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III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
CB 20
MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA. RESIGNIFICACIÓN DE LOS OBJETOS
MATEMÁTICOS
María A. GEMIGNANI, Irma M. BENÍTEZ, María I. GANDULFO, Stella M. VAIRA,
Liliana TABORDA
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Paraná - Entre Ríos - Argentina
mariagandulfo@frp.utn.edu.ar stellavaira@frp.utn.edu.ar
Nivel Educativo: Superior Universitaria.
Palabras Clave: Matemática, símbolos, educación, resignificación.
RESUMEN
El ingresante a las carreras de ingenierías se encuentra en su primer año con Análisis
Matemático I y Álgebra y Geometría Analítica, herramientas que le permiten plantear y
resolver problemas en muchas otras asignaturas de la especialidad. Sus contenidos
contribuyen a la formación de un pensamiento que permita relacionar los conocimientos y
habilidades en forma efectiva para poder modelar eficientemente las situaciones que se
plantean en la profesión.
Frecuentemente, aunque los alumnos logran aprobar o regularizar la asignatura Matemática
del Ingreso con un buen rendimiento, tienen dificultades cuando se plantean situaciones
nuevas, no estructuradas que requieran de la reflexión y del uso correcto de los objetos
estudiados en la Escuela Media.
En este trabajo, se analizan concepciones que tienen los alumnos ingresantes de los
principales objetos matemáticos y las operaciones relacionadas con ellos luego de la
finalización del cursado de Álgebra y Geometría Analítica y se la compara con los resultados
previamente obtenidos en el análisis realizado en la culminación del curso de Ingreso.
Además se analizó la existencia de correlación de estas concepciones con el rendimiento
posterior del alumno.
INTRODUCCIÓN
Escuelas inteligentes son las que introducen todo posible progreso en el campo de la
enseñanza y el aprendizaje para que los estudiantes no sólo conozcan, sino que piensen a
partir de lo que conocen…” Perkins, D (1995)
Muchas veces se cree que los estudiantes conocen porque aprobaron los exámenes de ingreso
a la Universidad y teóricamente están en condiciones de comenzar con los estudios
universitarios, pero al plantear tareas que conllevan a conflictos cognitivos quedan a la luz
significados asociados erróneos. El registro y estudio de estas situaciones nos permiten
diseñar secuencias didácticas que previenen estas falencias y favorecen el desarrollo de
nuevos conceptos. Es tarea del docente planificar su asignatura contemplando las dificultades
cognitivas que tienen los alumnos ya que puede prevenir conflictos desatados por el
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desconocimiento o mal uso de determinados objetos matemáticos y podrían mejorar los
rendimientos.
En este sentido, y en el marco del proyecto e investigación “Importancia del Algebra Lineal
y sus aplicaciones en Matemática y en Ingeniería. Condiciones de ingreso de los estudiantes”
se diseñaron actividades para analizar, en una primera etapa, las concepciones de los objetos
matemáticos que tenían los ingresantes al terminar el curso de Ingreso en Matemática para
compararlas luego, con las concepciones de los mismos objetos al concluir el cursado de
Álgebra y Geometría Analítica.
Los resultados de la primera etapa citada en el párrafo anterior, presentados por los autores en
el EMCI 2009, se tomaron como punto de partida para el presente trabajo y cuya conclusión
principal destaca “que la aprobación de los exámenes respectivos, aunque muestran un
razonable dominio sobre el tema, no garantiza la internalización necesaria de los conceptos
matemáticos más elementales. La presentación de los objetos desde otra perspectiva, pone en
evidencia que algunos obstáculos no han sido salvados y esto obliga a los docentes a
encontrar vías de superación antes del tratamiento de los temas posteriores. Especialmente
en lo que a interpretaciones gráficas se refiere, persiste la dificultad significativa de los
objetos y la conexión entre el trabajo analítico y el trabajo gráfico”. (Vaira, S. y otros 2009)
En distintos contextos de estudio, el mismo objeto puede presentar significados diferentes con
sus respectivos obstáculos epistemológicos (Godino y Batanero, 1994) cuyo análisis
proporciona claves interpretativas del aprendizaje de los alumnos que permiten diseñar
estrategias metodológicas más apropiadas para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje.
MARCO TEÓRICO
Mediante la investigación educativa, distintos autores sostienen que se ve favorecido el
proceso de enseñanza al profundizar en la comprensión del complejo fenómeno que ocurre en
el aula. En los ingresantes por lo general, es muy lenta la evolución en la comprensión de los
conceptos y es escasa la ampliación de concepciones y la superación de los obstáculos
inherentes a estos conceptos y al proceso de transposición didáctica. Esta situación puede
prolongarse provocando dificultades en la significaciones de los objetos matemáticos tratados
en las Asignaturas de primer año.
El concepto matemático adquiere el status de objeto matemático, cuando le es enseñado al
alumno y éste lo puede representar como un ente abstracto. Así el objeto emerge
progresivamente del sistema de prácticas socialmente compartidas dentro de un cierto campo.
(Godino y Batanero, 1994).
Las habilidades congnitivas entendidas como operaciones y procedimientos que realizan los
estudiantes para adquirir, retener y recuperar diferentes tipos de conocimiento y ejecución, se
toman en este trabajo como indicadores de logro de capacidades de representación, selección
y operacionabilidad del objeto.( Clavero, 2001).
En términos matemáticos, se plantean las actividades adhiriendo a la identificación de
habilidades de Hernandez , H (2001) quien tiene en cuenta, entre otras: Interpretar, Identificar,
Recodificar, Calcular, Algoritmizar, Definir, Demostrar, Modelar, Comparar, Resolver,
Optimizar. La habilidad de cambiar el registro de una representación semiótica ocupa un lugar
central en el aprendizaje de la matemática (Duval, 1993). El empleo de signos constituye
producciones que pertenecen a un sistema de representación con las propias limitaciones de
significado y de funcionamiento.
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OBJETIVOS
“Respecto a un objeto matemático observable, conocido sobre la base de prácticas
compartidas, la descripción real responde plenamente a las características del objeto, es
decir de la práctica realizada alrededor de éste y con éste, y por tanto del sentido que todo
esto adquiere por parte de quien dicha práctica explica. Pero el uso de transformaciones
semióticas a veces lleva a cambios sustanciales de dichas descripciones, convirtiéndose en
una “descripción puramente formal” obtenida con prácticas semióticas si compartidas, pero
que niegan un acceso al objeto representado, o mejor, le niegan la conservación del sentido”.
(Duval, 2003, p.18)
Siguiendo la línea planteada por Duval, nos propusimos los siguientes objetivos:
1. Explorar el nivel de conocimiento de los alumnos ingresantes al primer año de ciertos
objetos y conceptos matemáticos.
2. Conocer la capacidad de los alumnos de relacionar los objetos y los resultados de las
operaciones con las gráficas correspondientes.
3. Analizar el progreso de los alumnos luego del cursado de primer año.
4. Identificar cuáles son las dificultades de los alumnos en cuanto a distinguir los objetos
y símbolos matemáticos con los que trabaja habitualmente.
METODOLOGÍA
En la Facultad Regional Paraná de la Universidad Tecnológica Nacional se tiene que aprobar
el Seminario Introductorio como prerrequisito para comenzar el primer año de las carreras de
ingeniería que allí se dictan. En este Seminario se dictan tres asignaturas: Matemática, Física
y Taller de Orientación Vocacional. La implementación de la Asignatura Matemática del
Seminario se concibe desde una perspectiva constructivista, basada principalmente en la
resolución de problemas, tendientes a repasar los conceptos matemáticos, ya vistos en la
Escuela Media, necesarios para comenzar los estudios Universitarios.
En el grupo de ingresantes 2009 se aplicaron tres cuestionarios diseñados para cubrir los
objetivos señalados. Dos durante el Seminario Introductorio y uno al finalizar el cursado de
primer año. Se aplicó el cuestionario al total de los ingresantes: el cuestionario uno a 134
alumnos, el dos a 123 y el tercero a 29 alumnos.
El primer cuestionario consistía principalmente en identificar distintos objetos matemáticos e
indicar las operaciones posibles de realizar con ellos; interpretar geométricamente lo
expresado y las soluciones y traducir al lenguaje coloquial lo expresado simbólicamente.
En el segundo cuestionario, planteado con opción de respuestas múltiples, debían distinguir
otros objetos matemáticos; identificar variables dependientes e independientes y relacionar
soluciones de una ecuación con los coeficientes dados.
El tercer cuestionario se construyo considerando partes del primer y segundo cuestionario de
manera de comparar los resultados de la tercera instancia con los de las anteriores. En cada
instancia se le detallaron los objetivos del cuestionario y se expresó que no era obligatorio. Se
aclaró que no era anónimo para permitir su relación con resultados posteriores. Para
completar el cuestionario se asignaron 30 minutos que no fueron utilizados en su totalidad.
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METODOLOGÍA ESTADÍSTICA
Para analizar las respuestas de los alumnos al inicio del cursado de Algebra y Geometría
Analítica y al finalizar el ciclo lectivo, del total de los alumnos que habían respondido los tres
cuestionarios, se tomó una muestra de tamaño n = 10, que corresponde al 30%.
Se organizaron las encuestas un una base de datos y se procesaron utilizando software libre R
versión 2.1.8. Las respuestas cualitativas de los alumnos a cada una de las preguntas fueron
organizadas en tablas simples y tablas de contingencias para poder identificar los valores
modales de las respuestas más frecuentes. Algunas de ellas fueron presentadas en gráficos
para su mejor visualización.
RESULTADOS
A continuación se presentan las tablas que describen los resultados obtenidos de las
preguntas. Para analizar la evolución de los alumnos y poder hacer una comparación de los
resultados se redujo la opciones de las respuestas; sólo se consideró si la ella era correcta ó
no. Las mismas fueron valoradas de la siguiente manera: 0 – Mal; 1 –Bien.
Se realizaron dos tipos de análisis, uno considerando el rendimiento por alumno y otro
considerando las dificultades que han tenido por temas.
En el siguiente gráfico se muestran los resultados del rendimiento por alumno al iniciar y al
terminar el cursado de Álgebra y Geometría Analítica.
cantidad de respuestas
correctas
Cantidad de respuestas correctas por alumno .
Antes y después
18
13
antes
8
después
3
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
alum no
Del gráfico se puede observar una mejoría en el rendimiento global de los alumnos, pues la
mayoría ha tenido un aumento en la cantidad de respuestas correctas.
Si bien han mejorado su rendimiento, se hace necesario estudiar el rendimiento
específicamente en la identificación de los objetos matemáticos. El siguiente gráfico filtra esta
situación.
Cantidad de
respuestas correctas
Evolución en la identificación de objetos
matemáticos
8
6
antes
4
después
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
alum no
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En él se puede observar que el 80% de los alumnos han evolucionado favorablemente en la
identificación de los objetos matemáticos. Para completar el estudio se realizó un análisis del
estado académico de la muestra, obteniendo las siguientes conclusiones: todos los alumnos
estudiados, al finalizar el cursado, regularizaron las asignaturas Análisis Matemático I y
Álgebra y Geometría Analítica. Hasta la mesa examinadora de marzo de 2010, el 75% de los
alumnos que se presentaron a rendir Álgebra y Geometría Analítica, aprobó la asignatura. El
50 % de los alumnos, se presentó a rendir Análisis Matemático I y de ellos aprobó el 40%.
Identificados los dos alumnos que no superaron las dificultades se detectó que uno el ellos
aprobó Algebra y Geometría Analítica y el otro ninguna de las dos.
En los gráficos siguientes vemos los resultados del antes y el después en el rendimiento de los
alumnos por temas.
Referencias de objetos a
identificar
1 ¿Qué es ax=b?, a
b R
2 ¿Qué es ax=y?, a
R
cantidad de alumnos
Identificación de objetos matemáticos
10
R
8
6
antes
4
después
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4x3 – 5 x + 16
4
8x -16 = 0
5
|x - 9| ≤ 4
6
5+3i
7
4+π
8
-t5- 3t3+t - 4 = 0
objetos a identificar
Si bien se observó que han mejorado el rendimiento en la identificación de los objetos se
destacan algunas dificultades, por ejemplo en la identificación de un número irracional, el
bajo reconocimiento en la etapa de ingreso (20%) fue elevado a un 70% al finalizar:
Antes
Después
correctas
20%
70%
incorrectas
70%
20%
No responde
10%
10%
Tabla 1: Identificación de un número irracional
Un alto porcentaje, el 70 %, no pudieron identificar en forma correcta una ecuación
polinómica ni al inicio del cursado ni al finalizar. En su mayoría confundían una ecuación con
un polinomio.
Antes
Después
correctas
30%
30%
incorrectas
70%
70%
-
-
No responde
Tabla 2: Identificación de una ecuación polinómica
De la lectura del ítem referido a la identificación de una variable independiente se deduce que
de sólo un 10% de alumnos que identificaron una variable independiente se ha incrementado a
un 60 %. Cabe observar que el alto número de alumnos que no responde (40%), ha
disminuido a un 10 %.
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Antes
Después
correctas
10%
60%
incorrectas
50%
20%
No responde
40%
10%
Tabla 3: Identificación de una variable independiente
CONCLUSIONES
La baja proporción de alumnos que aprueban el examen diagnóstico al inicio del Seminario
Introductorio a las carreras de Ingeniería (3% en 2010), hace que los aspirantes a las carreras
de Ingeniería que se dictan en la facultad Regional Paraná de la Universidad Tecnológica
Nacional deban cursar el Seminario Introductorio, que con una carga horaria de 78 hs. de
matemática pretende repasar los principales conceptos matemáticos de la currícula del Nivel
Medio y facilitar la transición entre ambos niveles. El conocimiento matemático al finalizar el
cursado del Seminario de Ingreso presenta aún falencias que impiden a los alumnos la
comprensión necesaria de los conceptos conceptuales para coordinar los diferentes registros
en los que se los presenta, lo que motiva a los docentes involucrados a continuas
investigaciones para disminuir los índices de deserción y repitencia.
La preocupación de los docentes por el significado que tiene la Matemática en los alumnos es
de preocupación constante. Al plantear situaciones que involucran diferentes registros
semióticos de algunos objetos, se detecta que algunas de estas dificultades son subsanadas
durante el cursado de las asignaturas matemáticas de primer año pero otras persisten e inciden
negativamente en la habilidad necesaria para interactuar entre diferentes registros de
representación y operar correctamente con dichos conceptos.
Esta investigación nos permitió dar el primer paso para identificar qué objetos matemáticos no
son aún comprendidos por nuestros alumnos universitarios. Quedan en evidencia que los
alumnos ingresan a la universidad con dificultades para identificar correctamente los
números, tema que desde la educación elemental vienen trabajando.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPM, México, 1996)
DUVAL, R. 2003. Décrire, visualiser ou raisonner: quels `apprentissages premiers´de
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(Traducción del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPM, México, 1996)
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Ediciones. Rosario)
PERKINS, D. 1995 La escuela inteligente. (Geadiza. Barcelona).
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