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MÉTODO DE RETROPROYECCIÓN FILTRADA
JUZGA, Adriana & RODRIGUEZ, Brahian
Matemáticos egresados Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Resumen
Si en un algoritmo se incorporan los datos obtenidos en un tomografía con los modelos de restauración de imágenes
se obtiene una aproximación casi exacta de la morfología del órgano estudiado, motivo por el cual diversos modelos
de restauración de imágenes se han propuesto en los últimos años, entre ellos cabe destacar los procesos basados en el
análisis de Fourier y la transformada de Radon, los cuales son implementados en el conocido método de
retroproyección filtrada.
El presente documento expone el método de retroproyección filtrada, cómo este se deduce a partir de la aproximación
de la transformada inversa de Radon para finalmente mostrar algunas imágenes reconstruidas a partir de un software
implementado en MATLAB (R2010).
Palabras clave: Tomografía, transformada de Radon, transformada de Fourier, método de retroproyección filtrada.
INTRODUCCIÓN
Una tomografía bidimensional, esencialmente es la
reconstrucción de la imagen de una sección transversal de
un objeto a partir de sus proyecciones. [4] Por tanto, una
tomografía puede ser considerada como un conjunto de
proyecciones sobre las rectas que forman el plano de la
placa tomográfica.
Las tomografías son comúnmente utilizadas en
aplicaciones médicas que requieren una visualización
óptima de un órgano en particular. Si en un algoritmo se
incorporan los datos obtenidos en una tomografía con los
modelos de restauración de imágenes, se obtiene una
aproximación casi exacta de la morfología del órgano
estudiado, motivo por el cual diversos modelos de
reconstrucción de imágenes se han propuesto en los
últimos años. Entre ellos, se destaca el método de
retroproyección filtrada, el cual se planteó inicialmente
como un algoritmo de inversión de la transformada de
Radon; este hace uso de herramientas matemáticas
propias del análisis de Fourier como lo son el teorema de
proyecciones y el producto convolución además de una
elaborada construcción geométrica que permitirá
reconstruir la imagen a partir de un conjunto de rectas.
En 1917 el matemático austriaco Johann Radon probó en
un artículo que es posible reconstruir un objeto
bidimensional o tridimensional a partir de un conjunto de
infinitas proyecciones, dicha reconstrucción se realiza
mediante la hoy conocida transformada de Radon.
Un método sencillo de explicar el principio planteado por
Radon y posteriormente mejorado por Cormark y
Hounsfield es el siguiente: “…supongamos que tenemos
un cuerpo convexo el cual tiene una masa de densidad
variable dada por una función
. Pensemos
además que es atravesado por una radiación cualquiera,
cuya trayectoria sea una recta y de la cual se puede
medir su intensidad de entrada y de salida. La diferencia
entre estas intensidades será la absorción del rayo por la
materia en el interior de y dependerá de la recta , por
donde
el
rayo transita,
es
posible
medir
experimentalmente esta función del rayo que se llamara
y a partir de esta reconstruir
…” [2]
El procedimiento práctico (discreto) consiste en dividir el
objeto en secciones planas y resolver el problema sección
por sección para después integrar a todo el cuerpo. Al
dividir el objeto en secciones planas tenemos que la
función
dependiente inicialmente de la tripla de
coordenadas
, se reduce temporalmente a las
coordenadas
. Posteriormente se sobrepone una
cuadricula imaginaria a cada sección planar quedando así
hipotéticamente dividido en celdas, a cada celda le
corresponde una masa de densidad promedio las cuales
constituirán las incógnitas de nuestro problema a estudiar.
Las proyecciones se convierten entonces en sumas de
muchos términos sobre direcciones en la cuadricula. En
consecuencia, cada término (de la sumatoria que forma
una proyección) es el producto de un factor de peso
multiplicado por la densidad del cuadro que es la
incógnita.
Los correspondientes valores de peso para cada cuadro
son conocidos y están determinados por la geometría del
caso, esto es: ancho del haz de irradiación, ángulo de
irradiación y tamaño de la cuadricula. Es así como a partir
de las proyecciones es posible establecer un conjunto de
ecuaciones simultáneas que se intentan resolver.
La figura 1 ilustra una malla sobrepuesta a una imagen
desconocida, si la malla posee n-celdas de cada lado, el
número total de celdas es
; supongamos
además que al objeto se le ha realizado un barrido por un
conjunto de rayos que corren paralelos haciendo un
ángulo de inclinación con respecto a uno de los ejes de la
cuadricula imaginaria. En este caso un rayo cualquiera
puede ser representado como una delgada banda que
cruza la cuadricula (ver Figura 1). Basados en esta
representación definimos la proyección del rayo como:
La inversión de la transformada de Radon dada en la
anterior ecuación presenta algunos inconvenientes a nivel
práctico ya que es imposible atravesar una sección
transversal de un objeto con infinitos rayos o
proyecciones.
Smith, Solmon y Warner [7] demostraron que un conjunto
cerrado y compacto queda determinado de manera única
por el conjunto infinito de sus proyecciones, pero por
ningún conjunto finito de ellas. Luego, solo se obtiene
una aproximación de la sección a reconstruir.
Figura 1. Proyección presentada por una banda sobre una
malla.
Donde es el número total de rayos y
es un factor de
peso que corresponde a la fracción de área
correspondiente a cada celda interceptada por un rayo en
particular. El triangulo sombreado (ABC) en la figura 1
indica esta área para una celda en particular. Las
son
las incógnitas del problema cuya solución consiste en
determinar dichos valores, sin embargo la solución
presenta cierta complejidad debido a que si se tiene
celdas el número de rayos como mínimo debe ser igual
a . Ahora bien, si hacemos a los segmentos
infinitesimales
el límite de la sumatoria de la ecuación
(1) se convierte en una integral de línea a lo largo de la
trayectoria del rayo gama. Esto es:
Entre los métodos de aproximación de la transformada
inversa de Radon se encuentra el método de
retroproyección filtrada, el cual parte de la aplicación del
teorema de corte de Fourier el cual afirma que: la
transformada unidimensional de Fourier de la proyección
de una imagen
obtenida a partir de rayos
paralelos entre si y formando un ángulo con el eje , es
el corte o muestreo de la transformada bidimensional de
Fourier de la imagen
a lo largo de una línea que
forma un ángulo con el eje .
Por consiguiente, si la cantidad de proyecciones aumenta
termina definida en casi todo punto y de este
modo usando la transformada inversa bidimensional de
Fourier se obtiene
esto es:
Si en (3) se sustituyen las coordenadas rectangulares
por las polares
, es decir
La ecuación se reescribe como:
Esta función definirá a la proyección del haz sobre una
línea de proyección la cual coincide con la transformada
bidimensional de Radon de la función
. Dado que
en una aplicación de este tipo los detectores determinan
los cambios de intensidad en los rayos emitidos (es decir
las proyecciones ), el problema se restringe a la
aproximación de la función
, la cual se realiza
mediante la transformada inversa bidimensional de
Radon.
MÉTODO Y RESULTADOS
La transformada inversa bidimensional de Radon se
encuentra definida como:
En base a la simetría presenta la anterior ecuación se
reescribe como:
Donde
se
simplificó
la
expresión
tomando
. Usando el teorema de corte de
Fourier y considerando
como la transformada
unidimensional de la proyección
, se obtiene:
El resultado presentado en (4) se conoce como proyección
filtrada, la suma de cada una de estas proyecciones nos
permite estimar la imagen original
.
Computacionalmente, se diseñó un software en MATLAB
que en primer lugar almacena una imagen y muestra las
inversiones acumuladas de doce proyecciones.
La inversión de la transformada de Radon presenta
algunos inconvenientes a nivel práctico debido a que es
imposible atravesar una sección transversal de un objeto
con infinitos rayos o proyecciones,
tal como lo
demostraron Smith, Solmon y Warner, ningún conjunto
finito de proyecciones reconstruye con exactitud la
imagen. La reconstrucción obtenida con este método es
considerablemente buena, a pesar del ruido presente, si se
analizan aspectos de forma y contraste en la imagen
estudiada. Por tanto, es natural pensar que la búsqueda de
nuevos algoritmos de reconstrucción o de herramientas
que mejoren el método de retroproyección filtrada está
aún lejos de su fin.
Aunque la transformada de Radon surge del estudio de un
problema de carácter aplicativo, constituye hoy en día uno
de los aportes más importantes a la matemática y ha
arrojado aplicaciones en campos tan diversos como la
astronomía, la óptica, y la geofísica entre otros.
REFERENCIAS
Figura 2. Inversiones acumuladas de una imagen
La figura 2 muestra una aproximación satisfactoria en
términos de forma a la imagen original. No obstante, se
hace evidente la presencia de ruido en la imagen
obtenida; problema al cual algunos autores buscan dar
solución aumentando el número de proyecciones o con
métodos alternos de reconstrucción que consideren la
naturaleza estocástica de los datos.
Posteriormente el software almacena una imagen a color,
la convierte a tonalidades de blanco y negro, muestra su
transformada de Radon en 2D y 3D y finalmente la
imagen reconstruida usando la Fast Fourier Transform
(FFT).
[1] BRACEWELL, R. The Fourier transform and its
applications. New York: Mc Graw Hill, 1978.
[2] CORBO, P. Tomografía Axial Computarizada. En:
XII SEMINARIO DE INGENIERIA BIOMÉDICA
(2004: Montevideo). Ponencias del XII Seminario de
ingeniería biomédica. Montevideo: Universidad de la
República oriental de Uruguay, 2004.
[3] DEANS, S. The Radon transform and some of its
applications. New York: Dover Publications, INC, 1983.
[4] GALINDO, S. Principios matemáticos de la
reconstrucción de imágenes tomográficas. En: Revista
CIENCIA – Ergo Sum. Vol. 10, No. 003 (Noviembre
2003- Febrero 2004).
[5] RADON. J. Über die Bestimmung von Funktionen
durchihre
Integralwerte
längs
gewisser
Mannigfaltigkeiten, 1917.
[6] RANGAYAYN, R. Biomedical image analysis. New
York: Wiley, 2002.
[7] SMITH, K.T; SOLMON, C and WAGNER, L.
Practical and mathematical aspects of the problem of
reconstructing objects from radiographs. Bull. Am. Math.
Soc, 1977. p. 1229.
Figura 3. Transformada de Radon y transformada inversa de
Radon de una imagen cerebral.
CONCLUSIONES
[8] ZHAO, S and CAI, H. A mechanical image model for
Bayesian tomographic reconstruction. St Louis: Beyond
wavelets, 2003.