determine
el valor de
m.
9. Si h x 2 x bx c y la gráfica de
determine el criterio de
h.
h
10. Si el punto mínimo de f x ax 2 bx 6
“ a ”.
11. Determine el valor de
n
interseca al eje x en
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
es
1, 4
3
2
2 entonces
y
entonces determine el valor de
para que la función cuyo criterio es f x 4 nx 2 sea
estrictamente creciente en 6,0 .
f
12. Para la función
con f x x x 2 , determine el valor de
x
de modo que
f x 0 .
13. Para la función
f
con
f x x 2 4 x 3 , determine el valor de x de modo que
f x 0 .
14. Para la función
f
con
f x 4 x 2 4 x 3 , determine el valor de
x
de modo
que f x 0 .
15. Sea
f :
tal que f x 3 x 2 11x 4 entonces determine el valor de
x
de
modo que f x 0 .
16. Sea
f
una función cuadrática dada por
entonces determine el valor de
f x x 2 c con c 0 . Si
x.
GRUPO FÉNIX
f x 0 ,
RELACIONES Y ÁLGEBRA
17. Sea
f
la función dada por
f t 20t 4,9t 2 50 que describe la trayectoria a los
"t " segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.
i ¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundos necesario para que la piedra
alcance su máxima altura con respecto al suelo?
ii ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede alcanzar dicha piedra
respecto al suelo?
18. En una fábrica se determinó que el costo " C " al producir una cantidad " x " de
artículos está dado por C x 60 x x 800 .
2
i ¿Cuál es el costo máximo que se puede obtener al producir estos artículos?
ii ¿Cuál es la producción necesaria para que la fábrica alcance el costo máximo?
19. El ingreso en dólares " I " obtenido al vender " x " de cierto producto está dado por
I x x 2 60 x .
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
i ¿Cuántas unidades de ese producto deben venderse para obtener el ingreso máximo?
ii ¿Cuál es el ingreso máximo que se puede obtener al vender dicho producto?
20. La producción " P " en kilogramos de manzanas de una finca está dada por
P x 500 x 5x 2 , donde " x " es el número de árboles por hectárea.
i ¿Cuál es la producción máxima en kilogramos de manzanas que se puede obtener?
ii ¿Cuál es el número de árboles por hectárea que hace que la producción total sea
máxima?
21. Al lanzar un objeto con velocidad inicial v0 (en m/seg), su altura s sobre el suelo
después de t segundos está dada por la función s t v0 t 4,9 t 2 . Si la velocidad inicial
es 120m/seg,
i entonces la altura máxima que puede alcanzar dicho objeto es aproximadamente?
ii entonces el tiempo en segundos en el cual el objeto alcanza la altura máxima es
aproximadamente?
22. El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su densidad varía
según la estación del año y la latitud. En Edmonton, Canadá, la densidad D(h) del ozono
(en 10-3 cm/km) para altitudes h entre 20km y 35km se determinó a nivel experimental.
Para D ( h) 0,058h 2,867 h 24,239
2
(otoño) ,
i calcule la altitud a la que la densidad del ozono es máxima.
ii calcule la máxima densidad que puede alcanzar el ozono en otoño en Edmonton,
Canadá.
23. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a
una velocidad v en mph, está dado por M
1 2 5
v v
30
2
para 0 < v < 70. .
i Indique la velocidad más económica para un viaje.
ii Indique el máximo de millas que puede alcanzar un automóvil con un galón de
gasolina para un viaje.
GRUPO FÉNIX
121
122 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 4
1. Considere las siguientes proporsiones para la función f dada por f x x 9
2
f es creciente en el intervalo , 0
II. La gráfica de f interseca el eje y en 9
I.
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) ninguna
C) solo la I
D) solo la II
2. Las siguientes proposiciones se refieren a la función f dada por f x x 1
2
I. El ámbito de f es
II. El eje de simetría de la gráfica de f está dado por x 1
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
A) Ambas
C) solo la I
B) ninguna
D) solo la II
3. sea f
ámbito de f ?
A)
B)
0,4
2, 4
f : 4 , 0 , con f x x 2 4 x . ¿cuál es el
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
una función dada por
C)
D)
f una funcion dada por f x 2 x 2 4 x 5 . ¿cuál es la imagen de 3 en
4. Sea
f?
A) 1
C) 11
D) 11
B) 6
5. Sea f una función dada por f x
A)
B)
4, 0
, 4
, 0
, 2
4 x2
, un intervalo donde f es creciente es
4
C) 1 ,
D)
4,
6. Si la gráfica de la función dada por f ( x ) 2 m x 2 3 x 3 es una parábola cóncava
hacia arriba, entonces el valor de m puede ser cualquier número que pertenece al
A) 0,
C) , 2
B)
,3
D)
2,
7. El eje de simetría de la función f x 3 x 2 2 x 1 corresponde a
3
4
1
B) x
3
A)
x
C)
D)
4
3
1
x
3
x
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
x2 2 x
8. El vértice de la parábola dada por f x
es
2
1 1
,
2 2
1 1
B) ,
2 4
1
2
1
D)
, 1
2
A)
C) 1 ,
x2
9. Si f es la función dada por f x
,entonces f es estrictamente decreciente en
3
A) , 0
1
C) ,
3
B) 0 ,
1
D) ,
3
B)
f x 3 x x 2 10 , entonces para todo x IR se
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
10. Si “ f ” es una función dada por
cumple que
A) f x 5
f x 10
3
2
49
D) f x
4
C)
f x
11. Sea f : tal que f x 3 x 2 11 x 4 entonces
conjunto
1
, 3 4,
1
B)
,4
3
f x 0 si x pertenece al
1
C) 4,
3
A)
D)
, 4
1
,
3
12. En una fábrica se determinó que el costo " C " al producir una cantidad " x " de artículos
está dado por C x 60 x x
al producir estos artículos?
A) 30
B) 40
2
800 .
¿Cuál es el costo máximo que se puede obtener
C) 1700
D) 6800
" P " en kilogramos de manzanas de una finca está dada por
P x 500x 5x , donde " x " es el número de árboles por hectárea. ¿Cuál es el
13. La producción
2
número de árboles por hectárea que hace que la producción total sea máxima?
A) 50
C) 9375
B) 100
D) 12500
GRUPO FÉNIX
123
124 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CONCEPTO DE FUNCIÓN INVERSA NOCIÓN DE BIYECTIVIDAD
Clasificación de funciones de acuerdo a su codominio
Inyectiva
Se dice que una función es inyectiva si cada
elemento del ámbito es imagen de un y sólo
SOBREYECTIVA
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
un elemento del dominio.
Se dice que una función es sobreyectiva si
todo elemento del codominio es imagen de al
menos un elemento del dominio. Es decir si
todos
los
elementos
del
pertenecen al ámbito.
codominio
BIYECTIVA
Una función es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva.
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DE ACUERDO A SU CODOMINIO
Ejemplo 1
Ejemplo 2
y
y
3
4
2
∙
2
-4
6∙
4
x
x
2
-4
-3
f : 4 , 2 3 , 3
f : 4 ,
Codominio
Codominio
Ámbito
, 4
Ámbito
3, 3
3, 3
Conclusiones:
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Conclusiones:
1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
1. La relación no es uno a uno, por tanto la
función no es inyectiva.
función es inyectiva.
2. Codominio es igual que el ámbito, por
2. Codominio distinto que el ámbito, por
tanto la función no es sobreyectiva.
tanto la función es sobreyectiva.
3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por
tanto la función es biyectiva.
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Si f : 2 , 3 5 , 11 , con
La función f : , 0 4 ,
f x 3 x 1, se cumple que f es…
Codominio
Ámbito
5 , 11
5 , 10
con f x x 2 4 es…
Codominio
Ámbito
4,
4,
Conclusiones:
Conclusiones:
1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
1. La relación sí es uno a uno, por tanto la
función es inyectiva.
2. Codominio es igual que el ámbito, por
2. Codominio distinto que el ámbito, por
tanto la función no es sobreyectiva.
función es inyectiva.
tanto la función es sobreyectiva.
3. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por
tanto la función es biyectiva.
GRUPO FÉNIX
125
126 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 22
Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas, sobreyectivas,
biyectivas u otras.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
y
y
3
3
1
-1
-2
x
2
1
0
x
4
3
1
-2
f : 2 , 3
f :
Ejercicio 3
Ejercicio 4
3
f
1
-2
2
-1 -1
y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
y
f
1
x
3
-3
-4
x
f : 1 , 1 1 , 1
f : 3 , 4 ,
Ejercicio 5
Ejercicio 6
y
4
2
2
1
-1
2
x
1
f : , 2
f :
Ejercicio 7
Ejercicio 8
y
y
3
-4
3
4
1
-3 -2 -1
f : 2 , 3 ,
-3
x
-1 2
∙
f :
GRUPO FÉNIX
∙
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
14. Para que la función dada por f x x 2 x 2 sea sobreyectiva con dominio
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
15. Para que la función dada por f x x 2 x 2 sea sobreyectiva con dominio
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
16. Para que la función dada por f x x 2 2 sea sobreyectiva con dominio
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
17. Para que la función dada por f x x 2 3 x sea sobreyectiva con dominio
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
18. Para que la función dada por f x
IR,
IR,
IR,
IR,
2 2 x
x 1 sea sobreyectiva con dominio IR,
3
4
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
f x 2 x 2 sea sobreyectiva con dominio IR,
19. Para que la función dada por
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
¿Cuál debe ser su codominio? ¿Cuál puede ser su dominio para que sea inyectiva?
20. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
x
2 y g x x 2 2 . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
3
21. Sean f y g funciones, definidas de en y dadas respectivamente por
f x 5 x 12 y g x 3 x 2 7 x 2 . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
f x
22. Sean
f x
f
y
g
funciones, definidas de
en y dadas respectivamente por
2
1 x
y g x 1 x . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
2
23. Clasifique las siguientes funciones de acuerdo a su codominio en inyectivas,
sobreyectivas, biyectivas u otras.
a)
f :
con f x x 2 4
b) f : 4 ,
con f x x 2 4
c) f : 0 , con f x x 2 4
d) f : , 0 con f x x 2 4
e) f : 0 , 4 ,
f)
f :
g) f : 1 ,
h)
con f x x 4
con f x x 2 4
con f x 2 x 4
x
f : 15 , 2 con f x 7
3
23
x
f : 15 , 2 2 ,
con
f
x
7
3
3
j) f : 0 , , con f x x,
k) f : 0 , 0 , , con f x x,
i)
GRUPO FÉNIX
127
128 RELACIONES Y ÁLGEBRA
CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONES
CUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: f x mx b , h x ax c , g x
2
m , b , a , c m 0 , a 0
CON
Si una función es biyectiva entonces tiene una función inversa.
f,
determinar la inversa de una función dada
xc
El procedimiento para
es plantear la ecuación
f x y
y despejar en ella a " x " en términos de " y " .
f tal que f : IR IR , entonces
1
tal que f : IR IR
Dicho de otro modo, si tenemos una función biyectiva
1
la función inversa de f es f
Ejemplo 1
Determinar la función inversa de
a) Debemos recordar siempre que
y f x
y 4 x 3
f : 0, 5, , tal que
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
f : IR 3 , , tal que
f ( x) 4 x 3
Ejemplo 2
Determinar la función inversa de
a) Debemos recordar siempre que
b) Despejar “x” de la ecuación original
y 4 x 3
y 3
x
4
y 3
x
4
3x 2
y 5
2
y 5
3x 2
2
3x 2
y5
2
2 y 5
x2
3
x 3
y
4
2 y 10
x
3
d) Escribir la función inversa como
x 3
tal que
4
f 1 : 3 , IR
y f x
b) Despejar “x” de la ecuación original
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
y f 1 x
3 x2
f x 5
2
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
f 1 x
2 x 10
y
3
d) Escribir la función inversa como
y f 1 x
2 x 10
tal que
3
f 1 : 5, 0,
f 1 x
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
CRITERIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS CORRESPONDIENTES A FUNCIONES
CUYO CRITERIO ES DE LA FORMA: f x mx b , h x ax c , g x
2
CON
m , b , a , c
xc
m0,a0
Ejemplo 3
7
, ,0 , tal que f x 3x 7
Determinar la función inversa de f :
3
a) Debemos recordar siempre que
y f x
y 3x 7
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
b) Despejar “x” de la ecuación original
y 3x 7
y 2 3x 7
y2 7
x
3
c) Intercambiar los valores de “ x ” y de “ y ”
x2 7
y
3
d) Escribir la función inversa como
y f 1 x
x2 7
7
f x
tal que f 1 : ,0 ,
3
3
1
GRUPO FÉNIX
129
130 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 23
1. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas
están bien definidas y son biyectivas.
a) f ( x) 3 x 4
x
49
j) f x 5 6 x
6
v) f x
7x
q) f x
b) f ( x) 5 x 6
5
3
k) f x 7 8 x
2x
18
c) f ( x) 2 x 3
4
w) f x
10 x
r) f x
l) f x 9 36 x
3
7
d) f ( x) 5 x 6
m) f x 10 12 x
3x
x
e) f ( x) 2 x 3
6
x) f x
s) f x 2
4
3
n) f x 15 3x
f) f ( x) 3 x 4
3
o) f ( x) 2 x
4
6
p) f ( x) 5 x
7
g) f ( x) 3 x 4
h) f ( x) 5 x 6
i)
f x 3 4x
x
5
4
x
7
u) f x
4
t)
f x
4 x
6
5
5 x
7
z) f x
6
y)
f x
5x 6
7
8 x 9
b) f ( x)
10
2
c) f ( x) 3 x 4
6
7
12
2
h) f ( x) 8 x
5
a) f ( x)
g) f ( x) 5 x
2
d) f ( x) 5 x 6
2
e) f x 9 36 x
f)
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas
están bien definidas y son biyectivas.
i)
f x
49
7 x2
3
j)
f x
18
10 x 2
7
2
f x 10 12 x 2
x2
7
4
2 x2
4
l) f x
3
5 x 2
7
m) f x
6
5x2 6
n) f ( x)
7
k)
f x
8 x 2 9
10
p) f ( x) x 2
o) f ( x)
q) f ( x)
x4
1
2
3
s) f ( x) x
4
r)
f ( x) x
Ejercicios de profundización
3. Determine el criterio de la función inversa de las siguientes funciones, suponga que todas
están bien definidas y son biyectivas.
a) f x 2 x 5
e) f ( x )
x
1
2
x 2
c) f x 4
5 3
1
d) f x 2 x 1
3
f)
b) f x 3
f ( x) x 1
g) f x
4x 9
x
8
2
3x
f x
5
2
h) f x
i)
x 1
1 6x
2
x 5
k) f x
3 2
x
l) f x
1
2
m) f x 7 x 5
j)
f x
GRUPO FÉNIX
2x 1
x
1 x
o) f x
3x
3x 2
p) f x
6 4x
x
q) f x
2 5x
n) f x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
4. Si los puntos
4 , 2
y
3 , 5
pertenecen a la gráfica de la función lineal
entonces, determine el criterio de la función inversa de
f
5. Si
1
.
.
5
2
6. Si f : 0 y f x
entonces, determine f
3x 2
3
7. Si f : 1, 0, y f x
8. Considere h : , 0 , 2
1
1
entonces, determine f
x 1
con
h x x2 2
9. Considere h : ,0 ,1 con h x x 2 1
10. Si f : 0, 1, dada por f x
x.
1
x.
y determine h 1 x .
y determine h 1 x .
x2
1 , entonces, determine f
2
1
x.
11. Si f x 3x 1 , entonces determine la preimagen de 2 en f .
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
-1
2 x
y h-1 es la inversa de “ h ” entonces, determine h -1 2 .
5
x
1, f -1 es la inversa de “ f ” entonces, determine f -1 3 .
13. Si f x
5
14. Si “ f ” es una función dada por f x 4 x 3 entonces, determine f 1 6 .
12. Si h x
x
entonces, determine f -1 3 .
3
1
16. Si f es una función biyectiva y f x 6 4 x , entonces, determine f 2 .
15. Si
f
es una función cuyo criterio es f x 2
17. Sea f : 0, 2,
2
con f x x 2 , entonces, determine f -1 4 .
1
18. Determine f 2 para la función dada por f x 4 x 3 .
19. Si f x
2
3x 1
, halle la preimagen de
4
5
20. Determine la preimagen de 2 en f
21. Determine la imagen de 4 en f
22. Si f x
1
1
en f -1 .
para la función dada por f x
x
3.
2
2
para la función dada por f x x 1 .
2
x3
, halle la imagen de
2
5
en f -1 .
23. Si h x
3 x
8
24. Si g x
x2
1, g -1 es la inversa de “ g ” halle g -1 3 .
4
y h-1 es la inversa de “h” ; halle h -1 3 .
25. Determine la preimagen de 1 en f
,
f 3 1 y f -1 2 2 , entonces determine el
es una función lineal tal que
criterio de f
f
f
131
1
para la función dada por f x
GRUPO FÉNIX
3x 1
.
2x 2
132 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 5
f
1. Sean
f x
y
g funciones, definidas de en
y dadas respectivamente por
x
2 y g x x 2 2 . ¿Cuáles de ellas son sobreyectivas?
3
A) Sólo f
B) Sólo g
C) Ni f ni g
D) Tanto f como g
2. La función f : con f x x 2 4 es
A) Inyectiva y sobreyectiva.
C) Inyectiva y no sobreyectiva.
B) sobreyectiva y no Inyectiva.
D) no inyectiva y no sobreyectiva.
3. La función f : 4 , con f x x 2 4 es
A) inyectiva y sobreyectiva.
C) Inyectiva y no sobreyectiva.
B) sobreyectiva y no inyectiva.
D) no inyectiva y no sobreyectiva.
a , b pertenece al gráfico de una función biyectiva
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
4. Si
f , entonces un par ordenado
que pertenece al gráfico de la función inversa de f es
1 1
,
a b
B) b, a
A)
C)
a , b
D)
b,a
2
5. Sea f : B , con f x x 4 una función biyectiva. ¿Cuál es el dominio de la
inversa de f ?
A)
B) 4 ,
C)
6. Sea f : 0, 2,
A) 4
B) 18
, 0
D) 4
con
f x x2 2 , entonces f -1 4
C)
corresponde a
2
6
D)
7. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función“ f ”. ¿Cuál es el criterio de la función
inversa?
y
A) f -1 x 2 x 4
B)
f -1 x 2 x 4
4
x
f -1 x 2
2
x
-1
2
D) f x
2
f
C)
2
GRUPO FÉNIX
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es una función definida por la ecuación
f x a x con a 1 y a 1, donde a es una
constante llamada base, el exponente es una variable, y,
f :
I Caso
II Caso
a 1
Base mayor que uno
Base entre cero y uno (0 a 1)
y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
y
x
x
Características
Características
1. Dominio:
2. Codominio:
3. Ámbito:
1. Dominio:
2. Codominio:
3. Ámbito:
4. Es biyectiva.
4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje x.
5. No interseca al eje x.
6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).
6. Interseca al eje y en ( 0 , 1 ).
7. Es estrictamente creciente.
7. Es estrictamente decreciente.
8. Es asintótica al eje x por la izquierda.
8. Es asintótica al eje x por la derecha.
GRUPO FÉNIX
133
134 RELACIONES Y ÁLGEBRA
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Considere la función exponencial cuyo
Considere la función exponencial cuyo
criterio es f x 2
x
x
1
criterio es f x y determine
2
y determine
a) Dominio:
a) Dominio:
b) Codominio:
b) Codominio:
d)
f 1
e)
f 1 2
c) Ámbito:
1
2
x : No existe
f)
Intersección con el eje
g)
Intersección con el eje y :
h) Régimen de variación:
d)
f 1
e)
f 1 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
c) Ámbito:
f)
0,1
1
2
Intersección con el eje
x : No existe
g) Intersección con el eje y :
Estrictamente h) Régimen de variación:
creciente
i)
0,1
Estrictamente
creciente
Gráfica:
i)
Gráfica:
y
y
x
GRUPO FÉNIX
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 24
1. Determine el dominio, codominio, ámbito, f 1 , f
1 ,
intersección con los ejes,
régimen de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
a) f x 3 ,
f :
b) f x 3 ,
f : 2,1
x
x
c)
x
x
5
q) f x , f :
2
f x 3x , f : 2,
x
5
r) f x , f : 2,1
2
f : ,4
d) f x 3 ,
x
x
1
e) f x , f :
3
x
5
s) f x , f : 2,
2
x
1
f x , f : 2,1
3
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
f)
x
t)
1
g) f x , f : 2,
3
x
1
h) f x , f : ,4
3
1
f x , f :
4
v)
w)
x
j)
1
f x , f : 2,1
4
x
1
k) f x , f : 2,
4
x
l)
1
f x , f : ,4
4
m) f x 5 ,
f :
n) f x 5 ,
f : 2,1
o) f x 5 ,
f : 2,
x
x
x
x
5
f x , f : ,4
2
x
5
u) f x , f :
2
x
i)
f : ,4
p) f x 5 ,
x)
y)
z)
f x
f x
f x
f x
f x
2 ,
2 ,
2 ,
2 ,
x
2 , f :
f x
GRUPO FÉNIX
f : 2,1
x
f : 2,
x
f : ,4
x
bb) f x 2
cc) f x 2
aa)
x
f :
x
, f : 2,1
x
, f : 2,
x
, f : ,4
2
135
136 RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES EXPONENCIALES
La función exponencial f dada por f x a x con a 1 es biunívoca; en consecuencia,
se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales x1 y x 2 :
1. Si x1 x 2 , entonces a x1 a x2
2. Si a x1 a x2 , entonces x1 x 2
Ejemplo 1
Ejemplo 2
x 3
2 x 1
Resuelva la ecuación 5 5
Resuelva la ecuación 3 y 27
1. Se igualan los exponentes por tener la 1. Se factorizan las bases
misma base
3 y 27
5x3 52 x1
x 3 2x 1
3 y 33
2. Se igualan los exponentes por tener la
misma base
2. Se resuelve la ecuación resultante
x 3 2x 1
3 1 2x x
2 x
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3y 33
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación 2 4 x 1 8 x
1. Se factorizan las bases
2 4
x 1
2 22
x 1
8
2 x 1
x
1. Se factorizan las bases
x
23
x
3 x
2
7 72
73 x 7 7
3. Se igualan los exponentes por tener la
misma base
2 x 1
2 2 x1
73 x 714 x2
2 x 1 3x
2 x 1 3x
1 3x 2 x
1 x
2 x 1
2. Se aplican las leyes de potencias
3x
4. Se resuelve la ecuación resultante
1
343 7
49
x
7
2 22 x2 23 x
2
Ejemplo 4
1
Resuelva la ecuación 343 7
49
2. Se aplican las leyes de potencias
2 x 1
y 3
73 x 74 x1
3. Se igualan los exponentes por tener la
misma base
3x 4 x 1
4. Se resuelve la ecuación resultante
3x 4 x 1
3x 4 x 1
7 x 1
x
GRUPO FÉNIX
1
7
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 25
1. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
b) 9
x 3
x 3
7 2 x 1
92 x 1
2 x 3
115 x1
c) 11
1
y) 27 3
9
122 x1
10 x 3
137 x 1
e) 13
6 x2
f) 15
g) 17
h) 20
3 x2
25 15 x 11 25
j)
272 x
k) 29
10 x
1
aa)
16
2 x 1
i)
2
1
z) 125 5
25
17 216101x
20
2 x 1
44 x 16 x 1
27811x
x 2 2 2 x 12
29
2y 8
m) 5 625
y
n) 7 y 2401
o) 10 100000
y
p) 11 121
3 x 1
2
bb)
3
2 x 3
2
x 6
1
cc)
8
dd)
8
x 1
3
9
4
x2
3
2 x 1
2
3 x 2
2
1
ee)
4
x2
16
ff)
81
1 x
8 3
27
1
32
0,25 0,25
y
q) 13 y 2197
2 x 1
x
15216
6 x 2 101 x
2 x 1
x
3 x4
d) 12
l)
1
x) 8 2
4
x
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
a) 7
x 1
2
2 x 1
0,125 2 x 1 3 4
2 x 1
4
9
4
3 9 x1 27 x
s)
5 25x1 125x
2 x1 4 x1
gg) 3 x2
2
8
t)
7 492 x1 3435 x3
hh)
u)
32 x 9 x1 27 x
v)
56 x3 25x1 125x
w)
3 2 92 x 27 x1
x 1
2
152 x 1
3 5 14
225 x 1
GRUPO FÉNIX
0,125
1
3
r)
x 1
x2
4
4
2 x 1
1,5
9
137
138 RELACIONES Y ÁLGEBRA
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si
f ( x) a x ; tal que f : entonces, f 1 ( x) log a x; tal que f 1 : y
viceversa. Además,
log a x y
si y solo si
a y x , para todo x 0 y para todo
y.
I Caso
Base mayor que uno
II Caso
a 1
Base entre cero y uno (0 a 1)
y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
y
x
Características
1. Dominio:
x
Características
1. Dominio:
2. Codominio:
2. Codominio:
3. Ámbito:
3. Ámbito:
4. Es biyectiva.
4. Es biyectiva.
5. No interseca al eje y.
5. No interseca al eje y.
6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).
6. Interseca al eje x en ( 1 , 0 ).
7. Es estrictamente creciente.
7. Es estrictamente decreciente.
8. Es asintótica al eje y por abajo.
8. Es asintótica al eje y por arriba
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Considere la función logarítmica cuyo criterio
Considere la función logarítmica cuyo criterio
f x log 2 x y determine
es
a) Dominio:
f x log 1 x y determine
es
2
a) Dominio:
b) Codominio:
b) Codominio:
c) Ámbito:
c) Ámbito:
f 1 0
e)
f 2 1
f)
Intersección con el eje
d)
f 1
e)
f 1 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
d)
x : 1,0
f)
1
2
Intersección con el eje
x : 1,0
g) Intersección con el eje y : No existe
g) Intersección con el eje y : No existe
h) Régimen de variación:
Estrictamente
h) Régimen de variación:
Estrictamente
creciente
decreciente
i)
Gráfica:
i)
y
Gráfica:
y
x
x
GRUPO FÉNIX
139
140 RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo cotidiano # 26
1. Determine el dominio, codominio, ámbito, f 2 , f 1 , intersección con los ejes, régimen
de variación y gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
a) f x log3 x,
f :
k)
f x log 5 x, f : 2,
2
b) f x log3 x,
f : 2,7
l)
f x log 5 x, f : 0,4
2
c)
f x log3 x, f : 2,
m)
e) f x log 1 x,
3
f)
f : 0,4
f :
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
d) f x log 3 x,
n)
f x log 2 x, f : 2,7
o)
f x log 2 x, f : 2,
p)
f x log 2 x, f : 0,4
f x log 1 x, f : 2,7
3
g) f x log 1 x,
f : 2,
3
h) f x log 1 x,
f x log 2 x, f :
f : 0, 4
3
q) f x log
r)
1
2
x, f :
f x log 1 x, f : 2,7
2
i)
f x log 5 x, f :
2
s)
f x log 1 x, f : 2,
2
j)
f x log 5 x, f : 2,7
2
t)
f x log 1 x, f : 0,4
2
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Sea a un número real positivo diferente de 1 . El logaritmo de x con base a se define
como log a x y si y sólo si x a y para toda x 0 y todo número real y .
Ejemplo 1
Determine el valor de
Ejemplo 2
Determine el valor de x en
la expresión log3 x 2
a en
3
la expresión loga 2
2
Ejemplo 3
Determinar el valor de
y
si
log3 27 y
1. Se utiliza la definición y 1. Se utiliza la definición y 1. Se utiliza la definición y
pasamos
a
notación
pasamos
a
notación
pasamos
a
notación
exponencial
exponencial
exponencial
log a 2
3
2
log3 x 2
32 x
3
2
a 2
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2. Se eleva el otro lado al
2. Se resuelve la potencia
exponente inverso
3
2
a 2
a (2)
a 2
3
32 x
2
3
9x
2
a 3 4
log3 27 y
3 y 27
2. Se resuelve la ecuación
exponencial
3 y 27
3 y 33
y 3
Trabajo cotidiano # 27
x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.
y) log 1 8 x
1
1
q) log 1 x
i) log x
4
4
5
2401
32
z) log 1 16 x
j) log3 x 2 x 1 1
r) log 4 2 x 2
4
1
1
1
k) log 3 x 2
aa) log 25 x
s) log3 x
5
2
l) log x 4
1
1
bb) log 5
t) log 3 4
1
x
625
x
log
x
m)
3
2
1
1
1
u) log 1 3
cc) log 1 x
n) log8 x
7 x
82
6
1
v) log 2 8 x
1
1
8
o) log3 x
log
dd)
x
w) log 2 32 x
3
4
81
x) log3 81 x
p) log 1 x 2
1. Determine el valor de
a) log x 81 4
1
3
1
c) log x 5
2
1
d) log x 4
3
e) log x 3 2
b)
log x 2
log x 3 3 3
5
g) log x 243
2
1
3
h) log x 5
3
f)
3
GRUPO FÉNIX
141
142 RELACIONES Y ÁLGEBRA
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Si x y y
propiedades.
denotan números reales positivos, entonces se cumplen las siguientes
Nombre de la Propiedad
Logaritmo de una división
Logaritmo de una
expresión en notación
exponencial
Logaritmo de la base
Logaritmo de la unidad
Cambio de base
log a x y log a x log a y
log a
x
log a x log a y
y
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Logaritmo de una
multiplicación
Propiedad
log a x y y log a x
log a a 1
log a 1 0
log a y
log y
log a
GRUPO FÉNIX
Ejemplos
log 2 7 x log 2 7 log 2 x
log8x2 log8 log x2
log2
x
log2 x log2 7
7
log
8
log8 log x2
2
x
log3 x7 7log3 x
log y3 3log y
log 5 5 1
log 10 1
log3 1 0
log 1 0
log 2 3
log 3
log 2
log 7 5
log 5
log 7
RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SE
PUEDEN LLEVAR A LA FORMA log a f x log a g x
Para resolver ecuaciones logarítmicas, es necesario conocer y aplicar el teorema sobre las
funciones logarítmicas, el cual pasamos a detallar:
La función logarítmica
f
dada por
f x loga x
a 1
con
es biunívoca; en
consecuencia, se satisfacen las condiciones equivalentes que siguen para números reales
x1 y x 2 :
1. Si x1 x 2 , entonces log a x1 log a x 2
2. Si log a x1 log a x 2 , entonces x1 x 2
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación
Resuelva la ecuación
log 4 x 3 log 4 2 x 1
log 7 5 x 2 7 x 2 log 7 3 x 2 2 x 1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
Ejemplo 1
Procedimiento:
Procedimiento:
1. Se igualan los argumentos utilizando la
1. Se igualan los argumentos utilizando la
segunda condición
log 4 x 3 log 4 2 x 1
segunda condición
log 7 5 x 2 7 x 2 log 7 3 x 2 2 x 1
5 x 2 7 x 2 3x 2 2 x 1
x 3 2x 1
2. Se resuelve la ecuación resultante
5 x 2 7 x 2 3x 2 2 x 1
2. Se resuelve la ecuación resultante
x 3 2x 1
5 x 2 7 x 2 3x 2 2 x 1 0
2 x2 5x 3 0
3 1 2x x
2x
x1
1
2
x2 3
3. Al sustituir el valor de “x” el argumento 3. Al sustituir el valor de “x” el argumento
es positivo, por tanto
es positivo, por tanto
S 2
1
S , 3
2
GRUPO FÉNIX
143
144 RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES LOGARÍTMICAS QUE INCLUYEN UNA O DOS OPERACIONES, Y QUE SE
PUEDEN LLEVAR A LA FORMA log a f x log a g x
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación
log 3x 1 log 2 x 3 1 log 5
Procedimiento:
1. Se ordena la ecuación con los términos logarítmicos al lado izquierdo de la igualdad
log 3 x 1 log 2 x 3 1 log 5
log 3 x 1 log 5 log 2 x 3 1
2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una multiplicación
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
log 3 x 1 log 5 log 2 x 3 1
log 5 3 x 1 log 2 x 3 1
3. Se aplica la propiedad del logaritmo de una división
log 5 3 x 1 log 2 x 3 1
5 3 x 1
log
1
2
x
3
4. Se expresa en notación exponencial
5 3x 1
log
1
2
x
3
5 3x 1
101
2x 3
5. Se resuelve la ecuación
5 3x 1
2x 3
20 x 30 15 x 5
5 x 35
x7
101
4. Al sustituir el valor de “x” el argumento es positivo, por tanto
S 7
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
1. Determine el valor de
Trabajo cotidiano # 28
en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.
x
a)
log 2 3x 1 log 2 2 x
t)
2 log3 x 4 log3 x 2
b)
log 3x 2 log x
u)
log3 x 4 log3 x 1 1
c)
log 7 3x log 7 5 x 6
v)
d)
log 6 2 x 3 log 6 5 x 3
1 log5 3 x log5 1 x 0
4 2log 2 2 x log 2 2 x 4 0
e)
log 2 x 12 log 2 5 x 3
w)
f)
log3 x 4 log3 x 4
g)
log 1 x 2 x log 1 x 2 x
h)
2
i)
2
j)
y) log x 2 log 5 log 8
z) 2 log x log 25 log 5
aa) log 4 5 log 4 3x 2 log 4 3
bb) log3 x
log 1 3x 2 7 x log 1 27 7 x
2
2
2
1
log3 9 log3 x 6
2
cc) log 5 x 9
log 1 4 x 2 13x log 1 64 13x
2
1
x) log 3 x log3 2 log3 9 3
log 1 2 x 10 x log 1 8 10 x
2
2
1
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2
1
6 x 111x log 216 101x
x 23 x 9 log 40 31x
k) log 3 5 x 42 x log 3 125 42 x
dd) log 4
2
log 3
m) log 3
2
3
2
3
n)
log 3 7 x 10 log 3 10 x 9x 1
o)
log 2 3x 1 1 log 2 2 x
p)
log x 1 log
q)
log7 3x 1 log7 5 x 6
r)
log 4 x 1 log x 2
s)
log 2 x 1 log x 3 0
2 3x
1
3 7x
2
l)
log 5 x 3 log 5 2 x
1
2
1
1
1
ee) log 9
2 log 9 5 10 x
1 x
ff) log x2 9 6 x 7 1
1
4
gg) 2
log 5 8x
log 5
hh) log7 log3 x
GRUPO FÉNIX
x 2 0
145
146 RELACIONES Y ÁLGEBRA
ECUACIONES EXPONENCIALES DE LA FORMA a b , DONDE P(X) Y Q(X)
SON POLINOMIOS CON UNA VARIABLE DE GRADO CERO (NO
SIMULTÁNEAMENTE), DE GRADO UNO O DOS
P x
Q x
Debemos igualar los logaritmos de ambos miembros de la ecuación. Con esto, las variables
en el exponente se convierten en multiplicadores y la ecuación resultante es más fácil de
resolver. En otras palabras, es la estrategia de “aplicar logaritmos a ambos miembros de la
igualdad”.
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación 32 x 1 53 x 4
1. Se aplica logaritmo a ambos miembros de la igualdad
log32 x1 log53 x4
2. Se aplica la propiedad del logaritmo de una expresión en notación exponencial
2x 1 log3 3x 4 log5
3. Se aplica la propiedad distributiva
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
2 x log 3 log 3 3 x log 5 4 log 5
4. Se resuelve la ecuación para “x”
2 x log 3 3 x log 5 4log 5 log 3
x 2log 3 3log 5 4log 5 log 3
4log 5 log 3
2log 3 3log 5
x
Trabajo cotidiano # 29
1. Determine el valor de
2 x 1
33 x 4
j) 10
3 x 1
52 x 4
k)
a) 2
b) 3
x 1
c) 5
7
x 1
d) 7
e) 10
f)
2
5 x 4
h) 5
11
2 x 10 x
g) 3
8 10 x
3
5
4 x 2 13 x
75 x
2
5 x 1
6 x 1
2
42 x
6 x 2 101 x
23 x
2
3x
11216101x
34 x
2
27 7 x
7
64 13 x
10125 42 x
l)
32 x x 5 4 x
m) 5
2
4 x2
x
3x
7 4 6 x
2
23 x
5x
r) 64 16 2
5
x
6 x 1
101 2 x
32
1
s) 3 x 2 x 1
3
4
2 x 2 5 x 3
113 x
t)
n) 7 3 x
o) 10
2
q) 81 3
x
5 x 1
10
3 x2 7 x
i)
x en las siguientes ecuaciones logarítmicas utilizando la definición.
2
3 x 52 x
p)
5
9
GRUPO FÉNIX
5
1
2x
2
RELACIONES Y ÁLGEBRA
Trabajo extraclase # 6
f la función exponencial dada por f x a x . Si f 2 f 5 , entonces, un
posible valor para a es
1. Sea
A) 2
B)
4
3
9
4
11
D)
15
C)
x
II.
f es decreciente.
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
3
2. Sea f la función dada por f x
. Considere las siguientes proposiciones.
2
I. El ámbito de f es 0 , .
¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Sólo la I.
D) Sólo la II.
3. Para la función f dada por f x a , si a 1 y x 0 , entonces se cumple que
x
A) a 1
x
B) a 0
x
C) 0 a 1
x
D) 0 a 1
x
2
4. La solucion de
7
A) 1
B) 5
C) 4
D) 7
3 x 1
49
4
2 x 3
es
GRUPO FÉNIX
147
148 RELACIONES Y ÁLGEBRA
5. La solución de 3 9
x
243 es
A) 2
B) 4
5
2
5
D)
3
C)
12 x
6. La solución de 3
1
es
9
3
2
C) 2
3
D)
2
B)
7. Si
f
es una función logarítmica de base " a " y
cumple que
A) 1 a
B) a 1
C) 0 a 1
D) 1 a 0
8. La gráfica de la función f
A)
B)
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
A) 2
0 ,1
1, 0
dada por
f x 0 para
x 1 , entonces se
f x log 6 x interseca el eje x en
5
2
,0
5
2
D) 0 ,
5
C)
GRUPO FÉNIX
RELACIONES Y ÁLGEBRA
f dada por f x loga x . Si
entonces un posible valor de " a " es
3
4
A)
C)
2
5
5
6
B)
D)
2
5
x2
x
10. La solución de 3 2 es
2
2
C)
A)
2
log 3 2
log 3
3
2
B)
2
1
D)
log 3
3
2
log 3
2
11. El conjunto solución de log 2 5x 0 es
f x 1 f x 2 ,
Ed Ver
ito sió
ria n
l G Ele
ru ctr
po ón
Fé ica
ni
x
9. Para la función logarítmica
2
5
1
B)
8
5
D)
5
12. Los científicos utilizan la función dada por log d 3, 7 0, 2 g , para calcular el
diámetro, en kilómetros, de asteroides, donde
“ d ” representa el diámetro y “ g ”
A)
C)
representa la magnitud del asteroide. ¿Cuál es el diámetro aproximado, en kilómetros, de
un cuerpo que presenta magnitud 11?
A) 1,50
B) 13, 29
C) 31, 62
D) 35, 21
13. La presión atmosférica “p” sobre un avión que se encuentra a una altura “x” en kilómetros
sobre el nivel del mar está dada por p x 760e
0,145 x
. ¿Cuál es aproximadamente la
presión sobre un avión que se encuentra a una altura de 20 km sobre el nivel del mar?
A) 8,64
41,74
C) 417,40
B)
D) 864, 00
GRUPO FÉNIX
149
BIBLIOGRAFÍA
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Gamboa, G. Porras, V. Matemáticas 10º. Publicaciones Porras y Gamboa, San José, Costa Rica. 2006.
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Murillo, Manuel. Matemática básica con aplicaciones. EUNED, San José, Costa Rica, 2000.
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Polya, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Tecnos.
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Polya, G. (1990). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.
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Ruiz, A. (2006). Universalización de la educación secundaria y reforma educativa. San José, Costa Rica:
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Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.
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Swokowski, Earlw. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial Iberoamericana. 1988.
-
Tsijli, Teodora. Geometría Euclidea 1. EUNED, San José, Costa Rica, 1994.
EDITORIAL
Grupo Fénix
Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!
San José, 21 Enero 2013
D.P.V. - 105
Estimados profesores:
Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores
profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los
cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los Nuevos
Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de
problemas.
Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y
el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática,
con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.
Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán
ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos
algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:
1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance
esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en
electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y
las portadas son hechas a base de material reciclado.
2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido
elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación
Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática enfoque con base en la resolución de problemas-.
3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita
el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en
III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición
en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.
4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.
5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago
correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo
Fénix.
6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a
partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar
pagos
semanales
(exactamente
cada
siete
días
naturales
después
de
entregados los libros). El atraso en la cancelación de la factura al cabo del mes de
crédito, generará un interés de un 1% diario (aplican sólo días laborales).
7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentación de la Edición 2013 no viene con
resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institución por
razones de comodidad ergonómica lo desean pueden solicitar el libro con resorte.
MÁS ARBOLES
PARA EL FUTURO!
Papel elaborado del
bagazo de caña de
azúcar
Grupo Fénix de C.R.
EDITORIAL
Grupo Fénix
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San José, 21 Enero 2013
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Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de éxito en sus labores
profesionales, como Editorial Líder estamos a la vanguardia con respecto a los
cambios efectuados por el Ministerio de Educación Pública para los Nuevos
Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolución de
problemas.
Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versión en electrónico; y
el Plan de Transición 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemática,
con los respectivos cambios en 7°, 8°, 9°, 10° y 11°.
Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarán
ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuación citamos
algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:
1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro país alcance
esta meta, por esta razón nuestra promoción de los libros ha sido solo en
electrónico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caña de azúcar y
las portadas son hechas a base de material reciclado.
2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido
elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educación
Matemática, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemática enfoque con base en la resolución de problemas-.
3. PLAN DE TRANSICIÓN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita
el MEP para la implementación eficaz de los nuevos programas en matemática en
III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transición
en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.
4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de ¢3516 c/u.
5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago
correspondiente se realiza por depósito bancario a alguna de las cuentas de Grupo
Fénix.
6. CRÉDITO DE UN MES, el plazo de crédito que Grupo Fénix brinda es de un mes a
partir de la fecha de facturación y entrega de los libros, con la condición de realizar
pagos
semanales
(exactamente
cada
siete
días
naturales
después
de
entregados los libros). El atraso en la cancelación de la factura al cabo del mes de
crédito, generará un interés de un 1% diario (aplican sólo días laborales).
7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentación de la Edición 2013 no viene con
resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institución por
razones de comodidad ergonómica lo desean pueden solicitar el libro con resorte.
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MATEMÁTICA
PL
A
N
D
E
T
20 RA
13 N
S
IC
IÓ
N
UN ENFOQUE CON BASE
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
