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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Tema 1. Introducción a la Mecánica Cuántica
Introducción a la Mecánica Cuántica. Dualidad de la
radiación: efecto fotoeléctrico. Modelos atómicos: espectros
atómicos y átomo de Böhr. Dualidad de la materia: Hipótesis
de De Broglie; Principio de Incertidumbre. Ecuación de
Schrödinger: Pozo de potencial de paredes impenetrables;
Átomo de Hidrógeno -significado de los números cuánticos,
el espín; la Tabla Periódica.
BIBLIOGRAFÍA para el Tema 1:
-TEMA 1: • Física, Volumen 2C, Tipler-Mosca, (5ª edición)
• Physics for Computer Science Students, (2ª Edición), Springer.
Narciso García, Arthur Damask y Steven Schwarz.
• Fundamentos Físicos de la Informática y las Comunicaciones, Luís
Montoto San Miguel, Editorial Thomson.
• Diapositivas de clase.
1
1. ORIGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA. HIPOTESIS DE PLACK.
EL ESTUDIO DE LOS ESPECTROS DE LA RADIACIÓN DEL
CUERPO NEGRO, (CN)
EL CUERPO NEGRO SE PUEDE IDEALIZAR POR UNA CAVIDAD,
CON UN PEQUEÑO ORIFICIO EN ELLA.
A T < 600 ºC, la radiación
térmica emitida no es
visible. Al irse calentando el
cuerpo, aumenta la energía
radiada según la ley de
STEFAN-BOLTZMANN:
Fig. 1
Pr = eσAT 4
Pr , Potencia radiada en vatios
emisividad del cuerpo,
varia entre 0 y 1.
área
Temperatura absoluta
/ m 2 ⋅ K 4 constante de Stefan-Boltzmann
e,
σ = 5,6703 ×10 −8 W
A,
T,
2
1. ORIGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA. HIPOTESIS DE PLACK.
• LA RADIACIÓN EMITIDA POR LA CAVIDAD SE MIDE
CON UN ESPECTRÓMETRO.
• EXPERIMENTALMENTE SE OBSERVA:
1. QUE A UNA T DADA, LA POTENCIA RADIADA, Pλ
POR UNIDAD DE ÁREA Y UNIDAD DE LONGITUD DE
ONDA (λ), POSEE UN ÚNICO MÁXIMO.
2. SI AUMENTA T, Pλ AUMENTA PARA TODAS LAS λ.
3. LA λ A LA QUE SE PRODUCE EL MÁXIMO DE Pλ
DISMINUYE AL AUMENTAR T.
3
LEY DE WIEN: “LA λ
PARA LA CUAL LA
Pr ES MÁXIMA VARIA
INVERSAMENTE CON T”
λmáx
2,898 ×10 −3
=
T (K )
m
(1.1)
T = 300 K, λmáx = 9660 nm
T = 6000 K, λmáx = 483 nm
Fig. 2
4
HIPÓTESIS DE PLANCK.
(1900), PLANCK ENCONTRÓ LA FORMA DE LA FUNCIÓN
EMPÍRICA A LA QUE AJUSTAR LOS DATOS MEDIDOS DE
LA POTENCIA RADIADA, Pλ, POR EL CUERPO NEGRO.
TUVO QUE ADMITIR:
1. LOS ÁTOMOS QUE FORMAN LAS PAREDES
DEL CN OSCILAN. ESTOS OSCILADORES
PUEDEN EMITIR O ABSORBER ENERGÍAS PERO
DE FORMA CUANTIZADA O DISCRETA. UN
OSCILADOR DE FRECUENCIA, ν, SÓLO PUEDE
CAMBIAR SU ENERGÍA EN MÚLTIPLOS DE UNA
CANTIDAD DISCRETA, DENOMINADA CUANTO
DE ENERGÍA, ∆E = h , DONDE
ES LA
CONSTANTE DE PLANCK.
ν
h
5
2. LA ENERGÍA DE UN OSCILADOR ESTÁ CUANTIZADA,
ESTO ES, SUS POSIBLES VALORES ESTÁN LIMITADOS A
MÚLTIPLOS ENTEROS DEL CUANTO DE ENERGÍA hυ:
E n = n ( hν )
h = 6,62 × 10
(1.2)
−34
J ·s = 4,13 ×10
−15
eV ·s
LA IMPORTANCIA DE LA HIPÓTESIS NO FUE APRECIADA
EN TODA SU EXTENSIÓN HASTA 1905, AÑO EN QUE
EINSTEIN LA APLICÓ PARA EXPLICAR EL EFECTO
FOTOELÉCTRICO Y SUGIRIÓ QUE “LA CUANTIZACIÓN
ES UNA CARÁCTERISTICA FUNDAMENTAL DE LA
ENERGÍA LUMINOSA”. POSTERIORMENTE EN 1913
BOHR APLICÓ ESTAS IDEAS PARA FORMULAR EL
PRIMER MODELO ATÓMICO QUE EXPLICÓ LOS
ESPECTROS DE EMISIÓN Y ABSORCIÓN DEL
6
HIDROGENO.
2. NATURALEZA DUAL DE LA RADIACIÓN:
ONDULATORIA Y CORPUSCULAR.
ONDULATORIA: SE MANIFIESTA EN LOS FENÓMENOS
DE PROPAGACIÓN: INTERFERENCIAS, REFLEXIÓN
REFRACCIÓN, POLARIZACIÓN, DIFRACCIÓN, ETC.
CORPUSCULAR: SE MANIFIESTA EN LOS FENÓMENOS
DE INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA:
EL EFECTO FOTOELÉCTRICO, COMPTON, DUANEHUND, ETC.
7
NATURALEZA ONDULATORIA. BREVE INTRODUCCIÓN
Las OEM son ondas Transversales: E y B son perpendiculares
a la dirección de propagación. E y B están en fase. Se verifica la
relación: E = c B, siendo c la velocidad de la luz,
c=
1
ε 0 µ0
= 3 ⋅108 m / s
λ
Fig. 3
ONDAS
(2.1)
E y = E0 y cos(kx − ωt )
Bz = B0 z cos(kx − ωt )
8
Energía de los
fotones, E=hυ
El espectro EM
MeV
keV
eV
eV/1000
Fotones no
detectables
Fig. 4
9
Intensidad de una OEM: vector de Poynting.
Como todo tipo de onda, las OEM transportan energía y momento.
La energía promedio transportada por unidad de área y de tiempo
se llama Intensidad, es decir, la potencia media por unidad de área
incidente sobre una superficie perpendicular a la dirección de propagación. El vector de Poynting, S, es tal que el valor promedio de
su módulo coincide con el valor de la intensidad de la onda y su
dirección con la de propagación de la misma.
A
E
c
Fig. 5
B
c dt
(2.2)
1
1 2
2
dU = (ue + um )dV =  ε 0 E +
B  A cdt
2µ0
2

10
Pero ue = um ya que:
B 2 ( E / c) 2
E2
E2
um =
=
=
=
2
1
2µ0
2µ0
2µ0c
2µ0
ε 0 µ0
1
= ε 0 E 2 = ue
2
luego:
dU
EB
2
2
S( t ) =
= ε 0 E c = ε 0 EBc =
Adt
µ0
E yB
son valores instantáneos; lo que tiene interés práctico es el valor promedio de S (t), llamado intensidad
de la onda. Dado que <cos2> = 1/2 , resulta:
E0 B0 Eef Bef
I=
=
2µ0
µ0
11
En donde el vector:
r
S=
r r
E×B
µ0
(2.3)
se denomina vector de Poynting. El promedio del módulo de S es la intensidad de la onda y la dirección de S es
la de propagación de la onda:
I = <|S|> = EefBef/µ0
2
r
E0 B0 1
B
1
2
0c
I =< S >=
= ε 0 cE0 =
W / m 2 (2.4)
2µ0
2
2 µ0
12
NATURALEZA CORPUSCULAR: EFECTO FOTOELÉCTRICO
Consiste en la emisión de electrones, e, por un metal cuando es
Iluminado con un haz de frecuencia, ν, determinada. No todas
las frecuencias producen liberación de electrones.
E
+
Fig. 6
E
Ánodo: electrodo
positivo. Aquí
aparece con signo
cambiado para
estudiar el potencial de frenado.
-eE=F
13
i (mA)
is3
I3
I, intensidad luminosa, W/m2
is2
I2
I1
I3 > I2 > I1
is1
-Vr
● Para una radiación de frecuencia dada ν (un mismo
color), y varias intensidades de iluminación, se observa
experimentalmente:
Fig. 7
is, corriente de saturación
VAC
Vr, potencial de frenado,
independiente de la I
luminosa. Sólo depende
de la frecuencia, ν, de la
luz.
i=0
EC = e|Vr|, es la
energía cinética
máxima de los
fotoelectrones.
14
Siendo I (W/m2) la misma, Vr sólo depende
de la frecuencia de la luz.
n
i (mA)
Fig. 8
ν3 > ν2 > ν1
ν3
ν2
ν1
Clásicamente la I no depende
de la frecuencia de la luz.
n Estas curvas no tienen
explicación en Física Clásica
n
VAC
Vr3 Vr2 Vr1
Existe una
frecuencia
umbral, ν0, que
por debajo de
ella no se
produce efecto
fotoeléctrico.
n
Na
Al
Fig. 9
15
● Einstein sugirió que los resultados experimentales mostrados
en las Fig. 7 a 9, sólo tenían explicación si se admitía que la
energía de la luz estaba cuantizada en pequeños “paquetes” de
energía llamados “fotones” (1905).
● La energía de cada fotón viene dada por:
E = h ν = h c/λ,
donde h es la constante de Planck.
FORMULACIÓN DEL E.F.: Principio de conservación de la
Energía
(2.5)
hν=E +Ф
c
ν, se utiliza para romper la
energía de ligadura del electrón con el metal, Ф,y comunicarle
La energía de la luz incidente, h
una energía cinética de salida. Se puede encontrar un espectro
muy amplio de energías cinéticas de salidas.
16
No todos los electrones necesitan la misma energía Ф
para escapar del metal. A aquella energía cuyo valor es
la más pequeña se le llama energía de extracción o función
de trabajo del metal, Фe. En ese caso en la ecuación (2.5) la
energía cinética es máxima. Dicha ecuación toma la forma:
Ecmáx = h ν - Фe
(2.6)
Фe representa pues la energía mínima necesaria para
arrancar los electrones del metal.
De otro lado, el potencial de frenado, Vr, representa aquella
tensión aplicada entre cátodo y ánodo para la cual no se
detecta corriente eléctrica en el experimento. Justo “antes”
de este potencial, llegaban al ánodo los electrones que salieron
del metal con la energía cinética más alta. Por esa razón:
Ecmáx = e|Vr|
(2.7)
17
Combinando las ecuaciones (2) y (3) resulta:
Vr = (h/e) ν - (1/e) Фe
(2.8)
La ecuación (2.8) justifica el resultado experimental de las rectas
obtenidas en la figura 9, donde la energía cinética máxima de
un fotoelectrón o el potencial de frenado es función lineal de la
frecuencia incidente y no depende de su intensidad.
También se observa que debe existir una frecuencia para la cual
la energía cinética máxima o el potencial de retardo es cero. A
esa frecuencia se le llama frecuencia umbral, ν0. En ese caso
no hay emisión de electrones. Su valor es:
ν0 = Фe /h
(2.9)
18
A partir de la interpretación de Einstein del EF, la intensidad
de la radiación se puede escribir como:
ó
I = N hν
I = N’ hν c
(2.10)
donde N representa el número de fotones incidentes por unidad
de área y unidad de tiempo de la radiación EM y hν la energía
de cada fotón; N´ representa el número de fotones por m3.
Recordando la descripción ondulatoria, la intensidad I vale:
1
I = ε 0 E02 c
2
De manera que para hacer compatibles ambas descripciones,
la naturaleza ondulatoria y la corpuscular se admite hoy día que:
El cuadrado de la amplitud del campo, E02 es proporcional
a la probabilidad de localizar a los fotones en un volumen
elemental en un punto y en un instante.
19
¿Cuándo debemos usar el modelo ondulatorio o el modelo
corpuscular?. Dependerá esencialmente de la frecuencia
de la radiación.
En la figura 4 se observa que para frecuencias inferiores a
1012 ya prácticamente la energía de los fotones incidentes
es casi nula. También se debe tener en cuenta la energía
que se necesita en la interacción entre un sistema y la
radiación. Por todo ello, en general, la propagación de la
luz se rige por propiedades ondulatorias pero el intercambio
de energía entre luz y materia viene determinado por sus propiedades corpusculares.
Esta dualidad onda-corpúsculo es una propiedad general de
la naturaleza. Así, los electrones y otras partículas también
se propagan como ondas e intercambian energía como
corpúsculos.
20
Hoy día el EF tiene multitud de aplicaciones. Una de ellas
es la Espectroscopia de Fotoelectrones (XPS). Con esta
técnica se permite obtener información sobre las propiedades
químicas, físicas y electrónicas de las primeras capas de los
sólidos (20 -30 A). El interés tecnológico de esta información
es esencial en campos como la corrosión, materiales
electrónicos, tratamientos superficiales en metales, aleaciones,
fibras y polímeros, etc.
Direcciones Web donde se puede encontrar experiencias
sobre el efecto fotoeléctrico. Es recomendable estudiarlas.
http://www.ifae.es/xec/phot2.html
(1)
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap28/PhotoEffect/photo.htm
http://www.walter-fendt.de/ph11s/photoeffect_s.htm
(2)
(3)
http://bib.us.es/guiaspormaterias/ayuda_invest/fisica/gpm_recurweb01.htm#3
21
3. MODELOS ATÓMICOS: ESPECTROS ATÓMICOS Y
ÁTOMO DE BÖHR.
Espectro: Conjunto de radiaciones de determinadas
frecuencias que emiten o absorben los átomos excitados.
Estas frecuencias se determinan con gran precisión.
Excitación: 1. mediante descargas eléctricas
2. calentamiento
3. irradiación con electrones
4. irradiación con fotones.
El espectro de emisión por descarga de un gas a
baja presión suele ser un espectro de líneas. Cada
gas tiene su propio espectro. Es algo así como su
DNI.
22
Espectro visible
continuo
Espectro del
hidrogeno
Espectro del
helio
Espectro del
bario
Espectro del
mercurio
violeta
azul
línea roja
23
La investigación de los espectros atómicos ha sido de gran
importancia en el estudio de la estructura atómica y el problema de establecer sus leyes fundamentales permitió utilizar por
primera vez la teoría cuántica del átomo.
En el caso del espectro del hidrogeno, la ley de distribución
de las diversas longitudes de onda de este grupo de líneas
fue descubierta para el espectro visible (V), en 1885, por Balmer.
Su ley para m = 2 es:
(3.1)
1 
 1
= R 2 − 2 
λ
m n 
1
Fórmula de Rydberg-Ritz
donde λ representa la longitud de onda, R es una constante,
llamada constante de Rydberg, m y n (con n>m) números
enteros, siendo m constante para una serie dada.
24
Si la longitud de onda se expresan en metros, y, por tanto,
su inversa, llamada número de ondas en m-1, la constante
de Rydberg vale: R = 1,09737×107 m-1.
Para m = 1 y n = 2, 3, , se obtiene la serie de Lyman (UV)
Para m = 2 y n =3, 4, ., la serie de Balmer (V)
Para m = 3 y n =4, 5, , se obtiene la serie de Paschen (región IR)
Para m = 4 y n =5, 6, , se obtiene la serie de Brackett (IR)
Para m = 5 y n =6, 7, , se obtiene la serie de Pfund (IR)
Observemos que a medida que aumenta n, su cociente tiende
a cero, por lo que existe un límite de λ para cada serie espectral:
1/λ = R/m2 (3.2)
En 1913, el físico danés Niels Bohr, combinando el esquema
del átomo de Rutherford con las ideas de Planck y Einstein sobre
los intercambios de energía entre la materia y la luz propuso
25
el primer modelo cuántico del átomo.
POSTULADOS DE BOHR
• La fórmula (3.1) es empírica y todos los intentos realizados
para deducirla clásicamente han sido infructuosos.
• En 1911, Rutherford atribuía al átomo una estructura análoga
al sistema solar: un núcleo cargado positivamente alrededor
del cual giran los electrones. Pero según las leyes clásicas del
electromagnetismo toda carga acelerada debe emitir al espacio
ondas electromagnéticas. Al mismo tiempo su energía debe
disminuir y, como consecuencia, deberá precipitarse sobre el
átomo. Esta interpretación está en desacuerdo con la estabi-lidad mostrada por los átomos.
-
• También, cuando el electrón se apro—
xima al núcleo, el período y, por tanto,
la frecuencia de la radiación emitida,
debe variar de forma continua. Sin
embargo la experiencia decía que el
espectro de emisión de los átomos 26
es discreto.
• BOHR (1913) Parte de los postulados siguientes:
Postulado mecánico: Los electrones se mueven en ciertas
orbitas estacionarias caracterizadas por la condición de que
el momento angular L del electrón es igual a un número
entero de la magnitud h = h / 2π
(3.3)
h
L = mvr = n
2π
:
n = 1, 2, 3, …
donde h es la constante de Planck, m la masa del electrón, r, el
radio de su órbita y v su velocidad lineal.
Postulado óptico: (a) En las órbitas estacionarias, el movimiento
de los electrones no va acompañado de emisión de radiación,
(b) Cuando un electrón pasa de una órbita a otra se produce la
emisión o absorción de un cuanto de energía.
27
El cuanto de energía emitido o absorbido, hν, es igual a la
diferencia de las energías E1 y E2 del átomo en los estados
inicial y final, respectivamente.
E2
hν
hν
E1
Al excitar el electrón del átomo que está en el estado E1 éste
pasa a un estado excitado E2 después de haber absorbido
exactamente la energía correspondiente a la diferencia E2- E1.
En el estado excitado está un tiempo muy breve, del orden de
los nanosegundos, y vuelve a su estado normal emitiendo
energía en forma de fotón hν igual a lo que absorbió:
E2 – E1 = h ν
Sistema atómico en su estado
fundamental ó estacionario:
mínimo de energía y no radiante
(independiente del tiempo)
+ Energía
radiante
(3.4)
Sistema
excitado
28
Teoría del átomo de hidrogeno: Aunque muchos de los
resultados del modelo atómico de Bohr son correctos, no
dan, sin embargo, una idea exacta de la realidad. Por ello,
dicho modelo ha sido sustituido por teorías más elaboradas
basadas en la Mecánica Cuántica.
-e
(3.5)
1
2
2
2
2
e
v
e
ke
2
F=
=
=m ⇒v =
2
4πε 0 r
r
4πε 0 mr mr
2
(3.6)
v
F
+
+e
2
nh
L = mvr = nh ⇒ v = 2 2
mr
2
De aquí se obtiene el radio como una función discreta de n:
2
h
rn = n
2
mke
(3.7)
2
Para n = 1, sustituyendo ħ, m, e y k =1/(4πεo)
por sus valores resulta r1 = 0,5 Å. conocido
29
como radio de Bohr.
De otro lado la energía del electrón está constituida por la energía
potencial de interacción del núcleo y del electrón y por la energía
cinética del electrón alrededor del núcleo. Si E es la energía total,
EC la cinética y EP la potencial, tendremos:
ke 2
E = EC + EP = −
2r
(3.8)
donde se ha tenido en cuenta la expresión de la velocidad al
cuadrado dado por (3.5). El signo negativo significa que el electrón
está atrapado por la fuerza interactiva con el núcleo y no puede
salir sin ayuda externa.
Si introducimos en (3.8) el valor de r dado por (3.7) resulta:
2
(3.9)
4
k me 1
En = −
2
2
2h n
(n = 1,2,3,...)
30
Observamos a partir de la expresión (3.9)
que la energía está cuantizada. El número cuántico n recibe el nombre de número cuántico principal . El valor de n determina el estado de energía. Cuando n
aumenta la energía aumenta, es decir, se
hace menos negativa que para enteros
pequeños. La energía requerida para
llevar al electrón desde el estado más
bajo al infinito recibe el nombre de
energía de ionización de dicho estado.
En el caso del hidrogeno se observa en el
gráfico que es 13,6 eV. El valor cero de la
energía corresponde a la separación
completa del protón y el electrón. La
órbita n = 1, que corresponde al estado
de energía más pequeño, es el estado
31
fundamental o normal.
El estado fundamental es el más estable.
Si aplicamos el segundo postulado de Bohr podremos ahora
deducir las frecuencias de la radiación que puede emitir o
absorber el átomo de hidrogeno. De acuerdo con las
ecuaciones (3.4) y (3.9) se obtiene:
Ei − E f
2π 2 me 4  1
1 
ν=
=−
− 2
2 3  2
h
(4πε 0 ) h  ni n f 
(3.10)
o bien en función del número de ondas, 1/λ, resulta:
 1

2π 2 me 4  1
1 
1


=
−
=
R
−
 n2 n2 
λ (4πε 0 ) 2 h 3c  n 2f ni2 
i 
 f
1
(3.11)
32
En la expresión (3.11) c es la velocidad de la luz y R la constante
de Rydberg. En esta expresión debemos tener en cuenta que si
se trata de una emisión entonces:
n f = 1,2,... y
ni = n f + 1, n f + 2, ...
Así si el estado final es por ejemplo 2, entonces el estado inicial
podría ser el 3, el 4, el 5, etc. Es decir el electrón pasa del estado
3 al 2, ó del 4 al 2, etc., emitiendo el correspondiente fotón con la
frecuencia o longitud de onda adecuada a esa emisión.
Para la absorción, si el electrón está en el estado n = 1, puede
pasar, al absorber fotones, a los estados n = 2, 3, etc. dependiendo
de la energía del fotón absorbido. Los estados superiores al fundamental, estados excitados, suelen ser inestables de manera que
permanecen en ese estado un corto tiempo, del orden de nanosegundos, emitiendo un fotón de energía correspondiente a la diferencia de estados y pasando al fundamental.
33
CONCLUSIONES: LA TEORÍA DE BOHR PONE DE
MANIFIESTO:
1. LA EXISTENCIA DE NIVELES DISCRETOS DE
ENERGÍA DE LOS ELECTRONES EN LOS ÁTOMOS.
2. EXPLICA LOS ESPECTRO DE LINEAS DE ACUERDO
CON LA EXPERIENCIA.
3. LA EXISTENCIA DE ESTADOS ESTACIONARIOS.
4. QUE LA INTERACCIÓN ENTRE LA RADIACIÓN Y LA
MATERIA SE HACE MEDIANTE EL INTERCAMBIO DE
FOTONES.
Es aconsejable visitar la siguiente dirección Web:
http://www.walter-fendt.de/ph11s/bohrh_s.htm
34
4. DUALIDAD DE LA MATERIA: HIPOTESIS DE LOUIS DE
BROGLIE
La naturaleza dual de la radiación llevó a De Broglie, en 1925, a
la conclusión de que la materia, lo mismo que la radiación, presenta un carácter dual. La ecuación de Einstein que relaciona la
energía total E, la energía en reposo m0c2 y el momento lineal p:
(4.1)
E = (m0 c ) + (cp)
2
2 2
2
E
cp
m0 c
2
que para la radiación electromagnética, fotones, cuya masa en
reposo es m0 = 0 se transforma en E = cp y por tanto:
E hν h
p= =
=
c
c
λ
h
λ=
p
(4.2)
Según De Broglie, (4.2) debe ser también válida para partículas
35
materiales (electrones, protones, etc.)
Para De Broglie si E representa la energía de un corpúsculo,
p su momento lineal y λ la longitud de onda (de las ondas de
materia), entonces:
E = hν
h
y λ=
p
(4.3)
Observar que para la radiación, conociendo sólo la energía E,
podemos conocer la frecuencia, la longitud de onda y el
momento lineal.
Para partículas materiales el conocimiento de E no permite
la determinación de la longitud de onda. Para usar la relación
de De Broglie, λ = h/p, hace falta el valor de p a través de
E = p2/2m y por tanto es necesario conocer la masa del
corpúsculo, m.
En síntesis, para partículas no se puede aplicar la relación
λν = c que es propia de la radiación.
36
ORBITAS Y ONDAS DE DE BROGLIE
h
Si ordenamos la ecuación (3.3):
L = mvr = n
2π
h
h
se obtiene: 2πr = n
= n = nλ (4.4)
mv
p
Es decir, la condición cuántica de Bohr expresa que la órbita circular puede tener un número entero de longitudes de onda de De
Broglie. Esto sería la interpretación de la cuantización del momento
angular L en función de la longitud de onda de De Broglie.
http://www.walter-fendt.de/ph11s/bohrh_s.htm
Los fenómenos de interferencia y difracción realizados con
partículas materiales han demostrado su naturaleza
ondulatoria y las longitudes de onda obtenidas confirman la
hipótesis de De Broglie. Una de estas experiencias fue
realizada en 1927 por Davisson-Germer y por Thomson. 37
(A)
(C)
(B)
(D)
Diagramas de interferencias producidos por electrones al incidir sobre
una barrera que tiene dos ranuras: (A) 100 electrones; (B) 3000 e; (C)
20.000 e; (D) 70.000 e. En (D) se observan claramente las franjas de
interferencias. Los máximos y mínimos muestran la naturaleza
ondulatoria del electrón al atravesar las ranuras. Los puntos individuales
sobre la pantalla indican la naturaleza corpuscular del electrón al
intercambiar su energía con el detector. Los diagramas son los mismos
38
si en lugar de electrones se utilizan fotones, es decir, radiación.
Detectores
A
Fuente
de electrones
B
Nº de impactos
Cuando un haz de electrones se hace pasar por dos rendijas A y
B se comporta de forma idéntica a como lo hace un haz de fotones
39
Conclusiones sobre los corpúsculos materiales.
1. Se detectan como cuerpos puntuales
2. Se propagan y distribuyen espacialmente de forma
probable y controlada por el campo de materia. No
son como las ondas electromagnéticas o las ondas
en cuerdas.
3. No tiene sentido atribuir trayectorias.
4. Cualquier experimento destinado a conocer algo
nuevo sobre ellos cambia necesariamente su
estado y por tanto la función de onda que se le
atribuye.
De Broglie atribuye una onda piloto a toda partícula que posee
un momento p y una energía E, pero no interpretó su sentido
físico ni da un método para conocer la evolución del campo de
materia en un campo de fuerzas estacionario o variable con el
tiempo.
40
Interpretación de la función de onda material Ψ (r, t)
En 1928 otro científico, BORN, dio la interpretación física
de la función de onda de materia de manera análoga a la
interpretación encontrada para la dualidad de la radiación
electromagnética.
Recordemos que:
“El cuadrado de la amplitud del campo eléctrico, es
proporcional a la probabilidad de localizar a los fotones en
un volumen elemental en un punto y en un instante.”
Born, interpretó que lo que tiene sentido físico no es la expresión matemática de la función de onda, que normalmente es
una función compleja, sino el cuadrado de la función. Por ello,
2
Ψ (r , t ) representa la probabilidad por unidad de volumen de
encontrar la partícula material en un entorno de un punto r (x, y,
z) y en un instante t.
Así, la probabilidad P vale:
2
P = ∫ Ψ (r , t ) dV
V
(4.5)
41
Refiriéndonos a un movimiento unidireccional, la probabilidad
de encontrar la partícula en cualquier punto del eje es la unidad
(certeza) y la función Ψ debe verificar la llamada condición de
normalización:
2
+∞
Ψ (r , t ) dx = 1 (4.6)
∫
−∞
La función Ψ de un electrón se puede obtener como la superposición (combinación lineal) de dos o más funciones de ondas,
Ψ1, Ψ2, etc. correspondientes al mismo electrón. Pero esto no
significa que la partícula se divida en dos o más, sino que será
más probable localizarla donde el cuadrado de la amplitud sea
mayor. Es decir en el mundo cuántico se puede dar la interferencia de dos funciones de ondas asociadas al mismo electrón
y no a dos electrones diferentes. Lo mismo se puede decir de
un fotón.
42
5. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
Nos proporciona los límites de precisión con que podemos
describir el movimiento de las micropartículas. En el mundo
cuántico lo que verdaderamente ocurre es que el propio
procedimiento de medida perturba al sistema que se desea
medir, existiendo una incertidumbre característica e inevitable
entre el aparato medidor y el sistema cuántico. El principio de
incertidumbre (PI), está referido a dos tipos de variables,
llamadas conjugadas. El producto de ellas viene expresado por
una energía por un tiempo. Un par de estas variables es la
posición y el momento lineal. El otro par es la energía y el
tiempo. Veamos sus enunciados.
(a)Incertidumbre posición-momento.
En un experimento no se puede determinar simultáneamente
y con toda precisión una componente del momento de una
partícula y la posición de la coordenada correspondiente.
43
Matemáticamente, si elegimos la coordenada x, entonces
resulta:
(5.1)
∆x∆p x ≥ h / 2
Obsérvese lo siguiente: (a) Las limitaciones impuestas por el
PI no tienen relación con la calidad del instrumento de medida.
Con un instrumento ideal, lo mejor que podemos hacer es
verificar el PI, (b) El PI no dice que no se pueda determinar
la posición o el momento con toda la exactitud que sea posible.
Sin embargo si la incertidumbre en la posición es cero entonces
la incertidumbre en el momento es infinita (c) El PI es conse-cuencia directa de la hipótesis de De Broglie, que a su vez está
confirmada por experiencias, (d) El PI hace que se descarte el
el concepto de trayectoria en su sentido clásico. En su lugar se
introducirá el concepto de orbital, que es un concepto probabi-listico y se define como aquella región espacial donde la probabilidad de encontrar a la partícula es del 95 %..
44
Ejemplo que puede ilustrar el PI: Tratemos de observar un
electrón con un microscopio especial. Para ello tendremos
que iluminarlo con luz, compuesta por fotones de momento
lineal p=h/λ. Al iluminar los fotones colisionan con el electrón
y éste experimenta un cambio en su momento. Si tratamos
de que este cambio sea mínimo, tendremos que aumentar la
longitud de onda de la luz para que así la energía de los
fotones sea mas pequeña. Pero en ese caso se vería peor
ya que para verlo necesitamos una luz adecuada, es decir,
una luz cuya λ sea del tamaño del objeto. Como se intuye en
este experimento ideal, se implica que mejor visión da lugar
a mayor imprecisión en el momento del electrón y menor
imprecisión en el momento da lugar a peor visión y por tanto
mayor imprecisión en la posición. Como también podemos
intuir no es un problema de la medida sino que es inherente
al mundo cuántico.
45
(b) Incertidumbre energía-tiempo.
Una relación similar a (5.1) se verifica entre la incertidumbre
en la energía ∆E y la del tiempo ∆t en que tiene lugar la
emisión o transferencia de la energía:
∆E∆t ≥ h / 2
Esta relación nos indica que es imposible conocer con
precisión la energía de un sistema en evolución.
Para que la energía esté definida y consecuentemente ∆E = 0
es preciso de acuerdo con el PI que ∆t =∞, es decir, el sistema
no evolucione. Por ejemplo la energía del estado fundamental
del electrón del hidrogeno se puede conocer con total precisión.
Sin embargo no se conoce con absoluta precisión la energía de
un estado excitado. En estos estados el electrón está del orden
de los nanosegundos, duración del estado excitado, y a conti-nuación el sistema se desexcita emitiendo un fotón.
46
6. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
En 1925 se desarrolla una nueva teoría cuántica en la que
además de tener en cuenta los principios clásicos de conservación de la energía, del momento lineal y del momento angular, se introducen los hechos ya establecidos y que supusieron una nueva concepción de la física: (a) la dualidad, (b) la
incertidumbre y (c) la cuantización o carácter discreto de las
magnitudes atómicas.
En este nuevo desarrollo se siguen dos concepciones distintas,
una debida a Schrödinger, basada en el dualismo y otra debida
a Heisenberg, basada en la cuantización. Posteriormente Dirac
demuestra que ambas teorías eran equivalentes.
El problema central de la mecánica cuántica es la determinación
de la función de onda, Ψ (r ,t) para cada partícula o sistema.
Esto requiere el conocimiento de fuerzas actuantes y energía
del sistema. Operando después sobre ella se logra sacar la 47
información del mismo.
La ecuación de Schrödinger es una ecuación en derivadas parciales en el espacio y el tiempo y de la misma forma que las leyes de
movimiento de Newton carece de deducción. Su justificación proviene del hecho de que sus predicciones están de acuerdo con
los resultados experimentales. En una dimensión la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo toma la forma:
h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
∂Ψ ( x, t )
−
+ U ( x , t ) Ψ ( x , t ) = jh
2
2m ∂x
∂t
(6.1)
donde U(x,t) es la función de energía potencial del sistema.
Las soluciones de esta ecuación, en general, no son reales.
Ψ (r ,t) no es una función medible como las funciones de ondas
clásicas correspondiente a las ondas electromagnéticas. Lo único que tiene sentido físico, como ya se comentó, es el cuadrado
de su módulo, que representa una probabilidad por unidad de
volumen o densidad de probabilidad.
48
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para estados
estacionarios, independientes del tiempo, son de gran
interés. Ya hemos visto cómo los estados cuantizados de los
niveles de energía de un electrón en un átomo de hidrogeno
corresponden a estados estacionarios con diferentes
posiciones en la onda donde la amplitud se anula. Igual
ocurría en la mecánica clásica cuando se observa la forma
de oscilar de la cuerda sujeta por sus extremos. Son
sistemas vibratorios de amplitud variable con la posición que
no se propagan, confinados en un recinto, Son las ondas
estacionarias. En ellas la amplitud depende de la posición,
de manera que la onda se puede expresar como el producto
de su parte espacial por su parte temporal. Si admitimos que
la función de onda es de tipo estacionaria podemos escribir:
(6.2)
Ψ ( x, t ) = ψ ( x )e
− jωt
49
Si la expresión (6.2) la introducimos en la ecuación (6.1) y se simplifica resulta la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
h 2 ∂ 2ψ ( x)
−
+ U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x)
(6.3)
2
2m ∂x
Para ello es necesario que la energía potencial U sólo dependa
de la posición.
La función U representa la energía potencial de interacción en el
entorno de la partícula que se desea describir. Esta función junto
con las condiciones de contorno especificas en cada ecuación de
Schrödinger es la que establece las diferencias entre distintos
problemas, de manera análoga a como lo hacen las distintas
expresiones de las fuerzas que actúan sobre una partícula y las
condiciones iniciales de movimiento en física clásica.
El cálculo de niveles energéticos permitidos en un sistema se relaciona con la ecuación independiente del tiempo, mientras que la determinación de las probabilidades de transición entre estos niveles
50
se relaciona con la ecuación temporal.
7. POZO DE POTENCIAL DE PAREDES IMPENETRABLES.
La solución de este tipo de problemas tiene interés por tres razones: (1) Permite, sin dificultad, obtener y operar con las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, (2)
Se asemeja a la realidad en el caso del movimiento de un electrón de conducción en un metal y (3) porque formalmente es
análogo a las oscilaciones de ondas estacionarias en una cuerda
tensa fija por sus extremos.
U (x)∞
∞
m
0
p
L
Sea m la masa de la partícula que se
mueve a lo largo del eje x en un intervalo de longitud L, siendo 0≤ x≤L. El
considerar paredes impenetrables supone admitir que la energía potencial
del pozo en x=0 y x=L es infinita, esto
x es, U (x) =∞ en los límites del pozo y
fuera del pozo.
51
La partícula está, por tanto, obligada a moverse dentro del pozo
de potencial. Esto significa que la función de onda ψ(x) debe
anularse en x = 0 y en x = L. Al considerar la partícula en el
fondo del pozo su energía potencial es nula y la ecuación de
Schrödinger toma la forma:
(7.1)
d ψ ( x)
2
+
k
ψ =0
2
dx
2
llamando
2mE
k = 2
h
2
(7.3)
Una de las soluciones de esta ecuación (7.1) es de la forma:
(7.4)
ψ ( x) = Asenkx + B cos kx
Pero como debe anularse en x = 0, se exige que B = 0. Por ello,
la expresión (7.4) se convierte en:
(7.5)
ψ ( x) = Asenkx
Por otra parte la exigencia de que (7.5) se anule en x = L
supone que:
52
(7.6)
ψ ( L) = AsenkL = 0
Esta sólo se cumple si kL es π o cualquier múltiplo de π, es
decir, si k toma los valores dados por:
(7.7)
kn = n
π
L
, n = 1,2,3,...
Hay que descartar el que n tome el valor cero. Sería solución
de (7.6) pero ésta solución no tiene sentido físico ya que nos
quedamos sin función de onda, no se podría normalizar y además violaría el Principio de Heisenberg.
Combinando las expresiones (7.3) y (7.7) obtenemos los
valores para la energía:
(7.8)
2


n 2π 2 h 2
h
2
2


En =
=
n
=
n
E1
2
2 

2mL
 8mL 
Es decir, la energía está cuantizada.
53
donde
h2
E1 =
8mL2
(7.9)
es la energía del estado fundamental. Cualquier estado excitado
posee una energía que depende de n según la relación:
(7.10)
En = n E1
2
Las funciones de ondas que representan al electrón dependen
de n y toman la forma:
nπx
(7.11)
ψ n ( x) = Asen
L
La constante A se determina mediante la condición de normalización. Puesto que la partícula debe estar en todo instante
dentro de la caja, se exige que la probabilidad de encontrarse
dentro de la misma ente 0 y L debe ser la unidad.
54
Esto es:
∫
L
0
ψ ( x) 2 dx = ∫
L
0
2
n
π
x
A


A2 sen 2 
dx =
2
 L 
∫
L
0
2nπx 
A2 L

=1
1 − cos
dx =
L 
2

Se encuentra que el valor de A es:
A=
2
L
(7.12)
(7.13)
Así la expresión de las funciones de onda para una partícula
dentro de un pozo de potencial infinito es:
ψn =
2
 nπx 
sen

L  L 
(7.14)
Para cada valor de n (1, 2,..) se obtiene su correspondiente
función propia ψ1, ψ2, y sus correspondientes densidades
de probabilidades. Esto se puede ver en la figura siguiente.
55
ψ 1 ( x) =
2
π
sen( x)
L
L
Estado fundamental
ψ 2 ( x) =
2
2π
sen(
x)
L
L
Primer estado
excitado
ψ 3 ( x) =
2
3π
sen( x)
L
L
Segundo estado
excitado
56
Principio de correspondencia de Bohr.
Puede observarse de la figura anterior que en el estado fundamental, la posición más probable para encontrar a la
partícula es L/2. En el primer estado excitado existen dos
posiciones con igual probabilidad, máxima, de encontrar a la
partícula. Corresponde a L/4 y 3L/4, pero es nula para L/2. En
el segundo estado excitado, n=3, los máximos de probabilidad
están situados en L/6, L/2 y 5L/6. A medida que aumentamos n
podemos intuir que los valores de los máximos de probabilidad
estarían tan próximos que la probabilidad de encontrar a la
partícula en cualquier punto de la caja tiende a ser constante.
Esto es precisamente lo que daría como resultado la Física
Clásica, que la probabilidad de encontrar a la partícula en
cualquier punto de la caja es la misma. Esto sería un ejemplo
del principio de correspondencia de Bohr, que dice: En el límite
de los números cuánticos muy grandes, los resultados clásico y
cuántico deben ser coincidentes.
57
Pozo de potencial de altura finita. Efecto túnel
En este caso la energía potencial del pozo ya no sería infinita,
sino que debe cumplirse que: U(x) = U para x = 0 y x = L. Si la
energía total de la partícula E es inferior a la potencial U, la
Física Clásica impide que la partícula pueda encontrarse fuera
de estas regiones, porque al ser E=U+Ec, siendo Ec la energía
cinética, ésta tendría que ser negativa y ello es imposible. La
partícula estaría rebotando en las paredes. Sin embargo la
Física Cuántica encuentra una cierta probabilidad de
encontrar a la partícula fuera de los límites establecidos. Es
decir, la función de onda no se anula en los extremos del pozo
sino que penetra una cierta distancia. Esto es consecuencia
de la dualidad onda-corpúsculo. Si las paredes del pozo
fuesen muy estrechas entonces habría una cierta probabilidad
de que la partícula escapara del mismo. A este fenómeno se
le conoce como Efecto túnel.
58
La interpretación de Copenhague del efecto túnel
está basado en el principio de Heisenberg. Según
el PI existe una indeterminación en el momento
de una partícula ∆px dentro del pozo de forma
que la energía cinética de la misma puede
fluctuar entre:
U
ψ(x)
( px ± ∆px )2
2m
x=0
x=L
Si τ es la duración media de esa fluctuación
también el PI nos llevaría a la relación:
τ ⋅ ∆E ≥ h / 2
Pero si τ > ∆t, siendo ∆t el tiempo que la partícula tarda en recorrer el espesor de la barrera, es posible que en este tiempo la
energía de la partícula sea suficiente, mayor que la U, como para
pasar la barrera.
Las aplicaciones del efecto túnel son espectaculares: desde simples diodos hasta microscopios capaces
de generar imágenes tridimensionales de superficies o hacer cambios en la composición molecular de las
59
sustancias. Hoy día es esencial en nanotecnología o en nanociencia.
Principio de superposición
El estado más general de un sistema cuántico Ψ(x,t) es una
superposición de estados propios o funciones propias. En el
caso del pozo unidimensional de paredes infinitas resulta:
Ψ ( x, t ) = ∑ ciψ i = ci
2
nπ
sen
xe
L
L
−
jE n
t
h
lo que significa que el sistema puede encontrarse en uno cualquiera de los estados ψi y la probabilidad de que resulte este
2
c
estado tras realizar una medida es: i
Evidentemente la suma de los cuadrados de estos coeficientes
debe ser la unidad ya que corresponde a la probabilidad de un
conjunto de sucesos independientes.
Interpretación ortodoxa de Copenhague: Un sistema físico existe
en uno y sólo uno de sus estados posibles después de realizar
una medición. Es decir después de observarlo y por lo tanto
después de haber interferido en el sistema físico como tal.
60
La observación no tiene que ser forzosamente a través de
la vista, puede ser cualquier otro sentido que nos aporte
información sobre el sistema físico a medir. Antes de la
medición, el sistema no posee existencia física y sólo
puede describirse en términos de la probabilidad de cada
posible resultado de una medición.
61
8. ÁTOMO DE HIDROGENO. SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS
CUÁNTICOS. ESPÍN DEL ELECTRÓN.
EL ÁTOMO DE BOHR CONSTITUYÓ UNA PRIMERA APROXIMACIÓN PORQUE (A) CONSIDERA ORBITAS PLANAS Y
CIRCULARES, (B) VIOLA EL PRINCIPIO DE HEISENBERG,
YA QUE DETERMINA ORBITAS.
LA MC SUBSANA ESTAS LIMITACIONES INTRODUCIENDO
(A) ORBITAL EN LUGAR DE ORBITA. EL ORBITAL ES AQUE
LLA RÉGIÓN ESPACIAL DONDE HAY UN 95 % DE PROBABILIDAD DE ENCONTRAR AL ELECTRÓN Y (B) EL ÁTOMO ES
UNA REALIDAD TRIDIMENSIONAL. LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖRINDER AL ÁTOMO DE H, NO SÓLO CONFIRMÓ ALGUNOS DE LOS RESULTADOS DE BOHR SINO QUE
EXPLICÓ OTROS NUEVOS. TAMBIÉN INTRODUJO NUEVOS
NÚMEROS CUÁNTICOS.
62
EL ÁTOMO DE H, ESTÁ FORMADO POR UN PROTÓN, QUE
LO PODEMOS SUPONER EN EL ORIGEN DE COORDENADAS
Y EL ELECTRÓN A DISTANCIA r DEL NÚCLEO. SU ENERGÍA
e2 1
POTENCIAL ES:
E =−
p
4πε 0 r
AL SER EP = f(r), EL PROBLEMA POSEE SIMETRÍA
ESFÉRICA Y POR ELLO ES CONVENIENTE USAR COORDENADAS ESFÉRICAS: (r, θ, φ). LA FUNCIÓN DE ONDAS
DEL ELECTRÓN SE PUEDE ESCRIBIR COMO EL
PRODUCTO DE TRES FUNCIONES, UNA PARA CADA
COORDENADA:
Z
ψ (r ,θ , φ ) = R(r )Θ(θ )Φ (φ )
θ
r
representa los posibles estados de un
Y
+
electrón ligado a un átomo
φ
X
63
LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO EN COORDENADAS ESFÉRICAS
PROPORCIONA LOS NÚMEROS CUÁNTICOS:
n, l y ml
POSTERIORMENTE Y PARA EXPLICAR LAS LÍNEAS DOBLES
DEL ESPECTRO DE ALGUNOS ÁTOMOS, COMO EL DE SODIO, HUBO NECESIDAD DE INTRO DUCIR UN CUARTO
NÚMERO LLAMADO DE ESPÍN, m :
s
NÚMEROS CUÁNTICOS DEL ELECTRÓN LIGADO A
UN ÁTOMO:
n, l , ml , ms
n, Número cuántico principal. Coincide con el obtenido por Bohr.
toma los valores 1, 2, 3, …etc. Determina el nivel o capa en
el que se encuentra el electrón. Se relaciona con la energía,
que para el H sólo depende exclusivamente de n y su valor
64
es idéntico al obtenido por Bohr:
13,6
En = − 2 eV
n
Para n = 1, se le asigna la capa K; n = 2, la L, n = 3 la M, etc.
El conjunto de estados del mismo número n se denomina capa.
También determina el tamaño de los orbitales.
l , número cuántico orbital o secundario. Determina el subnivel
o subcapa en el que se encuentra el electrón y la forma geométrica de los orbitales. Los valores que puede tomar son:
0, 1, 2, ….n-1. Se le relaciona con el momento angular orbital
cuyo módulo vale: L = h l (l + 1) .Este resultado no concuerda
con el que postuló Bohr.
Subniveles
energéticos
l = 0 orbital s,
l = 1 p,
l = 2 d,
l = 3 f,
esféricos
lobulados
65
ml , Número cuántico magnético o espacial. Caracteriza la
componente del momento angular del electrón en la
dirección de un campo magnético externo, a la que
usualmente se le asigna la OZ, de manera que Lz =mℓħ .
Por lo tanto, para cada valor de ℓ existen 2 ℓ+1 valores de
mℓ. Así tomará los valores: 0, ±1, ±2, ±3,….± ℓ
Lz
2ħ
Si ℓ = 2, mℓ = 0, 1, 2, -1, -2
1ħ
0
-1ħ
L = h 2(2 + 1) = 6h
L
Cuando se aplica un campo magnético, la energía no sólo depende de n
sino también de mℓ. (Efecto Zeeman)
-2ħ
66
Estados degenerados: Aquellos a los que corresponde la misma
energía pero con diferentes números cuánticos.
Para el átomo de H, la energía sólo depende de n. Cuanto
mayor es n, mayor es el número de estados degenerados.
Por ej. para n = 2, le corresponde 4 estados, dados por las
funciones: ψ200 ψ210 ψ21-1 ψ211. Estos estados se asignan
a partir de n = 2, con ℓ =0 ó 1 y mℓ = 0, 1, -1, entonces el
primer estado es la combinación 2,0,0, el segundo el 2,1,0
el tercero el 2,1,1 y el cuarto el 2,1,-1.
Para n = 3, el número de estado es 9. En general el número
de estados degenerados es n2. Ya veremos que cuando
tengamos en cuenta los dos posibles valores del espín, este
número pasa a ser 2n2.
67
Diagrama de niveles energéticos
para el hidrogeno. Las líneas diagonales corresponden a transiciones que implican la emisión o absorción de radiación y obedecen
la regla de selección ∆ℓ = ±1. Los
estados con el mismo valor de n,
pero con valores distintos de ℓ,
poseen la misma energía -13,6/n2
eV, como en el modelo de Bohr.
Las reglas de selección están justificadas en estudios teóricos y experimentales de los espectros. Se
dedujo que sólo son posibles aquellas rayas correspondientes a las
transiciones electrónicas que cumplen: ∆l = ±1; ∆ml = 0,±1
68
número cuántico de espín. Surge al explicar ciertos
ms detalles
de los espectros atómicos. Por ejemplo, muchas
líneas de los espectros al ser observadas con potentes
espectroscopios, y sin la presencia de campos
magnéticos externos, aparecen compuestas por dos o
más líneas muy juntas. Por ello se introdujo este cuarto
número cuántico en 1925 por Uhlenbeck y Goudsmit.
Dieron una idea clásica, que hoy no se sostiene pero que
es muy utilizada, de que el electrón al mismo tiempo que
gira alrededor del núcleo posee un movimiento de
rotación sobre si mismo. Toma los valores ±1/2
Además de su masa y carga
eléctrica, los electrones tienen
una cantidad intrínseca de
momento angular, el espín,
casi como si fuesen canicas
69
que rotan.
A consecuencia del espín se produce una duplicación de los
posibles estados de un electrón en un átomo, uno corresponde
a +1/2 y el otro a -1/2.
El espín del electrón obedece a las mismas reglas de cuantización que su momento angular orbital, por tanto:
3
1
S = s ( s + 1)h =
h con s =
2
2
1
S z = ms h con ms = ±
2
donde S y Sz representan, respectivamente, el módulo y la
proyección sobre el eje z del vector S, momento angular
de espín del electrón, s el número cuántico de espín y ms
el número cuántico correspondiente a la componente Sz.
70
El espín lleva asociado un campo magnético, como el de una
diminuta barra imantada que estuviese alineada con su eje.
El espín se representa por un vector. Para una esfera que gire
de “oeste a este” el vector apuntará hacia el norte o hacia
arriba. En caso contrario es hacia abajo.
71
En un campo magnético, los electrones con espín hacia arriba
y espín hacia abajo tienen distinta energía.
La energía de una dipolo magnético µ en el seno de un
campo magnético B viene dado por: EP = - µ·B. Según se
demuestra en mecánica cuántica, la variación de la energía
potencial de un electrón en el interior de un campo
magnético con espín hacia arriba y el mismo electrón con
espín hacia abajo viene dada por la relación:
∆E p = 2µ B B
donde µB representa el magnetón de Bohr y B el campo
magnético aplicado; µB = 5,79×10-5 eV/T
72
En un circuito eléctrico ordinario los espines están orientados
aleatoriamente y no influyen en la corriente.
Los dispositivos espintrónicos crean corrientes de espín polarizado y usan éste para controlar el flujo de corriente.
73
Este resultado es la base de la resonancia magnética nuclear,
RMN, además de la fabricación de dispositivos que se basan
en la propiedad del espín y que ha sido denominada con el
calificativo de “espintrónica o electrónica basada en el espín”
Uno de los primeros éxitos de la espintrónica ha sido en el
almacenamiento de datos. La mayoría de los ordenadores
portátiles van hoy provistos de discos duros que guardan
una cantidad de datos formidable por milímetro cuadrado.
Leen tal densidad de información debido a un efecto espintrónico, la gigamagnetorresistencia (MGR), un cambio en la
resistencia eléctrica causado por un campo magnético pero
muy amplificado.
En un futuro próximo se comercializarán las memorias
magnéticas no volátiles basadas en 'uniones túnel magnéticas'
de aplicación en las MRAM (memoria magnética de acceso
aleatorio) de ordenadores y en memorias para cámaras
digitales, teléfonos móviles, etc.
74
SISTEMA PERIÓDICO. CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA.
LOS ELEMENTOS QUÍMICOS ESTÁN ORGANIZADOS EN UNA TABLA FORMADA
POR 7 FILAS (PERIODOS), 8 COLUMNAS (GRUPOS) Y 10 COLUMNAS MÁS
CORRESPONDIENTES A LOS ELEMENTOS DE TRANSICIÓN SEGÚN EL
ESQUEMA SIGUIENTE:
GRUPO
PERIODO 1
2
3
4
5
6
7
I II
III IV V VI VII VIII
1
3
2
Elementos de transición
4
5
6
7
8
9
10
18
36
54
86
*
♣
♦
* Lantánidos, del 57 al 71
♣Actínidos, del 89 al 103
♦ elemento nº 107
NÚMERO
DE
ELEMENTOS
(2)
(8)
(8)
(18)
(18)
(32)
(21)
Azules: metales: 75,7%
rojos: no metales: 14 %
grises: otros (incluidos
semiconductores): 10% 75
En el último grupo citado destacan los elementos llamados semiconductores, como el
Si y el Ge, tan usados en electrónica. También hay otros elementos muy difícil de
clasificar, como el nº 6 que es el Carbono, C. Este elemento puede presentarse
con propiedades conductoras (grafito) o aislantes (diamante).
Todas las propiedades físicas y químicas, su clasificación en la tabla periódica en
períodos, grupos, etc. se explican aplicando los resultados obtenidos por la MC y
apoyados en tres principios auxiliares:
(a) PRINCIPIO DEL NÚMERO CUÁNTICO: Los números cuánticos del átomo
de H se pueden usar para describir los estados de los electrones en cualquier otro átomo más complejo.
(b) PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: Dos electrones de un átomo no
pueden encontrase en el mismo estado cuántico, es decir, sus números
cuánticos n, ℓ, mℓ, ms han de ser distintos. Por ejemplo, n = 1, ℓ = 0, mℓ = 0
y ms =+1/2 ó bien -1/2.
(c) PRINCIPIO DE MÍNIMA ENERGÍA: Para un mismo valor del número cuántico
principal, n, el electrón de menor energía corresponde al que tiene menor
valor del número ℓ.
76
Como ya sabemos la energía del electrón en el átomo de H depende de número
cuántico prinicpal, n. Para el resto de elementos químicos depende además del
número cuántico orbital, ℓ. En general, cuanto más pequeño es n, menor es la energía del electrón en el átomo; y dado un valor de n, cuánto más bajo es ℓ, menor es otra
vez la energía. La dependencia de la energía con ℓ es debida a la interacción de los
electrones del átomo entre sí.
CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
La especificación de n y ℓ para cada electrón en un átomo se denomina configuración
electrónica. La designación de los orbitales se hace con las mismas letras usadas
para el átomo de H (s, p, d, f, g)
Distribución de los electrones en niveles cuánticos: La siguiente tabla es un ejemplo
de cómo se van rellenando los electrones para las tres primeras capa K, L, M.
Se observa que el número máximo que puede haber por capa es 2n2. Así para la
capa M, cuyo n = 3 caben 2·32 = 18 electrones. La configuración electrónica de un
elemento con tres capas como por ejemplo el sodio, Na, de número atómico 11 sería
1s2 2s2 p6 3s1. Obsérvese que la suma de los exponentes, corresponde a 11. Esto es
el elemento en cuestión posee 11 electrones en su configuración electrónica. Si nos
fijamos en el nº 18 el argón, Ar, la configuración es 1s2 2s2p6 3s2p6. La configuración
de la última capa, n = 3, suma 8. Es la configuración que poseen los gases nobles. Es
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muy estable. Todos los elementos tienden a esta configuración.
CAPA
n
ℓ
Orb.
mℓ
ms
Conf. E.
Nº de e-
K
1
0
s
0
±1/2
1s2
2
0
s
0
±1/2
2s2
1
p
1
0
-1
±1/2
±1/2
±1/2
2p6
0
s
0
±1/2
3s2
p
1
0
-1
±1/2
±1/2
±1/2
3p6
d
2
1
0
-1
-2
±1/2
±1/2
±1/2
±1/2
±1/2
L
2
1
M
3
2
8
18
3d10
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El orden de llenado de los orbitales atómicos se muestra en el diagrama adjunto:
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
s
s
s
s
s
s
s
p
p
p
p
p
p
d
d
d
d
d
f
f
f
Así, el H elemento nº 1, con un electrón, sería 1s1. El siguiente elemento el nº 2,
helio, He, sería 1s2. A continuación se pasa al elemento nº 3, el litio, Li, que posee
3 electrones. Como la capa K , n = 1, está llena con dos electrones, el tercer
electrón pasa a una capa de energía superior, esto es, la n = 2 o capa L. Al mismo
tiempo la interacción del tercer electrón con los protones del núcleo se debilita debido
al apantallamiento de los dos electrones intermedios. Por esta razón la energía del
electrón externo viene dada por la expresión:
1 kZ 'e 2
E=−
2 r
donde Z´e representa la carga nuclear efectiva. Esta expresión se suele determinar
a partir de experiencias. La configuración del Li es pues 1s2 2s1. La energía de ioni79
ción del Li es 5,39 eV. que es muy baja si se la compara con los 24,6 eV del He.
Esto indica que el electrón del Li está muy débilmente ligado al átomo mientras que
los dos electrones del He están fuertemente ligados. Por esto el Li es químicamente
muy activo y se comporta como si fuese un átomo con un solo electrón. Sin embargo el He es químicamente inerte y es muy difícil su reacción con otros elementos
químicos.
Si se realiza la configuración electrónica en una misma fila del sistema periódico
se observa que por ejemplo para la capa ó nivel 3, los elementos de un grupo al
siguiente se diferencian en un electrón más. Ese electrón diferenciador es el que le
da al elemento sus propiedades químicas, su forma de unirse o enlazarse con otros
elementos para formar compuestos, esto es la valencia del elemento, etc. Por ejemplo
la valencia de los elementos del grupo 1, esto es, Li, Na, K, Rb, Cs y Fr es 1. Los del
grupo 2, Be, Mg, Ca, Sr, Ba y Ra es de 2. Sin embargo un elemento como el C, su
configuración electrónica es 1s2 2s2p2. Su valencia debería ser 2 ya que al perder sus
dos electrones del orbital p, adquiere configuración de gas noble, el He. Esto no es
así. Existe un fenómeno llamado hibridación según el cual debido a que las energías
de los orbitales 2s y 2p son prácticamente iguales uno de los electrones del orbital 2s
pasa al orbital 2p y la configuración mas estable es la 1s2 2s1p3 y el número de
enlaces del carbono es de 4. El espín de cada uno de estos cuatro electrones es ½.
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