Download Complemento Ortogonal Proceso de Ortogonalización de Gram

Álgebra Lineal ‐ Espacios con Producto Interno
2016
̅
Complemento Ortogonal Sea el subespacio . Cuando los elementos de un subespacio vectorial son ortogonales a ,
, y se
se dice que dicho subespacio es un complemento ortogonal. Se denota como
denomina complemento porque la suma de las dimensiones de y
es igual a la dimensión
del espacio vectorial.
EJEMPLO. Dado el subespacio vectorial
su complemento
, ∈
̅|
|
̅
Siendo
,
,
,…,
EJEMPLO. Sea la base
1,
tr
el producto interno
2
1|
1
1
1
1|
4
6
tr
1 ⇒
2
6
4
6
⇒
2
3
6
0 tr
0
Con estas restricciones el complemento ortogonal es
0
0
1|
1
1
2
3
12
Finalmente, la base ortogonal es
1 1
1
2
2
1
2
2
1 ⇒
1,
2
1 3
4
1
∴
4
1, 3
3
1 1.
Proyección Ortogonal 0
,
∈
.
Proceso de Ortogonalización de Gram‐Schmidt A partir de una base cualquiera se puede obtener una base ortogonal mediante el proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt, el cual especifica
1 Ing. Aldo Jiménez Arteaga 2
∴
6
1
1|
|
1 1
|
0 0
0 1
1 0 0
3
Mediante la ortogonalización de Gram-Schmidt se obtendrá una base ortogonal.
en el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden dos será aquél subespacio cuyos
vectores sean perpendiculares a cualquier base de . Entonces, tomando la base arbitraria
1
1
0 0
,
y aplicando la restricción de ortogonalidad con un vector genérico
1 0
0 1
del espacio vectorial:
. Esta base no es ortogonal bajo
1,
|
|
1
0
∀ 1
la base ortogonal.
ortogonal con respecto al producto interno
1
1
,
El concepto de ortogonalidad permite calcular para todo vector ̅ el elemento más cercano a él
en cualquier subespacio. Dicho vector se obtiene al proyectar a ̅ sobre una base ortogonal
del subespacio, lo cual resulta en una combinación lineal:
Proy
̅
̅|
‖ ‖
Álgebra Lineal ‐ Espacios con Producto Interno
2016
̅|
|
1
2
Proy a
i
i
1
0
El teorema de proyección estipula que la distancia entre un vector y su proyección sobre un
subespacio es mínima.
i
i
1
tr
0
2 1 0
2 0 1
1 0
0 1
tr
EJEMPLO. La matriz del subespacio
1
2
2
1
,
que es la más próxima a
bajo el producto interno
|
se calcula a partir de la base ortogonal
tr
∗
1 0
,
0 1
Proy a
2 Ing. Aldo Jiménez Arteaga ∈
0
1
a|u
u
‖u ‖
1
0
.
1
2
2
1
0
1
i
i
1 0
0 1
1 0
0 1
1 i 2 i
2 i 1 i
0
1 i
1 i
0
2 i
1 i 1 0
0
0 1
1
2 2i
0
1
4
0 i
⇒h
i 0
1 0
0 1
0
1 i
0
1 i
1 i
0
0
1 i
1 i
0
1 i
0
1 3i
2
tr
0
1 i
2i
3 i
2 0
1
i
0
tr
0 2
1 i
i
0
1 i
i 1